Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục
lượt xem 95
download
Nhằm phục vụ quá trình học tập, giảng dạy của giáo viên và học sinh Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục sẽ là tư liệu ôn tập hữu ích, giúp các bạn hệ thống lại kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo để chuẩn bị tốt cho các kì kiểm tra sắp tới.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục
- Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Chuyên đề: HÀM SỐ LIÊN TỤC I- LÝ THUYẾT: 1. Hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng: o Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; b ) . Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ ( a; b ) nếu: lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 (Điểm x0 tại đó y = f ( x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số) Hoặc: Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm x0 ∈ ( a; b ) : lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( x0 ) + x→ x0 . x → x0 o Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; b ) được gọi là liên tục trên khoảng ( a; b ) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. o Hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng [ a; b ] được gọi là liên tục trên đoạn [ a; b ] nếu: f ( x) liªn tôc trªn ( a; b ) x →a + f ( x ) = f ( a ) lim x → b − f ( x ) = f (b ) lim 2. Một số định lý về hàm số liên tục: f ( x) o Định lý 1: NÕu f ( x) vµ g ( x) liªn tôc t¹i x0 th×: f ( x ) ± g ( x ) ; f ( x ) .g ( x ) ; g ( x) ( g ( x ) ≠ 0 ) còng liªn tôc t¹i x 0 o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. o Định lý 3: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung bình giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. • Hệ quả: Nếu nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] và f (a ). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một sè c ∈ ( a; b ) : f (c) = 0 . 3. Một số thuật toán cần lưu ý: a. Xét (tìm điều kiện tham số) sự liên tục của hàm số tại điểm x0 : Bước 1: Tính f ( x0 ) . Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn lim f ( x ) x → x0 Bước 2: So sánh f ( x0 ) và lim f ( x ) để đưa ra kết luận x → x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 Hµm sè liªn tôc t¹i x0 ⇔ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x ) x→ xo− x→ xo+ 0 b. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] o Chứng tỏ f (a ). f (b) < 0 . Khi đó f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( a; b ) . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 • Muốn chứng minh : f ( x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì ta tìm n khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng đó f ( x) = 0 đều có nghiệm. II- LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm x0 đã chỉ ra: x2 − 9 2 − 7 x + 5 x 2 − x3 khi x ≠ 3 khi x ≠ 2 1) f ( x) = x − 3 tại x0 = 3 2) f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 tại x0 = 2 6 khi x = 3 1 khi x = 2 x3 + x + 2 x 3 + 1 khi x ≠ −1 1 − 2 x − 3 khi x ≠ 2 3) f ( x ) = tại x0 = −1 4) f ( x ) = 2 − x tại x0 = 2 4 1 khi x = −1 khi x = 2 3 3 3x + 2 − 2 x −2 khi x ≠ 2 khi x ≠ 4 x−2 x+5 −3 5) f ( x ) = tại x0 = 26) f ( x ) = tại x0 = 4 3 khi x = 2 3 khi x = 4 4 2 x2 + 4 khi x < 2 x 4 + x 2 − 1 khi x ≤ −1 7) f ( x ) = tại x0 = 2 8) f ( x ) = tại x0 = −1 2 x + 1 khi x ≥ 2 3x + 2 khi x > −1 x −5 x2 khi x < 0 2 x − 1 − 3 khi x > 5 9) f ( x ) = tại x0 = 0 10) f ( x ) = tại x0 = 5 1 − x khi x ≥ 0 3 khi x ≤ 5 2 Bài tập 2: Tìm a để hàm số liên tục tại x0 đã chỉ ra: x+3−2 x+2 −2 khi x ≠ 1 khi x ≠ 2 1) f ( x ) = x − 1 tại x0 = 1 2) f ( x) = x 2 − 4 tại x0 = 2 a + 1 khi x = 1 a khi x = 2 x 2 − 3x + 2 3 3x + 2 − 2 khi x < 1 khi x > 2 x −1 2− x 3) f ( x ) = tại x0 = 1 4) f ( x ) = tại x0 = 2 a + 4− x ax + 1 khi x ≥ 1 khi x ≤ 2 x+2 4 Bài tập 4: Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ : x2 khi x < 1 a 2 x 2 khi x ≤ 2 1) f ( x ) = 2) f ( x ) = 2ax − 3 khi x ≥ 1 (1 − a ) x khi x > 2 x2 − 4 x2 khi x 3 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 π x2 − x − 6 −2sin x khi x 2 Bài tập 5: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra: a) 4x 4 + 2 x 2 − x − 3 = 0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn ( −1;1) . b) 2x3 − 6 x + 1 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn ( −2; 2 ) . c) sinx − x + 1 = 0 cã nghiÖm. d) cosx = x cã nghiÖm. π e) cos2 x = 2sinx − 2 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn − ; π 6 f) x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn ( −2;5 ) . g) x5 − 5 x3 + 4 x − 1 = 0 cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn ( −2;3) h) x3 + 6 x + 1 − 2 = 0 cã nghiÖm d−¬ng. ------------------------------------------------------------------------- MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC: 1 Bài tập 1: Giả sử hai hàm số y = f ( x ) và y = f x + đều liên tục trên [ 0;1] và f (0) = f (1) . 2 1 1 Chứng minh rằng phương trình f ( x) − f x + = 0 luôn có nghiệm trong đoạn 0; 2 . 2 1 Gợi ý: Đặt hàm số g ( x) = f ( x) − f x + liên tục trên [ 0;1] . 2 1 1 1 1 Ta có: g (0) = f (0) − f ; g = f − f (1) = f − f (0) 2 2 2 2 2 1 1 1 g (0).g = − f (0) − f ≤ 0 ∀x ∈ 0; 2 2 2 Suy ra: 1 g (0).g 2 < 0 ⇒ ..ycbt... ⇔ x = 0 g (0).g 1 = 0 ⇔ 2 x = 1 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 2 Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2a + 3b + 6c = 0 thì phương trình: ax + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( 0;1) . Gợi ý: Trường hợp1: a ≠ 0 . Ta có: 2 4a 2b f (0) = c vµ f = + +c 3 9 3 2 c c c2 ⇒ f (0). f = ( 4a + 6b + 9c ) = [ 2(2a + 3b + 6c) − 3c ] = − ≤ 0 3 9 9 3 2 f (0). f < 0 ⇒ ...ycbt... 3 ⇔ 2 2a + 3b = 0 2 2 f (0). f =0⇔c=0⇔ 2 ⇒ x = ∈ 0; 3 ax + bx = 0 3 3 bx + c = 0 Trường hợp 2: a = 0 . Ta có: 3b + 6c = 0 * Nếu b = 0 th× c = 0 và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có nghiệm trên ( 0;1) . b 1 * Nếu b ≠ 0 : x0 = −= ∈ ( 0;1) c 2 Bài tập 3: Cho hàm số y = f ( x) : f : [ 0;1] [ 0;1] và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại → c ∈ [ 0;1] sao cho: f (c) = c . Gợi ý: Đặt hàm số g ( x) = f ( x) − x liên tục trên [ 0;1] L−u ý: f : [ 0;1] [ 0;1] → 0 ≤ x ≤ 1 ֏ 0 ≤ f ( x) ≤ 1 Ta có: g (0) = f (0) ≥ 0; g (1) = f (1) − 1 ≤ 0 do 0 ≤ f ( x) ≤ 1 ,∀x ∈ [ 0;1] Lúc đó: g (0).g (1) ≤ 0 ,∀x ∈ [ 0;1] Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ −1;1] . Chứng minh rằng với mọi a, b > 0 af (−1) + bf (1) cho trước, phương trình: f ( x) = luôn có nghiệm thuộc [ −1;1] . a+b af (−1) + bf (1) Gợi ý: Đặt h( x) = f ( x) − liên tục trên [ −1;1] . a+b Ta có: af (−1) + bf (1) a [ f (1) − f (−1)] h(1) = f (1) − = ; a+b a+b af (−1) + bf (1) b [ f (−1) − f (1)] h(−1) = f (−1) − = a+b a+b −ab [ f (1) − f (−1)] 2 ⇒ h(1).h(−1) = ≤ 0, ∀a, b > 0 a+b Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Bài tập 5: Cho phương trình: ax + bx + c = 0 ( ac ≠ 0 ) . Biết rằng 2a + 6b + 19c = 0 . Chứng minh 2 phương trình có nghiệm trên ( 0;1) . 1 Gợi ý: Xét dấu f (0). f 3 a b c Bài tập 6: Cho phương trình: ax 3 + bx 2 + cx + c = 0 ( ac ≠ 0 ) . Biết rằng + + = 0 . Chứng 12 9 2 minh phương trình có nghiệm trên ( 0;1) . 3 Gợi ý: Xét dấu f (0). f 4 a b c Bài tập 7: Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( ac ≠ 0 ) . Biết rằng + + = 0. 2001 2000 1999 Chứng minh phương trình có nghiệm trên ( 0;1) . 2000 Gợi ý: Xét dấu f (0). f 2001 Bài tập 8: Cho phương trình: x 4 − x − 2 = 0 (*) . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm x0 ∈ (1; 2 ) và x0 > 7 8 . Gợi ý: Xét dấu f (1). f (2) . Chứng minh x0 > 7 8 : 4 4 x0 − x0 − 2 = 0 ⇔ x0 = x0 + 2 (1). ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy: x0 + 2 ≥ 2 x0 (2) DÊu b»ng x·y ra khi x0 = 2, vËy víi x0 ∈ (1; 2 ) th× dÊu b»ng ë (2) kh«ng x·y ra. VËy ta cã: x0 + 2 > 2 x0 (3) 4 8 Tõ (1) vµ (3) suy ra: x0 > 2 x0 ⇒ x0 > 8 x0 ⇒ x0 > 7 8 C¸ch kh¸c: HoÆc cã thÓ chØ râ: f ( 7 8). f (2) < 0..... Bài tập 9: Cho phương trình: x 6 − x − 1 = 0 (*) . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm x0 ∈ (1; 2 ) và x0 > 13 4 . Bài tập 10: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của tham số m : a) cosx + mcos2x =0 b) m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 = 0 Gợi ý: π 1 3π 1 a) §Æt f ( x) = cosx + mcos2x. Ta cã: f = vµ f = − 4 2 4 2 π 3π 1 Suy ra: f . f = − < 0..... 4 4 2 b) §Æt f ( x) = m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3. Ta cã: f (1) = 5 vµ f (−2) = −1 Suy ra: f (1) . f ( −2 ) = −1 < 0..... Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 5 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Bài tập 11: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số : a) ( m 2 + m + 1) x 4 + 2 x − 2 = 0 b) m( x 2 − 16) + x 7 ( x − 6) = 0 c) m( x − 1)( x − 2) + (2 x − 3) x3 = 0 d) m(2cos x − 2) = 2sin 5 x + 1 Bài tập 12: Chứng minh với mọi a, b, c các phương trình sau đây luôn có nghiệm: a) a ( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a ) + c( x − a)( x − b) = 0 b) ab( x − a )( x − b) + ac( x − c)( x − a) + bc( x − b)( x − c) = 0 Gợi ý: a) §Æt f ( x) = a ( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a ) + c( x − a )( x − b) Ta cã f ( x) liªn tôc trªn ℝ vµ: f (a ) = a(a − b)( a − c) f (b) = b(b − c)(b − a ) f (c) = c(c − b)(c − a ) f (0) = 3abc ⇒ f (0) f (a) f (b) f (c) = −3a 2b 2c 2 (a − b) 2 (b − c) 2 (c − a ) 2 ≤ 0 ⇒ f (a ) f (b) ≤ 0 hoÆc f (0) f (c) ≤ 0 ⇒ Tån t¹i x0 sao cho f ( x0 ) = 0 (®pcm) Bài tập 13: 1 a) Chứng minh rằng phương trình: x3 − 1000 x 2 − = 0 có ít nhất một nghiệm dương. 100 b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình: x3 + ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm Gợi ý: 1 a) §Æt f ( x) = x 3 − 1000 x 2 − liªn tôc trªn ℝ 100 1 Ta cã: f (0) = − < 0 vµ lim f ( x) = +∞ suy ra víi sè M > 0 tuú ý th× f ( M ) > 0 100 x →+∞ Lóc ®ã: f (0). f ( M ) < 0 ⇒ .... lim f ( x) = +∞ x→+∞ b) ,∀a, b, c ∈ ℝ xlim f ( x) = −∞ →−∞ Do lim f ( x) = +∞ nªn tån t¹i A > 0 tuú ý sao cho: f ( A) > 0 x →+∞ T−¬ng tù: lim f ( x) = −∞ nªn tån t¹i B < 0 tuú ý sao cho: f ( B ) < 0 x →−∞ Tõ ®ã suy ra: f ( A). f ( B ) < 0 ⇒ ...ycbt.... Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 6 CLB Giáo viên trẻ TP Huế
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bộ đề thi Môn Toán chọn lọc
155 p | 702 | 386
-
Trắc nghiệm Hiện tượng quang điện ngoài, thuyết lượng tử ánh sáng
12 p | 938 | 249
-
SKKN: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số - Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt
18 p | 838 | 159
-
Chuyên đề: Giới hạn – Đạo hàm của hàm số
10 p | 457 | 142
-
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
4 p | 453 | 99
-
Chương IV Giới hạn của dãy số
20 p | 246 | 60
-
Phép tính vi phân hàm một biến
34 p | 328 | 49
-
Ý nghĩa hình học của đạo hàm Phương trình tiếp tuyến của đường cong
12 p | 816 | 45
-
Tuyển tập các chuyên đề nâng cao toán THPT - Đại số và giải tích: Phần 2
140 p | 154 | 32
-
CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
15 p | 235 | 24
-
Chuyên đề 1: Giới hạn - Hàm số liên tục
41 p | 160 | 21
-
Chuyên đề: Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm
19 p | 121 | 19
-
Chuyên đề Giới hạn toàn tập Toán 11
262 p | 112 | 11
-
Ôn thi tốt nghiệp, Đại học, Cao đẳng phần hàm số và đồ thị
24 p | 110 | 7
-
Giáo án Đại số lớp 11: Giới hạn của hàm số
55 p | 15 | 5
-
Đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Chuyên Vị Thanh
12 p | 13 | 5
-
Đề kiểm tra 1 tiết môn Giải tích 11 năm 2014 – THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bài số 6)
4 p | 58 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn