Chuyên đề Mũ-Logarit - ThS. Lê Văn Đoàn

Chia sẻ: Kieuben Kieuben | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:259

Thêm vào BST

Báo xấu

235
lượt xem 47
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung tập tài liệu "Chuyên đề Mũ-Logarit" gồm các phần sau: công thức mũ và Logarit cần nhớ, phương trình và bất phương trình mũ, phương trình và bất phương trình Logarit, hệ phương trình và hệ bất phương trình mũ-Logarit, bài toán chứa tham số mũ-Logarit.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Mũ-Logarit - ThS. Lê Văn Đoàn

ThS. Lê Văn Đoàn Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng) 07/2013 Email: vandoan_automobile@yahoo.com.vn
www.MATHVN.com MỤC LỤC Trang A – Công thức mũ & logarit cần nhớ .................................................................................... 1 B – Phương trình & Bất phương trình mũ ........................................................................... 3 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa ..................................... 3 Các thí dụ ................................................................................................... 3 Bài tập tương tự ......................................................................................... 16 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 25 Các thí dụ ................................................................................................... 25 Bài tập tương tự ......................................................................................... 67 Dạng toán 3. Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................... 77 Các thí dụ ................................................................................................... 77 Bài tập tương tự ......................................................................................... 88 C – Phương trình & Bất phương trình logarit ..................................................................... 92 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số ............................................................... 92 Các thí dụ ................................................................................................... 93 Bài tập tương tự ......................................................................................... 124 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 138 Các thí dụ ................................................................................................... 138 Bài tập tương tự ......................................................................................... 154 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 164 Các thí dụ ................................................................................................... 165 Bài tập tương tự ......................................................................................... 175 D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit ................................................. 180 Dạng toán 1. Giải hệ bằng phép biến đổi tương đương .................................................... 180 Các thí dụ ................................................................................................... 