Chuyên đề: GIÁ TR TUY T Đ IỊ Ệ Ố
I. Lý thuy tế
*Đ nh nghĩaị: Kho ng cách t đi m a đ n đi m 0 trên tr c s là giá tr tuy t đ i c a m t s a( a làả ừ ể ế ể ụ ố ị ệ ố ủ ộ ố
s th c)ố ự
* Giá tr tuy t đ i c a s không âm là chính nó, giá tr tuy t đ i c a s âm là s đ i c a nó.ị ệ ố ủ ố ị ệ ố ủ ố ố ố ủ
TQ: N u ế
aaa =⇒≥ 0
N u ế
aaa −=⇒< 0
N u x-a ế≥ 0=> = x-a
N u x-a ế≤ 0=> = a-x
*Tính ch tấ
Giá tr tuy t đ i c a m i s đ u không âmị ệ ố ủ ọ ố ề
TQ:
0≥a
v i m i a ớ ọ ∈ R
C th :ụ ể =0 <=> a=0
≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai s b ng nhau ho c đ i nhau thì có giá tr tuy t đ i b ng nhau, và ng c l i hai s có giá trố ằ ặ ố ị ệ ố ằ ượ ạ ố ị
tuy t đ i b ng nhau thì chúng là hai s b ng nhau ho c đ i nhau.ệ ố ằ ố ằ ặ ố
TQ:
−=
=
⇔= ba
ba
ba
* M i s đ u l n h n ho c b ng đ i c a giá tr tuy t đ i c a nó và đ ng th i nh h n ho c b ngọ ố ề ớ ơ ặ ằ ố ủ ị ệ ố ủ ồ ờ ỏ ơ ặ ằ
giá tr tuy t đ i c a nó.ị ệ ố ủ
TQ:
aaa ≤≤−
và
0;0 ≥⇔=≤⇔=− aaaaaa
* Trong hai s âm s nào nh h n thì có giá tr tuy t đ i l n h nố ố ỏ ơ ị ệ ố ớ ơ
TQ: N u ế
baba >⇒<< 0
* Trong hai s d ng s nào nh h n thì có giá tr tuy t đ i nh h nố ươ ố ỏ ơ ị ệ ố ỏ ơ
TQ: N u ế
baba <⇒<<0
* Giá tr tuy t đ i c a m t tích b ng tích các giá tr tuy t đ i.ị ệ ố ủ ộ ằ ị ệ ố
TQ:
* Giá tr tuy t đ i c a m t th ng b ng th ng hai giá tr tuy t đ i.ị ệ ố ủ ộ ươ ằ ươ ị ệ ố
TQ:
b
a
b
a=
* Bình ph ng c a giá tr tuy t đ i c a m t s b ng bình ph ng s đó.ươ ủ ị ệ ố ủ ộ ố ằ ươ ố
TQ:
2
2aa =
* T ng hai giá tr tuy t đ i c a hai s luôn l n h n ho c b ng giá tr tuy t đ i c a hai s , d uổ ị ệ ố ủ ố ớ ơ ặ ằ ị ệ ố ủ ố ấ
b ng x y ra khi và ch khi hai s cùng d u.ằ ả ỉ ố ấ
TQ:
baba +≥+
và
0. ≥⇔+=+ bababa
II. Các d ng toán :ạ
I. Tìm giá tr c a x tho mãn đ ng th c có ch a d u giá tr tuy t đ i:ị ủ ả ẳ ứ ứ ấ ị ệ ố
1. D ng 1ạ :
kA(x) =
( Trong đó A(x) là bi u th c ch a x, k là m t s cho tr c )ể ứ ứ ộ ố ướ
* Cách gi iả:
- N u k < 0 thì không có giá tr nào c a x tho mãn đ ng th c( Vì giá tr tuy t đ i c a m i s đ uế ị ủ ả ẳ ứ ị ệ ố ủ ọ ố ề
không âm )
- N u k = 0 thì ta có ế
0)(0)( =⇒= xAxA
- N u k > 0 thì ta có: ế
−=
=
⇒= kxA
kxA
kxA )(
)(
)(
Bài 1.1: Tìm x, bi t:ế
1
a)
b)
4
1
2
4
5
3
1=−− x
c)
3
1
5
1
2
1=+− x
d)
8
7
12
4
3=+− x
Bài 1.2: Tìm x, bi t: a) ế
2
1
322 =−x
b)
5,42535,7 −=−− x
c)
15,275,3
15
4−−=−−+x
Bài 1.3: Tìm x, bi t: a) ế
51132 =+−x
b)
31
2=−
x
c)
5,3
2
1
5
2=++− x
d)
5
1
2
3
1=−x
Bài 1.4: Tìm x, bi t:ế
a)
%5
4
3
4
1=−+x
b)
4
5
4
1
2
3
2−
=−− x
c)
4
7
4
3
5
4
2
3=−+ x
d)
6
5
3
5
2
1
4
3
5,4 =+− x
Bài 1.5: Tìm x, bi t:ế
a)
2
3
1
:
4
9
5,6 =+− x
b)
2
7
5
1
4:
2
3
4
11 =−+ x
c)
3
2
1
4
3
:5,2
4
15 =+− x
d)
6
3
2
4
:3
5
21 =−+ x
2. D ng 2ạ:
B(x)A(x) =
