intTypePromotion=1

Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
580
lượt xem
94
download

Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm phục vụ quá trình học tập, giảng dạy của giáo viên và học sinh Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục sẽ là tư liệu ôn tập hữu ích, giúp các bạn hệ thống lại kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo để chuẩn bị tốt cho các kì kiểm tra sắp tới.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục

  1. Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Chuyên đề: HÀM SỐ LIÊN TỤC I- LÝ THUYẾT: 1. Hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng: o Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; b ) . Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ ( a; b ) nếu: lim  f ( x )  = f ( x0 )   . x → x0 (Điểm x0 tại đó y = f ( x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số) Hoặc: Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm x0 ∈ ( a; b ) : lim  f ( x )  = lim−  f ( x )  = f ( x0 ) +  x→ x0   . x → x0 o Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; b ) được gọi là liên tục trên khoảng ( a; b ) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. o Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng [ a; b ] được gọi là liên tục trên đoạn [ a; b ] nếu:   f ( x) liªn tôc trªn ( a; b )   x →a + f ( x ) = f ( a ) lim   x → b − f ( x ) = f (b )  lim 2. Một số định lý về hàm số liên tục: f ( x) o Định lý 1: NÕu f ( x) vµ g ( x) liªn tôc t¹i x0 th×: f ( x ) ± g ( x ) ; f ( x ) .g ( x ) ; g ( x) ( g ( x ) ≠ 0 ) còng liªn tôc t¹i x 0 o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. o Định lý 3: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung bình giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. • Hệ quả: Nếu nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] và f (a ). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một sè c ∈ ( a; b ) : f (c) = 0 . 3. Một số thuật toán cần lưu ý: a. Xét (tìm điều kiện tham số) sự liên tục của hàm số tại điểm x0 : Bước 1: Tính f ( x0 ) . Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn lim  f ( x )  x → x0   Bước 2: So sánh f ( x0 ) và lim  f ( x )  để đưa ra kết luận x → x0    lim  f ( x )  = f ( x0 ) x → x0   Hµm sè liªn tôc t¹i x0 ⇔   lim  f ( x )  = lim  f ( x )  = f ( x )  x→ xo−    x→ xo+   0 b. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] o Chứng tỏ f (a ). f (b) < 0 . Khi đó f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( a; b ) . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
  2. Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 • Muốn chứng minh : f ( x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì ta tìm n khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng đó f ( x) = 0 đều có nghiệm. II- LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm x0 đã chỉ ra:  x2 − 9  2 − 7 x + 5 x 2 − x3  khi x ≠ 3  khi x ≠ 2 1) f ( x) =  x − 3 tại x0 = 3 2) f ( x ) =  x 2 − 3 x + 2 tại x0 = 2 6 khi x = 3 1 khi x = 2    x3 + x + 2  x 3 + 1 khi x ≠ −1 1 − 2 x − 3   khi x ≠ 2 3) f ( x ) =  tại x0 = −1 4) f ( x ) =  2 − x tại x0 = 2  4 1 khi x = −1  khi x = 2 3   3 3x + 2 − 2  x −2  khi x ≠ 2  khi x ≠ 4  x−2  x+5 −3 5) f ( x ) =  tại x0 = 26) f ( x ) =  tại x0 = 4 3 khi x = 2 3 khi x = 4 4  2  x2 + 4 khi x < 2  x 4 + x 2 − 1 khi x ≤ −1 7) f ( x ) =  tại x0 = 2 8) f ( x ) =  tại x0 = −1  2 x + 1 khi x ≥ 2 3x + 2 khi x > −1  x −5  x2  khi x < 0  2 x − 1 − 3 khi x > 5  9) f ( x ) =  tại x0 = 0 10) f ( x ) =  tại x0 = 5 1 − x khi