180 Bài tập tương tự ......................................................................................... 192 Dạng toán 2. Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ ...................................................................... 197 Các thí dụ ................................................................................................... 197 Bài tập tương tự ......................................................................................... 206 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 216 Các thí dụ ................................................................................................... 216 Bài tập tương tự ......................................................................................... 226 E – Bài toán chứa tham số mũ – logarit ................................................................................ 230 Các thí dụ ................................................................................................... 231 Bài tập tương tự ......................................................................................... 250 www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn A – CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ Công thức mũ và lũy thừa: a và b là các số thực dương, x và y là những số thực tùy ý. ax  a x a n = a.a.a...a =   n số a bx  b  x a x + y = a x .a y y x y a =a  a x−y = ax ⇒ a −n = 1  u (x) 0 = 1 ⇒ x 0 = 1, ∀u (x) ay an   x ≠ 0  y x n a.n b = n ab a x.y = a x( ) ( ) = ay x m m a x .bx = (a.b)
n am = ( ) n a = an Công thức logarit: Cho 0 < a ≠ 1 và b, c > 0 . loga b = x ⇔ b = a x b loga = loga b − loga c c lg b = log b = log10 b α log b khi α lẻ loga bα =  a α loga b khi α chẳn (logarit thập phân)  ln b = loge b , (e = 2, 718...) 1 log b= loga b aα α (logarit tự nhiên hay log nepe) loga 1 = 0, loga a = 1 b = loga a b loga (b.c) = loga b + loga c
b=a loga b Công thức đổi cơ số logc b logb c log a loga b = a =c b logc a 1 ln b 1 loga b = , loga b = logab c = logb a ln a 1 1 + loga c logb c Hàm số mũ – logarit và đạo hàm a/ Hàm số mũ y = a x , (a > 0, a ≠ 1) .  Tập xác định: D = . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 1 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn  Tập giá trị: T = (0, +∞) . ● Khi hàm số đồng biến.  Tính đơn điệu ● Khi : hàm số nghịch biến.  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.  Dạng đồ thị: 1 1 O O b/ Hàm số logarit y = loga x , (a > 0, a ≠ 1) .  Tập xác định: D = (0, +∞) .  Tập giá trị: T = . ● Khi : hàm số đồng biến.  Tính đơn điệu ● Khi : hàm số nghịch biến.  Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.  Dạng đồ thị 1 O 1 O c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp ' ' (x ) = α.x α α−1 , (x > 0) ( ) ⇒ uα = α.uα−1 .u ' ' ' (a ) = a .ln a x x ( ) ⇒ a u = a u .u '. ln u ' ' (e ) = e x x ( ) ⇒ eu = eu .u ' (log x ) = x ln1 a ) = u uln' a ' ' a ( ⇒ loga u ' 1 ' u' (ln x) = x , (x > 0) ⇒ (ln u) = u www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 2 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn B – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Đưa về cùng cơ số: Phương trình mũ:  Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng . Với thì .  Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: . Bất phương trình mũ:  Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng . Nếu thì . Nếu thì .  Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì . Logarit hóa: . Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp. II – CÁC THÍ DỤ 2x +3 x +8 1 x+2 Thí dụ 1. Giải phương trình: 4 3.243 x+8 = 9 .9 (∗) Bài giải tham khảo x ≠ −8 ● Điều kiện:  . x ≠ −2  1 4 1 ● Ta có: 3 = 3 4 ; 243 = 35 ; 9 = 32 ; = 3−2 nên: 9  2x +3   x +8  1 5  2   x +8   x +2  (∗) ⇔ 3 .3 4 = 3 .3 −2 1  2x +3   x +8  +5  −2+2  4  x +8   x +2  ⇔3 =3 1  2x + 3   x + 8  ⇔ + 5   = −2 + 2    x + 2  4  x + 8  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 3 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ 41x 2 + 102x − 248 = 0 62 ⇔ x = −4 ∨ x = . 41 62 ● Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −4 ∨ x = . 41  3x−1   6x +7 Thí dụ 2.  3 Giải phương trình: 3 3 3 3 3 3   3 4 =  3 9 27  (∗)      Bài giải tham khảo ● Ta có: 1  1 2 1 3x−1   1 3   1 2            1 2   6x +7 3 3  16   23 3 3 3 3 3 3 3  = 3 3 3 3.3 3    = 3 9 và  3 3 9 4 27    = 3 32.3 4   = 3 24 .                        16 23 (3x−1) (6x +7) (∗) ⇔ 3 9 =3 24 16 23 ⇔ 9 ( 3x − 1) = 24 (6x + 7) 611 ⇔ x=− . 30 611 ● Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = − . 30 2 Thí dụ 3. Giải phương trình: 42x+1.54x +3 = 5.102x +3x−78 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . 2 (∗) ⇔ 2 4x +2 .5.54x +2 = 5.102x +3x−78 2 ⇔ 5.104x +2 = 5.102x +3x−78 ⇔ 4x + 2 = 2x2 + 3x − 78 1 ± 641 ⇔x= . 4 1 ± 641 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = . 4 Thí dụ 4. Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 4 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn (∗) ⇔ 5.3x + 4.3x = 7.2x − 3.2x ⇔ 3x.9 = 2x.4  3 x  3 −2 ⇔   =   .  2   2  ⇔ x = −2 . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 . Thí dụ 5. Giải phương trình: 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . 5x 5x 3x 3x (∗) ⇔ 5x + 5 + 2 = 3.3x + 3 + 2 5 3  1 1  1 1 ⇔ 5x 1 + +  = 3x 3 + +   5 25   3 9  31 x 31 ⇔ .5 = .3x 25 9 x 2 5 25  5  ⇔   = =    3  9  2  ⇔ x = 2. ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . 2x−1 x−1 Thí dụ 6. Giải phương trình: ( 17 + 4 ) 3x = ( 17 − 4 ) x +1 (∗) Bài giải tham khảo −1 1 ● Ta có: ( 17 + 4 )( ) 17 − 4 = 1 ⇒ ( 17 − 4 = ) = ( 17 + 4 ) . ( 17 + 4 ) 2x−1 x−1 − (∗) ⇔ ( 17 + 4 )3x = ( 17 + 4 ) x +1 2x − 1 x −1 ⇔ =− 3x x +1 1± 5 ⇔ 5x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = . 6 1− 5 1+ 5 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = ∨ x= . 6 6 f ( x) g( x) Nhận xét: Dạng tổng quát của bài toán là a =b với a.b = 1 . 1 f ( x) −g(x ) Ta có: a.b = 1 ⇒ b = = a −1 ⇒ (∗) ⇔ a = a ⇔ f (x ) = −g (x ) . a www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 5 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Thí dụ 7. Giải phương trình: 2x+2 − 2x+1 − 1 = 2 x+1 + 1 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . (∗) ⇔ 4.2 x − 2.2x − 1 = 2.2x + 1 ⇔ 2.2 x − 1 = 2.2 x − 1 2.2x − 1 ≥ 0   ⇔ 2.2x − 1 = 2.2 x − 1  x 2.2 − 1 = −2.2 x + 1   x 1 2 ≥ = 2−1 ⇔  2  x 4.2 = 2 x ≥ −1  ⇔  x 2 = 1 = 2−1  2 ⇔ x = −1 . ● Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 . x−1 x−3 Thí dụ 8. Giải phương trình: ( x + 2) = ( x + 2) (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . (∗) ⇔ (x + 2) − 1  x − 1 − (x − 3) = 0  x + 1 = 0 ⇔   x − 1 = x − 3  x = −1  ⇔ x − 3 ≥ 0  2 x − 1 = x − 6x + 9   x = −1  ⇔ x ≥ 3 x = 5 ∨ x = 2   x = −1 ⇔  .  