THCS.TOANMATH.com
30
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI
Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất
Kiến thức cần nhớ:
1. Định nghĩa:
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức:
y ax b= +
trong đó
a
và
b
là các số thực cho trước và
0a≠
.
+ Khi
0b=
thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số
y ax=
, biểu thị tương
quan tỉ lện thuận giữa
y
và
x
.
2. Tính chất:
a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị
xR∈
.
b) Trên tập số thực, hàm số
y ax b= +
đồng biến khi
và nghịch
biến khi
.
3. Đồ thị hàm số
y ax b= +
với
( )
0a≠
.
+ Đồ thị hàm số
y ax b= +
là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng
b
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
b
a
−
.
+
a
gọi là hệ số góc của đường thẳng
y ax b= +
4. Cách vẽ đồ thị hàm số
y ax b= +
.
+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.
+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
là
( )
;0 , 0;
b
A Bb
a

−


.
THCS.TOANMATH.com
31
+ Chú ý: Đường thẳng đi qua
( )
;0Mm
song song với trục tung có phương
trình:
0xm−=
, đường thẳng đi qua
( )
0;Nn
song song với trục hoành có
phương trình:
0yn−=
5. Kiến thức bổ sung.
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm
( ) ( )
11 2 2
;, ;Ax y Bx y
thì
( ) ( )
22
21 21
AB x x y y= − +−
. Điểm
( )
;M xy
là trung điểm của
AB
thì
12 12
;
22
xx yy
xy
++
= =
.
6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông
góc.
Cho hai đường thẳng
( )
1
:d y ax b= +
và đường thẳng
( )
2
: ''d y ax b= +
với
,' 0aa ≠
.
•
12
( ) / /( ) 'd d aa⇔=
và
'bb≠
.
•
12
() () 'd d aa≡ ⇔=
và
'bb=
.
•
( )
1
d
cắt
( )
2'd aa⇔≠
.
•
12
( ) ( ) .' 1d d aa⊥⇔=−
Chú ý: Gọi
ϕ
là góc tạo bởi đường thẳng
y ax b= +
và trục
Ox
, nếu
0a>
thì
tan a
ϕ
=
.
Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ:
Ví dụ 1) Cho đường thẳng
( )
1
:2d yx= +
và đường thẳng
( )
( )
22
2
:2d y m mx m m= − ++
.
a) Tìm
m
để
12
( ) / /( )dd
.
THCS.TOANMATH.com
32
b) Gọi
A
là điểm thuộc đường thẳng
1
()d
có hoành độ
2x=
. Viết
phương trình đường thẳng
3
()d
đi qua
A
vuông góc với
1
()d
.
c) Khi
12
( ) / /( )dd
. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
( )
12
( ),dd
.
d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến đường thẳng
1
()d
và tính
diện tích tam giác
OMN
với
,MN
lần lượt là giao điểm của
1
()d
với các trục tọa độ
,Ox Oy
.
Lời giải:
a) Đường thẳng
12
( ) / /( )dd
khi và chỉ khi
( )( )
( )( )
2
2
12 1 0
21 1
2
1 20
2
mm
mm m
mm
mm
− +=
−=

⇔ ⇔=−

− +≠
+≠
.
Vậy với
1
2
m= −
thì
12
( ) / /( )dd
.
b) Vì
A
là điểm thuộc đường thẳng
1
()d
có hoành độ
2x=
suy ra
tung độ điểm
A
l
( )
2 2 4 2;4yA=+=⇒
.
Đường thẳng
( )
1
d
có hệ số góc là
1a=
, đường thẳng
( )
2
d
có hệ số góc là
' '.1 1 ' 1aa a⇒ =−⇒ =−
. Đường thẳng
( )
3
d
có dạng
y xb=−+
. Vì
( )
3
d
đi qua
( )
2;4A
suy ra
42 6bb=−+ ⇒ =
. Vậy đường thẳng
( )
3
d
là
6yx=−+
.
c)
Khi
12
( ) / /( )dd
thì khoảng cách giữa hai đường thẳng
( )
1
d
và
( )
2
d
cũng
chính là khoảng cách giữa hai điểm
,AB
lần lượt thuộc
( )
1
d
và
( )
2
d
sao
cho
( )
12
( ),AB d AB d⊥⊥
.
Hình vẽ: Gọi
B
là giao điểm của đường thẳng
3
()d
và
2
()d
. Phương trình hoành độ giao điểm
B
A
(d
3
)
(d
2
)
(d
1
)
THCS.TOANMATH.com
33
của
( )
2
d
và
( )
3
d
là:
1 25 23 25 23
6;
4 8 8 88
xx x y B

−+ = − ⇔ = ⇒ = ⇒ 

.
Vậy độ dài đoạn thẳng
AB
là:
22
25 23 9 2
24
888
AB 
= −+ − =


.
d) Gọi
,MN
lần lượt là giao điểm của đường thẳng
( )
1
d
với các trục
tọa độ
,Ox Oy
. Ta có:
Cho
( )
0 2 2;0yx A= ⇒ =−⇒ −
, cho
( )
0 2 2;0yx N= ⇒ =−⇒ −
. Từ đó
suy ra
2OM ON= =
22MN⇒=
.Tam giác
OMN
vuông cân tại
O
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
O
lên
MN
ta có
12
2
OH MN= =
và
1.2
2
OMN
S OM ON= =
( đvdt).
Chú ý 1: Nếu tam giác
OMN
không vuông cân tại
O
ta có thể tính
OH
theo cách:
Trong tam giác vuông
OMN
ta có:
2 22
1 11
OH OA OB
= +
(*). Từ đó để khoảng cách từ điểm
O
đến đường thẳng
()d
ta làm theo cách:
+ Tìm các giao điểm
,MN
của
()d
với các trục tọa
độ
+ Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác
vuông
OMN
(công thức (*)) để tính đoạn
OH
.
Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:
N
M
O
x
y
H
THCS.TOANMATH.com
34
Cho
( )
00
;Mxy
và đường thẳng
0ax by c+ +=
. Khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng là:
00
22
ax by c
d
ab
++
=+
.
Ví dụ 2:Cho đường thẳng
( )
23 10mx m y m+ − + −=
()d
.
a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng
()d
luôn đi qua.
b) Tìm
m
để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
()d
là lớn
nhất.
c) Tìm
m
để đường thẳng
()
d
cắt các trục tọa độ
,Ox Oy
lần lượt tại
,AB
sao cho tam giác
OAB
cân.
Lời giải:
a) Gọi
( )
00
;Ix y
là điểm cố định mà đường thẳng
()d
luôn đi qua với
mọi
m
khi đó
ta có:
( )
00
23 10mx m y m m+ − + −=∀
( )
00 0
3 1 2 10mx y y m⇔ − + + −=∀
00
0
3 10
2 10
xy
y
− +=
⇔−=
. Hay
0
0
1
11
2;
122
2
x
I
y
=

⇔


=
.
b) Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
O
lên đường thẳng
()d
. Ta có:
OH OI≤
suy ra
OH
lớn nhất bằng
OI
khi và chỉ khi
()H I OI d≡⇔ ⊥
.
Đường thẳng qua
O
có phương trình:
y ax=
do
11 1 1
; . 1:
22 2 2
I OI a a OI y x

∈ ⇒= ⇔=⇒ =


.
Đường thẳng
()d
được viết lại như sau:
( ) ( )
23 10 23 1mx m y m m y mx m+ − + −= ⇔ − =− +−
.