Chuyên đề ôn thi đại học 2010
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu – Lục Yên.Yên Bái Trang 1
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A – ĐƯỜNG THẲNG:
1. Lý thuyết:
- Nhắc lại phương trình đường thẳng
- Nhắc lại các khái niệm cơ bản trong tam giác, hình bình hành, hình chữ nhật, hình
thoi, hình vuông.
2. Bài tập:
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp: B1: Xác định 1 điểm đi qua
B2: Xác định 1 điểm đi qua khác hoặc vtpt hoặc vtcp của đường thẳng.
B3: ADCT viết PT đường thẳng.
Các ví dụ:
VD1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(−4;−5) và hai đường cao có
phương trình 5x+3y−4=0 và 3x+8y+13=0.
Đáp số: 8x−3y+17=0; 3x−5y−13=0; 5x+2y−1=0.
VD2: Viết phương trình đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC biết tọa độ trung
điểm của các cạnh là M(−1;1);N(1;9) và P(9;1).
Đáp số: x−y+2=0;x−1=0;x+4y−13=0.
VD3: Cho M(2;1), N(5;3) và P(3;−4) là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC. Lập
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Đáp số: 2x−3y−18=0;7x−2y−12=0;5x+y−28=0
VD4: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(−4;5) và một đường chéo đặt trên d:7x−y+8=0. Lập
phương trình các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông.
Đáp số: AB:3x−4y+32=0; AD: 4x+3y+1=0;
BC: 3x−4y+7=0; CD:4x+3y−24=0; AI: x+7y−31=0
Dạng 2: Tìm toạ độ điểm, khoảng cách, hình có tính chất vuông, cân, đều
VD5: Trong mp Oxy cho đường thẳng
: 3 2 0
x y
∆ + + =
và hai điểm
(
)
(
)
1;3 ; 1; 2
A B−
.
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua
∆
.
b) Tìm điểm
:
P PA PB
∈ ∆ +
nhỏ nhất.
Đáp số:
(
)
A−
VD6 (Khối A-2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng :
02:04:,03: 321
=
−
=
−
−
=
+
+
yxdyxdyxd
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng
3
d
sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng
1
d
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng
2
d
.
Đáp số:
(
)
(
)
1 2
22; 11 , 2;1
M M− −
Chuyên đề ôn thi đại học 2010
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu – Lục Yên.Yên Bái Trang 2
VD7 (Khối B-2003) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC
có
0
, 90
AB AC BAC= =
. Biết
)1;1(
−
M
là trung điểm của cạnh BC và
0;
3
2
G
là trọng tâm
tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Đáp số:
(0; 2),A
Täa ®é cña B, C lµ (4;0),(-2;-2)
VD8 (Khối B-2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
)2;2(A
và các đường thẳng:
02:
1
=
−
+
yxd
và
08:
2
=
−
+
yxd
Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d
1
và d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Đáp số: B(-1;3), C(3;5) Hoặc B(3;-1), C(5;3)
VD9 (Dự bị I khối B-2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B,
với
(
)
(
)
1; 1 , 3;5
A C
−
. Đỉnh B nằm trên đường thẳng
: 2 0
d x y
− =
. Viết phương trình các
đường thẳng
,
AB BC
.
VD10 (Khối B-2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
(
)
1; 4
A
−
và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng
: 4 0
x y
∆ − − =
. Xác định tọa độ các điểm B và
C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Đáp số:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
−
hoặc
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
−
Bài tập tự luyện
1. (Khối B-2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm
A(1;1)
và
B(4;-3)
.Tìm
điểm C thuộc đường thẳng
012
=
−
−
yx
sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng
6.
ĐS:
1 2
43 27
(7;3), ;
11 11
C C
− −
2. (Khối D-2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh
m)C(0;B(4;0);A(-1;0);
với
0
≠
m
.Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định
m để tam giác GAB vuông tại G.
ĐS:
(
)
(
)
1 2
1; 6 , 1; 6
G G −
3. (Dự bị II khối A-2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
(
)
0; 2
A
và đường
thẳng
: 2 2 0
d x y
− + =
. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB =
2BC.
4. (Dự bị II khối D-2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
(
)
2;3
A
và hai đường
thẳng
1
: 5 0
d x y
+ + =
và
2
: 2 7 0
d x y
+ − =
. Tìm tọa độ các điểm B trên d
1
và C trên d
2
sao
cho tam giác có trọng tâm là
(
)
2;0
G
5. (Dự bị I khối D-2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
(
)
2;1
A
. Lấy điểm B
thuộc Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc Oy có tung độ không âm sao cho tam giác
ABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Dạng 3: Bài toán trong tam giác
LOẠI 1: Xác định các yếu tố trong tam giác khi biết trước tọa độ của một đỉnh và phương trình
của hai đường có cùng tính chất (hai đường trung tuyến, hai đường cao, hai đường phân giác,
trong) đi qua hai đỉnh còn lại
Chuyên đề ôn thi đại học 2010
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu – Lục Yên.Yên Bái Trang 3
VD11: Cho tam giác ABC, có đỉnh A(2;2) và hai đường cao lần lượt có phương trình
0439
=
−
−
yx
;
02
=
−
+
yx
. Lập phương trình của các đường thẳng AB, BC và CA.
Đáp số: AB:
0
=
−
yx
AC:
083
=
−
+
yx
BC:
0857
=
−
+
yx
VD12: Cho tam giác ABC có
)11;2(
−
A
và các đường phân giác trong của các góc B và C lần
lượt có phương trình
012
=
+
−
yx
;
03
=
+
+
yx
. Lập phương trình của các đường thẳng BC
Đáp số:
034
=
+
−
yx
LOẠI 2: Xác định các yếu tố trong tam giác khi biết trước tọa độ của một đỉnh và phương trình
của hai đường khác tính chất (đường trung tuyến và đường cao, đường cao và đường phân
giác,đường trung tuyến và đường phân giác trong).