x ≥ 0   3 khi x ≤ 5 2  Bài tập 2: Tìm a để hàm số liên tục tại x0 đã chỉ ra:  x+3−2  x+2 −2  khi x ≠ 1  khi x ≠ 2 1) f ( x ) =  x − 1 tại x0 = 1 2) f ( x) =  x 2 − 4 tại x0 = 2 a + 1 khi x = 1 a khi x = 2    x 2 − 3x + 2  3 3x + 2 − 2  khi x < 1  khi x > 2  x −1  2− x 3) f ( x ) =  tại x0 = 1 4) f ( x ) =  tại x0 = 2 a + 4− x ax + 1 khi x ≥ 1 khi x ≤ 2   x+2   4 Bài tập 4: Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ :  x2 khi x < 1 a 2 x 2  khi x ≤ 2 1) f ( x ) =  2) f ( x ) =  2ax − 3 khi x ≥ 1 (1 − a ) x khi x > 2   x2 − 4 x2 khi x 3   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
  3. Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11  π  x2 − x − 6  −2sin x khi x   2  Bài tập 5: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra: a) 4x 4 + 2 x 2 − x − 3 = 0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn ( −1;1) . b) 2x3 − 6 x + 1 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn ( −2; 2 ) . c) sinx − x + 1 = 0 cã nghiÖm. d) cosx = x cã nghiÖm.  π  e) cos2 x = 2sinx − 2 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn  − ; π   6  f) x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn ( −2;5 ) . g) x5 − 5 x3 + 4 x − 1 = 0 cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn ( −2;3) h) x3 + 6 x + 1 − 2 = 0 cã nghiÖm d−¬ng. ------------------------------------------------------------------------- MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC:  1 Bài tập 1: Giả sử hai hàm số y = f ( x ) và y = f  x +  đều liên tục trên [ 0;1] và f (0) = f (1) .  2  1  1 Chứng minh rằng phương trình f ( x) − f  x +  = 0 luôn có nghiệm trong đoạn 0; 2  .  2    1 Gợi ý: Đặt hàm số g ( x) = f ( x) − f  x +  liên tục trên [ 0;1] .  2 1 1 1 1 Ta có: g (0) = f (0) − f   ; g   = f   − f (1) = f   − f (0) 2 2 2 2 2 1   1   1 g (0).g   = −  f (0) − f    ≤ 0 ∀x ∈  0;  2   2   2 Suy ra:  1  g (0).g  2  < 0 ⇒ ..ycbt...    ⇔ x = 0  g (0).g  1  = 0 ⇔     2 x = 1    2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
  4. Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 2 Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2a + 3b + 6c = 0 thì phương trình: ax + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( 0;1) . Gợi ý: Trường hợp1: a ≠ 0 . Ta có:  2  4a 2b f (0) = c vµ f   = + +c 3 9 3 2 c c c2 ⇒ f (0). f   = ( 4a + 6b + 9c ) = [ 2(2a + 3b + 6c) − 3c ] = − ≤ 0 3 9 9 3  2  f (0). f   < 0 ⇒ ...ycbt... 3 ⇔  2 2a + 3b = 0 2  2  f (0). f   =0⇔c=0⇔ 2 ⇒ x = ∈  0;    3 ax + bx = 0 3  3 bx + c = 0 Trường hợp 2: a = 0 . Ta có:  3b + 6c = 0 * Nếu b = 0 th× c = 0 và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có nghiệm trên ( 0;1) . b 1 * Nếu b ≠ 0 : x0 = −= ∈ ( 0;1) c 2 Bài tập 3: Cho hàm số y = f ( x) : f : [ 0;1]  [ 0;1] và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại → c ∈ [ 0;1] sao cho: f (c) = c . Gợi ý: Đặt hàm số g ( x) = f ( x) − x liên tục trên [ 0;1] L−u ý: f : [ 0;1]  [ 0;1] → 0 ≤ x ≤ 1 ֏ 0 ≤ f ( x) ≤ 1 Ta có: g (0) = f (0) ≥ 0; g (1) = f (1) − 1 ≤ 0 do 0 ≤ f ( x) ≤ 1 ,∀x ∈ [ 0;1] Lúc đó: g (0).g (1) ≤ 0 ,∀x ∈ [ 0;1] Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ −1;1] . Chứng minh rằng với mọi a, b > 0 af (−1) + bf (1) cho trước, phương trình: f ( x) = luôn có nghiệm thuộc [ −1;1] . a+b af (−1) + bf (1) Gợi ý: Đặt h( x) = f ( x) − liên tục trên [ −1;1] . a+b Ta có: af (−1) + bf (1) a [ f (1) − f (−1)] h(1) = f (1) − = ; a+b a+b af (−1) + bf (1) b [ f (−1) − f (1)] h(−1) = f (−1) − = a+b a+b −ab [ f (1) − f (−1)] 2 ⇒ h(1).h(−1) = ≤ 0, ∀a, b > 0 a+b Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
