CHUYÊN ĐỀ TAM THỨC BẬC HAI VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Chuyên đề 1: Tam thức bậc hai
A.Phương trình bậc hai
I. Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) và y= g(x) có tập xác định lần lượt là Df , Dg. Khi đó
mệnh đề chứa biến f(x) = g(x) được gọi là phương trình một biến x.
Trong đó: gf DDD được gọi là tập xác định của phương trình.
)()(: 000 xgxfDx là đẳng thức đúng thì x0 được gọi là một n0 của phương trình.
)()(: 000 xgxfDxT là tập nghiệm của phương trình.
T
thì ta nói phương trình vô nghiệm.
Với định nghĩa này thì khái niệm nghiệm của phương trình phụ thuộc vào D.
Có thể : Vô nghiệm 1
2
1
1 xxx
Có nghiệm 01)2( 2 xxx
Nghiệm đúng với mọi x thuộc D 12)1( 22 xxx
Định nghĩa này dễ dàng mở rộng cho khái niệm phương trình nhiều biến.
II. Các định lý về phép biến đổi tương đương
22 )()(
0)()(
)()(
)()()()(
0)(
)()(
)()()()(
)(
)()(
xgxf
xgxf
xgxf
xhxgxhxf
xh
xgxf
xhxgxhxf
nghiacoxh
xgxf
Khi sử dụng các định lý về phép biến đổi tương đương học sinh thường mắc phải những
Sai lầm do không nắm được điều kiện dùng định lý
Ví dụ 1 : Giải phương trình
2
2
2
1
1
22
x
x
x
x
x
x
Có học sinh giải như sau: Điều kiện
022
01
2
2
xx
xx
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với
x
x
x
x
x
x
x
x1
2
2
21
1
1
22
)22(
22)2(
)1(
1)1(
2
2
2
2
xxx
xxxx
xxx
xxxx
22)1(2
0
)22(
2
)1(
1
22
22 xxxx
x
xxxxxx Vô nghiệm
Lời giải trên là sai lầm rõ ràng x=0 là một nghiệm của phương trình
Nguyên nhân sai lầm vì học sinh thực hiện phép biến đổi không tương đương nghĩa là
khi cộng vào hai vế của phương trình với biểu thức không hoàn toàn xác định trên D.
Ví dụ 2: Giải phương trình 11 xx
Có học sinh giải như sau: Điều kiện 1
x
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với
2
1
023
121
2
2
x
x
xx
xxx
Lời giải trên có sai lầm vì nhận thấy x=2 không là nghiệm của phương trình
Nguyên nhân sai lầm là do học sinh không chú ý đến điều kiện để bình phương hai vế của
phương trình.
III. Phương trình bậc hai
1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng
0
2 cbxax (a, b, c R; x ẩn; a ≠ 0)
2. Công thức nghiệm )''(4 22 acbacb
∆ > 0 (∆’ > 0) phương trình có hai nghiệm phân biệt
a
b
x
a
b
x''
(
2
2,12,1
)
∆ = 0 (∆’ = 0) phương trình có nghiệm kép )
'
(
2
a
b
x
a
b
x
∆ < 0 (∆’ < 0 ) phương trình vô nghiệm
IV. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
1. Phương trình bậc 4
Để giải phương trình bậc 4 ta đều tìm cách đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai
bằng phương pháp đặt ẩn phụ (cần đưa về phần chứa x giống nhau) hoặc đưa về phương
trình tích hoặc đưa về phương trình bậc 4 biết cách giải.
a. Một số phương trình bậc 4 biết cách giải
*) Phương trình trùng phương: )0(0
24 acbxax (1)
Cách giải: Đặt x2 = t (t
0) phương trình đã cho có dạng 0
2 cbtat (2)
Giải phương trình tìm t ( thoả mãn ) rồi tìm x.
Mối quan hệ giữa nghiệm của phương trình trùng phương và nghiệm của phương trình
bậc hai
(1) vô nghiệm
0
0
0
0
0
)2(
21
S
ptt
vonghiem
(1) có một nghiệm
0
2
0
0
0
0
0
0
21
21
a
b
S
P
tt
tt (1) có hai nghiệm
0
2
0
0
0
0
21
21
a
b
P
tt
tt
(1) có ba nghiệm
0
0
0
021
S
Ptt (1) có bốn nghiệm
0
0
0
021
S
Ptt
*). Phương trình hồi quy, phương trình phản thương
**)Phương trình phản thương ( phương trình đối xứng)
Dạng 1: )0(0
234 aabxcxbxax
Cách giải: Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương
trình cho x2 ta được 0)
1
()
1
(2
2 c
x
xb
x
xa .
