Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6 CHỦ ĐỀ ĐOẠN THẲNG, GÓC
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
PHẦN: HÌNH HỌC Chương I. ĐOẠN THẲNG
§ 1. Điểm. Đường thẳng. Ba điểm thẳng hàng
Kiến thức cơ bản:
B
1. Vị trí của điểm và đường thẳng (h.1)
- Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A a∈
a
B a∉ .
A
- Điểm B không thuộc đường thẳng a , kí hiệu
2. Ba điểm thẳng hàng khi chúng có cùng thuộc một
Hình 1
đường thẳng. Ba điểm không thẳng hàng khi chúng
A
M
D
không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào.
3. Trong ba điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ
Hình 2
một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Trong hình 2,
điểm M nằm giữa hai điểm A và B
4, 5,... điểm thẳng hàng.
Nâng cao
1. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng. ) 2. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành nhiểu (
Thí dụ 1:
Trên đường thẳng a lấy 4 điểm A, B , C , D theo thứ tự đó. Lấy điểm M a∉ . Hãy gọi tên:
M
a) Tất cả các bộ 3 điểm không thẳng hàng;
b) Tất cả các bộ 3 điểm thẳng hàng;
a
B
D
A
C
c) Tất cả các điểm nằm giữa điểm khác.
Hình 3
,M A D ;
,
,
,
Giải (h.3)
,M A C ; (
)
)
,
,
,
)
(
,M B C ; (
)
,M B D ; (
) ,M C D
,
)
)
a) Các bộ ba điểm không thẳng hàng là: ) ,M A B ; ( (
)
) ,B C D
b) Các bộ ba điểm thẳng hàng là: ,A B C ; ( ,A C D ; ( ,A B D ; ( ( , , ,
c) B nằm giữa A và C ; B nằm giữa A và D ; C nằm giữa A và D ; C nằm giữa B và D .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-1-
Nhận xét:
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
Có bao nhiêu bộ 3 điểm thẳng hàng thì có bấy nhiêu trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm
khác.
Thí dụ 2:
M không nằm giữa N và P (1)
N không nằm giữa M và P (2)
P không nằm giữa N và Q (3)
M
N
P
Q
Q không nằm giữa N và P (4)
Vẽ 4 điểm M , N , P , Q thẳng hàng sao cho đồng thời thỏa mãn 4 điều kiện sau:
Hình 4
Bằng lập luận hãy chứng tỏ rằng:
a) Điểm P nằm giữa M và N
b) Điểm N nằm giữa P và Q .
Giải: (h.4)
M không nằm giữa N và P (1) và N không nằm giữa M và P (2) vậy P nằm giữa M và
a) Xét 3 điểm thẳng hàng M , N , P thì:
N .
b) P không nằm giữa N và Q (3) và Q không nằm giữa N và P (4) vậy N nằm giữa P và
Q .
BÀI TẬP
B , C vào đúng vị trí của nó biết:
m
1. Trong hình 5 có hai đường thẳng m và n và ba điểm chưa đặt tên. Hãy điền các chữ A,
;n
a) Điểm A không thuộc đường thẳng m và cũng không thuộc đường thẳng
b) Điểm B không thuộc đường thẳng m ;
n
c) điểm C không thuộc đường thẳng n .
p .
Hình 5
2. Vẽ các đường thẳng p và các điểm A, B trên
a) Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với 2 điểm A, B ;
b) Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với 2 điểm A, B .
3. Hãy vẽ 5 điểm C , D , E , F , G không thẳng hàng nhưng ba điểm C , D , E , thằng; ba
điểm E , F , G thẳng hàng.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-2-
4. Vẽ theo các cách diễn đạt sau:
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
a) Điểm I nằm giữa hai điểm A và B ; điểm B nằm giữa I và K ;
b) Hai điểm O , P không nằm cùng phía đối với Q ; hai điểm O và R nằm khác phía đối với Q nhưng P không nằm giữa O và R .
5. Cho ba điểm A, B , C ; mỗi điểm A, B đều không nằm giữa hai điểm còn lại. Hãy nêu
điều kiện để:
a) C nằm giữa A và B ;
b) C không nằm giữa A và B .
6. Trái đất quay quanh Mặt Trời: Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất. Mặt Trời chiếu sáng tới Trái Đất và Mặt Trăng. Khi ba thiên thể này thẳng hàng thì xảy ra nhật thực hoặc nguyệt thực (là hiện tượng mặt trời hoặc mặt trăng đang sáng bỗng nhiên bị che lấp và tối đi). Hỏi:
a) Khi xảy ra nhật thực thì Mặt Trăng ở vị trí nào?
B
M
A
b) Khi xảy ra nguyệt thực thì Trái Đất ở vị trí nào?
7. Xem hình 6 rồi cho biết: Có bao nhiêu trường hợp
F
E
O
một điểm nằm giữa hai điểm khác?
C
8. Theo hình 6, ta có thể trồng được 9 cây thành 8 hàng, mỗi hàng 3 cây. Hãy vẽ sơ đồ trồng 9 câu thành:
D
N
a) 9 hàng, mỗi hàng 3 cây;
Hình 6
b) 10 hàng, mỗi hàng 3 cây.
§ 2. Đường thẳng đi qua hai điểm
Kiến thức cơ bản:
1. Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B (h.7).
A
B
2. Ba cách đặt tên đường thẳng:
- Dùng một chữ cái in thường, ví dụ a
Hình 7
- Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ xy
- Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ AB
3. Vị trí của hai đường thẳng phân biệt:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-3-
- Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song. Ví dụ hai đường thẳng a , b trong hình 8.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
m
b
O
a
n
Hình 9
Hình 8
- Hoặc chỉ có một điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng cắt nhau). Ví dụ hai đường thẳng m và n trong hình 9.
Nâng cao:
1. Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có 2 điểm chung.
2. Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của hai đường thẳng nào đó rồi chứng minh các đường thẳng còn lại nếu đều đi qua giao điểm này.
Thí dụ 3:
Cho trước 12 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm.
n ≥ ) thì vẽ được bao nhiêu đường
2
a) Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
b) Nếu thay 12 điểm bằng n điểm ( n ∈ ; thẳng?
Giải:
=
66
a) Chọn một trong số 12 điểm đã cho rồi nối điểm đó với 11 điểm còn lại ta được 11 đường thẳng. Làm như vậy với tất cả 12 điểm ta được 11.12 đường thẳng. Nhưng như thế thì mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần (vì đường thẳng AB với đường
11.12 2
)1
(đường thẳng). thẳng BA chỉ là một) do đó thực sự chỉ có
( n n − 2
. b) Cũng lập luận như trên, với n điểm thì số đường thẳng vẽ được là
)1
Nhận xét:
( n n − 2
giúp ta tính được số đường - Với n là số điểm cho trước thì công thức
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-4-
thẳng đi qua tất cả các cặp điểm.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
)1
- Ngược lại, với n là số đường thẳng cho trước (đôi một cắt nhau và không có ba
( n n − 2
đường thẳng nào đồng quy) thì công thức giúp ta tính được số giao điểm
của tất cả các cặp đường thẳng.
Thí dụ 4:
Cho 4 điểm A, B , C , D trong đó ba điểm A, B , C , thẳng hàng, ba điểm B , C , D thẳng hàng. Chứng tỏ rằng 4 điểm A, B , C , D thẳng hàng.
Giải:
Ba điểm A, B , C , thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng.
Ba điểm B , C , D thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng.
Hai đường thẳng này có hai điểm chung là B và C nên chúng phải trùng nhau, suy ra 4 điểm A, B , C , D thẳng hàng.
BÀI TẬP
9. Cho trước hai điểm A và B .
a) Hãy vẽ đường thẳng m đi qua A và B
b) Hãy vẽ đường thẳng n đi qua A nhưng không đi qua B
c) Hãy vẽ đường thẳng p không có điểm chung nào với đường thẳng m .
10. Cho trước 4 điểm A, B , C , D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm M sao
cho ba điểm M , A, B thẳng hàng; ba điểm M , C , D thẳng hàng.
11. Cho trước 6 điểm. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm.
a) Nếu trong 6 điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
b) Nếu trong 6 điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
12. Giải bóng đá vô địch quốc gia hạng chuyên nghiệp có 12 đội tham gia đấu vòng tròn hai
lượt đi và về. Tính tổng số trận đấu.
13. Cho trước một số điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng
đi qua các cặp điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 36 . Tính số điểm cho trước.
14. Có một số con đường (thẳng), chúng cắt nhau đôi một và không có ba đường nào đồng quy. Các con đường đó cắt nhau tạo thành 300 ngã tư. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường?
15. Cho 11 đường thẳng đôi một cắt nhau.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-5-
a) Nếu trong số đó không có ba đường thẳng nào đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giao điểm của chúng?
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
b) Nếu trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giao điểm của chúng?
16. Cho ba đường thẳng m , a , b đồng quy tại O ; ba đường thẳng n , a , b cũng đồng quy.
a) Chứng minh rằng cả 4 đường thẳng m , n , a , b đồng quy tại O
b) Vẽ thêm hai đường thẳng c , d không đi qua O . Hỏi 6 đường thẳng m , n , a , b , c , d có nhiều nhất là bao nhiêu giao điểm?
17. Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Tìm n biết rằng nếu có thêm 1 điểm (không thẳng hàng với bất kì 2 điểm nào trong số n điểm đã cho) thì số đường thẳng vẽ được tăng thêm là 8 .
§ 3. Tia
Kiến thức cơ bản:
1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là một tia gốc O .
2. Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng được gọi là hai tia đối nhau.
x
y
O
Nhận xét:
Hình 10
O
x
M
M O≠
Hình 11
Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung nhau của hai tia đối nhau.
Trong hình 10, hai tia Ox , Oy đối nhau. ) 3. Điểm M thuộc tia Ox ( thì hai tia OM , Ox trùng nhau. (h.11).
Nâng cao:
Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau:
A
O
B
Xét 3 điểm A, O , B thẳng hàng.
1. Nếu hai tia OA, OB đối nhau thì gốc O nằm giữa A và B .
Hình 12
2. Ngược lại, Nếu O nằm giữa A và B thì:
- Hai tia OA, OB đối nhau
- Hai tia AO , AB trùng nhau: hai tia BO , BA trùng nhau.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-6-
Thí dụ 5:
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B ; điểm M nằm giữa hai điểm A và O ; điểm N nằm giữa hai điểm B và O .
a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc O .
b) Chứng tỏ rằng điểm O nằm giữa hai điểm M , N .
Giải: (h.13)
A
M
O
N
B
a) Điểm M nằm giữa hai điểm A và O nên hai tia OA, OM trùng nhau (1)
Hình 13
Điểm N nằm giữa hai điểm B và O nên hai tia OB , ON trùng nhau (2)
b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B nên hai tia OA, OB đối nhau (3).
Từ (1); (2); (3) suy ra hai tia OM , ON đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm M và N .
Nhận xét:
z
1. Để chứng minh điểm O nằm giữa hai điểm M và N ta dùng phương pháp xét các tia gốc O .
2. Thí dụ 5 cho ta một dấu hiệu nhận biết một điểm nằm giữa hai điểm khác.
H
BÀI TẬP
18. Xem hình 14 rồi cho biết:
y
x
O
a) Những tia nào chung gốc O ?
b) Hai tia nào đối nhau?
Hình 14
c) Hai tia nào trùng nhau?
19. Cho đường thẳng xy . Lấy điểm O xy∉ ; điểm A xy∈ và điểm B trên tia Ay ( B khác A)
a) Kể tên các tia đối nhau, các tia trùng nhau;
b) Kể tên hai tia không có điểm chung;
c) Gọi M là một điểm di động trên xy . Xác định vị trí của M để cho tia Ot đi qua M không cắt hai tia Ax , By .