x = 5 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 5 . x2 −5x +4 x +4 Thí dụ 9. Giải phương trình: (x 2 +3) ( = x2 + 3 ) (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 6 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . (∗) ⇔ (x 2 + 3 − 1  x 2 − 5x + 4 − (x + 4) = 0 )   x 2 + 3 − 1 = 0 (VN)  ⇔ 2  x − 5x + 4 = x + 4  x + 4 ≥ 0 ⇔  x − 5x + 4 = x + 4 2  2  x − 5x + 4 = −x − 4 (VN) x ≥ −4 ⇔  x = 0 ∨ x = 6  ⇔ x = 0 ∨ x = 6. ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 6 . 2 Thí dụ 10. Giải phương trình: 2x−3 = 3x −5x+6 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: 2 (∗) ⇔ log 2 2x−3 = log 3 3 x −5x +6 ( ⇔ (x − 3) log2 2 = x 2 − 5x + 6 log2 3 ) ⇔ (x − 3) − (x − 2)(x − 3) log2 3 = 0 ⇔ (x − 3) . 1 − (x − 2) log2 3 = 0   x − 3 = 0 ⇔  1 − (x − 2) log2 3 x = 3 ⇔  .  x = log3 2 + 2 = log3 18 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 ∨ x = log3 18 . 3 4 x2 − −5x2 +3 Thí dụ 11. Giải phương trình: 52x −7 2 =0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: 3 x2 − 2x 4 −5x2 + 3 (∗) ⇔ log 5 5 − log5 7 2 =0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 7 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn  3 ⇔ 2x 4 − 5x 2 + 3 log5 5 − x 2 −  log 5 7 = 0 ( )  2   3  3 ( ⇔ 2 x2 − 1 )x 2 −  − x 2 −  log5 7 = 0 2   2   3 ⇔ x2 − . 2 x 2 − 1 − log5 7  = 0 ( )  2       2 3 x − = 0  x2 = 3 x = ± 6  2  2 ⇔ 2 ⇔  ⇔  .   2 log5 7  1  2 ( 2 x − 1 − log5 7 = 0 ) x = +1 x = ±  2 log5 175  2 2 6 1 ● Vậy phương trình có các nghiệm là x = ± ∨ x=± 2 log5 175 . 2 2 2 Thí dụ 12. Giải phương trình: 2x −4.52−x = 1 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2 (2 x2 −4 ) .52−x = log2 1 2 ⇔ log2 2x −4 + log2 52−x = 0 ⇔ x2 − 4 + (2 − x ) log2 5 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) − (x − 2) log2 5 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2 − log2 5) = 0 x = 2 ⇔  .  x = −2 + log2 5 ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 ∨ x = −2 + log2 5 . 2 3 Thí dụ 13. Giải phương trình: 2x −2x = 2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: 2 3 (∗) ⇔ log 2 2x −2x = log2 2 ⇔ x 2 − 2x.log2 2 = log2 3 − log2 2 ⇔ x2 − 2x + 1 − log2 3 = 0 (1) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 8 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn  x = 1 − log 3  ∆ ' = 1 − (1 − log2 3) = log2 3 > 0 ⇒  2 .  x = 1 + log2 3  ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 − log2 3 ∨ x = 1 + log2 3 . x−1 Thí dụ 14. Giải phương trình: 5 x.8 x = 500 (∗) Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . x−1 3 (∗) ⇔ 5x.2 x = 53.22 3x−3 5x 2 x ⇔ 3. 2 =1 5 2 3x−3 −2 ⇔ 5x−3.2 x =1 x−3 ⇔ 5x−3.2 x =1 (1) ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được:  x−3  5x−3.2 x  = log 1 (1) ⇔ log 5   5  x−3 ⇔ log5 5x−3 + log5 2 x =0 x−3 ⇔ (x − 3) + log5 2 = 0 x  1  ⇔ (x − 3) 1 + log 5 2 = 0  x    x = 3  ⇔ 1 + 1 log 2 = 0  x 5 x = 3  ⇔  1 1  x = − log 2  5 x = 3 ⇔  .  x = − log5 2 ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 3 ∨ x = − log5 2 . 