Đặt 2
1 tt
x
x phương trình có dạng 02
2 acbtat
Giải phương trình tìm t (thoả mãn) rồi tìm x.
Dạng 2: )0(0
234 aabxcxbxax
Cách giải: Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương
trình cho x2 ta được 0)
1
()
1
(2
2 c
x
xb
x
xa .
Đặt t
x
x 1 phương trình có dạng 02
2 acbtat
Giải phương trình tìm t rồi tìm x.
Nhận xét
Nếu phương trình )0(0
234 aabxcxbxax có một nghiệm là x0 thì có nghiệm thứ
hai là
0
1
x.
Nếu phương trình )0(0
234 aabxcxbxax có một nghiệm là x0 thì có nghiệm thứ
hai là -
0
1
x.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
041247124)2
014)1
234
234
xxxx
xxxx
03)53(2)()5
01)13145)(2()2()4
062512256)3
22
24
234
xxxx
xxxx
xxxx
Hướng dẫn (4) đặt y = x-2
(5) đặt y = x-1
**) Phương trình hồi quy theo x là phương trình có dạng
)0(0
2234 aakbkxcxbxax
Khi k = 1thì phương trình hồi quy trở thành phương trình phản thương đã xét ở trên
Phương pháp giải:
.Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x2.
.Biến đổi phương trình đã cho về phương trình ẩn t.
. Giải phương trình tìm t rồi tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
16
2
3
13
2
5
3
2
)6
14)43)(42()5
041085)4
05010574212)3
)
4
3
(
3
1048
3
)2
4
87
1
4)1
22
222
234
234
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
xxxxx
xxxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
Hướng dẫn
1) Đặt t
x
x 1
2. đưa về phương trình đại số ẩn t
2) Viết lại phương trình (2) dưới dạng )
4
3
(
3
10
)
16
9
(3 2
2
x
x
x
x . Đặt t
x
x 4
3
3) Chia cả hai vế cho x2 đặt t
x
x 5
4) Chia cả hai vế của phương trình cho x2 đặt t
x
x 2
5) Chia cả hai vế của phương trình cho x2 đặt t
x
x 4
6) Chia cả tử và mẫu của vế trái cho x ta được 16
2
13
13
2
53
2
x
x
x
x
. đặt t
x
x 2
3
*, Phương trình bậc 4 có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e. với a+b = c+d
Phương pháp giải: Phương trình đã cho tương đương với
ecdxdcxabxbax )()( 22 đặt txbax )(
2.
Ta có (t+ab)(t+cd)=e. Giải phương trình tìm t rồi tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
6)1)(43()76()5
24)127)(23()4
34)3)(6)(2)(1()3
9)32)(3)(1)(12()2
016)5)(3)(1()1
2
22
2
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
*) Phương trình bậc 4 có dạng cbxax 44 )()(
Phương pháp giải: đặt
2
ba
xt
khi đó
2
2
ba
tbx
ba
tax
Phương trình đã cho có dạng c
ba
tbatc
ba
t
ba
t
8
)(
)(32)
2
()
2
(
4
22444
Giải phương trình trùng phương tìm t rồi tìm x.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
2)5()3()3
17)2()5()2
2)6()4()1
44
44
44
xx
xx
xx
b) Ngoài các phương trình bậc 4 biết cách giải nói trên ta còn gặp những phương trình bậc 4
mà để giải nó ta phải đưa về phương trình tích hoặc phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn
phụ
Ví dụ : Giải các phương trình sau
01234)8
11
)5(
25
)7
0534)6
05)1(6)1()5
)1(1)1(2)4
0445)3
01424)2
03311116)1
234
2
2
2
4
422242
2322
234
234
234
xxxx
x
x
x
xx
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Hướng dẫn:
1) Phương trình đã cho 0)3116)(1( 22 xxx
2) có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x = 1.
3) phương trình (3) 0)1)(4( 22 xxx
4) Chia cả hai vế của phương trình cho (x + 1) 2
5) Chia cả hai vế của phương trình cho x4
6) phương trình (6) 222 )3(2)1( xx
7) biến đổi phương trình về dạng 011
5
10)
5
(11
5
5
2)
5
5
(
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8) 01)2()2( 222 xxxx
2. Phương trình vô tỷ
a. Một số dạng phương trình vô tỷ cỏ bản
)()()()()(2
0)(
0)(
0)(
)()()(
)()(
0)(
)()(
)()(
0)(0)(
)()(
2
xgxfxhxgxf
xh
xg
xf
xhxgxf
xgxf
xg
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
b. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ
Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
1. Bình phương hai vế, nâng lên luỹ thừa của phương trình:
Ví dụ: Giải phương trình
222133 xxxx
Giải: Bình phương hai vế không âm của phương trình ta được