( Trong đó A(x) và B(x) là hai bi u th c ch a x )ể ứ ứ
* Cách gi iả:
V n d ng tính ch t: ậ ụ ấ
−=
=
⇔= ba
ba
ba
ta có:
−=
=
⇒= )()(
)()(
)()( xBxA
xBxA
xBxA
Bài 2.1: Tìm x, bi t:ế
a)
245 +=− xx
b)
02332 =+−− xx
c)
3432 −=+ xx
d)
06517 =+−+ xx
Bài 2.2: Tìm x, bi t:ế
a)
14
2
1
2
3−=+ xx
b)
0
5
3
8
5
2
7
4
5=+−− xx
c)
4
1
3
4
3
2
5
7−=+ xx
d)
05
2
1
6
5
8
7=+−+ xx
3. D ng 3ạ:
B(x)A(x) =
( Trong đó A(x) và B(x) là hai bi u th c ch a x )ể ứ ứ
* Cách 1: Ta th y n u B(x) < 0 thì không có giá tr nào c a x tho mãn vì giá tr tuy t đ i c a m iấ ế ị ủ ả ị ệ ố ủ ọ
s đ u không âm. Do v y ta gi i nh sau:ố ề ậ ả ư
)()( xBxA =
(1) Đi u ki n: B(x) ề ệ
0≥
(*)
(1) Tr thành ở
−=
=
⇒=
)()(
)()(
)()( xBxA
xBxA
xBxA
(Đ i chi u giá tri x tìm đ c v i đi u ki n (* )ố ế ượ ớ ề ệ
* Cách 2: Chia kho ng xét đi u ki n b d u giá tr tuy t đ i:ả ề ệ ỏ ấ ị ệ ố
N u ế
aaa =⇒≥ 0
N u ế
aaa −=⇒< 0
Ta gi i nh sau: ả ư
)()( xBxA =
(1)
•N u A(x) ế
0≥
thì (1) tr thành: A(x) = B(x) ( Đ i chi u giá tr x tìm đ c v i đi u ki n )ở ố ế ị ượ ớ ề ệ
•N u A (x ) < 0 thì (1) tr thành: - A(x) = B(x) ( Đ i chi u giá tr x tìm đ c v i đi u ki n )ế ở ố ế ị ượ ớ ề ệ
Bài 3.1: Tìm x, bi t:ế
a)
xx 23
2
1−=
b)
231 +=− xx
c)
125 −= xx
d)
157 +=− xx
Bài 3.2: Tìm x, bi t:ế
a)
b)
235 =− xx
c)
xx 296 =−+
d)
2132 =+− xx
Bài 3.3: Tìm x, bi t:ế
a)
xx 424 −=+
b)
xx =+− 213
c)
xx 3115 =++
d)
252 =+− xx
Bài 3.4: Tìm x, bi t:ế
a)
152 +=− xx
b)
xx =−− 123
c)
1273 +=− xx
d)
xx =+− 112
2
Bài 3.5: Tìm x, bi t:ế
a)
xx =+− 55
b)
77 =−+ xx
c)
xx 3443 =+−
d)
xx 2727 =+−
4. D ng 4ạ: Đ ng th c ch a nhi u d u giá tr tuy t đ i:ẳ ứ ứ ề ấ ị ệ ố
* Cách gi i:ả L p b ng xét đi u ki n b d u giá tr tuy t đ i:ậ ả ề ệ ỏ ấ ị ệ ố
mxCxBxA =++ )()()(
Căn c b ng trên xét t ng kho ng gi i bài toán ( Đ i chi u đi u ki nứ ả ừ ả ả ố ế ề ệ
t ng ng )ươ ứ
Bài 4.1: Tìm x, bi t: ế
a)
123752134 =−+−−+− xxxx
b)
59351243 =−++−+−+ xxxx
c)
2,1
5
1
8
5
1
5
1
2=+−+− xx
d)
xxx −=−++ 5
1
2
2
1
3
2
1
32
Bài 4.2: Tìm x, bi t:ế
a)
8362 =++− xx
c)
935
=−++
xx
d)
2432
=−+−+−
xxx
e)
6321
=++−++
xxx
f)
11422 =−++ xx
Bài 4.3: Tìm x, bi t:ế
a)
98232
=−+−+−
xxx
b)
122213
=+−+
xxxx
c)
422331
=−−−+−
xxx
d)
xxx
=−−+
215
e)
132
−=+−
xxx
f)
31
−+=−+
xxxx
Bài 4.4: Tìm x, bi t:ế
a)
352 =−+− xx
b)
853 =++− xx
c)
45212 =−+− xx
d)
12433 +=++− xxx
5. D ng 5ạ: Xét đi u ki n b d u giá tr tuy t đ i hàng lo tề ệ ỏ ấ ị ệ ố ạ :
)D(xC(x)B(x)A(x) =++
(1)
Đi u ki n: D(x) ề ệ
0
≥
kéo theo
0)(;0)(;0)( ≥≥≥ xCxBxA
Do v y (1) tr thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)ậ ở
Bài 5.1: Tìm x, bi t:ế
a)
xxxx 4321 =+++++
b)
154321 −=+++++++ xxxxx
c)
xxxx 4
2
1
5
3
2=+++++
d)
xxxxx 54,13,12,11,1 =+++++++
Bài 5.2: Tìm x, bi t:ế
a)
xxxxx 101
101
100
...
101
3
101
2
101
1
=++++++++
b)
xxxxx 100
100.99
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
=++++++++
c)
xxxxx 50
99.97
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
=++++++++
d)
xxxxx 101
401.397
1
...
13.9
1
9.5
1
5.1
1
=++++++++
6. D ng 6ạ: D ng h n h p:ạ ỗ ợ
Bài 6.1: Tìm x, bi t: a) ế
5
4
2
1
12
=+−
x
b)
2
2
1
2
22
+=−+ xxx
c)
22
4
3xxx
=+
Bài 6.2: Tìm x, bi t: a) ế
5
1
2
1
12
=−−
x
b)
5
2
4
3
1
2
1=−+x
c)
xxx
=+
4
3
2
Bài 6 .3: Tìm x, bi t:ế
a)
xxx
=−
4
3
2
b)
4
3
2
4
3
2
2
1
−=−
+
xxx
c)
4
3
2
4
3
2
2
1
−=−−
xxx
3
Bài 6.4: Tìm x, bi t: a) ế
14132 −=+−− xxx
b)
211 =−−x
c)
2513 =−+x
7. D ng 7ạ:
0BA
=+
V n d ng tính ch t không âm c a giá tr tuy t đ i d n đ n ph ng pháp b t đ ng th c.ậ ụ ấ ủ ị ệ ố ẫ ế ươ ấ ẳ ứ
* Nh n xét: T ng c a các s không âm là m t s không âm và t ng đó b ng 0 khi và ch khi các sậ ổ ủ ố ộ ố ổ ằ ỉ ố
h ng c a t ng đ ng th i b ng 0.ạ ủ ổ ồ ờ ằ
* Cách gi i chung: ả
0=+ BA
B1: đánh giá:
0
0
0≥+⇒
≥
≥BA
B
A
B2: Kh ng đ nh: ẳ ị
0=+ BA
=
=
⇔0
0
B
A
Bài 7.1: Tìm x, y tho mãn: ả
a)
05343 =++− yx
b)
0
25
9=++− yyx
c)
05423 =++− yx
Bài 7.2: Tìm x, y tho mãn:ả
a)
03
7
2
4
3
5=−+− yx
b)
0
13
23
17
11
5,1
4
3
2
1
3
2=+−++− yx
c)
020082007 =−+− yx
* Chú ý1: Bài toán có th cho d i d ng ể ướ ạ
0≤+ BA
nh ng k t qu không thay đ iư ế ả ổ
* Cách gi i: ả
0≤+ BA
(1)
0
0
0≥+⇒
≥
≥BA
B
A
(2) T (1) và (2) ừ
⇒
0=+ BA
=
=
⇔0
0
B
A
Bài 7.3: Tìm x, y tho mãn:ả
a)
08615 ≤−++ yx
b)
0342 ≤−++ yyx
c)
0122 ≤+++− yyx
Bài 7.4: Tìm x, y tho mãn:ả
a)
0511812 ≤−++ yx
b)
01423 ≤−++ yyx
c)
0107 ≤−+−+ xyyx
* Chú ý 2: Do tính ch t không âm c a giá tr tuy t đ i t ng t nh tính ch t không âm c a luấ ủ ị ệ ố ươ ự ư ấ ủ ỹ
th a b c ch n nên có th k t h p hai ki n th c ta cũng có các bài t ng t .ừ ậ ẵ ể ế ợ ế ứ ươ ự
Bài 7.5: Tìm x, y tho mãn đ ng th c:ả ẳ ứ
a)
032
=++−−
yyx
b)
043
20082007
=++−
yyx
c)
( )
012007
2006
=−++
yyx
d)
( )
0320075
2008
=−+−−
yyx
Bài 7.6: Tìm x, y tho mãn :ả
a)
( ) ( )
031
22
=++−
yx
b)
( )
072552
5
4
=−+− yx
c)
( )
0
2
1
423
2004
=++−
yyx
d)
0
2
1
213
2000
=
−+−+
yyx
Bài 7.7: Tìm x, y tho mãn:ả
a)
020082007
≤−+−
yx
b)
0
3
