Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
 
Phương trình mũ cơ bn có dng:
x
a m
=
, trong ñó
a 0, a 1
> ≠
và m là s ñã cho.
● Nu
m 0
≤
, thì phương trình
x
a m
=
vô nghim.
● Nu
m 0
>
, thì phương trình
x
a m
=
có nghim duy nht
a
x log m.
=
Bài 1. Gii các phương trình sau:
1)
x 1 x x 1
+ −
+ − =
2)
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2
3 3 3 9.5 5 5
+ + + + +
+ + = + +
3)
x x 1
3 .2 72
+
=
4)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
− + + + + +
+ = +
5)
2x 1 x 1 x x 1
5.3 7.3 1 6.3 9
− − +
− + − +
Bài 2. Gii các phương trình sau:
1)
(
)
3
log x x 2 1
+ =
2)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0
− − − + =
3)
(
)
(
)
log x 15 log 2x 5 2
+ + − =
4)
(
)
x 1
2
log 2 5 x
+
− =
Bài 3.
Bài t
p rèn luy
n. Gi
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
x 1 x 2
3 2.3 25
+ −
− =
2)
( )( )
2 2
x 1
log log x 1 x 4 2
x 4
−
+ − + =
+
3)
x 1 x 2 x x 2
3.2 2.5 5 2
+ − −
+ = + 4)
2
x
x
log 16 log 7 2
− =
5)
x 3x 1
4 7 16
0
7 4 49
−
− =
6)
( )
( )
2
8 8
4
2log 2x log x 2x 1
3
+ − + =
7)
2
log x 1 log x log x 2
4 6 2.3
+ +
− = 8)
x 1 x 2 x 2 x 1
1 1
2.5 .4 .5 4
5 4
+ + + +
− − =
9)
(
)
(
)
5 3
3
log x 2 log x 2log x 2
− = −
10)
x 5 x 7
3 2 5 2 32
− −
− =
11)
(
)
(
)
x x 2 x 1 x 1 x 1
3 10 6 4.10 5 10 6
+ + − −
− + = −



Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
    ! " #$
Phương pháp ñưa v cùng cơ s
S dng công thc:
●
a a
α β
α β
= ⇔ =
.
●
(
)
a a
b 0 c
log b log c b c
>
= ⇔ =
hoÆc > 0
Bài 1.
Gi
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2x 1 x 1 x
5 7 175 35 0
+ +
+ − − =
3)
x 3 2 x 3 4
2 x 1 2 x 1
x .2 2 .2 2
x
− + − +
+ −
+ = +
2)
x x 2 x 1 x 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + +
+ = − 4)
( )
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+ −
+ = +
Bài 2. Gii các phương trình sau:
1)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
=
2)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+ =
3)
2 3 4 20
log x log x log x log x
+ + =
4)
( )
( )
( )
2 2
x 3
1
log 3x 1 2 log x 1
log 2
+
− + = + +
5)
5)5)
5)
( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log x 3
2 2
−
− + = + −
6)
(
)
(
)
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3
+ + + + + = +
Bài 3. Gii phương trình sau:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + − =
Bài 4. Bài tp rèn luyn. Gii các phương trình sau:
1)
2 3x
3
x x x 3
1
9 27 . 81
3
−
+
=
6)
(
)
(
)
2
5 5
log 6 4x x 2log x 4
− − = +
2)
x x 1 x 2 x 1
3.13 13 2 5.2
+ + +
+ − = 7)
( )
5
1
2log x 1 log x log x
2
− = −
3)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
8)
(
)
2
9 3 3
2log x log x.log 2x 1 1
= + −
4)
( )
2
55
x 1
log x 2x 3 log
x 3
−
+ − =
+
9)
(
)
( )
2
2
4 4 4
log x 1 log x 1 log x 2
− − − = −
5)
( ) ( )
2 3
4 8
2
log x 1 2 log 4 x log 4 x
+ + = − + +
Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
% !&='
Ví d 1: Gii phương trình:
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =
HD:
(
)
(
)
2 2 2
x x x x 2x x x 2x
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
+ − −
− − + = ⇔ − − =
Nhn xét: Mc dù cùng cơ s 2 nhưng không th bin ñi ñ ñt ñưc n ph do ñó ta phi phân
tích thành
(
)
(
)
2
2
2 1 . 2 4
x x x−
− −
. ðây là phương trình tích ñã bit cách gii.
Bài 1. Gii các phương trình sau:
1)
x x x
8.3 3.2 24 6
+ = +
2) 2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =
3)
x x x 1
12.3 3.15 5 20
+
+ − =
Ví d 2:
Gi
i ph
ươ
ng trình:
( )
(
)
2
9 3 3
2 log x log x.log 2x 1 1
= + −
.
Nhn xét: Tương t như trên ta phi bin ñi phương trình thành tích
(
)
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0
x x x
− + − =
. ðây là phương trình tích ñã bit cách gii.
Tng quát: Trong nhiu trưng hp cùng cơ s nhưng không th bin ñi ñ ñt n ph
ñưc thì ta bin ñi thành tích.
Bài 2.
Gi
i ph
ươ
ng trình:
2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x
+ = + .
%    () 
S dng công thc v hàm s mũ và lôgarit ñ bin ñi bài toán, sau ñó ñt n s
ph, quy phương trình ñã cho v các phương trình ñi s (phương trình cha hoc
không cha căn thc). Sau khi gii phương trình trung gian ta quy v gii tip các
phương trình mũ hoc lôgarit cơ bn
A - Phương pháp ñt n ph dng 1.