VD13: Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC, biết
(
)
4; 1
C
−
và đường cao, trung tuyến kẻ
từ đỉnh B lần lượt có phương trình
2 3 12 0; 2 3 0
x y x y
− + = + =
Đáp số:
(
)
8; 7
A
−
VD 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết đỉnh
(
)
1;3
A−
, đường cao
: 0
BH x y
− =
, đường phân giác trong của góc C nằm trên đường thẳng
: 3 0
d x y
+ =
. Viết
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Đáp số:
: 2 0 : 7 18 0 : 3 6 0
AC x y BC x y AB x y
+ − = − − = − + =
LOẠI 3: Xác định các yếu tố trong tam giác khi biết trước tọa độ của một số điểm đặc biệt nào
đó của tam giác (chằng hạn: Chân đường trung tuyến, chân đường cao, chân đường phân giác
trong…)
VD 15: Cho tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh
AC của tam giác, biết tọa độ các chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là
(
)
(
)
(
)
1
1; 2 ; 2;2 ; 1; 2
A B C− − −
.
Đáp số:
2 6 0
x y
+ − =
Dạng 4: Bài toán sử dụng tính chất hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình bình hành
VD17 (Khối A-2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng
0:
1
=
−
yxd
và
012:
2
=
−
+
yxd
.Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết rằng đỉnh A thuộc d
1
, đỉnh
C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Đáp số: A(1;1), B(0;0), C(1;-1), D(2;0) Hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;-1), D(0;0)
VD18 (Khối A-2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
(
)
6; 2
I
là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm
(
)
1;5
M
thuộc đường thẳng AB và
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
: 5 0
x y
∆ + − =
. Viết phương trình đường thẳng
AB.
Đáp số:
: 5 0
AB y
− =
hoặc
: 4 19 0
AB x y
− + =
VD19 (Khối B-2002) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật
ABCD có tâm
0;
2
1
I
, phương trình đường thẳng AB là
022
=
+
−
yx
và
AD
AB
2
=
. Tìm
toạ
độ
các
đỉ
nh A, B, C, D bi
ế
t r
ằ
ng
đỉ
nh A có hoành
độ
âm.
Đ
áp s
ố
:
( 2;0), (2; 2), (3; 0), ( 1; 2)
A B C D
− − −
Chuyên đề ôn thi đại học 2010
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu – Lục Yên.Yên Bái Trang 4
Bài tập tự luyện
1. (Dự bị I khối D-2003) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
(1; 0)
A
và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương
ứng là
2 1 0
x y
− + =
và
3 1 0
x y
+ − =
. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC biết đỉnh
(
)
4; 4
A
, trung tuyến
1
: 2 3 10 0
BB x y
+ − =
và đường phân giác trong của góc C nằm trên đường thẳng
(
)
: 1 2 0
d x y
− + =
. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Đáp số:
: 0 : 0 : 4 20 0
BC y AC x y AB x y
= − = + − =
3. (Khối B-2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác
ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
H(-1;-1)
, đường phân
giác trong của góc A có phương trình
02
=
+
−
yx
và đường cao kẻ từ B có phương trình
0134
=
−
+
yx
ĐS:
(
)
10 / 3;3 / 4
C−
4. (Khối D-2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có
(
)
2;0
M
là trung
điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
7 2 3 0
x y
− − =
và
6 4 0
x y
− − =
. Viết phương trình đường thẳng AC.
5. Cho tam giác ABC có
(
)
1;3
A−
, đường cao BH nằm trên đường thẳng
y x
=
, phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng
3 2 0
x y
+ + =
. Viết phương trình đường thẳng BC.
Đáp số:
7 18 0
x y
− − =
6. Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết
(
)
4;3
C
và các đường phân giác trong, trung
tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình
2 5 0; 4x + 13y 10 0
x y
+ − = − =
.
Đáp số:
(
)
12;1
B−
7. (
D
ự
b
ị
II kh
ố
i A-2007)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm
(
)
2;0
G−
. Biết phương trình các cạnh AB và AC lần lượt là
4 14 0
x y
+ + =
và
2 2 0
x y
+ − =
.
Tìm tọa độ
, , ?
A B C
8.
D
ự
b
ị
I kh
ố
i D-2004:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông ở A.
Biết
(
)
1; 4
A−
,
(
)
1; 4
B
−
, đường thẳng BC đi qua điểm
7
; 2
3
K
. Tìm tọa độ đỉnh C.
9. Dự bị II khối B-2006: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
(
)
2;1
A
, đường cao qua đỉnh B có phương trình là
3 7 0
x y
− − =
và đường trung tuyến qua
đỉnh C có phương trình là
1 0
x y
+ + =
. Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác.
10. Dự bị I khối B-2008: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với
5
AB =
,
(
)
1; 1
C
− −
, đường thẳng AB có phương trình
2 3 0
x y
+ − =
và trọng tâm của tam giác ABC
thuộc đường thẳng
2 0
x y
+ − =
. Hãy tìm tọa độ đỉnh A và B.
11. Dự bị I khối A-2008: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với đường
cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác tỏng của góc A lần lượt có phương trình là
3 4 10 0
x y
+ + =
và
1 0
x y
− + =
; điểm
(
)
0; 2
M
thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một
khoảng bằng
2
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
12. (Dự bị II khối B-2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC đỉnh A,
có trọng tâm
4 1
;
3 3
G
, phương trình đường thẳng BC là
2 4 0
x y
− − =
và phương trình đường
thẳng BG là
7 4 8 0
x y
− − =
. Tìm tọa độ đỉnh A.