20. Vẽ hai đường thẳng mn và xy cắt nhau tại O .
a) Kể tên các tia đối nhau;
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-7-
b) Trên tia Ox lấy điểm P , trên tia Om lấy điểm E ( P và E khác O ). Hãy tìm vị trí của Q để điểm O nằm giữa P và Q ; tìm vị trí của F để hai tia OE , OF trùng nhau.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
21. Trên đường thẳng xy lấy một điểm O . Lấy điểm A trên tia Ox , điểm B trên tia Oy ,
điểm M nằm giữa O và A. Giải thích vì sao:
a) Hai tia OA, OB đối nhau?
,OA OC trùng nhau.
b) Điểm O nằm giữa hai điểm M và B ?
22. Cho 4 điểm A, B , C và O . Biết hai tia OA, OB đối nhau; hai tia
a) Giải thích vì sao 4 điểm A, B , C , O thẳng hàng.
b) Nếu điểm A nằm giữa C và O thì điểm A có nằm giữa hai điểm B và C không? Vì sao?
23. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B ; điểm I nằm giữa hai điểm O và B . Giải thích
vì sao:
a) O nằm giữa A và I ?
b) I nằm giữa A và B ?
§ 4. Đoạn thẳng. Độ dài đường thẳng. Cộng độ dài hai đường thẳng
Kiến thức cơ bản:
1. Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa hai điểm A và B (h.15)
A
B
2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
AB CD<
3. AB CD= ⇔ AB và CD có cùng độ dài;
Hình 15
AB CD>
⇔ AB ngắn hơn CD ;
A
M
B
=
+
⇔ AB dài hơn CD .
+
=
.
Hình 16
thì điểm M nằm giữa
4. Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM MB AB Ngược lại, nếu AM MB AB hai điểm A và B (h.16). Nâng cao :
≠
+ Nếu AM MB AB
1. Mệnh đề sau tương đương với tính chất trên :
thì điểm M không nằm giữa A và B .
-8-
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
2. Cộng liên tiếp (h.17)
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
B
N
A
M
=
+
+
Hình 17
. Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa M và B . Thì AM MN NB AB
Thí dụ 6 :
. Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B . Giải thích vì sao AM AB< ; MB AB<
B
M
A
Giải : (h.18)
= 0
0
BM > nên AM AB<
Hình 18
. Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên + AM MB AB AM > ; Do ; BM AB<
Thí dụ 7 :
Cho ba điểm M , O , N thẳng hàng. Điểm N không nằm giữa hai điểm M và O .
MN
cm= 3
ON
cm= 1
Cho biết ; , hãy so sánh OM với ON .
O
M
N
Giải : (h.19)
= OM + = (vô lí) Vậy điểm M không
3cm
1cm
. 3 1
Hình 19
Nếu điểm M nằm giữa hai điểm O và N thì + OM MN ON Thay số : nằm giữa giữa O và N .
Điểm N không nằm giữa M và O (đề bài)
=
Suy ra điểm O nằm giữa hai điểm M và N .
+ Ta có : MO ON MN
MO + = ;
1 3
MO = (cm). 2
;
Do đó OM ON> (vì 2 1> ).
Nhận xét :
Trong cách giải của ví dụ này, để tìm ra điểm O nằm giữa hai điểm M và N ta đã dùng phương pháp loại trừ. Trong ba điểm M , O , N thẳng hàng có một và chỉ một điểm nằm giữa hai diểm khác. Điểm N không nằm giữa hai điểm còn lại (đề bài). Điểm M không nằm giữa hai điểm còn lại (tìm ra được nhờ phương pháp phản chứng).
Vậy điểm O phải nằm giữa hai điểm còn lại.
BÀI TẬP
24. Cho 5 điểm A, B , C , D , E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng, là nhưng đoạn thẳng nào ?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-9-
Kết quả trên có thay đổi nếu cả 5 điểm A, B , C , D , E thẳng hàng ?
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
n ≥ ) Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 28
2
25. Cho trước n điểm ( n ∈ ; đoạn thẳng. Tìm n .
26. Vẽ 5 đoạn thẳng đôi một cắt nhau sao cho tổng số giao điểm là 10. GIải thích vì sao số giao điểm không thể quá 10 ?
x'
C
B
A
27. Xem hình 20 rồi cho biết
O
x
y
D
Hình 20
y'
a) Hình này có mấy tia ? b) Hình này có mấy đoạn thẳng ? c) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau ? d) Vì sao có thể khẳng định tia Ox không cắt đoạn thẳng BC ?
. 28. Cho hai tia chung gốc Ox , Oy . Trên tia Ox lấy hai điểm B và C sao cho B nằm giữa O và C Trên tia Oy lấy điểm A sao cho OA OC>
a) So sánh OA với OB .
b) So sánh OA OB− với OB .
EH
cm= 7
;
cm= 2
cm= 3
FG
; 29. Trên đường thẳng a lấy 4 điểm E , F , G , H theo thứ tự đó. Giả sử EF
a) So sánh FG với GH .
b) Tìm những cặp đoạn thẳng bằng nhau.
30. Cho đoạn thẳng AB . Trên tia đối của tia AB lấy điểm E , trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho AE BF< . Hãy so sánh AF với BE .
31. Cho ba điểm A, B , C .
CA
AB
cm= 2
BC
cm= 3
cm= 5
; ; a) Giả sử , hãy chứng tỏ A, B , C thẳng hàng.
AB
cm= 2
BC
cm= 3
CA
cm= 4
b) Giả sử ; ; , hãy chứng tỏ A, B , C không thẳng hàng.
32. Cho đoạn thẳng AB . Lấy điểm O nằm giữa A và B , Lấy điểm I nằm giữa O và B .
AB
cm= 5
BI
cm= 2
AO
cm= 2
; ; a) Giả sử , Tính OI .
b= , tìm điều kiện của a và b để AI OB=
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-10-
. b) Giả sử AO a= ; BI
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
§5. Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài
a
x
M
O
Hình 21
Kiến thức cơ bản:
1. Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một điểm M sao cho OM a= (đơn vị dài) (h.21). 2. Trên tia Ox , OM a= , ON b= nếu 0 a b < < thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N (h.22).
< < thì điểm N nằm
Nâng cao:
c
b
b
x
x
N
P
M
O
N
M
O
a
a
Hình 22
Hình 23
Trên toa Ox có ba điểm M , N , P ; OM a= ; ON b= ; OP c= nếu 0 a b giữa hai điểm M và P (h.23) (xem ví dụ 9).
Thí dụ 8 :
PQ
cm= 2
OP
cm= 3
; . Tính OQ . Trên tia Ox lấy điểm P và Q sao cho
3cm
2cm
x
Q
P
O
Hình 24a
=
+
= + = (cm).
3 2 5
3
PQ PO<
x
< (2 3) +
P
O
Q
2
−
= − = (cm).
Giải : (h.24a, b)
OQ OP PQ
Hình 24b
Ta xét hai trường hợp : a) Trường hợp Q nằm trên tia đối của tia PO (h.24a) lúc đó P nằm giữa hai điểm O và Q , suy ra OQ OP PQ b) Trường hợp Q nằm trên tia PO (h.24b) nên Q nằm giữa P và Vì = O do đó PQ QO PO = Suy ra 3 2 1
Nhận xét :
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-11-
Trên tia Ox lấy P sao cho OP = 3cm, điểm P là điểm duy nhất, còn điểm Q thì không duy nhất. Tại sao như vậy ?
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
cm= 2
PQ
Điểm Q không duy nhất trên tia Ox vì điểm Q không cạc gốc O của tia Ox một khoảng 2cm ; điểm P chỉ là một điểm thuộc tia Ox chứ P không phải là mà cách P một khoảng gốc của tia Ox .
Thí dụ 9 :
< < thì điểm N nằm giữa hai điểm M và P .
Gọi M , N , P là ba điểm trên tia Ox ; OM a= ; ON b= ; OP c= ; Giải thích vì sao nếu a b c
c
<
<
(
)
b
x
P
O
NM
a
<
<
)
(
Hình 25
Giải: (h.25)
Hai điểm M , N thuộc tia Ox mà nên điểm M nằm OM ON a b giữa hai điểm O và N suy ra hai tia NM , NO trùng nhau (1) Hai điểm N và P thuộc tia Ox mà nên điểm N nằm ON OP b c giữa hai điểm O và P , suy ra hai tia NO và NP đối nhau (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai tia NM , NP đối nhau, do đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P .
BÀI TẬP
OM
cm= 2
ON
cm= 3
OP
cm= 5
, , . So sánh
33. Gọi M , N , P là ba điểm trên tia Ox sao cho MN và NP .
OA
cm= 4
OB
cm= 6
; . Trên tia BA lấy điểm
cm= 3
BC
34. Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho C sao cho . So sánh AB với AC .
a > ; 0
AB
cm= 2
= OA a cm
(
)
=
AB
cm= 5
+ AE BF
7
cm
với .Tính OB. 35. Cho Avà B là hai điểm trên tia Ox sao cho
. Lấy hai điểm E và F nằm giữa Avà B sao cho
36. Vẽ đoạn thẳng .
a) Chứng tỏ rằng điểm E nằm giữa hai điểm B và F .
b) Tính EF .
. ; ON OB= 37. Vẽ hai tia chung gốc Ox , Oy . Trên tia Ox lấy hai điểm Avà B (điểm Anằm giữa O và B ). Trên tia Oy lấy hai điểm M và N sao cho OM OA=
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm giữa O và N ;
b) So sánh AB với MN .
IB>
. 38*. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm O và I sao cho OA OB< và AI
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-12-
Hỏi trong các bộ ba điểm A, O , I và B , O , I điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
§6. Trung điểm của đoạn thẳng
Kiến thức cơ bản :
1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu
đọa thẳng đó (h.26).
A
B
M
=
MA MB=
2. Nếu M là trung điểm của đoạn
AB 2
Hình 26
. thẳng AB thì:
AM =
Nâng cao :
AB 2
1. Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và thì M là trung điểm của AB .
(Xem thí dụ 11).
2. Mỗi đoạn thẳng đều có một trung điểm duy nhất.
Thí dụ 10 :
Cho đoạn thẳng AB a= . Điểm O nằm giữa A và B Gọi M và N thứ tự là trung điểm của OA và OB . Tính MN .
M là trung điểm của OA nên M nằm
a
?
OM =
Giải. (h.27)
AO 2
N là trung điểm của OB nên N nằm
M
O
A
B
N
ON =
. giữa A và O ;
OB 2
Hình 27
. giữa O và B ;
+
=
=
=
=
MN OM ON
Vì có O nằm giữa A và B (đề bài) nên O nằm giữa M và N (xem ví dụ 5 ).
MN = .
AO OB + 2 2
+ AO OB 2
AB 2
a 2
Vậy hay
Nhận xét:
MN =
Độ dài MN là một số không đổi, nó phụ thuộc vào vị trí của điểm O trên đoạn thẳng AB .
AB 2
Ta luôn có .
AM =
Thí dụ 11:
AB 2
Cho điểm M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và . Giải thích vì sao M là trung
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-13-
điểm của AB .
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
B
Giải. (h.28)
( )1
M
B
A
=
Hình 28
=
=
−
MB AB=
+ Nên AM MB AB − MB AB AM AB 2
AB 2
AM MB= .
( ) 2
Điểm M nằm giữa A và
Do đó Từ ( )1 và ( )2 suy ra M là trung điểm của
AB . BÀI TẬP
,M N O sao cho
,
OM
cm= 2
ON
cm= 2
MN
cm= 4
; và . Vì sao có thể khẳng
=
39. Cho ba điểm định O là trung điểm của đoạn MN .
OM
4,5
cm
OA
cm= 3
,
M N O P Q R theo thứ tự đó. Biết rằng
,
,
,
,
=
=
, . Tìm những điểm là trung điểm của đoạn thẳng.
40. Trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho . Trên tia Ax lấy điểm B sao cho M là trung điểm của AB . Hỏi điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?
= QR=
41. Trên đường thẳng a lấy 6 điểm = MN NO OP PQ
,C D thuộc đoạn thẳng AB sao cho
AB
cm= 6
. Lấy hai điểm
cm 2
42. Cho đoạn thẳng = = AC BD . Gọi M là trung điểm của AB .
a) Giải thích tại sao M cũng là trung điểm của CD . b) Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng.
AO
cm= 2
AB
cm= 5
; . Gọi I là trung điểm
43. Trên tia Ax lấy hai điểm O và B sao cho của OB . Tính AI .
,M N sao cho
OM
ON
cm= 2
cm= 3
;
.AB
,OA OB .
44. Trên đường thẳng xy lấy một điểm O và hai điểm . Vẽ các điểm A và B trên đường thẳng xy sao cho M là trung điểm của OA; N là trung điểm của OB . Tính độ dài
=
AB
cm
1002
45 * . Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm O thuộc tia đối của tia BA ( O khác B ). Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn thẳng
1M là trung điểm của đoạn thẳng AB ; gọi gọi
46 * . Cho đoạn thẳng . Gọi
,...,
M B 2
2M là 100M là
trung điểm của đoạn thẳng
3M là trung điểm của đoạn thẳng M M .
) ( 1M B ; gọi 99M B . Tính độ dài của đoạn thẳng
100
1
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-14-
trung điểm của đoạn thẳng
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
§ 7. Ôn tập chương I
A B M N sao cho hai tia
,MA MN đối nhau; hai tia
,NM NB đối nhau và
Thí dụ 12.
, , a b<
.
, Cho 4 điểm AM a= ; BN b= (
)
,
A B M N có thẳng hàng
,
b
a
, không? Vì sao?
A
N
B
M
Hình 29
,MA MN đối nhau nên M
a) Bốn điểm
,
b) So sánh AN với BM . Giải. (h.29) a) Hai tia
A M N cùng nằm trên một đường thẳng ( )1 . ,
nằm giữa A và N ; Ba điểm
B M N cùng nằm
,
,
,NM NB đối nhau nên điểm N nằm giữa M và N và ba điểm
Hai tia
( )2
trên cùng một đường thẳng.
A B M N thẳng hàng.
,
,
,
= +
=
+ b) AN AM MN a MN
=
+
= +
( )1 ( )2
Hai đường thẳng ( )1 và ( )2 có hai điểm chung là M và N nên chúng trùng nhau do đó bốn điểm
,
,
,
.
BM BN MN b MN Vì a b< nên từ ( )3 và ( )4 suy ra AN BM< Nhận xét: A B M N thẳng hàng ta đã chứng minh bốn điểm này nằm Để chứng minh bốn điểm trên hai đường thẳng rồi chứng minh hai đường thẳng đó trùng nhau do chúng có hai điểm chung. BÀI TẬP
z
C
y
x
47. Xem hình 30 rồi cho biết: a) Hình đó có mấy tia? b) Hình đó có mấy đoạn thẳng? c) Độ dài của đoạn thẳng AB là bao nhiêu biết O là trung điểm của AB và OB a= ?
O
A
B
cm= 4
Hình 30
48. Gọi O là một điểm của đoạn thẳng
BO BO
2 3
AB a) Tổng AB BO+ + AB BO b) Tổng + AB BO c) Tổng
. Xác định vị trí điểm O để: đạt giá trị nhỏ nhất; = = ; .
=
49. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là một điểm của đoạn thẳng đó. Cho biết
AB
6
cm
= AC a cm
0
a< ≤
6
(
)
(
)
)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-15-
và . Tính khoảng cách CM . , (
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
CD
cm= 5
CI
cm= 1
; . Trên đoạn thẳng này lấy hai điểm I và K sao cho
cm= 3
. 50. Cho đoạn thẳng DK
,M N thứ là trung điểm của
a) Điểm K có phải là trung điểm của đoạn thẳng CD không? b) Chứng tỏ rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng CK .
51 * . Cho đoạn thẳng AB ; điểm O thuộc tia đối của tia AB . Gọi ,OA OB .
,O M N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
,
.
a) Chứng tỏ rằng OA OB< b) Trong ba điểm c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-16-
tia đối của tia AB ).
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
Chương II. GÓC
§ 1. Nửa mặt phẳng
Kiến thức cơ bản
1. Hình gồm đường thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là
một nửa mặt phẳng bờ a .
A
a
M
Hình 31
Nhận xét:
y
B
z
Bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau. Trong hình 31, nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm A và nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm M là hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a .
M
x
, y
,Ox Oy đều
Ox O đối nhau thì mọi tia Oz khác
O
A
; B Oy∈ ; A và B khác 0 ) (xem hình 32 ).
,Ox Oy .
Hình 32
B
A
,A B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a
2. Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nếu tia Oz cắt đoạn thẳng AB tại điểm M nằm giữa A và B ( A Ox∈ Nhận xét: Nếu hai tia nằm giữa hai tia
Nâng cao: Trên hình 33 : − Hai điểm
a
thì đoạn thẳng AB không cắt a .
C
Hình 33
,Oa Ob không đối nhau; tia ,Oa Ot ; tia On nằm giữa hai tia
,Om On .
− Hai điểm A và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a thì đoạn thẳng AC cắt a tại điểm nằm giữa A và C .
Thí dụ 13. Cho tia Ot nằm giữa hai tia Om nằm giữa hai tia ,Ob Ot . Giải thích vì sao tia Ot nằm giữa hai tia
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-17-
Giải. (h. 34 )
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
O
B
N
M
T
A
b
m
n
a
t
Hình 34
,Om On .
Lấy điểm A trên tia Oa , điểm B trên tia Ob ( A và B khác O ). Tia Ot nằm giữa ,Oa Ob nên cắt đoạn thẳng AB tại hai tia điểm T nằm giữa A và B . Tương tự, tia Om cắt đoạn thẳng AT tại điểm M nằm giữa A và T ; tia On cắt đoạn thẳng BT tại điểm N nằm giữa B và T . Từ đó suy ra T nằm giữa hai điểm M và N , do đó tia Ot nằm giữa hai tia
Nhận xét .
− Nếu hai tia ,Oa Ob đối nhau thì kết luận trên vẫn đúng. − Thí dụ 13 cho ta một dấu hiệu nhận biết một tia nằm giữa hai tia khác.
BÀI TẬP
,
,
,
A B C D không nằm trên đường thẳng a . Biết đoạn thẳng AB không cắt a , đoạn thẳng BC cắt a , đoạn thẳng CD không cắt a . Hỏi đoạn thẳng AD có cắt đường thẳng a không?
52. Cho bốn điểm
,
,
,
,
A B C D E có nhà ở hai bên đường cao tốc. A đến nhà B ; B đến nhà C ; C đến nhà D ; D đến nhà E đều phải đi qua đường cao tốc. Hỏi những bạn nào đến nhà nhau không đi qua đường cao tốc?
,
,
,
,
53. Năm bạn
A B C D E không thuộc m .
54. Cho đường thẳng m và năm điểm
a) Chứng tỏ rằng trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng m , có một mặt
phẳng chứa ít nhất 3 điểm.
b) Cứ qua hai điểm vẽ một đoạn thẳng. Hỏi nhiều nhất có mấy đoạn thẳng cắt m ?
't t ta vẽ hai tia Ox và Oy (
)'O t t∈
55. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ . Chứng tỏ rằng
'Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy .
hoặc tia Ot hoặc tia
,
,A B C a∉ . Gọi M và N thứ tự là giao điểm của AB và AC với đường thẳng a .
(
)
,CA CB .
56. Trên một nửa mặt phẳng bờ a lấy điểm A, trên nửa mặt phẳng đối lấy hai điểm B và C
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-18-
a) Chứng tỏ rằng tia BN nằm giữa hai tia BA , BC ; tia CM nằm giữa hai tia b) Giải thích tại sao hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
§2. Góc. Số đo góc. Cộng số đo hai góc
Kiến thức cơ bản:
1. Góc là hình gồm hai tia chung gốc (h.35a)
x
y
O
O
x
Hình 35a
Hình 35b
Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau (h.35b) y
2. Mỗi góc có một số đo dương. Số đo của góc bẹt là 180° .
Sô đo của mỗi góc không vượt quá 180° .
A B= ⇔ A và B có cùng số đo
A B< ⇔ số đo A < số đo B
A B> ⇔ số đo A > số đo B
)90° (
z
y
°
3.
90
O
x
Hình 36
°
A bù với B
A B⇔ + =
180
4. 0° < góc nhọn < góc vuông < góc tù < góc bẹt. ) ( 180° 5. Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là cạnh chung. 6. A phụ với B A B⇔ + =
Hai góc vừa kề, vừa bù gọi là hai góc kề bù.
=
+
Hai góc kề bù có tổng bằng 180° và hai cạnh ngoài là hai tia đối nhau.
xOy
yOz
+
=
7. Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì . xOz
yOz
thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz. (h.36) Ngược lại nếu xOz xOy
Nâng cao:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-19-
1. Mệnh đề sau tương đương với tính chất trên:
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
≠
xOy
yOz
z
t
thì tia Oy không nằm giữa Nếu + xOz
hai tia Ox và Oz.
y
2. Cộng liên tiếp (h.37)
O
+
+
=
Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz; tia Ot nằm giữa
yOt
tOz
x
Hình 37
hai tia Oy và Oz thì . xOz xOy
B
3. Hai góc AOB và AOC là hai góc kề.
<
° thì tia OA
Tia OA’ là tia đối của tia OA (h.38).
- Nếu 180 + AOB AOC
<
° thì tia OA’
nằm giữa hai tia OB, OC.
A
O
A'
- Nếu 180 + AOB AOC
C
Hình 38
nằm giữa hai tia OB, OC.
Thí dụ 14:
<
<
; AOM AOB BOM AOB .
B
Cho tia OM nằm trong góc AOB. giải thích vì sao
M
+
=
Giải: (h.39)
A
O
<
<
. Vì tia OM nằm giữa hai tia OA, OB nên AOM BOM AOB
AOM
0
> nên ; AOM AOB BOM AOB .
Hình 39
Do 0; > BOM
Thí dụ 15:
=
Cho hai góc kề AOB và AOC, mỗi góc đều là góc tù
+ AOB BOC
Giải thích vì sao 360 . °
>
°
Giải: (h.40)
B
Vẽ tia OA’ là tia đối của tia OA. Vì mỗi góc AOB, AOC đều là góc tù nên 180 + AOB BOC
+
Do đó tia OA’ nằm giữa hai tia OB, OC
A
O
=
° (kề bù)
Suy ra ' = A OC BOC BOA '
A'
C
Hình 40
-20-
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
Ta có: ' 180 + AOB BOA
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
=
° (kề bù).
180
+
=
+
+
+ AOB BOC COA AOB
BOA
'
'
' + A OC COA Xét tổng (
) + A OC COA
=
( + + BOA AOB '
) ( + + A OC COA '
)
=
° +
° =
180
360
°
180
x3
Nhận xét:
Ba tia OA, OB, OC trong thí dụ trên tạo thành ba góc
x2
không có điểm trong chung là AOB, BOC, COA, tổng
O
x1
của 3 góc này bằng 360° .