  5. Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Bài tập 5: Cho phương trình: ax + bx + c = 0 ( ac ≠ 0 ) . Biết rằng 2a + 6b + 19c = 0 . Chứng minh 2 phương trình có nghiệm trên ( 0;1) . 1 Gợi ý: Xét dấu f (0). f    3 a b c Bài tập 6: Cho phương trình: ax 3 + bx 2 + cx + c = 0 ( ac ≠ 0 ) . Biết rằng + + = 0 . Chứng 12 9 2 minh phương trình có nghiệm trên ( 0;1) . 3 Gợi ý: Xét dấu f (0). f   4 a b c Bài tập 7: Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( ac ≠ 0 ) . Biết rằng + + = 0. 2001 2000 1999 Chứng minh phương trình có nghiệm trên ( 0;1) .  2000  Gợi ý: Xét dấu f (0). f    2001  Bài tập 8: Cho phương trình: x 4 − x − 2 = 0 (*) . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm x0 ∈ (1; 2 ) và x0 > 7 8 . Gợi ý: Xét dấu f (1). f (2) . Chứng minh x0 > 7 8 : 4 4 x0 − x0 − 2 = 0 ⇔ x0 = x0 + 2 (1). ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy: x0 + 2 ≥ 2 x0 (2) DÊu b»ng x·y ra khi x0 = 2, vËy víi x0 ∈ (1; 2 ) th× dÊu b»ng ë (2) kh«ng x·y ra. VËy ta cã: x0 + 2 > 2 x0 (3) 4 8 Tõ (1) vµ (3) suy ra: x0 > 2 x0 ⇒ x0 > 8 x0 ⇒ x0 > 7 8 C¸ch kh¸c: HoÆc cã thÓ chØ râ: f ( 7 8). f (2) < 0..... Bài tập 9: Cho phương trình: x 6 − x − 1 = 0 (*) . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm x0 ∈ (1; 2 ) và x0 > 13 4 . Bài tập 10: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của tham số m : a) cosx + mcos2x =0 b) m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 = 0 Gợi ý: π 1  3π  1 a) §Æt f ( x) = cosx + mcos2x. Ta cã: f   = vµ f   = − 4 2  4  2  π   3π  1 Suy ra: f   . f   = − < 0..... 4  4  2 b) §Æt f ( x) = m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3. Ta cã: f (1) = 5 vµ f (−2) = −1 Suy ra: f (1) . f ( −2 ) = −1 < 0..... Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 5 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
  6. Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Bài tập 11: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số : a) ( m 2 + m + 1) x 4 + 2 x − 2 = 0 b) m( x 2 − 16) + x 7 ( x − 6) = 0 c) m( x − 1)( x − 2) + (2 x − 3) x3 = 0 d) m(2cos x − 2) = 2sin 5 x + 1 Bài tập 12: Chứng minh với mọi a, b, c các phương trình sau đây luôn có nghiệm: a) a ( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a ) + c( x − a)( x − b) = 0 b) ab( x − a )( x − b) + ac( x − c)( x − a) + bc( x − b)( x − c) = 0 Gợi ý: a) §Æt f ( x) = a ( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a ) + c( x − a )( x − b) Ta cã f ( x) liªn tôc trªn ℝ vµ:  f (a ) = a(a − b)( a − c)  f (b) = b(b − c)(b − a )    f (c) = c(c − b)(c − a )  f (0) = 3abc  ⇒ f (0) f (a) f (b) f (c) = −3a 2b 2c 2 (a − b) 2 (b − c) 2 (c − a ) 2 ≤ 0 ⇒ f (a ) f (b) ≤ 0 hoÆc f (0) f (c) ≤ 0 ⇒ Tån t¹i x0 sao cho f ( x0 ) = 0 (®pcm) Bài tập 13: 1 a) Chứng minh rằng phương trình: x3 − 1000 x 2 − = 0 có ít nhất một nghiệm dương. 100 b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình: x3 + ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm Gợi ý: 1 a) §Æt f ( x) = x 3 − 1000 x 2 − liªn tôc trªn ℝ 100 1 Ta cã: f (0) = − < 0 vµ lim f ( x) = +∞ suy ra víi sè M > 0 tuú ý th× f ( M ) > 0 100 x →+∞ Lóc ®ã: f (0). f ( M ) < 0 ⇒ ....  lim f ( x) = +∞  x→+∞ b)  ,∀a, b, c ∈ ℝ  xlim f ( x) = −∞  →−∞ Do lim f ( x) = +∞ nªn tån t¹i A > 0 tuú ý sao cho: f ( A) > 0 x →+∞ T−¬ng tù: lim f ( x) = −∞ nªn tån t¹i B < 0 tuú ý sao cho: f ( B ) < 0 x →−∞ Tõ ®ã suy ra: f ( A). f ( B ) < 0 ⇒ ...ycbt.... Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 6 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2