●
Ph
ươ
ng trình
kx (k 1)x (k 2)x x
k k 1 k 2 1 0
a a a ... a 0
α α α α α
− −
− −
+ + + + + =
, khi ñó ta ñt
x
,a
0
t
t
=
>
.
● Phương trình
x x
1 2 3
a b 0
α α α
+ + =
, vi
a.b 1
=
. Khi ñó ñt
x x
1
t a , t 0 b
t
= > ⇒=
, ta ñưc
phương trình:
2
1 3 2
t t 0
α α α
+ + =
.
● Phương trình
2x x 2x
1 2 3
a (ab) b 0
α α α
+ + =
. Chia hai v cho
2x
a
hoc
2x
b
ta ñưc
2x x
1 2 3
a a
0
b b
α α α
+ + =
, ñt
x
a
t , t 0
b
= >
.
Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
Bài 1. Gii các phương trình sau:
1) 2 2
x x 2 x 1 x 2
4 5.2 6 0
+ − − + −
− − =
2)
3 2cos x 1 cos x
4 7.4 2 0
+ +
− − =
3)
(
)
(
)
(
)
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+ + + − − =
Bài 2.
Gi
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 14
− + + =
3)
3x x
3x x 1
8 1
2 6 2 1
2 2
−
− − − =
2)
3 x 1 5 3x
5.2 3.2 7 0
−−
− + =
4)
x x x
27 12 2.8
+ =

● Nu ñt
(
)
a
t log x, x 0
= >
thì
k k
a x
1
log x t ; log a , 0 x 1.
t
= = < ≠
.
● Nu ñt
b
log x
t a=
thì
b
log a
t x=
. Vì
b b
log c log a
a c
=
.
Bài 1. Gii các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
x 1 x
2 2
log 4 4 .log 4 1 3
+
+ + =
4)
x 3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
+ = + +
2)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
5)
(
)
2 x 1
log x 1 log 16
+
+ =
3)
(
)
2
x 25
log 125x .log x 1
=
6)
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
− − =
−
Bài 2.
Gi
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
x x
log 6.5 25.20 x log 25
+ = + 3)
82
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x
=
2)
2 2
2 x
log x.log (4x ) 12
=
4)
(
)
23
log x log x 2
= +
B - Phương pháp ñt n ph dng 2.

Phương pháp: Ý tưng là s dng mt n ph chuyn phương trình ban ñu thành mt
phương trình vi mt n ph nhưng các h só vn còn cha n x. Khi ñó thưng ta ñưc
mt phương trình bc 2 theo n ph có bit s
∆
là mt s chính phương.
Ví d : Gii phương trình:
(
)
x x
9 2 x 2 3 2x 5 0
+ − + − =
.
HD: ðt
(
)
x
t 3 *
=, khi ñó ta có:
(
)
2
t 2 x 2 t 2x 5 0 t 1, t 5 2x
+ − + − =
⇒
= − = −
.
Thay vào (*) ta tìm ñưc x.
Lưu ý: Phương pháp này ch s dng khi
∆
là s chính phương.
Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
Bài 1. Gii phương trình:
(
)
2 2
x 2 x 2
9 x 3 3 2x 2 0
+ − − + =
Bài 2. Gii phương trình:
2x 3x 1 x 3
4 2 2 16 0
+ +
+ + − =

Ví d 2: Gii phương trình:
(
)
(
)
(
)
2
3 3
log x 1 x 5 log x 1 2x 6 0
+ + − + − + =
HD:
ð
t
(
)
3
t log x 1
= +
, ta có:
(
)
2
t x 5 t 2x 6 0 t 2, t 3 x
+ − − + = ⇒= = −
. Suy ra
x 8, x 2.
= =
Bài 1.
Gi
i ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
lg x 1 x 5 lg x 1 5x 0
+ + − + − =
Bài 2. Gii các phương trình sau:
1)
(
)
2
2 2
lg x lgxlog 4x 2log x 0
− + =
2)
4 3 2
lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
+ − − − =
C - Phương pháp ñt n ph dng 3.

Phương pháp: La chn n ph thích hp ri chuyn phương trình v h ñơn gin.
Bài 1. Gii phương trình: 2 2 2
x 1 1 x (x 1)
4 2 2 1
+ − +
+ = +
Bài 2. Gii phương trình:
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
− + + + + +
+ = +

S dng 2 n ph cho 2 biu thc logarit trong phương trình và khéo léo bin ñi phương
trình thành phương trình tích.
Bài 1. Gii phương trình:
(
)
(
)
22
2 2 2
log x x 1 log xlog x x 2 0
− + − − =
Bài 2. Gii phương trình:
2
2 2 3 2 3
log x log x log x log xlog x 0
− + − =
Bài 3. Gii phương trình:
(
)
(
)
2 2
log x log x
2
2 2 x 2 2 1 x
+ + − = +
D - Phương pháp ñt n ph dng 4.
ðt n ph chuyn thành h phương trình.

Ví d : Gii phương trình:
x
x 1 x x 1 1 x
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
− − −
+ =
+ + + +
HD: Vit phương trình dưi dng
x 1 1 x x 1 1 x
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2
− − − −
+ =
+ + + +
, ñt
x 1 1 x
u 2 1, v 2 1; u, v 0
− −
= + = + >
.