Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế
1
Chuyên đề:
HÀM SỐ LIÊN TỤC
I- LÝ THUYẾT:
1. Hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng:
o Cho hàm số
( )
=
y f x
xác định trên khoảng
(
)
;
a b
. Hàm số được gọi là liên tục tại điểm
(
0
;
∈
x a b
nếu:
(
(
0
0
lim
→
=
x x
f x f x
.
(Điểm
0
x
tại đó
( )
=
y f x
không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số)
Hoặc: Hàm số
( )
=
y f x
xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm
(
0
;
∈
x a b
:
(
(
(
)
0 0
0
lim lim
+ −
→ →
= =
x x x x
f x f x f x
.
o Hàm số
( )
=
y f x
xác định trên khoảng
(
)
;
a b
được gọi là liên tục trên khoảng
(
)
;
a b
nếu
nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
o Hàm số
( )
=
y f x
xác định trên khoảng
]
;
a b
được gọi là liên tục trên đoạn
]
;
a b
nếu:
( )
( ) ;
( ) ( )
( ) ( )
+
−
→
→
=
=
liªn tôc trªn
lim
lim
x a
x b
f x a b
f x f a
f x f b
2. Một số định lý về hàm số liên tục:
o Định lý 1:
( ) ( ) ( ) ( )
(
( )
0
( ) ( ) .±NÕu vµ liªn tôc t¹i th×: ; ;
f x
f x g x x f x g x f x g x
g x
(
)
(
0
≠
g x
0
còng liªn tôc t¹i
x
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của
chúng.
o Định lý 3: Nếu hàm số
( )
=
y f x
liên tục trên đoạn
]
;
a b
thì đạt GTLN, GTNN và mọi giá
trị trung bình giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.
• Hệ quả:
Nếu nếu hàm số
( )
=
y f x
liên tục trên đoạn
]
;
a b
và
( ). ( ) 0
<
f a f b
thì tồn tại ít nhất
một
(
; : ( ) 0
sè
c a b f c
∈ =
.
3. Một số thuật toán cần lưu ý:
a. Xét (tìm điều kiện tham số) sự liên tục của hàm số tại điểm
0
x
:
Bước 1: Tính
(
0
f x
. Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn
(
0
lim
→
x x
f x
Bước 2: So sánh
(
0
f x
và
(
0
lim
→
x x
f x
để đưa ra kết luận
(
(
)
( ) ( )
( )
0
0
0
0
− +
→
→ →
=
⇔ = =
lim
Hµm sè liªn tôc t¹i
lim lim
o o
x x
x x x x
f x f x
xf x f x f x
b. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
o Chứng tỏ hàm số
( )
=
y f x
liên tục trên đoạn
]
;
a b
o Chứng tỏ
( ). ( ) 0
<
f a f b
. Khi đó
( ) 0
=
f x
có ít nhất một nghiệm thuộc
(
)
;
a b
.
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế
2
• Muốn chứng minh :
( ) 0
=
f x
có
n
nghiệm phân biệt thì ta tìm
n
khoảng rời nhau và
trên mỗi khoảng đó
( ) 0
=
f x
đều có nghiệm.
II- LUYỆN TẬP:
Bài tập 1: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm
0
x
đã chỉ ra:
1)
2
9
khi 3
( ) 3
6 khi 3
−
≠
=−
=
xx
f x x
x
tại
0
3
=
x
2)
( )
2 3
2
2 7 5
khi 2
3 2
1 khi 2
− + −
≠
=− +
=
x x x x
f x x x
x
tại
0
2
=
x
3)
( )
3
3
2
khi 1
1
4
khi 1
3
+ +
≠ −
+
=
= −
x x x
x
f x
x
tại
0
1
= −
x
4)
( )
1 2 3
khi 2
2
1 khi 2
− −
≠
=−
=
xx
f x x
x
tại
0
2
=
x
5)
( )
3
3 2 2
khi 2
2
3
khi 2
4
+ −
≠
−
=
=
xx
x
f x
x
tại
0
2
=
x
6)
( )
2
khi 4
5 3
3
khi 4
2
−
≠
+ −
=
=
xx
x
f x
x
tại
0
4
=
x
7)
( )
2
4 khi 2
2 1 khi 2
+ <
=
+ ≥
x x
f x x x tại
0
2
=
x 8)
( )
4 2
1 khi 1
3 2 khi 1
+ − ≤ −