2
103
7
5
≤++− yyx
c)
0
25
6
5
4
2008
2007
2
1
4
3
2
1
2006
≤++
−yx
d)
04200822007
20072008
≤−+−
yyx
8. D ng 8ạ:
BABA +=+
* Cách gi iả: S d ng tính ch t: ử ụ ấ
baba +≥+
T đó ta có: ừ
0. ≥⇔+=+ bababa
Bài 8 .1 : Tìm x, bi t:ế
4
a)
835
=−++
xx
b)
352 =−+− xx
c)
61353 =++− xx
d)
115232
=++−
xx
e)
23321
−=−++
xxx
f)
24253 =−+−+− xxx
Bài 8.2: Tìm x, bi t:ế
a)
264 =−+− xx
b)
451 =+++ xx
c)
132373 =−++ xx
d)
xxx 342315 +=−++
e)
31132 =−+−++ xxx
f)
472 =−+− xx
Bài 2: Tìm x, y tho mãn :ả
a)
( ) ( )
031
22
=++−
yx
Bài 3: Tìm x, y tho mãn:ả
a)
020082007
≤−+−
yx
Bài 4: Tìm x tho mãn:ả
a)
835
=−++
xx
II Tìm c p giá tr ( x; y ) nguyên tho mãn đ ng th c ch a d u giá tr tuy t đ i:ặ ị ả ẳ ứ ứ ấ ị ệ ố
1. D ng 1ạ:
mBA =+
v i ớ
0
≥
m
* Cách gi iả:
* N u m = 0 thì ta có ế
0=+ BA
=
=
⇔0
0
B
A
* N u m > 0 ta gi i nh sau:ế ả ư
mBA =+
(1)
Do
0≥A
nên t (1) ta có: ừ
t đó tìm giá tr c a ừ ị ủ
B
và
A
t ng ng .ươ ứ
Bài 1.1: Tìm c p s nguyên ( x, y) tho mãn:ặ ố ả
a)
020082007 =−+− xx
b)
032 =++−− yyx
c)
( )
012
2=−++ yyx
Bài 1.2: Tìm c p s nguyên ( x, y) tho mãn:ặ ố ả
a)
043 5=++− yyx
b)
( )
035 4=−+−− yyx
c)
02313 =++−+ yyx
Bài 1.3: Tìm c p s nguyên (x, y ) tho mãn:ặ ố ả
a)
324 =−++ yx
b)
4112 =−++ yx
c)
553 =++ yx
d)
7325 =++ yx
Bài 1.4: Tìm c p s nguyên ( x, y ) tho mãn:ặ ố ả
a)
5453 =++− yx
b)
121246 =−++ yx
c)
10332 =++ yx
d)
21343 =++ yx
Bài 1.5: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn:ặ ố ả
a)
323
2−−= xy
b)
15
2−−= xy
c)
432 2+−= xy
d)
2123 2−−= xy
2. D ng 2ạ:
mBA <+
v i m > 0.ớ
* Cách gi iả: Đánh giá
mBA <+
(1)
0
0
0≥+⇒
≥
≥BA
B
A
(2)
T (1) và (2) ừ
mBA <+≤⇒ 0
t đó gi i bài toán ừ ả
kBA =+
nh d ng 1 v i ư ạ ớ
mk
<≤
0
Bài 2.1: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn:ặ ố ả
a)
3≤+ yx
b)
425
≤−++
yx
c)
3412 ≤−++ yx
d)
453 ≤++ yx
Bài 2.2: Tìm các c p s nguyên ( x, y ) tho mãn:ặ ố ả
a)
7215 ≤−++ yx
b)
53524 ≤+++ yx
c)
31253 ≤−++ yx
d)
7124123 ≤−++ yx
3. D ng 3ạ: S d ng b t đ ng th c: ử ụ ấ ẳ ứ
baba +≥+
xét kho ng giá tr c a n s .ả ị ủ ẩ ố
Bài 3.1: Tìm các s nguyên x tho mãn:ố ả
a)
341 =−+− xx
b)
532 =−++ xx
c)
761 =−++ xx
d)
83252 =−++ xx
5