Tr ng THCS T nh B c ườ ị ắ – Chuyên đ PT B c haiề ậ GV : Nguy n Đ c Nguyênễ ứ
Chuyên đ Ph ng trình b c haiề ươ ậ
1. Cho ph ng trìnhươ x2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1)
a) Gi i ph ng trình (1) khi m = - 3/2ả ươ
b) Tìm các giá tr c a m đ ph ng trình (1) có hai nghi m trái d u.ị ủ ể ươ ệ ấ
c) G i x1 , x2 là 2 nghi m c a pt (1) , tìm giá tr c a m đ : x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) ọ ệ ủ ị ủ ể = m2
2. Cho ph ng trìnhươ x2 - 2mx + 2m - 1 = 0
a) Ch ng t ph ng trình luôn có nghi m x1 , x2 v i m i m.ứ ỏ ươ ệ ớ ọ
b) Đ t A = 2(xặ12 + x22) - 5x1x2
+ Ch ng minh A = 8mứ2 - 18m + 9
+ Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho ph ng trình có nghi m này b ng 2 l n nghi m kia.ươ ệ ằ ầ ệ
3. Cho ph ng trình xươ 2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0.
Tìm giá tr c a m đ bi u th c P = 10xị ủ ể ể ứ 1x2 + x12 + x22 đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
4. Cho ph ng trìnhươ x2 + mx + n - 3 = 0 (m, n là tham s )ố
a) Cho n = 0, ch ng t ph ng trình luôn có nghi m v i m i m.ứ ỏ ươ ệ ớ ọ
b) Tìm m và n đ 2 nghi m x1 , x2 c a ph ng trình th a mãn h :ể ệ ủ ươ ỏ ệ
5. Cho ph ng trìnhươ (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0
a) Gi i ph ng trình v i m = 1.ả ươ ớ
b) Gi i ph ng trình v i m b t kì.ả ươ ớ ấ
c) Tìm giá tr c a m đ ph ng trình có nghi m b ng m.ị ủ ể ươ ệ ằ
6. Cho ph ng trình ươ
có 2 nghi m là xệ1 và x2. Không gi i ph ng trình, hãy tính giá tr c a bi u th c:ả ươ ị ủ ể ứ
7. Cho ph ng trìnhươ x2 + mx + m - 2 = 0.
Tìm m đ ph ng trình có 2 nghi m xể ươ ệ 1 , x2 sao cho x12 + x22 đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
8. Cho ph ng trìnhươ x2 - mx + m - 1 = 0.
a) Ch ng minh r ng ph ng trình có nghi m x1 , x2 v i m i m. Tính nghi m kép (n u có) c aứ ằ ươ ệ ớ ọ ệ ế ủ
ph ng trình và giá tr m t ng ng.ươ ị ươ ứ
b) Đ t A = xặ12 + x22 - 6x1x2 b1) Ch ng minh a = mứ2 - 8m + 8 b2) Tìm m sao cho A = 8
1
Tr ng THCS T nh B c ườ ị ắ – Chuyên đ PT B c haiề ậ GV : Nguy n Đ c Nguyênễ ứ
9. Cho ph ng trìnhươ (m + 3)x2 - 3mx + 2m = 0 (1)
a) Gi i ph ng trình (1) khi m = - 2 .ả ươ
b) Tìm m đ ph ng trình có 2 nghi m th a đi u ki n 2x1 - x2 ể ươ ệ ỏ ề ệ = 3.
10. Cho ph ng trìnhươ x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0
a) Gi i ph ng trình khi m = 4.ả ươ
b) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m.ứ ằ ươ ệ ệ ớ ọ
c) G i x1 , x2 là 2 nghi m c a ph ng trìnhọ ệ ủ ươ .
d/ CMR bi u th c M = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không ph thu c vào m.ể ứ ụ ộ
11. Cho ph ng trìnhươ x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0.
a) Gi i ph ng trình khi m = 129.ả ươ
b) Tìm giá tr c a m sao cho các nghi m x1 , x2 c a ph ng trình th a mãn :ị ủ ệ ủ ươ ỏ
2(x1 +x2) - 3x1x2 + 9 = 0.