=
+ > −
x x x
f x x x tại
0
1
= −
x
9)
( )
2
khi 0
1 khi 0
<
=
− ≥
x x
f x
x x
tại
0
0
=
x
10)
( )
5
khi 5
2 1 3
3
khi 5
2
−
>
− −
=
≤
xx
x
f x
x
tại
0
5
=
x
Bài tập 2: Tìm
a
để hàm số liên tục tại
0
x
đã chỉ ra:
1)
( )
3 2
khi 1
1
1 khi 1
+ −
≠
=−
+ =
x
x
f x x
a x
tại
0
1
=
x
2)
2
2 2
khi 2
( ) 4
khi 2
+ −
≠
=−
=
xx
f x x
a x
tại
0
2
=
x
3)
( )
2
3 2
khi 1
1
4
a khi 1
2
− +
<
−
=−
+ ≥
+
x x x
x
f x x
x
x
tại
0
1
=
x
4)
( )
3
3 2 2
khi 2
2
1
khi 2
4
+ −
>
−
=
+ ≤
xx
x
f x
ax x
tại
0
2
=
x
Bài tập 4: Tìm
a
để hàm số liên tục trên
ℝ
:
1)
( )
2
khi 1
2 3 khi 1
<
=
− ≥
x x
f x
ax x
2)
( ) ( )
2 2
khi 2
1 khi 2
≤
=
− >
a x x
f x a x x
3)
( )
2
4
khi 2
2
khi 2
−
≠
=−
=
xx
f x x
a x
4)
2
khi 1
( ) khi 1 3
4 khi 3
<
= + ≤ ≤
− >
x x
f x ax b x
x x
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế
3
5)
2sin khi
2
( ) sin khi
2 2
cos khi
2
− < −
= + − ≤ ≤
>
π
x x
π π
f x a x b x
π
x x
6)
( )
( )
( )
( )
( )
22
6
x 3 0
3
0
3
− −
− ≠
−
= =
=
x x x
x x
f x a x
b x
Bài tập 5: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra:
(
( )
4 2
3
2 3 0 1;1 .
6 1 0 2;2 .
1 0
2 2
+ − − = −
− + = −
− + =
=
=
a) 4 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn
b) 2 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
c) sin cã nghiÖm.
d) cos cã nghiÖm.
e) cos s
x x x
x x
x x
x x
x
(
)
(
)
5 4
5 3
3
2 ;
6
3 5 2 0 2;5 .
5 4 1 0 2;3
) 6 1 2 0
− −
− + − = −
− + − = −
+ + − =
in cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn
f) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
g) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
h cã nghiÖm d−¬ng.
π
x π
x x x
x x x
x x
-------------------------------------------------------------------------
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC:
Bài tập 1: Giả sử hai hàm số
(
)
=
y f x
và
1
2
= +
y f x
đều liên tục trên
]
0;1
và
(0) (1)
=
f f
.
Chứng minh rằng phương trình
1
( ) 0
2
− + =
f x f x
luôn có nghiệm trong đoạn
1
0;
2
.
Gợi ý: Đặt hàm số
1
( ) ( )
2
= − +
g x f x f x
liên tục trên
]
0;1
.
Ta có:
1 1 1 1
(0) (0) ; (1) (0)
2 2 2 2
= − = − = −
g f f g f f f f
2
1 1 1
(0). (0) 0 0;
2 2 2
= − − ≤ ∀ ∈
g g f f x
Suy ra:
1
(0). 0 ..ycbt...
2
0
1
(0). 0
1
2
2
< ⇒
⇔
=
= ⇔
=
g g
x
g g x
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế
4
Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu:
2 3 6 0
+ + =
a b c
thì phương trình:
2
0
+ + =
ax bx c
có ít nhất
một nghiệm trên
(
)
0;1
.
Gợi ý:
Trường hợp1:
0
≠
a
. Ta có:
( )
[ ]
2
2
2 4 2
(0) 3 9 3
2
(0). 4 6 9 2(2 3 6 ) 3 0
3 9 9 3
2
(0). 0 ... ...
3
2 3 0
2 2 2
(0). 0 0 0;
3 3 3
0
= = + +
⇒ = + + = + + − = − ≤
< ⇒
⇔+ =
= ⇔ = ⇔ ⇒ = ∈
+ =
a b
f c f c
c c c
f f a b c a b c c
f f
a b
f f c x
ax bx
vµ
ycbt
Trường hợp 2:
0
=
a
. Ta có:
0
3 6 0
+ =
+ =
bx c
b c
* Nếu
0 0
th×
b c
= =
và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có
nghiệm trên
(
)
0;1
.