2x−3 2 Thí dụ 15. Giải phương trình: 3x −2.4 x = 18 (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 9 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . ● Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được:  2x−3  3x2 −2.4 x  = log 18 () ∗ ⇔ log 3   3  2x−3 2 ⇔ log 3 3x −2 + log 3 4 x = log 3 18 4x−6 ( ⇔ x 2 − 2 + log 3 2 ) x = log 3 9.2  4x − 6  ⇔ x 2 − 2 +  ( )  log 3 2 = log 3 9 + log 3 2  x   4x − 6  ⇔ x 2 − 2 +  ( )  log 3 2 − 2 − log 3 2 = 0  x   4x − 6  ⇔ x 2 − 4 +  ( )− 1 log 3 2 = 0  x  3x − 6 ( ⇔ x2 − 4 + ) x log3 2 = 0 3 ( x − 2) ⇔ (x − 2)(x + 2) + log 3 2 = 0 x  3  ⇔ (x − 2)x + 2 + log 3 2 = 0  x  x = 2 ⇔  2  x + 2x + 3 log3 2 = 0 : VN ⇔ x = 2. ● So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 . x Thí dụ 16. Giải phương trình: 8 x+2 = 4.34−x (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ −2 . 3x x +2 (∗) ⇔ 222 = 34−x 3x −2 ⇔2 x +2 = 34−x x −4 ⇔ 2 x +2 = 3 4 −x (1) ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 10 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x−4 (1) ⇔ log2 2 x+2 = log2 34−x x−4 ⇔ = (4 − x ) log2 3 x +2 x−4 ⇔ + (x − 4) log2 3 = 0 x +2  1  ⇔ (x − 4) + log2 3 = 0 x + 2   x − 4 = 0 ⇔ 1   x + 2 = − log2 3 x = 4 ⇔  .  x = −2 − log2 3 ● So với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 4 ∨ x = −2 − log2 3 . 2  1 9x −17 x+11  1 7−5x Thí dụ 17. Giải bất phương trình:   ≥   (∗)  2   2  Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . (∗) ⇔ 9x 2 − 17x + 11 = 7 − 5x 2 ⇔ 9x2 − 12x + 4 ≤ 0 ⇔ (3x − 2) ≤ 0 2 ⇔x= . 3 2 ● V ậy x = là nghiệm của bất phương trình. 3 x  1  2x Thí dụ 18.   Giải bất phương trình:   > 3 x +1 (∗)  9  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ −1 . 2x (∗) ⇔ 3 −2x >3 x +1 2x ⇔ −2x > x +1 2x2 + 4x ⇔
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn  x < −2 ⇔  . −1 < x < 0 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 0) . x−3 x +1 Thí dụ 19. Giải bất phương trình: ( 10 + 3 ) x−1 < ( 10 − 3 ) x +3 (∗) Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002 Bài giải tham khảo x − 1 ≠ 0 x ≠ 1 ● Điều kiện:  ⇔  . x + 3 ≠ 0 x ≠ −3   −1 1 ● Ta có: ( 10 + 3 )( ) 10 − 3 = 1 ⇔ ( ) 10 − 3 = = ( 10 + 3 ) . ( 10 + 3 ) x−3 x +1 − (∗) ⇔ ( 10 + 3 ) x−1 < ( 10 + 3 ) x +3 x−3 x +1 ⇔ 6.3x x 5 3 ⇔   >  3  10 3 ⇔ x > log 5 . 3 10  3  ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 5 ; +∞ .  3 10  Thí dụ 21. Giải bất phương trình: 4 x + 4 x+1 + 4 x+2 > 9 x + 9x +1 + 9x+2 (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 12 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . (∗) ⇔ 4 x + 4.4 x + 42.4 x > 9 x + 9.9x + 92.9 x ⇔ 4 x.21 > 9 x.91 x 4 91 91 ⇔   < ⇔ x > log 4 .  9  21 9 21  91  ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 4 ; +∞ .  9 21  1 Thí dụ 22. Giải bất phương trình: x2 −2x ≤ 2x−1 (∗) 2 Bài giải tham khảo 1 (∗) ⇔ x2 −2x ≤ 2x−1 2 x2 −2x ⇔ 2− ≤ 2x−1 ⇔ − x2 − 2x ≤ x − 1 ⇔ x 2 − 2x ≥ 1 − x 1 − x ≤ 0  1 − x > 0 ⇔  2 ∨  2 2 ⇔ x ≥ 2. x − 2x ≥ 0 x − 2x ≥ (1 − x ) ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 2; +∞) . 2.3x − 2 x+2 Thí dụ 23. Giải bất phương trình: 3 x − 2x ≤1 (∗) Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001 Bài giải tham khảo x 3 ● Điều kiện: 3 − 2 ≠ 0 ⇔ 3 ≠ 2 ⇔   ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 . x x x x  2  ● V ới x < 0 ⇔ 3 x − 2 x < 0 . 