,...,
Ox tạo thành
Ox Ox , 1 2
n
Tổng quát: Cho n tia gốc O là
,...,
x Ox x Ox , 2 3
2
x Ox x Ox , n 1 n
− 1
n
sao cho n góc phân biệt 1
xn-1 trong
xn chung
+
+
=
360
° (h.41)
kỳ hai góc nào cũng không có điểm thế thì:
x Ox − 1 n n
x Ox 2 3
Hình 41
bất + + x Ox x Ox ... 1 1 2 n
BÀI TẬP
57. Vẽ 5 tia chung gốc Oa, Ob, Oc, Od, Ot trong đó hai tia Oa, Ob đối nhau.
a) Trong hình có bao nhiêu góc ? Là những góc nào ?
b) Kể tên các cặp góc kề bù.
58. Cho trước 4 tia chung gốc O. Vẽ thêm 3 tia gốc O. Hỏi đã tăng thêm bao nhiêu góc đỉnh O ?
59. Vẽ 3 đường thẳng đồng quy tại O.
a) Chúng tạo thành bao nhiêu góc ? trong số đó có bao nhiêu góc bẹt.
b) Thay 3 bởi n thì có bao nhiêu góc được tạo thành ?
60. Vẽ n tia chung gốc, chúng tạo thành 28 góc. Tìm n.
61. Vẽ góc xOy khác góc bẹt. Lấy A trên tia Ox, lấy B trên tia Oy (A và B khác O). Hãy lấy một điểm C sao cho góc BOC kề bù với góc BOA.
a) Trong ba điểm A, O, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
b) Vẽ các tia BA, BC. Hỏi điểm O nằm trong góc nào ?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-21-
c) Kể tên các cặp góc kề bù đỉnh B.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
=
+
62. Cho góc AOB và tia OM bất kỳ. Xác định vị trí của tia OM để:
>
+
a) AOB AOM AOB
+
=
b) AOB AOM AOB
c) . AOM MOB AOB
63. Cho hai góc kề bù AOC và BOC trong đó BOC là góc nhọn. Vẽ tia ON nằm giữa hai tia OB, OC. Hãy so sánh hai góc AOC và BON.
=
=
°
° . Tính số đo
OCB
30
64. Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Vẽ tia Om. Vẽ tiếp tia On nằm giữa hai tia Om, Ox. Giải thích vì sao trong 3 góc xOn, nOm, mOy ít nhất có một góc lớn hơn hoặc bằng 60° .
=
=
aOy
65. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 2cm; OB = 5cm. Từ một điểm C ở ngoài đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các tia CO, CA, CB. Giả sử 110 ; OCA góc ACB.
aOx
2
=
=
°
° Trong ba tia đã cho, tia nào nằm giữa hai tia còn lại.
66. Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Vẽ các tia Oa, Ob thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy, cho biết 1 bOy . Tính số đo của góc aOy để cho 3 bOx .
120 .
67. Cho ba tia chung gốc OA, OB, OC tạo thành ba góc không có điểm trong chung, biết 110 ; BOC AOB
.m° Tính số đo của góc AOC.
68. Cho hai góc kề AOB và BOC có tổng bằng
§3. Vẽ góc cho biết số đo
z
Kiến thức cơ bản:
1. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một tia Oy sao cho xOy m= (độ).
y
= ° ; nếu m n< thì tia Oy nằm giữa
; = ° xOy m xOz
n
2. Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox, có
O
x
Hình 42
hai tia Ox, Oz (h.42)
z
Nâng cao:
t
y
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-22-
Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
= ° ; nếu m n
< < thì p
= ° = ° ; ; n xOt xOy m xOz
p
tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot (h.43)
Thí dụ 16:
Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox, vẽ ba tia
a= °
°
0
< ≤ a
130 ;
= ° + a
° 20 ;
xOt
= ° + a
50 .
(
) xOz
t
Oy, Oz, Ot sao cho xOy
z
So sánh góc yOz và zOt.
y
Giải: (h.44)
a°
° nên tia Oy nằm giữa
° < ° + a
( < xOz a xOy
)20
O
x
=
−
Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có
= ° + a
xOy
xOz
° − ° a
Hình 44
20 . ° yOz =
<
° +
xOy
20
° < ° + a
50
) ° nên tia Oz
° +
−
=
°
xOz
xOt
zOt
50
a
20
30
hai tia Ox, Oz do đó: 20 yOz
) ( ° − ° + a
) ° =
<
° <
20
Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có ( xOt a nằm giữa hai tia Ox, Ot do đó: ( =
) ° 30 .
Vậy ( zOt yOz
Nhận xét:
0
a< <
130.
- Vì mỗi góc có một số đo dương, không vượt quá 180° nên phải có điều kiện
- Số đo của các góc yOz; zOt không phụ thuộc vào giá trị của a mà chỉ phụ thuộc vào giá
trị của các góc xOz, xOt hơn góc xOy bao nhiêu độ.
=
°
= ° Tìm giá trị của a để tia Om nằm giữa hai tia Oy, On.
BÀI TẬP
a
.
=
=
° . Tính số đo
100 ; ° xOt
150
69. Cho góc bẹt xOy. Vẽ hai tia Om, On trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy sao cho 120 ; xOn xOm
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-23-
70. Trên mặt phẳng, cho tia Ox. Vẽ hai tia Oy, Ot sao cho xOy góc . yOt
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
=
=
°
° Tính . xOz
30 .
<
+
71. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho 70 ; yOz xOy
72. Cho góc AOB và hai tia OM, ON nằm trong góc đó sao cho . AOM BON AOB
=
=
=
° Tính góc . AOB
a) Trong ba tia OA, OM, ON tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?
AOM
BON
° 50 ;
30 .
b) Giả sử ° 40 ; MON
và
=
°
130 .
. Trong ba tia OA, OM, ON tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? 73. Cho góc AOB. Ở trong góc đó vẽ hai tia OM, ON. Sao cho AOM BOM< AON BON >
zOt =
° Vẽ tia Ot sao cho hai tia Ot, Ox thuộc cùng một nửa mặt phẳng với bờ xOy yOt và . zOt
° So sánh ba góc ;
74. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho 40 ; = xOz xOy chứa tia Oz. Cho biết 60 .
y
§4. Tia phân giác của một góc
Kiến thức cơ bản:
z
1. Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh
của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau (h.45)
O
x
hình 45
=
= zOy xOz
.
xOy 2
2. Nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì
Nâng cao:
xOz =
xOy 2
1. Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy và thì tia Oz là tia phân giác của góc xOy.
2. Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó. Mỗi góc có một đường phân giác duy nhất.
Thí dụ 17:
Cho góc aOb và tia Ot nằm giữa Oa, Ob. Các tia Om, On thứ tự là tia phân giác của các góc
mOn =
aOb 2
n
aOt và bOt. Chứng tỏ rằng
b
t
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-24-
m
Giải: (h.46)
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
Tia Om là tia phân giác của góc aOt nên tia Om nằm
mOt =
aOt 2
giữa hai tia Oa, Ot và
Tia On là tia phân giác của góc bOt nên tia On nằm
.
tOn =
bOt 2
giữa hai tia Ob, Ot và
+
=
=
=
+
Vì có tia Ot nằm giữa hai tia Oa, Ob (đề bài) nên tia Ot nằm giữa hai tia Om, On (xem thí dụ 13).
.
aOb aOt 2 2
+ aOt bOt 2
bOt 2
Vậy = tOn mOn mOt
Nhận xét: Số đo của góc mOn không phụ thuộc vào vị trí của tia Ot trong góc aOb.
.
mOn =
aOb 2
Ta luôn luôn có
BÀI TẬP
75. Cho hai góc kề bù AOT và BOT. Gọi OM và ON thứ tự là tia phân giác của hai góc đó. Tính .MON
° ;
° ; 75 xOz =
xOy =
° . Xác định xem tia nào là tia phân giác của một góc.
76. Cho hai góc kề bù AOT và BOT. Vẽ tia phân giác OD của góc BOT. Biết góc BOT lớn hơn góc AOT là 20° . Tính góc AOD.
77. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ ba tia Oy, Oz, Ot sao cho 50 100 xOt =
78. Cho hai góc kề DOE và DOF, mỗi góc bằng 150° . Hỏi tia OD có phải là tia phân giác của góc EOF không ?
° . Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa
xOz =
79. Cho ba tia OA, OB, OC tạo thành ba góc bằng nhau và không có điểm trong chung là AOB, BOC và COA. Vì sao có thể khẳng định tia đối của mỗi tia nói trên là tia phân giác của góc tạo bở hai tia còn lại ?
a= ° . Xác định giá trị của a để Oz là tia phân giác của góc xOt.
° ;
AOB =
° . Vẽ các tia OM, ON thứ tự là các tia phân giác của các góc AOB và AOC.
80. Cho hai góc kề bù là xOz và yOz trong đó 50 tia Oz ta vẽ tia Ot. Giả sử yOt
81. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA ta vẽ các tia OB, OC sao cho 50 150 AOC =
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-25-
a) Tính góc MON.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
b) Tia OB có phải là tia phân giác của góc MON không ?
82. Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó. Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB và bờ là đường thẳng OA ta vẽ Oy sao cho . > AOy AOB
Chứng tỏ rằng:
=
.
a) Tia OB nằm giữa hai tia Ox, Oy
+ AOy BOy 2
b) xOy
,
,
,...,
Ox sao cho:
Ox Ox Ox 3
1
2
n
2
3
= xOx xOx 1 2 = xOx xOx 1 3 ...... = nxOx xOx 1 n
83. Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox ta vẽ các tia
Tìm số n nhỏ nhất sao cho trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 10 góc.
§5. Đường tròn
Kiến thức cơ bản:
1. Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu (O,R).
Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đường tròn đó.
D
C
2. Hai điểm C, D của một đường tròn chia đường tròn
A
B
thành hai cung. Đoạn thẳng nối hai mút của cung là
O
dây cung. Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.
Trên hình 47, đoạn thẳng CD gọi là dây cung; đoạn thẳng
Hình 47
AB gọi là đường kính.
Nâng cao:
Giao điểm của hai đường tròn:
C
1,5
2
B
3
A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-26-
Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung, một điểm chung duy nhất hoặc không có điểm chung nào. (sẽ học kỹ ở lớp 9).
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
Thí dụ 18:
Cho đoạn thẳng AB = 3cm. Hãy nói cách
vẽ một điểm C vừa cách A là 2cm, vừa
cách B là 1,5cm.
Giải: (h.48)
Vẽ đường tròn (A; 2cm) và đường tròn
(B; 1,5cm) chúng cắt nhau tại C.
Rõ ràng C cách A là 2cm và C cách B là
1,5cm.
Nhận xét:
Vì hai đường tròn (A; 2cm) và (B; 1,5cm) cắt nhau tại hai điểm nên ta có hai điểm C và C’ thỏa mãn đầu bài.
BÀI TẬP
84. Một con trâu được buộc vào một chiếc cọc cắm trên bãi cỏ. Dây thừng giữ trâu dài 3m. Hỏi con trâu đó ăn được cỏ trong phạm vi nào ?
85. Trên đường tròn (O) lấy 5 điểm A, B, C, D, E. Nối mỗi cặp điểm ta được một dây cung.
a) Hỏi vẽ được bao nhiêu dây cung ?
b) Hỏi trên đường tròn trên có bao nhiêu cung.
86. Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Vẽ đường tròn (O; 3cm) cắt Ox, Oy thứ tự tại A và B. Vẽ đường tròn (O; 2cm) cắt tia Ox, Oy thứ tự tại C và D. Vẽ đường tròn (D; BD) cắt BO tại M và cắt đường tròn (O; 2cm) tại N.
a) So sánh AC và BD.
b) Chứng tỏ M là trung điểm Của OD.
c) So sánh tổng ON + ND với OB.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-27-
87*. Cho 99 điểm trên mặt phẳng trong đó có 2 điểm A và B cách nhau 3cm. Mỗi nhóm 3 điểm bất kì của các điểm đã cho bao giờ cũng có thể chọn ra 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Vẽ đường tròn (A; 1cm) và (B; 1cm). Chứng tỏ rằng trong hai đường tròn đó có một đường tròn chứa ít nhất là 50 điểm trong số các điểm đã cho.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
§6. Tam giác
Kiến thức cơ bản:
1. Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA
A
khi ba điểm A, B, C không thẳng hàng (h.49).
2. Cạnh và góc của tam giác
- Ba cạnh : AB, BC, CA
A B C ;
;
.
C
B
Hình 49
- Ba góc:
Nâng cao:
Nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của một tam giác và cắt một cạnh của tam giác ấy thì nó cắt một và chỉ một trong hai cạnh còn lại (xem bài 92)
Thí dụ 19:
a) Vẽ tam giác ABC biết BC = 5cm; AB = 3cm; AC = 4cm.
b) Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên. Vẽ tia AO cắt AC tại H, tia BO cắt AC tại I,
tia CO cắt tia AB tại K. Trong hình đó có bao nhiêu tam giác.
Giải: (h.50)
A
a) Vẽ đoạn thẳng BC = 5cm
I
K
Vẽ cung tròn (B; 3cm)
O
C
B
H
Hình 50
Vẽ cung tròn (C; 4cm)
Lấy giao điểm A của hai cung trên.
. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được ABC∆
b) Có 6 tam giác “ đơn” là AOK; BOK; COH và COI.
Có 3 tam giác “ ghép đôi” là: AOB; BOC; COA.
Có 6 tam giác “ ghép ba” là: ABH; BCI; CAK;ABI; BCK’ CAH.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-28-
Có 1 tam giác “ ghép sáu” là: ABC.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
+ + + =
tam giác Vậy trong hình có tất cả 6 3 6 1 16
Nhận xét:
Với 16 hình tam giác trong hình 50, khi đếm ta có thể bỏ sót hoặc trùng lặp. Vì vậy cần phải phân loại theo một dấu hiệu nào đó. Trong cách giải trên,ta đã phân loại theo dấu hiệu “ đơn”, “ đôi”, “ ba”,…
Với mỗi trường hợp, ta cũng nên xét theo một trình tự nào đó.
Bài tập
88. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Viết tên các tam giác có ba đỉnh là 3 trong 5 số điểm nói trên trong các trường hợp.
a) Không có ba điểm nào thẳng hàng
b) Có 3 điểm A, B, C thẳng hàng và 3 điểm A, D, E thẳng hàng.
=
=
=
89. Xem hình 51 rồi cho biết trong hình này có bao nhiêu tam giác, là những tam giác nào? Hình 51 90. Vẽ tam giác ABC rồi lấy điểm M nằm trong tam giác. Tia AM cắt đường thẳng BC tại điểm N. a) Giải thích vì sao điểm N nằm giữa hai điểm B và C; điểm M nằm giữa hai điểm A và N. b) Vẽ hai đoạn thẳng MB và MC. Kể tên các tam giác có trong hình vẽ.
BC
3,5
cm AB ;
2
cm AC ;
cm 3
91. a) Vẽ tam giác ABC biết .
AD cm=
1
=
b) Vẽ tiếp tam giác ADE biết D thuộc tia đối của tia AB và ; E thuộc tia đối của tia
AE
1,5
cm
AC và .
c) Hai tia BE và CD cắt nhau tại O. Dùng compa để kiểm tra xem E và D có phải là trung điểm của OB và OC không?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-29-
92. Cho tam giác ABC. Vẽ đường thẳng a không đi qua các đỉnh của tam giác và cắt cạnh AB. Chứng tỏ rằng đường thẳng a cắt một và chỉ một trong hai cạnh BC và AC.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
§7 Ôn tập
<
Thí dụ 20:
; gọi tia Ot là tia đối của tia
Hai góc xOy và xOz bù nhau nhưng không kề nhau và xOy xOz Oz. Tia Ox có phải là tia phân giác của yOt không? Vì sao?
<
Giải: ( Hình 52)
<
<
nên tia Oy nằm giữa hai tia
=
, do đó tia Ox nằm giữa hai
+
=
=
( đề bài)
Hai góc xOy và xOz không kề nhau nên hai tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox. Vì xOy xOz Ox và Ox, suy ra zOt zOx zOy tia Oy và Ot. ( 1) Ta có: 0 + 180 xOy xOz 0 xOt xOz 180 ( kề bù) ( 2) ( vì cùng bù với xOz ). Suy ra xOt xOy Từ (1) và ( 2) suy ra tia Ox là tia phân giác của góc yOt . Nhận xét:
Trong cách giải của thí dụ trên, để chứng tỏ hai góc xOy và xOt bằng nhau ta đã nói cùng bù với 1 góc thứ 3 là góc xOz.
Tương tự, hai góc cùng phụ với một góc thứ ba; cùng bằng nửa góc thứ ba, cùng gấp đôi góc thứ 3… thì hai góc đó bằng nhau.
Bài tập
93.
AOC =
045 .
; tia OD nằm
Trong hình 53,cho biết 090 giữa hai tia OB và OC. a) Kể tên góc vuông, góc nhọn và góc tù. b) Nếu 2 góc BOD và COD không bằng nhau, chứng tỏ rằng trong hai góc đó có một góc nhỏ hơn
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-30-
Hình 53
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
=
OA
cm
2
=
94. Gọi M và N là hai điểm nằm khác phía đối với đường thẳng xy. Đoạn thẳng MN cắt xy tại O. Trên tia Ox, lấy điểm A sao cho .
= MAx NAx
. Chứng tỏ rằng tia Ay là tia phân giác của góc MAN. Tính góc
a) Giả sử 0 130 MAN.
MBN =
b) Trên tia Oy lấy điểm B, giả sử 0 100 , 040 MBO = . Tính OBN .
=
c) Muốn cho điểm O là trung điểm của AB thì OB phải có độ dài là bao nhiêu?
. 95. Gọi tia Oz là tia phân giác của góc bẹt xOy. Vẽ hai góc nhọn kề nhau là zOm và zOn sao cho hai tia Om, On cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz và zOm zOn
a) Tia Oz có phải là tia phân giác của góc mOn không? Vì sao?
b) Vẽ tia Ot là tia đối của tia On. Vì sao có thể khẳng định tia Ox là tia phân giác của góc mOt.
96. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ điểm N nằm giữa M và B.
0
=
=
=
Cho biết MN = a ( cm); NB= b ( cm)
0 100 ;
AOM
AOB
0 60 ;
20
.
b) Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AB. Giả sử MON Hỏi tia ON có phải là tia phân giác của MOB không? Vì sao?
97. Cho ba tia phân biệt, chung gốc là Ox, Oy và Ot. Tia Ot có nằm giữa hai tia Ox và Oy không nếu:
a) 075 xOt = và 045 xOy =
b) 075 xOt = và 0 tOy = 110
c) 090 xOt = và 090 tOy =
=
= cm AM cm BN
cm 1
AB
3
5
;
;
98. Cho hai điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm = giữa A và B. Biết .
Chứng tỏ rằng:
a) Bốn điểm A, B, M,N thằng hàng
b) Điểm N là điểm trung điểm của đoạn thằng MB.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-31-
c) Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C.Tính chu vi của tam giác CAN.
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
ĐÁP ÁN
PHẦN HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: ĐOẠN THẲNG
Câu 1: Xem hình 54.
Câu 2: Xem hình 55.
a) Vẽ điểm C p∈ và C không trùng với điểm A hoặc B .
C
D
m
A
p
n
A
B
C
B
Hình 55
Hình 54
b) Vẽ điểm D p∉ .
C
G
F
F
E
G
E
C
D
D
Hình 57
Hình 56
Câu 3: Có thể vẽ như các hình 56 và 57
Câu 4:
P
O
Q
R
A
I
B
K
Hình 58b
Hình 58a
a) Xem hình 58a b) Xem hình 58b
Câu 5:
,A B C thẳng hàng;
,
a) Ba điểm
,A B C không thẳng hàng.
,
b) Ba điểm
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-32-
Câu 6:
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
a) Mặt Trăng nằm giữa Mặt Trời và Trái Đất;
b) Trái Đất nằm giữa Mặt Trời và Mặt Trăng.
Câu 7: Có 8 trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác đó là:
; N nằm giữa C, D M nằm giữa A, B
; F nằm giữa B, C E nằm giữa A, D
; O nằm giữa E, F O nằm giữa M, N
; O nằm giữa B, D O nằm giữa A, C
Câu 8:
a) Có thể vẽ như hình 59
Hình 59
Hình 60
b) Có thể vẽ như hình 60
m
n
A
B
p
Hình 61
Câu 9: Xem hình 61
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-33-
Câu 10: (h.62)
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
A
D
M
C
B
Hình 62
;AB CD chúng cắt nhau tại M, điểm M là điểm cần tìm.
Vẽ các đường thẳng
Nếu hai đường thẳng AB và CD không cắt nhau thì không tìm được điểm M
=
15
Câu 11:
6.5 2
(đường thẳng) a)
b) Nếu không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được là 15.
− =
Bây giờ xét đến ba điểm thẳng hàng, qua chúng chỉ có một đường thẳng. Nếu ba điểm này không thẳng hàng thì có 3 đường thẳng.
− = . Vậy có tất cả 15 2 13
)1
=
.2
= .2 132
(đường thẳng). Số đường thẳng giảm đi là 3 1 2
( n n − 2
12.11 2
(trận đấu) Câu 12:
Câu 13:
)1
=
=
36;
Gọi số điểm cho trước là n
= 72 9.8
9n = .
( n n −
)1
( n n − 2
)1
=
=
=
300;
;
25.24
600
n =
25
( n n −
)1
suy ra . Câu 14: Coi mỗi ngã tư là giao điểm của hai đường thẳng. Gọi số con đường là n, ta có ( n n − 2
=
55
Câu 15:
11.10 2
(giao điểm) a)
b) Nếu không có ba đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm là 55.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-34-
Bây giờ xét đến 5 đường thẳng không đồng quy mà cắt nhau đôi một thì số giao
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
=
10
5.4 2
− =
điểm là (giao điểm).
− = . Vậy có tất cả 55 9
46
(giao điểm). Số giao điểm giảm đi là 10 1 9
,m a b đồng quy tại O . Vậy O là điểm chung của hai đường thẳng a và b
,
Câu 16:
'O . Vậy
'O là điểm chung
,n a b đồng quy tại một điểm giả sử đó là điểm ,
a) Ba đường thẳng .
,
,
,
Ba đường thẳng của hai đường thẳng a và b .
'O trùng nhau, từ đó suy ra 4 đường thẳng
m n a b đồng quy tại O .
Hai đường thẳng phân biệt a và b mà có điểm chung thì chỉ có một điểm chung duy nhất nên O và
b) Đáp số: 10 giao điểm (xem hình 63)
O
d
c
m
b
n
a
Hình 63
8n = .