* Nếu
0
≠
b
:
( )
0
1
0;1
2
= − = ∈
b
x
c
Bài tập 3:
Cho hàm số
]
]
( ) : : 0;1 0;1
= →y f x f
và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại
[
]
0;1
∈c
sao cho:
( )
=
f c c
.
Gợi ý:
Đặt hàm số
( ) ( )
= −
g x f x x
liên tục trên
]
0;1
[
]
[
]
: 0;1 0;1
0 1 0 ( ) 1
L−u ý:
f
x f x
→
≤ ≤ ≤ ≤
֏
Ta có:
(0) (0) 0; (1) (1) 1 0
= ≥ = − ≤
g f g f
do
]
0 ( ) 1 , 0;1
≤ ≤ ∀ ∈f x x
Lúc đó:
]
(0). (1) 0 , 0;1
≤ ∀ ∈g g x
Bài tập 4:
Cho hàm số
( )
=
y f x
liên tục trên đoạn
]
1;1
−
. Chứng minh rằng với mọi
, 0
>
a b
cho trước, phương trình:
( 1) (1)
( )
− +
=+
af bf
f x
a b
luôn có nghiệm thuộc
]
1;1
−
.
Gợi ý:
Đặt
( 1) (1)
( ) ( )
− +
= − +
af bf
h x f x
a b
liên tục trên
]
1;1
−
.
Ta có:
]
[ ]
[ ]
2
(1) ( 1)
( 1) (1)
(1) (1) ;
( 1) (1)
( 1) (1)
( 1) ( 1)
(1) ( 1)
(1). ( 1) 0, , 0
− −
− +
= − =
+ +
− −
− +
− = − − =
+ +
− − −
⇒ − = ≤ ∀ >
+
a f f
af bf
h f a b a b
b f f
af bf
h f a b a b
ab f f
h h a b
a b
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế
5
Bài tập 5:
Cho phương trình:
2
0
+ + =
ax bx c
(
)
0
≠
ac
. Biết rằng
2 6 19 0
+ + =
a b c
. Chứng minh
phương trình có nghiệm trên
(
)
0;1
.
Gợi ý:
Xét dấu
1
(0).
3
f f
Bài tập 6:
Cho phương trình:
3 2
0
+ + + =
ax bx cx c
(
)
0
≠
ac
. Biết rằng
0
12 9 2
+ + =
a b c
. Chứng
minh phương trình có nghiệm trên
(
)
0;1
.
Gợi ý:
Xét dấu
3
(0).
4
f f
Bài tập 7:
Cho phương trình:
2
0
+ + =
ax bx c
(
)
0
≠
ac
. Biết rằng
0
2001 2000 1999
+ + =
a b c
.
Chứng minh phương trình có nghiệm trên
(
)
0;1
.
Gợi ý:
Xét dấu
2000
(0).
2001
f f
Bài tập 8:
Cho phương trình:
4
2 0 (*)
− − =x x . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm
(
)
0
1;2
∈
x
và
7
0
8
>x
.
Gợi ý:
Xét dấu
(1). (2)
f f
. Chứng minh
7
0
8
>x
:
( )
4 4
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
2 0 2 . 2 2
2 1;2
2 2
− − = ⇔ = + + ≥
= ∈
+ >
(1) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy:
(2)
DÊu b»ng x·y ra khi , vËy víi th× dÊu b»ng ë (2) kh«ng x·y ra.
VËy ta cã: (3)
Tõ (1) vµ (3) suy ra:
x x x x x x
x x
x x
4 8 7
0 0 0 0 0
7
2 8 8
( 8). (2) 0.....
> ⇒ > ⇒ >
<
C¸ch kh¸c: HoÆc cã thÓ chØ râ:
x x x x x
f f
Bài tập 9:
Cho phương trình:
6
1 0 (*)
− − =x x . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm
(
)
0
1;2
∈
x
và
13
0
4
>x
.
Bài tập 10:
Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của tham
số
m
:
3
a) cos cos2 =0
b) ( 1) ( 2) 2 3 0
+ − + + + =
x m x m x x x
Gợi ý:
( )
3
1 3 1
( ) . 4 4
2 2
3 1
. 0.....
4 4 2
( ) ( 1) ( 2) 2 3. (1) 5 ( 2) 1
1 .
= + = = −
= − <
= − + + + = − = −
−
a) §Æt cos cos2 Ta cã: vµ
Suy ra:
b) §Æt Ta cã: vµ
Suy ra:
π π
f x x m x f f
π π
f f
f x m x x x f f
f f
( )
2 1 0.....= − <