c) Tìm m t h th c gi a x1 , x2 đ c l p v i m.ộ ệ ứ ữ ộ ậ ớ
12. Cho ph ng trìnhươ (m - 3)x2 - 2(m + 1)x - 3m + 1 = 0
a) Ch ng minh r ng ph ng trình có nghi m v i m i m.ứ ằ ươ ệ ớ ọ
b) Cho m = 5, không gi i ph ng trình hãy tính giá tr c a bi u th c:ả ươ ị ủ ể ứ
A = x12 + x22 và B = x13 + x23
c) Tìm t t c các giá tr c a m đ ph ng trình có các nghi m đ u là s nguyên.ấ ả ị ủ ể ươ ệ ề ố
13. Cho ph ng trìnhươ x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0.
a) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m.ứ ằ ươ ệ ệ ớ ọ
b) G i xọ1 , x2 là 2 nghi m c a ph ng trình. Tìm giá tr nh nh t c a A = xệ ủ ươ ị ỏ ấ ủ 12 + x22.
14. Cho ph ng trìnhươ (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0. Tìm m đ ph ng trình có 2 nghi m th a mãn:ể ươ ệ ỏ
15. Cho ph ng trìnhươ x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1 = 0.
a) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn có nghi m v i m i m.ứ ằ ươ ệ ớ ọ
b) Ch ng minh r ng có m t h th c gi a 2 nghi m đ c l p v i m.ứ ằ ộ ệ ứ ữ ệ ộ ậ ớ
16. Cho ph ng trìnhươ x2 - 6x + m = 0.
a) Xác đ nh m đ ph ng trình có 2 nghi m xị ể ươ ệ 1 , x2 th a mãn xỏ1 = 2x2
b) Tính theo m giá tr c a bi u th c: ị ủ ể ứ
2
Tr ng THCS T nh B c ườ ị ắ – Chuyên đ PT B c haiề ậ GV : Nguy n Đ c Nguyênễ ứ
17. Cho ph ng trìnhươ x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.
a) Gi i ph ng trình khi m = 3.ả ươ
b) Tìm m đ ph ng trình có m t nghi m nh h n 1, m t nghi m l n h n 1.ể ươ ộ ệ ỏ ơ ộ ệ ớ ơ
c) Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m nh h n 2.ể ươ ệ ỏ ơ
18. Cho ph ng trìnhươ x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0.
a) Tìm m đ các nghi m x1, x2 c a ph ng trình th a mãnể ệ ủ ươ ỏ (2x1 + 1)(2x2 +1) = 8
b) Tìm m t h th c gi a x1 , x2 đ c l p v i m.ộ ệ ứ ữ ộ ậ ớ
19. Cho ph ng trìnhươ x2 - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = 0.
a) Ch ng minh r ng ph ng trình có nghi m v i m i m.ứ ằ ươ ệ ớ ọ
b) Ch ng minh r ng ph ng trình không th có nghi m b ng - 1ứ ằ ươ ể ệ ằ
c) Bi u th x1 theo x2.ể ị
20. Cho các ph ng trìnhươ x2 + mx - 1 = 0 (1) và x2 - x + m = 0 (2). Tìm m đ hai ph ng trình cóể ươ
ít nh t m t nghi m chung. Tìm nghi m chung đó.ấ ộ ệ ệ
Gi i bài toán b ng cách l p PT b c haiả ằ ậ ậ
1/ M t ng i đi t TP A đ n TP B cách nhau 60 km., sau đó tr v A. Tìm v n t c lúc đi . Bi t r ngộ ườ ừ ế ở ề ậ ố ế ằ
th i gian đi và t/g v ( Không k t/g ngh ) là 5 h và v/t c lúc đi nhanh h n v/t c v 10 km/h ờ ề ể ỉ ố ơ ố ề
2/ M t Ca nô ch y trên m t con sông dài 30km. T/g ca nô đi xuôi dòng ng n h n t/g ca nô đi ng cộ ạ ộ ắ ơ ượ
dòng là 1 h 30 phút. Tìm v/t c th c c a ca nô, bi t v n t c c a dòng n c là 5 km/h.ố ự ủ ế ậ ố ủ ướ
Theo kÕ ho¹ch mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 120 tÊn hµng. §Õn ngµy lµm
viÖc cã 2 xe bÞ háng nªn mçi xe ph¶i chë thªm 16 tÊn míi hÕt sè hµng.
Hái lóc ®Çu ®éi cã bao nhiªu xe?