Câu 17: Nếu vẽ thêm một điểm thì qua điểm này và mỗi điểm trong số n điểm đã cho ta vẽ thêm được 1 đường thẳng. Vì tổng số đường thẳng tăng thêm là 8 nên
Câu 18: (h.14)
Ox Oy Oz chung gốc O
,
,
a) Ba tia
b) Ox và Oy đối nhau
c) OH và Oz trùng nhau
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-35-
Câu 19: (h.64)
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
O
x
y
A
M
B
t
Hình 64
a) Các tia đối nhau là Ax và Ay ; Bx và By , các ta trùng nhau là AB và Ay , BA và Bx
b) Hai tia Ax và By không có điểm chung
c) M nằm giữa A và B
P
n
m
O
F
E
Q
Hình 65
y
Câu 20: (h.65)
a) Hai tia đối nhau là Om và On , Ox và Oy .
b) Q thuộc tia Oy ( Q khác O ). F thuộc tia Om ( F khác 0).
y
x
B
M
O
A
Hình 66
Câu 21: (h.66)
,OA Ox trùng nhau; hai tia
,OB Oy
a) Điểm O nằm trên đường thẳng xy nên hai tia Ox và Oy đối nhau (1)
Điểm A thuộc tia Ox , điểm B thuộc tia Oy nên hai tia trùng nhau (2)
,OA OB đối nhau (3)
Từ (1) và (2) suy ra hai tia
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-36-
b) Điểm M nằm giữa hai điểm O và A nên hai tia OM , OA trùng nhau (4).
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
,OM OB đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm M và B
Từ (3) và (4) suy ra hai tia
O
B
C
A
Hình 67
Câu 22: (h.67)
,OA OB đối nhau nên ba điểm
,O A B thuộc cùng một đường thẳng.
,
a) Hai tia
,O A C thuộc cùng một đường thẳng.
,
,OA OC trùng nhau nên ba điểm
Hai tia
A B C O thẳng hàng.
,
,
,OA OB đối nhau nên điểm O nằm giữa A và B suy ra hai tia
,AO AB trùng nhau
Hai đường thẳng này có 2 điểm chung là O và A nên chúng trùng nhau, suy ra 4 điểm ,
b) Hai tia (1).
,AO AC đối nhau (2)
Điểm A nằm giữa O và C , nên hai tia
,AB AC đối nhau do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C .
Từ (1) và (2) suy ra hai tia
A
O
I
B
Hình 68
Câu 23: (h.68)
,OA OB đối nhau (1).
a) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B suy ra hai tia
,OI OB trùng nhau (2)
Điểm I nằm giữa hai điểm O và B suy ra hai tia
,OA OI đối nhau, do đó điểm O nằm giữa hai điểm A và I .
Từ (1) và (2) suy ra hai tia
,OI IB đối nhau (3).
b) Điểm I nằm giữa hai điểm O và B , suy ra hai tia
IO IA trùng nhau (4)
,
Điểm O nằm giữa hai điểm A và I suy ra hai tia
,IA IB đối nhau do đó điểm I nằm giữa hai điểm A và B .
Từ (3) và (4) suy ra hai tia
A
=
10
Câu 24: (h.69)
E
5.4 2
B
D
C
Hình 69
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-37-
Có đoạn thẳng là:
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
,
AB AC AD AE , , BC BD BE , , ,CD CE
- - -
A B C D E thẳng hàng thì kết quả trên vẫn không thay đổi.
,
,
,
,
)1
=
=
28
- DE Nếu cả 5 điểm
= 56 5.8
8n = .
( n n −
)1
( n n − 2
Câu 25: ; ;
=
10
Câu 26:
Hình 70
, suy ra số giao điểm không thể quá 10. Có thể vẽ như hình 70. Mỗi đoạn thẳng có số giao điểm với 4 đoạn thẳng còn lại nhiều nhất chỉ là 4. Vậy với 5 đoạn thẳng thì số giao điểm nhiều nhất là 5.4=20. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần do đó số giao điểm nhiều nhất chỉ có 5.4 2
Câu 27: (h.20)
Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy Ox Oy Ox Oy .
';
';
';
';
';
;
;
;
;
;
;
'
a) Có 12 tia là tia
OA OB OC OD AD BC AB CD . ,
,
,
,
,
,
,
b) Có 8 đoạn thẳng là
OA, BC và OD .
c) Những cặp đoạn thẳng không cắt nhau là: AD và BC , AD và OB , AD và OC , BC và
d) Tia Oy cắt đoạn thẳng BC tại điểm B . Vậy tia Ox là tia đối của tia Oy không cắt đoạn
thẳng BC .
A
O
Câu 28: (h.71)
a) Vì B nằm giữa O và C nên OB OC<
B
C
−
<
. mà OC OA< nên OB OA< hay OA OB>
OB > nên OA OB OA
0
Hình 71
b) Vì .
7 cm
=
+
Câu 29: (h.72)
EG = + = (cm) 2 3 5
a
E
F
G
H
2 cm
3 cm
Hình 72
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-38-
, a) Điểm F nằm giữa E và G nên EG EF FG
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
+
=
GH
cm= 2
. Thay số tính được Điểm G nằm giữa E và H nên EG GH EH
FG GH>
> (3 2)
=
=
=
Vậy .
> FG GH
2
cm EG FH
;
cm 5
. b)
=
+
Câu 30: (h.73)
=
+
(1) Điểm B nằm giữa A và F nên AF AB BF
nên từ (1) và (2) suy ra (2) mà AE BF<
. Điểm A nằm giữa E và B nên BE BA AE AF BE>
E
F
A
B
Hình 73
+
=
Câu 31:
AB BC AC
+ = (2 3 5)
,A B C thẳng
,
nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C suy ra
+
≠
+ ≠
a) Vì hàng.
AB BC AC
(2 3
4)
+
≠
+ ≠
b) Vì nên điểm B không nằm giữa hai điểm A và C .
BC CA BA
(3 4
2)
+
≠
+ ≠
Vì nên điểm C không nằm giữa hai điểm B và A.
BA AC BC
(2 4
3)
Vì nên điểm A không nằm giữa hai điểm B và C .
,A B C không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại từ đó suy
,
Vậy trong ba điểm
,
,
,A B C không thẳng hàng vì nếu
,A B C thẳng hàng thì phải có một
ra ba điểm
điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
+
+
Câu 32: (h.74)
= IB AB
1OI
cm=
. Thay số được a) Dùng cách cộng liên tiếp ta được AO OI
+
b) Điểm O nằm giữa A và B ; điểm I nằm giữa O và B nên điểm O nằm giữa A và I (xem bài 23)
= Suy ra AI AO OI
=
+
(1)
BO BI OI
5 cm
(2)
A
O
I
(1) (2) ra
a
2 cm
2 cm
B 6 cm
Từ AI BO và suy = ⇔ = ⇔ = b . AO BI
3
x
C
Hình 74
O
A
B
4
Hình 75
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-39-
Câu 33: Hướng dẫn
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
MN
cm= 1
Điểm M nằm giữa O và N , từ đó tính được
NP = suy ra MN NP<
2
. Điểm N nằm giữa O và P , từ đó tính được
Câu 34: (h.75)
OA OB<
< (4 6)
=
−
nên điểm A nằm giữa O và B , suy ra
6 4
2
BA BC<
< (2 3)
Hai điểm A và B trên tia Ox mà AB = − = (cm) AB OB OA ;
=
−
= − =
Hai điểm A và C trên tia BA mà nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C
AC BC BA
3 2 1(
cm
)
> .
Suy ra
AB AC>
(2 1)
a
x
Vậy
O
A
B
2 cm
=
Câu 35: a) Trường hợp điểm B nằm trên tia đối của tia AO (h.76a)
= + (cm) 2
Hình 76a
Lúc này A nằm giữa O và B nên + OB OA AB a
a
a > (h.76.b) thì điểm B nằm giữa = − = 2
− OB OA AB a
x
2 - Nếu A và O , suy ra (cm).
B
O
2
A
2
a = thì điểm B trùng với O ;
b) Trường hợp điểm B nằm trên tia AO .
Hình 76b
- Nếu khoảng cách giữa hai điểm O và B bằng 0.
2
a < thì O nằm giữa A và B .
- Nếu
Trường hợp này không xảy ra vì O là gốc của tia Ox , không thể nằm giữa hai điểm của tia Ox .
OB a= −
2
OB a= +
2;
Tóm lại, bài toán có 3 đáp số:
Hoặc khoảng cách giữa O và B bằng 0.
5
Câu 36: (h.77)
= +
+ +
(cm) )
= 5 = (cm); 7
B
A
F
E
+
= (cm)
+ AE EB
FE
7
(
)
Hình 77
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-40-
a) Điểm E nằm giữa hai điểm A và B nên AE BE AB nên AE FE EB
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
=
=
5(
+ cm FE )
7(
cm
)
FE
2(
cm
)
suy ra .
N
M
O
=
=
Câu 37: (h.78)
A
mà suy ra điểm nên OM ON<
B
=
+
a) Điểm A nằm giữa O và B nên OA OB< OM OA ON OB ; M nằm giữa hai điểm O và N .
Hình 78
=
+
=
=
(1) b) Ta có OB OA AB
OB ON OA OM ;
(2) Vì nên
ON OM MN từ (1) và (2) suy ra AB MN=
.
=
+
Câu 38: (h.79)
B
A
I
O
AO <
Điểm O nằm giữa A và B nên AO OB AB nên 2AO AB< Vì AO OB<
AB 2
Hình 79
+
Hay (1)
AI >
. Điểm I nằm giữa A và B nên AI
= IB AB AB 2
hay (2) Vì IA IB> nên 2AI AB>
Từ (1) và (2) suy ra AO AI< , do đó O nằm giữa A và I .
+
=
Lập luận tương tự ta được I nằm giữa B và O .
Câu 39: Ta thấy MO ON MN (vì 2+2=4). Vậy điểm O nằm giữa hai điểm M và N (1)
Mặt khác OM ON= (2) nên từ (1) và (2) suy ra O là trung điểm của đoạn thẳng MN .
Câu 40: (h.80)
4,5 cm
M
x
=
thuộc
AM OM OA AM
− = 4,5 3 1,5(
cm
)
;
O
A
M
B
3 cm
Hình 80
=
=
tia Ox mà Hai điểm A và M < OA OM< nên điểm A nằm giữa O và (3 4,5) − = . suy ra
cm
)
trung điểm của AB nên Vậy .
)
Điểm M = AM AB 2 = = AB AO ( 3 là 2.1,5 3( cm (1)
Điểm A nằm giữa hai điểm O và M nên hai tia AO và AM đối nhau (2)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-41-
Điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên hai tia AM và AB trùng nhau (3)
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
) .81h
Từ ( )2 và ( )3 suy ra hai tia AO và AB đối nhau do đó điểm A nằm giữa hai điểm O và B( )4 Từ ( )1 và ( )4 suy ra A là trung điểm của OB .
Hình 81
41. (
.82h
)
− N là trung điểm của MO − O là trung điểm của NP và MQ − P là trung điểm của OQ và NR - Q là trung điểm của PR
=
=
= MA MB
AB
cm 3
42. (
1 2
AC AM<
. a) M là trung điểm của AB nên M nằm giữa A và B;
Trên tia AB có
) 2 3<
( Trên tia BA có BD BM<
< 2 3 (
nên D nên C nằm giữa A và M )
= − =
−
MC AM AC
−
=
MD MB BD
cm
) cm )
( 3 2 1 (
nằm giữa B và M. từ đó suy ra M nằm giữa hai điểm C và D. ( )1 = Ta có
= − = 3 2 1 ( )2
Hình 82
Vậy MC MD= Từ ( )1 và ( )2 suy ra M là trung điểm của CD
b) Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AD; điểm D là trung điểm của đoạn thẳng
)
CB. .83h 43. (
cm= 3
OB
=
cm
1,5
suy ra
AI=AO+OI=2+1,5=3,5 cm
(
)
O nằm giữa A và B nên OI Điểm O nằm giữa A và B; điểm I nằm giữa O và B suy ra O nằm giữa A và I (xem bài 23) Vậy
= 10 AB cm cm= 2
hình 83
44. Trường hợp M và N nằm trên hai tia đối nhau gốc O thì AB Trường hợp M và N cùng nằm trên một tia gốc O thì
45. (h.84)
MA MB=
( )1
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-42-
M là trung điểm của AB nên M nằm giữa A và B,
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
,BM BA trùng nhau; hai tia
Hình 84
=
=
OM OB BM
Hai tia
,BO BA đối nhau suy ra hai điểm ,BM BO đối nhau, do đó B nằm giữa hai ( )2
điểm M và O . Vậy
,MA MB đối nhau , hai tia
,MA MO đối nhau
=
−
Hai tia
OM OA MA
,MB MO trùng nhau suy ra hai tia ( )3
=
=
+
OM
. do đó M nằm giữa A và O. Vậy
1 , 2 , 3 suy ra 2OM OA OB
+ OA OB 2
hay Từ ( ) ( ) ( )
46. (h.85)
Hình 85
=
M B = 3
3
= Có M B = 1
100 2 2 100 2 2
AB 2 M B 2 2
= 1
M B = 100
….
BM
BM<
100
100M nằm giữa hai điểm B và
1M .
99
=
=
−
nên điểm Vì
100 2 100 2 ( )99 < 1 1 2 − M B M B
2
1
cm
(
)
100
1
M M 1
100
Do đó
a= 2
AB
47.
a) Có 8 tia là Ax; Ay; Az; Bx; By; Bz; Ox; Oy; Oz b) Có 6 đoạn thẳng là CA; CO; CB; AO;AB;OB. c)
= =
⇔ là trung điểm của AB
⇔ = ⇔ O trùng A. AB BO ⇔ = BO AB
O
2
đạt GTNN là 4 cm khi điểm O trùng với điểm B
48. a) tổng AB BO+ + BO AB OB 2 + AB BO BO 3 ) .86h b) c) 49. (
=
=
AM
AB
cm 3
1 2
= −
a
3
CM
3a < thì a = thì khoảng cách giữa hai điểm C và M bằng 0 3 3
CNM a= −
a< < thì 6
Hình 86
M là trung điểm của AB nên
CM a= −
3
.87h
Nếu Nếu Nếu 3 Tóm lại: với mọi trường hợp thì khoảng cách
50. (
) a) Điểm K − =
= − =
nằm và D nên
CK CD DK
cm
5 3 2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-43-
. giữa C ) (
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
do đó K không phải là trung điểm của CD. Vậy KC KD<
( 1 2<
)
Hình 87
=
CI
CK
nên điểm I nằm giữa hai điểm b) Hai điểm I và K nằm trên tia CD mà CI CK<
1 2
.88h
)
C và K. mặt khác nên I là trung điểm của CK
51. (
Hình 88
.
=
=
OM
;
ON
a) Hai tia OA, AB đối nhau nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra OA OB<
OA 2
OB 2
vì b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên
nên OM ON<
OA OB< Hai điểm M và N thuộc tia OB mà OM ON< N.
=
=
+
=
−
MN
.
nên điểm M nằm giữa hai điểm O và
= suy ra MN ON OM
− OA OB 2
AB 2
hay c) Ta có OM MN ON
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-44-
Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
.89h
)
Chương II. GÓC
)II
Hình 89
52. (
Đoạn thẳng AB không cắt a, vậy hai điểm A,B nằm cùng phía đối với đường thẳng a, chẳng hạn cùng nằm trên nửa mặt phẳng ( )I Đoạn thẳng BC cắt a nên B thuộc nửa mặt phẳng ( )I thì C thuộc nửa mặt phẳng ( Đoạn thẳng CD không cắt a nên C và D cùng )II thuộc nửa mặt phẳng ( Hai điểm A và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a nên đoạn thẳng AD cắt a.
53. Ba bạn A, C, E đến nhà nhau không phải qua đường cao tốc. hai bạn B,D đến nhà nhau cũng không phải qua đường cao tốc.
Hình 90
54. a) Theo nguyên lý Dirricle, có 5 điểm mà chỉ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau nên phải có một mặt phẳng chứa ít nhất ba điểm
b)- Nếu cả 5 điểm thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì không có đoạn thẳng nào cắt m.
- Nếu có 4 điểm thuộc một nửa mặt phẳng, còn một điểm thuộc nửa mặt phẳng đối thì
có 4 đoạn thẳng cắt m.
.90h
)
.91 , h
. Vậy nhiều nhất là có 6 đoạn thẳng cắt m. - Nếu có 3 điểm thuộc một nửa mặt phẳng, còn hai điểm thuộc nửa mặt phẳng đối thì có 6 đoạn thẳng cắt m(
∈
∈
A Ox B Oy . ;
't t nên đoạn Vì A và B nằm khác phía đối với đường thẳng 't t tại điểm M nằm giữa A và B. Do đó, có ít nhất một trong hai tia 'Ot nằm giữa
;
) a b Lấy điểm thẳng AB cắt Ot Ot cắt đoạn thẳng AB tại M. Điều đó chứng tỏ hoặc tia Ot hoặc tia ' hai tia Ox;Oy
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-45-
55. (
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
.92h
)
Hình 91b Hình 91a
56. (
Điểm N nằm giữa A và C nên tia BN nằm giữa hai
Hình 92
=
10
tia BA, BC. Điểm M nằm giữa A và B nên tia CM nằm giữa hai tia CA; CB
(góc). Đó là các góc 57. a) Số góc có là Tia BN nằm giữa hai tia BA, BC do đó tia BN phải cắt đoạn thẳng CM tại một điểm nằm giữa C và M Tương tự, tia CM cắt đoạn thẳng BN tại một điểm nằm giữa B và N, suy ra hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau. 5.4 2
=
−
− = 21 6 15
aOb , aOc , aOd , aOt ; bOc , bOd , bOt ; cOd , cOt ; dOt b) Có 3 cặp góc kề bù là: aOc và bOc ; aOd và bOd ; aOt và bOt .
7.6 2
4.3 2
(góc) 58. Số góc tăng thêm là:
59.
=
15
a) Ba đường thẳng đồng quy tại O tạo thành 6 tia gốc O
6.5 2
Số góc tạo thành là: (góc) trong đó có 3 góc bẹt.
−
2
n
(
) 1
=
n
− (góc)
b) Nếu có n đường thẳng đồng quy tại O thì tạo thành 2n tia gốc O. Số góc đươc tạo
( n . 2
) 1
n 2 2
−
) 1
=
−
=
28;
= 56 8.7;
n
= 8
) 1
( n n
thành là:
( n n 2 .93h
)
60.
61. (
a) Hai góc BOC và BOA hề bù nên hai tia OC và OA đối nhau do đó điểm O nằm
giữa hai điểm A và C.
b) Tia BO nằm giữa hai tia BA và BC nên điểm O
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-46-
nằm trong góc ABC .
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
Hình 93 +
=
+
AOM > , lúc đó AOB AOM AOB
c) Các cặp góc kề bù đỉnh B là: ABO và ABy ; CBO và CBy .
+
>
62. a) Nếu tia OM trùng với tia OA, ta coi AOM là “góc không” lúc đó AOB AOM AOB b) Nếu tia OM nằm không trùng với tia OA thì 0 > c) Tia OM nằm giữa hia tia OA, OB hoặc tia OM trùng với tia OA hoặc trùng với tia OB
.94h
)
thì AOM MOB AOB
63. (
<
Hình 94
.95h
tia OB, OC nên
) Hai góc AOC và BOC kề bù, mà BOC là góc nhọn nên AOC là góc tù Vậy ( )1 < BOC AOC Tia ON nằm giữa hai ( )2 < BON BOC Từ ( )1 và ( )2 suy ra BON AOC 64. (
+
+
060 thì
(kề bù) mà tia On nằm
,
xOn nOm mOy đều nhỏ hơn 0 180
Hình 95
060 .
xOn nOm mOy ít nhất có một góc lớn hơn hoặc bằng
,
.96h
)
Ta có 0 + = xOm mOy 180 giữa hai tia Ox, Om nên = xOm xOn nOm Do đó: 0 + = xOn nOm mOy 180 Nếu mỗi góc ,
tổng của chúng nhỏ hơn Từ đó suy ra trong 3 góc , 65. (
OA OB<
< 2 5
(
)
0
0
−
=
−
=
=
80
30
.97h
Hai điểm A và B trên tia Ox mà nên
Hình 96
=
−
=
−
A nằm giữa O và B suy ra tia CA nằm giữa hai tia CO và CB. Vậy 0 ACB OCB OCA 110 ) 66. (
0 bOy
180
. , bOx
−
m
m
theo có: bài đề ta ,
)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-47-
Hai góc aOx và aOy kề bù; bOx và bOy kề bù nên 0 aOx 180 aOy Đặt 0 aOy m= ( − = 3 180 2 180
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
m =
072
Hình 97
.98h
)
,
AOB BOC COA không có điểm trong chung nên
=
Giải ra được 67. (
0
0
−
=
360
130
120
)
0
0
0
+
≠
≠
0 Ba góc , 0 + + AOB BOC COA 360 ( Suy ra: 0 COA = 110
120
130
)
+ ( 110 Nên tia OB không nằm giữa hai tia OA, OC. Tóm lại, trong ba tia đã cho, không có tia nào nằm giữa hai tia còn lại.
0
Hình 98
180 0
0
−
. Ta có + AOB BOC AOC
m
180
.99h
m ≤ m > )
68. Nếu Nếu thì 0 AOC m= thì 0 = 360 AOC
0
0
0
=
−
=
−
=
69. (
0 xOm
180
180
120
.
0
⇔
>
⇔
60
0
<
< yOm yOn yOn xOn
⇔ < a
120
120
Hình 99
⇔
Hai góc xOm và yOm kề bù nên yOm 60 Tia OM nằm giữa hai tia Oy và On
,Oy Ot cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox thì 050
yOt =
. 70. Nếu hai tia
,Oy Ot thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox thì
0
0
0
0
−
+
=
yOt =
360
150
110
( 100
)
0
Nếu hai tia
100 hoặc
71. Hướng dẫn: Xét hai trườn hợp vị trí của tia Oz. 040 .
,OA OB nên
=
+
Đáp số ) h .100 72. (
.
<
(đề bài)
0
0
0
+
+
=
30
50
120
a) Tia ON nằm giữa hai tia AON BON AOB Mà + < AOM BON AOB Suy ra AOM AON Do đó tia OM nằm giữa hai tia OA, ON.
)
b) 0 AOB = 40 h .100 73. (
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-48-
Tia OM nằm giữa hai tia OA, OB
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
=
AOM <
< nên 2 ; AOM AOB
( )1
AOB 2
=
nên + AOM BOM AOB Vì AOM BOM<
Hình 100
>
>
2
;
Tia ON nằm giữa hai tia OA, OB nên + AON BON AOB
AOB 2
<
nên > AON AOB AON Vì AON BON ( )2
) h .101
suy ra tia OM nằm giữa hia tia OA, ON.
0
<
<
130
40
Từ ( )1 và ( )2 suy ra AOM AON 74. (
)
nên tia Oy
,Ox Oz suy ra:
0
0
=
=
=
−
xOz
xOy
90
40
0
Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox có ( 0 xOz xOy nằm giữa hai tia
90<
60
0 − yOz 130 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz, có ) zOt 0 < zOy
nên tia Ot nằm giữa (
Hình 101
0
0
=
=
−
=
zOt
zOy
60
30
0
0
0
<
<
<
hai tia
xOy
yOt
30
40
60
)
h .102
)
.
,Oz Oy suy ra 0 − yOt 90 Vậy ( < zOt 75. (
=
AOB
0 = + AOT BOT 180 Các tia OM, ON thứ tự là các tia phân giác của các
Vì hai góc AOT và BOT kề bù nên tia OT ,OA OB và nằm giữa hai tia
MON =
AOB 2
Hình 102
(xem thí dụ góc AOT và BOT nên
090 MON =
h .103
)
17)
76. (
=
(kề bù)
0
0
+
=
180
20 : 2 100
)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-49-
0 Ta có 0 + = BOT AOT 180 Mà 020 − BOT AOT Nên ( BOT =
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
0
0
0
−
=
50
130
Hình 103
h .104
= BOD = 50 Tia OD là phân giác của góc BOT nên 100 2
0
0
<
<
<
<
Suy ra 0 AOD = 180 ) 77. (
100
75
)
nên tia Oy nằm
50 ( ) 1
đồng thời tia Oy nằm giữa hai Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chua tia Ox , có ( 0 xOt xOz xOy giữa hai tia , Ox Ot
, Ox Ot đồng thời
tia Ox,Oz tia Oz nằm giữa hai tia
, Oy Ot
0
=
=
−
xOy
50
50
=
− = kết hợp với ( )1 suy ra tia Oy là tia
Hình 104
0
0
0
=
−
=
−
=
75
50
25
Oz nằm giữa hai tia
0
0
0
=
=
=
−
100
25
75
=
− kết hợp với ( )2 suy ra Oz là phân giác của góc yOt .
( ) 2 Ta có 0 xOt 100 yOt Vậy xOy yOt phân giác của góc xOt xOy xOz zOy xOz xOt zOt Vậy , zOt zOy
Ta có
78. Tia OD không nằm giữa hai tia OE, OF nên tia OD
.105 h
)
không phải là tia phân giác của góc EOF
,
AOB BOC COA không có điểm chung
=
+
AOB BOC COA
=
=
=
0 180 'OA là tia đối của tia OA nằm giữa hai tia
Hình 105
79. (
'
'OA là tia phân giác của góc .
(cùng bù với hai góc bằng nhau)
h .106
)
Ba góc , trong nên 0 + 360 Suy ra 0 AOB BOC COA 120 Hai góc kề AOB và AOC có tổng lớn hơn nên tia ,OB OC . Ta có ' = A OB A OC Suy ra tia Chứng minh tương tự ta được tia đối của tia OB là tia phân giác của góc AOC ; tia đối của tia OC là tia phân giác của góc AOB .
0
=
−
a
=
80. (
080
a =
2. 180
Hình 106
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-50-
suy ra Hai góc xOt và yOt kề bù nên 0 xOt 180 Muốn cho tia Oz là phân giác của góc xOt thì 0 = 100 xOz xOt 0 0 = a− Vậy 0 100 ,
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
h .107
)
=
=
BOM AOM=
0 25
81. (
0 AOB 50 = 2 2
0
=
AON =
75
0 AOC 150 = 2 2
0
<
a)
25
75
Hình 107
0
0
−
=
−
=
nên tia OM nằm
50
25
0
0
0
<
<
<
<
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, có ) ( 0 < AOM AON giữa hai tia ,OA ON . Suy ra 0 MON AON AOM 75
25
50
75
= b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có ( AOM AOB AON
)
nên
=
=
tia OB nằm giữa hai tia OM và ON
0 50 MON 0 25 2 2
ta có: BOM nên tia OB là phân giác của góc MON .
)
<
h .108 82. (
<
<
AOx AOB < AOx AOB AOy Suy ra tia OB nằm giữa hai tia Ox và Oy ( )1 Đồng thời tia Ox nằm giữa hai tia OA và
( )2Oy
Hình 108
=
−
=
=
=
+
a) Tia Ox là tia phân giác của góc AOB suy ra mà AOB AOy (đề bài) nên
=
) (vì AOx BOx b) Từ ( )1 suy ra + xOB BOy xOy Từ ( )2 suy ra xOy AOy AOx Do đó 2xOy AOy BOy
+ AOy BOy 2
) ; lúc đó tia
hay xOy
20
10Ox là tia phân giác chung của 10 góc:
,....,
;
;
x Ox xOx 10 2
x Ox 9
x Ox 1
20
18
19
Hình 109
83. ( h .109 n =
=
10
84. Con trâu ăn được cỏ trong một hình tròn có tâm là chiếc cọc và bán kính 3m. 85.
5.4 2
(dây cung) a) Số dây cung là
20=
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-51-
cung b) Số cung trên đường tròn là 10.2
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
h .110
)
86. (
=
= − =
a) Điểm C nằm giữa hai điểm O và A( bạn
(
)
AC OA OC BD cm= 1 Tương tự cm= DB 1 nên
3 2 1 cm . Vậy AC BD= DM cm= 1
đọc tự giải thích) − Suy ra
b) Vì
=
DM
DO
. Điểm M nằm giữa D và O (bạn đọc tự giải
thích)mà nên M là trung
=
+
1 2 +
= c) ON ND OD DB OB
Hình 110
điểm của OD.
,
,A B C lập thành một nhóm. Theo đề bài, trong mỗi nhóm ba điểm bất kì bao
1
AB > nên hoặc
C< 1,
1
AC < C nằm trong (
);1A hoặc
BC );1A hoặc nằm trong (
87. Gọi C là điểm bất kì trong số 97 điểm còn lại.
Ba điểm giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Ta suy ra: nằm trong ( );1B Vì );1B . Theo nguyên Như vậy, 97 điểm còn lại , hoặc nằm trong ( lí Điricle phải có một đường tròn chứa ít nhất là 49 điểm, thêm điểm A hoặc B nữa nên phải có một đường tròn chứa ít nhất là 50 điểm trong số các điểm đã cho.
88.
a) Có 10 tam giác là: ABC, ABD, ABE, ACE, ACD, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE b) Chỉ còn 8 tam giác (bớt đi tam giác ABC và
có 8 tam giác là BOE, COD,BOC, ABD, ADE) ) .51h 89. (
) h .111
ACE, BEC, BDC, ABC.
,AB AC nên điểm N
90. (
a) Tia AM nằm giữa hai tia
nằm giữa hai tia hai điểm B và C. Tia BM nằm giữa hai tia BA và BC nên điểm M nằm giữa hai điểm A và N
Hình 111
b) Có 8 tam giác trong hình (bạn đọc tự viết ra)
91. a,b xem hình 112
Hình 112
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-52-
c) E là trung điểm của OB ; D là trung điểm của OC .
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
a .113 ,113 h
) b
.113H
92. (
) a do đó
Đường thẳng a là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau. Hai điểm A và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau đó. Xét điểm C - Nếu C và A nằm khác phía đối với a thì C và B cùng phía đối với a(
.113H
đường thẳng a cắt cạnh AC và không cắt cạnh BC.
) b
- Nếu C và A nằm cùng phía đối với a thì C và B nằm khác phía đối với a(
do đó đường thẳng a không cắt cạnh AC mà cắt cạnh BC.
BOD COD nhọn; AOD tù.
AOC BOC vuông; ; ,OB OC nên
=
+
)
Hình 113a Hình 113b
=
94. (
0
0
=
130
50
=
,AM AN
0
0
=
+
(kề bù)
50
100 b) Tia Bx nằm giữa hai tia BM và BN nên
Hình 114
0
−
− = OBN MBN MBO 0 0 = OBN = 100
40
60
93. a) Các góc ; b) Vì tia OD nằm giữa hai tia 090 = BOD COD BOC Do BOD và COD là hai góc không bằng nhau nên một trong hai góc đó phải nhỏ hơn 045 h .114 a) 0 + MAx MAy 180 Suy ra 0 MAy = − 180 Tương tự: 050 NAy = Vậy MAy NAy Mặt khác tia Ay nằm giữa hai tia nên tia Ay là tia phân giác của MAN. 0 MAN = 50
OA OB=
cm= 2
cm= 2
OB
OA
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-53-
c) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B; muốn cho O là trung điểm của AB thì nên . Vì
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
)
95. (
= zOm zOn
h .115 a) Có ( )1
<
,Om On
=
(đề bài)
(cùng phụ với hai
Hình 115
=
zOm và zOn là hai góc nhọn nên 0 + zOm zOn 180 Suy ra tia Oz nằm giữa hai tia ( )2 Từ ( )1 và ( )2 suy ra tia Oz là tia phân giác của góc mOn . b) Dễ thấy xOn yOn góc bằng nhau) xOt = yOn Suy ra xOm yOt
(cùng bù với góc yOt )
<
<
( )3
,Ox On suy ra nOt
nên tia Ox nằm giữa Ta chứng minh được xOn là góc tù, do đó xOm xOn < nOm nOx
Om Ot ,
hai tia Vậy tia Om nằm giữa hai tia ( ) 4 . Từ ( )3 và ( )4 suy ra tia Ox là tia phan giác của hóc mOt .
) = AB
+ a b
2
)
NOB =
h .116
96. ( ( a) b) Tính được 020
Từ đó suy ra tia ON là tia phân giác của góc MOB .
Hình 116
=
97. a) Giả sử tia Ot nằm giữa hai tia Ox,Oy
tOy
xOt
+
=
0 tOy
0 45
75 Điều này vô lí nên tia Ot không nằm giữa hai tia Ox,Oy
. Thay số được Ta có + xOy
+
=
=
+
xOy
110
0 75
b) Giả sử tia Ot nằm giữa hai tia Ox,Oy . Ta có: 0 . Thay số ta đươc
xOt xOy tOy Hay 0 xOy = 185 c) Nếu hai tia ,Ox Oy thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot thì hai tia Ox,Oy ,Ox Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa
0
0
=
+
=
điều này vô lí nên tia Ot không nằm giữa hai tia Ox,Oy
180
tOy
90
nên tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy.
h .117
xOt )
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-54-
trùng nhau, trái đề bài. Vậy hai tia tia Ot Ta có 0 + 90 98. (
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
A B M N thẳng hàng vì chúng
,
,
, cùng nằm trên đường thẳng MN BM
a) Bốn điểm
b) Ta tính được
trên
cm= 2 Hai điểm N, M ( < BN BM< 1 2
)
tia BA mà nên điểm N nằm giữa B
suy ra N là trung điểm
Hình 117
= + + =
∆
=
+
4 4 1 9
+ CAN CA AN NB
và M. Dễ thấy NB NM= của đoạn MB.
(
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-55-
c) Đường tròn tâm N đi qua B nên có bán kính 1cm Đường tròn tâm A đi qua N nên có bán kính 4cm ) Chu vi cm
NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com
MỤC LỤC
PHẦN: HÌNH HỌC
Chương I. ĐOẠN THẲNG
......................................................................................................................... 1
§ 1. Điểm. Đường thẳng. Ba điểm thẳng hàng
............................................................................................................ 1
.............................................................................................. 1
§ 2. Đường thẳng đi qua hai điểm
..................................................................................................................... 3
§ 3. Tia….........
....................................................................................................................................................... 6
§ 4. Đoạn thẳng. Độ dài đường thẳng. Cộng độ dài hai đường thẳng
.................................................... 8
§5. Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài
................................................................................................................... 11
§6. Trung điểm của đoạn thẳng
....................................................................................................................... 13
§ 7. Ôn tập chương I
........................................................................................................................................... 15
Chương II. GÓC
............................................................................................................................. 17
§ 1. Nửa mặt phẳng
............................................................................................................................................. 17
§2. Góc. Số đo góc. Cộng số đo hai góc
....................................................................................................... 19
§3. Vẽ góc cho biết số đo
.................................................................................................................................. 22
§4. Tia phân giác của một góc
......................................................................................................................... 24
§5. Đường tròn
………………………………………………………………………………………………………………26
§6. Tam giác
…..…………………………………………………………………………………………………………..28
§7 Ôn tập
…………..…………………………………………………………………………………………………………..30
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038
-56-
