CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chia sẻ: Phan Van Nghia | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

706
lượt xem 214
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

I. Khảo sát hàm số: Không trình bày II. Các bài toán liên quan: Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Phương pháp: Giả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I. Khảo sát hàm số: Không trình bày II. Các bài toán liên quan: Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Phương pháp: Giả sử biện luận số nghiệm phương trình F(x; m) = 0. Trong đó có đồ thị (C) của hàm số f = f(x). + Biến đổi phương trình về dạng : f(x) = g(m). (1)  y = f ( x ) (C)  + (1) là phương trình hoành độ giao điểm của   y = g (m) (d)  + Số nghiệm (1) là số giao điểm của d và (C). Dựa vào đồ thị biện luận. Câu 1: Cho hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 − 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 2 x 3 + 3x 2 − 1 = m Câu 2: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 có dồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có đúng một nghi ệm: − x + 3x 2 + 1 − m = 0 3 Câu 3: Cho hàm số y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x − 4 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị b. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Câu 4: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 có đồ thị (C). a. . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình x − 2x2 − 1 − m = 0 4 Câu 5: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 3 có đồ thị (C). a. . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương x 4 − 2 x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài toán 2: Tiếp tuyến của đường cong: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C). Dạng 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) - Tính đạo hàm và tính f '( x0 ) - Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k − Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 - Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 . Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 , khi đó: − Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a. 1 − Nếu d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − . a Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A ( xA ; y A ) ∉ ( C ) . - Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A - Điều kiện tiếp xúc của ( d ) và ( C ) là hệ phương trình sau phải có nghiệm:  f ( x ) = k ( x − xA ) + y A    f '( x ) = k  Chú ý: Cần phân biệt hai khái niệm đi qua một điểm và tại một đi ểm khi viết phương trình tiếp tuyến. Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): - Tại điểm có hoành độ x = 2 . - Tại điểm có tung độ y = 3. - Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 . - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d 2 : x + 24 y + 2009 . Bài 2: Cho hàm số y = x − 3x + 2 3 2 a. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5y – 3x + 4 = 0 b. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua B (1; 0) Bài 3: Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). 3 2 a. Tìm những điểm trên trục hoành từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị (C). b. Tìm những điểm trên đường thẳng y = -2 từ đó kẻ được hai ti ếp tuy ến vuông góc tới (C). Câu 4: Cho hàm số y = 2 x + 3 x − 12 x − 1 . Tìm điểm M trên đồ thị sao cho 3 2 tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ. Câu 5: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau. Câu 6: Cho hàm số (C) y = f ( x) = x 3 − 3x CMR đường thẳng (dm) y=m(x+1) + 2 luôn cắt (C ) tại điểm A cố định Tìm m để (dm) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau. Câu 7: Cho hàm số (C) y = f ( x) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 5 Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất . Câu 8: Cho (C) y = f ( x) = x 3 + 1 − k ( x + 1) , Viết phương trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy. Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8. Câu 9: Cho (Cm) y = f ( x) = − x 4 + 2mx 2 − 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc v ới nhau. Câu 10: a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(2;0) đến y = x 3 − x − 6 .   2 b. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A ;−1 đến y = x 3 − 3x + 1 . 3  (3m + 1) x − m Câu 11: ồ thị (Cm) y = Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm x+m của (Cm) với Ox song song với y= - x-5. 2x − 3 Câu 12: Cho đồ thị (C) y = Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 5x − 4 vuông góc với đường thẳng (d) y= -2x. x+2 Câu 13: Cho hàm số (C) y = Viết phương trình tiếp tuyến đi qua x−2 điểm A(-6;5) đến đồ thị (C. x (C) y = Câu 14: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị đi qua x +1 giao điểm I của 2 đường thẳng tiệm cận. Câu 15: Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ x+m thị (C) y = sao cho tam giác ABC đều (ở đây B,C là 2 tiếp điểm). x−2 3x + 1 Câu 16: Cho hàm số y = .Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ x +1 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( −2;5 ) . 2x − 1 Câu 17: Cho hàm số y = .Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm x −1 điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông góc với IM. Câu 18: Cho hàm số y = x + 3mx + ( m + 1) x + 1 ( m là tham số ). Tìm m để 3 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng −1 đi qua A ( 1;2 ) . Câu 19: Cho hàm số y = x 4 + mx 2 − m − 1 ( m là tham số ). Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x , với A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị Câu 20: Cho hàm số y = x + 1 − m ( x + 1) ( m là tham số ).Tìm m để tiếp tuyến 3 với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S = 8. Các bài toán tiếp tuyến trong các đề thi Đại học – Cao đẳng: 13 m2 1 Câu 1: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (*) (m là tham số). y= x− x= 3 2 3 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng 5 x − y = 0 ( D – 2005) Câu 2: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuy ến đó đi qua điểm M(–1;–9). (B – 2008). x+2 Câu 3: Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 2x + 3 biết tiếp tuyến đó cắt trục tung, trục hoành tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O. (D – 2009) 1 Câu 4: Cho hàm số y = x 3 − 2x 2 + 3x . Viết phương trình tiếp tuyến ( ∆ ) với đồ 3 thị tại điểm uốn, và chứng minh rằng ( ∆ ) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. (B – 2004) 2x Câu 5: Cho hàm số y = .Tìm M thuộc đồ thị, biết tiếp tuyến của đồ thị tại x +1 1 M cắt Ox, Oy tại A và B và ΔOAB có S = . (D – 2007) 4 14 9 Câu 6: Cho hàm số y= x -2x2 - .Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 4 tại các giao điểm của nó với trục ox. ( 1999) Bài toán 3: Sự tương giao giữa hai đồ thị Cho hai đồ thị hàm số (C1 ) : y = f ( x) và (C2 ) : y = g ( x) - Số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x). (1) + (1) vô nghiệm ⇔ (C1 ) và (C2 ) không có điểm chung. +(1) có n nghiệm ⇔ (C1 ) và (C2 ) có n điểm chung +(1) có nghiệm đơn x0 ⇔ (C1 ) cắt (C2 ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) +(1) nghiệm kép x0 ⇔ (C1 ) tiếp xúc (C2 ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) .  f ( x) = g ( x ) - Điều kiện tiếp xúc: (C1 ) tiếp xúc (C2 ) ⇔  có nghiệm.  f '( x) = g '( x) Câu 1: Tìm m để các hàm số sau: a. y = ( x − 1)( x + mx + m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 2 b. y = x − 2(m + 1) x + 2m + 1 không cắt trục hoành. 4 2 c. y = x − 2 x − m − 3 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 4 2 Câu 2 Cho hàm số y = (x − 1)(x 2 + mx + m) (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Câu 3 Cho hàm số y = 2x 3 − 3x 2 − 1 (C). Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Câu 4: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 (C)Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
Câu 5 : Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1 (1)Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Câu 6: Cho hàm số y = (x − 1)(x 2 + mx + m) (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành. Xác định tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường hợp tìm được Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) = (4 − x)( x − 1) (C). Gọi I là giao điểm của (C) với 2 0y, d là đường thẳng qua I có hệ số góc m. Định m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Câu 8: Cho y = x + x + (m − 1) x − x − m. Định m để (1) tiếp xúc 0x. 4 3 2 (m − 1) x + m Câu 9: Cho hàm số y = (m ≠ 0) . Chứng minh với mọi b thì đường x−m thẳng ∆ : y = x + b luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Câu 10: Cho hàm số y = x − 3x + 4 (1) . Chứng minh mọi đường thẳng đi qua 3 2 I(1; 2) với hệ số góc k (k > - 3) đều cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, B, I đồng thời I là trung điểm AB ( D – 2008). Câu 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = 2mx − (4m + 1) x + 4m tiếp xúc với trục 3 2 2 hoành. (2m − 1) x − m 2 Câu 12: Cho hàm số y = (C m ) . Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với x −1 đường thẳng y = x. Bài toán 4: Các bài toán về cực trị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). - Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 là hoành độ điểm cực trị.  f '( x0 ) = 0 thì hàm số đặt cực đại tại x = x0 . - Nếu   f ''( x0 ) < 0  f '( x0 ) = 0 thì hàm số đặt cực tiểu tại x = x0 . - Nếu  f ''( x0 ) > 0  Các bài toán thường gặp về cực trị - Để y = f(x) có hai cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. - Để y = f(x) có ba cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt. - Hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về hai phía trục hoành ⇔ yCD . yCT < 0 . - Hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về hai phía trục tung ⇔ xCD .xCT < 0 . - Hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc trục hoành ⇔ yCD . yCT = 0 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: (ở đây ta chỉ xét đối với hàm bậc 3, còn hàm phân thức bậc 2 trên bậc nhất chúng ta không xét đến). Xét hàm số y = ax + bx + cx + d có y ' = 3ax + 2bx + c . 3 2 2 Lấy y chia y’ được thương q(x), số dư r(x). Vậy đường thẳng y = r(x) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