2.3x − 4.2 x ≥ 3x − 2 x (∗) ⇔ x < 0  3x ≥ 3.2x ⇔  x < 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 13 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn  x  3  ≥ 3 ⇔  2   x < 0   3 x ≥ log 3    ⇔  2  ⇒ x ∈ ∅ .  x < 0 ● V ới x > 0 ⇔ 3 x − 2 x > 0 . 2.3x − 4.2 x ≤ 3x − 2 x (∗) ⇔ x > 0  3x ≤ 3.2x ⇔  x > 0  x  3    ≤3 ⇔  2   x > 0  x ≤ log 3 ⇔ 2 2 x > 0  3 ⇔ 0 < x ≤ log2 . 2  3  ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; log2 .  2  2x2 + x +1 1−x  1  1 Thí dụ 24. Giải bất phương trình: x2 +  ≤ x 2 +  (∗)  2   2  Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = .  1  (∗) ⇔ x 2 +  − 1 .  2x 2 + x + 1 − (1 − x ) ≤ 0 ( )  2      1 ⇔ x 2 −  2x2 + 2x ≤ 0 ( )  2   1   1  ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ − ; 0 ∪  ; +∞ .      2   2   1   1  ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −1) ∪ − ; 0 ∪  ; +∞ .     2   2  Thí dụ 25. Giải bất phương trình: 52x−1 < 7 3−x (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 14 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 5 52x−1 < log5 7 3−x ⇔ 2x − 1 < (3 − x ) log5 7 ⇔ 2x + x log5 7 < 3 log5 7 + 1 ⇔ x (2 + log5 7 ) < 3 log5 7 + 1 1 + 3 log5 7 ⇔x< . 2 + log5 7  1 + 3 log5 7  ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞;  .  2 + log5 7  2 Thí dụ 26. Giải bất phương trình: 5x −5x+6 ≥ 2x−3 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: 2 (∗) ⇔ log 5 5x −5x +6 ≥ log5 2 x−3 ⇔ x2 − 5x + 6 ≥ (x − 3) log5 2 ⇔ (x − 2)(x − 3) − (x − 3) log5 2 ≥ 0 ⇔ (x − 3) (x − 2) − log5 2 ≥ 0   ⇔ x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞) (do : log 2 < 1 ⇒ x = 2 − log5 2 < 3) .   5 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞) . 2 Thí dụ 27. Giải bất phương trình: 49.2x > 16.7 x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = . 2 x x (∗) ⇔ 224 > 772 2 ⇔ 2x −4 > 7 x−2 (1) ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: 2 (1) ⇔ log 2 2x −4 > log2 7 x−2 ⇔ x2 − 4 > (x − 2) log2 7 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 15 -
Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ x 2 − (log2 7 ).x + 2 log2 7 − 4 > 0 (2) 2 2 Ta có: ∆ = log22 7 − 8 log2 7 + 16 = (log2 7 − 4) = (4 − log2 7) > 0 .   x = log2 7 + (4 − log2 7 ) = 2  1 ⇒ 2 , ( x1 > x 2 ) .  x = log 2 7 − ( 4 − log 2 7 ) = log2 7 − 2 = log2 7  2 2 4  7 (2) ⇔ x < log 2 4 ∨ x >2.  7  ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞; log2  ∪ (2; +∞) .  4  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 1. Giải các phương trình sau 1/ 32x+1 = 0,25.128x−1 . ĐS: x = 14 . x 2x−3     2/ 3 3 3  =  1  . ĐS: x = − 16 .    81 13 −2 ± 19 3/ 2 x 3 4 x x 0,125 = 3 0,25 . ĐS: x = . 5 4/ 2.3 x +1 − 6.3 x −1 − 3 x = 9 . ĐS: x = 1 . 1 5/ 2x.5x−1 = .102−x . ĐS: x = 1 . 5 2x−1 7x 2 6/ 8 x+1 = 0,25. ( ) 2 . ĐS: x = 1 ∨ x = 7 . −x  2   7/ 0,125.42x−3 =   . ĐS: x = 6 .  8  5 3 8/ 2x.5 x = 0,1. 10x−1 . ( ) ĐS: x = 2 . x x−1 x2 −1 2x−1 1 9/ ( )( ) ( ) 2 3 2 4 4 =2 2x . ĐS: x = 1 ∨ x = −3 ∨ x = 3 . x x  2   25  125 10/   .   = . ĐS: x = 3 .  5   8  64 2 1 11/ 22x +x+5 = 82x+1 . ĐS: x = 2 ∨ x = . 2 1 12/ 2x+1.4 x−1. 1−x = 16 x . ĐS: x = 2 . 8 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 16 -