CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỨC
1.Định nghĩa1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất
của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)
M với M là hằng số
- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M
2. Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất
của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)
m với m là hằng số
- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = m
II. CÁC KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG
Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),…Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của
biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị
nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP.
1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB
Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc
nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá
trị xác định x = x0, tức là maxA = A(x0), maxB = B(x0) thì maxP = P(x0).
2) Cho P =
1
A
với A
0 thì maxP =
1
min
A
3) a) P(x,y) = [Q(x,y)]2n + a
a với a là hằng số, n
N*
Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y
thuộc D
b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b
b với b là hằng số, n
N*
Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y
thuộc D
4) A
0 thì max(A2) = (maxA)2 và
min(A2) = (minA)2
5) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:
a) a + b
2
ab
( a
0, b
0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
b)
a
+
a
2 (ab
0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky
(ax + by)2
(a2 + b2) (x2 + y2)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
a
+
b
a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab
0
8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
( 0 )
a
Khi đó:
Nếu
0
thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,
x R
Nếu
0
thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,
x R
,
2
b
x
a
Nếu
0
thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái
dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm.