CHUYEÂN ÑEÀ 8
VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
Caùc ñònh nghóa vaø pheùp toaùn cuûa vectô trong khoâng gian cuõng gioáng nhö trong maët
phaúng, ta caàn löu yù ñeán caùc vaán ñeà cô baûn thoâng duïng nhö :
. Qui taéc 3 ñieåm : A, B, C thì ∀
A
B
J
JJG + BC
J
JJG =
A
C
J
JJG
. Coäng 2 vectô cuøng goác laø moät vectô cuøng goác vaø laø ñöôøng cheùo hình bình haønh coù 2
caïnh laø 2 vectô ñaõ cho.
. I laø trung ñieåm ñoaïn thaúng AB, vôùi ñieåm M baát kyø naøo ta luoân coù:
MI =
JJJG
2
MA MB+
J
JJJG JJJJG
. G laø troïng taâm cuûa ΔABC
⇔
GA
J
JJG + GB
J
JJG + GC
J
JJG = 0
G
.
Ngoaøi ra ta coøn coù :
. Ba vectô khaùc goïi laø ñoàng phaúng neáu giaù cuûa chuùng cuøng song song hoaëc naèm
trong moät maët phaúng .
0
G
. Baát kyø vectô a 0 naøo ñoàng phaúng vôùi hai vectô khoâng cuøng phöông , trong
khoâng gian, ñeàu coù theå phaân tích theo
G≠G
1
e
G
2
e
G
1
e
G
, 2
e
G
coù nghóa:
a =
Gα1
e
G
+
β
2
e
G
(
α
,
β
∈
R)
vaø söï phaân tích treân laø duy nhaát .
. Baát kyø vectô a naøo trong khoâng gian cuõng coù theå phaân tích ñöôïc theo 3 vectô
khoâng ñoàng phaúng , , coù nghóa :
G≠0
G
1
e
G G G
2
e3
e
a = + β
Gα1
e
G
2
e
G
+ γ3
e
G
(
α
,
β
,γ
∈
R)
. G ñöôïc goïi laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD
+ + GC +
⇔GA
JJJG
GB
JJJG JJJG
GD
J
JJG = 0
G
Ghi chuù :
1) Neáu moät trong 3 vectô ,
a
Gb
G
, c
G
laø 0
G
thì chuùng ñoàng phaúng.
2)
a, b, c ñoàng phaúng ⇔
GGG,. 0ab c
⎡⎤
=
⎣⎦
G
GG
1
3)
OA , OB , ñoàng phaúng
JJJG JJJG
OC
JJJG
⇔
O, A, B, C cuøng naèm treân moät maët phaúng.
Ví duï 1:
Cho moät hình laêng truï ABC
A
′
B
′
C
′
. Goïi I, I
′
laàn löôït laø troïng taâm cuûa ΔABC vaø
Δ
A
′B′C′, O laø trung ñieåm cuûa I I
′
.
a) Chöùng minh raèng
+ + OBOA
JJJG
OA′
JJJJG
J
JJG + OB
′
J
JJJG + OC
J
JJG + OC
′
J
JJJG = 0
G
b) Goïi G laø troïng taâm cuûa hình töù dieän ABCC
′
vaø M laø trung ñieåm cuûa
A
′B′. Chöùng
minh raèng O, M, G thaúng haøng.
c) Tính tæ soá OM
OG
JJJJG
JJJG
Giaûi
a) + OA + +
OA
JJJG ′
JJJJG
OB
JJJG
OB
′
JJJJG + OC
J
JJG + OC
′
J
JJJG = 0
G
I laø troïng taâm cuûa ABC ⇒ ΔIA
J
JG + IB
J
JG + IC
J
JG = 0
G
( + ) + (IO + OB ) + (⇒IO
JJG
OA
JJJG JJG JJJG
IO
J
JG + OC
J
JJG ) = 0
G
OA + + OC = 3 OI ⇒JJJG
OB
JJJG JJJG JJG
Töông töï, laø troïng taâm cuûa I′
Δ
A
′
B
′
C
′
OA + + OC = 3 OI
⇒′
JJJJG
OB′
JJJJG′
JJJJG
′
JJJG
Vaäy
OA +
JJJG
OA′
J
JJJG + OB +
JJJG
OB
′
J
JJJG + OC
J
JJG + OC
′
J
JJJG =
= 3
OI
J
JG + 3OI
′
J
JJG = 3(OI
J
JG + OI
′
J
JJG)
=
0
G
(vì 0 laø trung ñieåm I I
′
)
b) O, M, G thaúng haøng
G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCC
′
⇒ GA + + GC +
JJJG
GB
JJJG JJJG
GC
′
JJJJG = 0
G
⇒ ( + OA ) + ( GO + ) + (
GO
JJJG JJJG JJJG
OB
JJJG
GO
J
JJG + OC
J
JJG ) + (GO
J
JJG + OC
′
J
JJJG) = 0
G
⇒ OA + + OC + OC
JJJG
OB
JJJG JJJG
′
JJJJG = 4OG
J
JJG
M laø trung ñieåm cuûa
A
B
′′
⇒ OA + = 2OM
′
JJJJG
OB′
JJJJGJJJJG
⇒ OA + + OC + OC
JJJG
OB
JJJG JJJG
′
JJJJG + OA
′
J
JJJG + OB
′
J
JJJG = 4OG
J
JJG + 2OM
J
JJJG
2
⇒ 0 = 4 + 2OM
GOG
JJJG JJJJG
⇒ OM = –2
JJJJG
OG
JJJG
⇒ OM cuøng phöông vôùi OG
JJJJG
J
JJG
⇒ OM , OG cuøng giaù (vì cuøng goác O)
JJJJGJJJG
⇒ O, M, G thaúng haøng.
c) Tæ soá
JJJJG
JJJG
OM
OG
OM
JJJJG = –2
OG
JJJG ⇒OM
OG
J
JJJG
J
JJG = –2
Ví duï 2:
Cho hình hoäp ABCD.
A
′B′C
′
D
′
vôùi
A
A
′
J
JJJG = a
G
,
A
B
J
JJG = b
G
, /
A
C
J
JJJG
= . Haõy bieåu thò caùc
vectô
c
G
A
D
JJJG ,
A
C
′
JJJJGJJJJGJJJJG
, , theo caùc vectô a
BD
′BD′
G
, b
G
, c
G
.
Giaûi
Ta coù vôùi hình hoäp ABCD.
A
′
B
′
C
′
D′ thì :
A
D
J
JJG =
A
C
′
J
JJJG + /
CD
′
J
JJJJG
+ DD
′
JJJJG
=
c
G
– b
G
– a
G
A
C
′
J
JJJG =
A
A
′
J
JJJG + /
A
C
JJJJG
+
/
CC
JJJJG
A
C
′
J
JJJG = –2 a
G
+
c
G
BD
′
J
JJJG = BB
′
J
JJJG + BA
J
JJG +
A
D
JJJG
= –
a
G
– b
G
+ c
G
– –
b
G
a
G
= – 2a
G
– 2 b
G
+
c
G
BD
′
J
JJJG = BA
J
JJG +
A
D
J
JJG + DD′
JJJJG
= –
b
G
+ ( c
G
– – a) +
b
GGa
G
= – 2 b
G
+ c
G
* * *
D
′
A
B′
′
c
G
B C
D
A
a
C′
G
b
G
3