3/ Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 1m. NÕu t¨ng
thªm cho chiÒu dµi
1
4
cña nã, th× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ®ã t¨ng
thªm 3 m2. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt lóc ®Çu.
4/ Nhµ trêng tæ chøc cho 180 häc sinh khèi 9 ®i tham quan. Ngêi ta dù
tÝnh : NÕu dïng lo¹i xe lín chuyªn chë mét lît hÕt sè häc sinh th×
ph¶i ®iÒu Ýt h¬n nÕu dïng lo¹i xe nhá lµ 2 chiÕc. BiÕt r»ng mçi xe lín
cã nhiÒu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi. TÝnh sè xe lín, nÕu lo¹i xe ®ã
®îc huy ®éng.
5/Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 120 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 6 giê
45 phót. TÝnh vËn tèc tµu thuû khi níc yªn nÆng, biÕt r»ng vËn tèc cña
dßng níc lµ 4km/h.
6/ Mét « t« chuyÓn ®éng ®Òu víi vËn tèc ®∙ dù ®Þnh ®Ó ®i hÕt qu∙ng ®-
êng 120km trong mét thêi gian ®∙ ®Þnh. §i ®îc mét nöa qu∙ng ®êng xe
nghØ 3 phót nªn ®Ó ®Õn níi ®óng giê, xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 2km/h
trªn nöa cßn l¹i cña qu∙ng ®êng. TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®êng.
7/ Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ trong
2 giê 55 phót. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt cã thÓ ch¶y ®Çy bÓ
3
Tr ng THCS T nh B c ườ ị ắ – Chuyên đ PT B c haiề ậ GV : Nguy n Đ c Nguyênễ ứ
nhanh h¬n vêi thø hai trong 2 giê. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ
ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u?
8/ Mét c«ng nh©n phi hoµn thµnh 50 s¶n phÈm trong mét thêi gian quy
®Þnh. Do t¨ng n¨ng xuÊt 5 s¶n phÈm mçi giê nªn ngêi Êy ®· hoµn thµnh
kÕ ho¹h sím h¬n thêi gian quy ®Þnh 1 giê 40 phót. TÝnh sè s¶n phÈm mçi
giê phi lµm theo dù ®Þnh.
4
Tr ng THCS T nh B c ườ ị ắ – Chuyên đ PT B c haiề ậ GV : Nguy n Đ c Nguyênễ ứ
Bµi tËp H×nh tæng hîp
Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O ). C¸c ®-
êng cao AD , BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O ) lÇn lît t¹i
M ,N ,P.
Chøng m inh r»ng:
1. Tø gi¸c CEHD , néi tiÕp .
2. Bèn ®iÓm B,C ,E,F cïng n»m trªn m ét ®êng trßn.
3. AE.AC = AH .AD ; AD .BC = BE.AC .
4. H vµ M ® èi xøng nhau qua BC.
5. X¸c ® Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Bµi 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD , BE, c¾t nhau
t¹i H . Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
1. Chøng m inh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
2. Bèn ®iÓm A, E, D , B cïng n»m trªn m ét ®êng trßn .
3. Chøng m inh ED =
2
1
BC.
4. Chøng m inh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O ).
5. TÝnh ® é dµi DE biÕt DH = 2 Cm , AH = 6 Cm .
Bµi 3 Cho ®êng trßn (O ; R), tõ m ét ®iÓm A trªn (O ) kÎ tiÕp tuyÕn d
víi (O ). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn
M NP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn M B (B lµ tiÕp ®iÓm ).
KÎ AC ⊥ M B, BD ⊥ M A, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD , I lµ giao ®iÓm
cña OM vµ AB.
1. Chøng m inh tø gi¸c AM BO néi tiÕp.
2. Chøng m inh n¨m ®iÓm O , K, A, M , B cïng n»m trªn m ét ®êng trßn .
3. Chøng m inh O I.OM = R2; OI. IM = IA2.
4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.
5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.
T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng
Bµi 4 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn t©m A
b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn
cña ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E.
1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n.
2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH.
3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (A; AH).
Chøng minh BE = BH + DE.
Bµi 5 Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn
nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng
trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM
c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM
t¹i K.
1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.
3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n.
4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi.
5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn.
Bµi 6 Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy
hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë
E, F (F ë gi÷a B vµ E).
5