Câu 1: Cho hàm số y = (m + 2) x + 3 x + mx + m . Với giá trị nào của m, hàm số 3 2 có cực đại và cực tiểu. Câu 2: Xác định m để hàm số y = − x + 2mx có ba cực trị. 4 2 Câu 3: Cho hàm số y = x − 3x + m x + m . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm 3 2 2 số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối 1 5 xứng nhau qua đường thẳng y = x − . 2 2 Câu 4: Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m . Tìm m để hàm số có cực đại, cực 4 2 4 tiểu đồng thời lập thành tam giác đều. Câu 5: Cho hàm số y = x − 3mx + (m + 2m − 3) x + 4 . Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung. Câu 6: Cho hàm số y = 2 x + 3(m − 3) x + 11 − 3m . Tìm m để hàm số có hai cực 3 2 trị. Gọi M 1 , M 2 là các điểm cực trị. Tìm m để M 1 , M 2 và B(0; -1) thẳng hàng. Câu 7: Cho hàm số y = 4 x − mx − 3x + m . Chứng minh rằng với mọi m, hàm số 3 2 luôn có cực đại cực tiểu. Đồng thời chứng minh hoành độ cực đại và hoành độ cực tiếu luôn trái dấu. 3 1 Câu 8: Cho hàm số y = x3 − mx 2 + m3 . Xác định m để hàm số các điểm cực 2 2 đạ, cực tiểu đối xứng nhau qua đường y = x. 13 Câu 9: Cho hàm số y = x − mx − x + m + 1 . Chứng minh với mọi m hàm số đã 2 3 cho luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu nhỏ nhất. Câu 10: Cho hàm số y = x − 3mx − 3 x + m 3 2 a. Chứng minh hàm số có cực trị với mọi m b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Câu 11: Cho hàm số y = 2 x + mx − 12 x − 13 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực 3 2 tiểu đồng thời các điểm cực đại cực tiểu cách đều trục tung. Câu 12: Cho hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m . 3 2 2 3 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Câu 13: Cho hàm số y = − x − 3x + 3(m − 1) x − 3m − 1 . Tìm m để hàm số có cực 3 2 2 đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ. Câu 14: Cho hàm số y = x + 8mx + 3(1 + 2m) x − 4 . Tìm m để hàm số có cực 4 3 2 tiểu mà không có cực đại. Câu 15: Cho hàm số y = x + 3mx + 3(m − 1) x + m − 3m . Chứng minh hàm số 3 2 2 3 luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định. Bài toán 5: Bài toán về khoảng cách Các công thức về khoảng cách: Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
(x − x A ) + ( yB − y A ) 2 2 - Khoảng cách giữa hai điểm: AB = B - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng Ax 0 + By0 + C ∆ : Ax + By + C = 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) . Khi đó d ( M 0 ; ∆) = A2 + B 2 Chú ý: Trục 0x có phương trình y = 0 Trục oy có phương trình x = 0. Gốc tọa độ O(0;0). x−2 Câu 1: Tìm M trên đồ thị hàm số y = sao cho tổng khoảng cách từ M đến x+2 hai trục tọa độ nhỏ nhất. x+2 Câu 2: Tìm M trên đồ thị hàm số y = sao cho khoảng cách từ M đến các x −3 tiệm cận đứng và ngang bằng nhau. Câu 3*: Cho (C): y = 2 x − 3x + 2 x + 1 và đường thẳng d : y = 2 x − 1 . Tìm A trên 4 2 (C) có khoảng cách đến d nhỏ nhất. x−2 Câu 4: Cho hàm số y = (C) . Tìm tất cả các điểm thuộc (C) cách đều x −1 O(0;0) và B(2; 2). Câu 5: Cho hàm số y = 2 x + ax − 12 x − 13 . Tìm a để đồ thị hàm số có điểm cực 3 2 đại, cực tiểu cách đều trục tung. Câu 6: Cho hàm số y = − x − 3x + 3(m − 1) x − 3m − 1 . Tìm m để hàm số có cực 3 2 2 đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ. Bài toán 6: Các điểm cố định của họ đường cong Cho họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f(x;m), trong đó m là tham số. Tìm tất cả các điểm có định của học đường cong (Cm ) , tức là tìm các điểm M 0 ( x0 ; y0 ) sao cho với mọi m, (Cm ) đi qua M 0 . - Điều kiện để (Cm ) luôn đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) với mọi m là y0 = f ( x0 ; m) (1) - Viết (1) dưới dạng một phương trình bậc n đối với ẩn m. - (1) đúng khi tất cả các hệ số của m đều bằng 0. Từ đó ta tìm được x0 ; y0 . Câu 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong y = x + mx − 9 x − 9m 3 2 Câu 2: Cho hàm số y = x − 3(m − 1) x − 3mx + 2 (C m ) . Chứng minh rằng (Cm ) 3 2 luôn đi qua hai điểm cố định Bài toán 7: Tâm đối xứng – trục đối xứng Điểm Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán