
Mét sè chuyªn ®Ò vÒ tæ hîp dµnh
cho häc sinh cã n¨ng khiÕu to¸n
bËc trung häc phæ th«ng

▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✶
▼ë ➤➬✉ ✸
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✻
✶✳✶✳ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷✳ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✸✳ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✭◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✹✳ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✺✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ▼ét sè ❝❤✉②➟♥ ➤Ò ✈Ò tæ ❤î♣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣
❦❤✐Õ✉ t♦➳♥ ❜❐❝ tr✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤æ t❤➠♥❣ ✶✼
✷✳✶✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✶✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✷✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✷✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✸✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✸✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✷✳✹✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✹✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷
✷✳✺✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✺✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
✷✳✻✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✻✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
✷✳✼✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✼✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼
✷✳✽✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✽✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵
✷✳✾✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✾✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝ ✳ ✳ ✺✹
✷✳✶✵✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✶✵✿ ➜➵✐ ❧➢î♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼
❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ▼ét sè ❜➭✐ t❐♣ ➤Ò ♥❣❤Þ ✻✵
✷

▼ë ➤➬✉
❈ã t❤Ó ♥ã✐ t➢ ❞✉② ✈Ò tæ ❤î♣ r❛ ➤ê✐ tõ r✃t sí♠✳ ❱➭♦ t❤ê✐ ♥❤➭ ❈❤✉✱ ♥❣➢ê✐ t❛
➤➲ ❜✐Õt ➤Õ♥ ❝➳❝ ❤×♥❤ ✈Ï ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ ❤×♥❤ ✈✉➠♥❣ t❤➬♥ ❜Ý✳ ❚❤ê✐ ❝æ
❍② ❧➵♣✱ ♥❤➭ tr✐Õt ❤ä❝ ❑①❡♥♦❦r❛t✱ sè♥❣ ë t❤Õ ❦û t❤ø ✹ tr➢í❝ ❝➠♥❣ ♥❣✉②➟♥✱ ➤➲
❜✐Õt tÝ♥❤ sè ❝➳❝ tõ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❧❐♣ tõ ♠ét ❜➯♥❣ ❝❤÷ ❝➳✐ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ◆❤➭ t♦➳♥
❤ä❝ P✐t❛❣♦ ✈➭ ❝➳❝ ❤ä❝ trß ❝ñ❛ ➠♥❣ ➤➲ t×♠ r❛ ♥❤✐Ò✉ ❝♦♥ sè ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➷❝
❜✐Öt✳ ❱✐Ö❝ t×♠ r❛ ➤➢î❝ ❝➳❝ sè ♥❤➢ ✈❐② ➤ß✐ ❤á✐ ♣❤➯✐ ❝ã ♠ét ♥❣❤Ö t❤✉❐t tæ ❤î♣
♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❝ã t❤Ó ♥ã✐ r➺♥❣✱ ❧ý t❤✉②Õt tæ ❤î♣ ➤➢î❝ ❤×♥❤ t❤➭♥❤ ♥❤➢
♠ét ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ♠í✐ ✈➭ q✉➲♥❣ t❤Õ ❦û ✶✼ ❜➺♥❣ ♠ét ❧♦➵t ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❣❤✐➟♠ tó❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ①✉✃t s➽❝ ♥❤➢ P❛s❝❛❧✱ ❋❡r♠❛t✱
▲❡✐❜♥✐t③✱ ❊✉❧❡r✳✳✳▼➷❝ ❞ï ✈❐②✱ tr♦♥❣ s✉èt ❤❛✐ t❤Õ ❦û r➢ì✐✱ tæ ❤î♣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ✈❛✐
trß ♥❤✐Ò✉ tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tù ♥❤✐➟♥✳ ➜Õ♥ ♥❛②✱ ✈í✐ sù ❤ç trî ➤➽❝ ❧ù❝ ❝ñ❛
♠➳② tÝ♥❤ ✱ tæ ❤î♣ ➤➲ ❝❤✉②Ó♥ s❛♥❣ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ t♦➳♥ ø♥❣ ❞ô♥❣ ✈í✐ sù ♣❤➳t tr✐Ó♥
♠➵♥❤ ♠Ï✱ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❦Õt q✉➯ ❝ã Ý❝❤ ❝❤♦ ❝♦♥ ♥❣➢ê✐✳
◆❤❐♥ t❤ø❝ ➤➢î❝ ✈❛✐ trß ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt tæ ❤î♣ ➤è✐ ✈í✐ ➤ê✐ sè♥❣ ❤✐Ö♥ ➤➵✐✳ ▲ý
t❤✉②Õt tæ ❤î♣ ➤➲ ➤➢î❝ ➤➢❛ ✈➭♦ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤ä❝ ♣❤æ t❤➠♥❣ ✈➭ ❝❤✐Õ♠ ♠ét
♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦ú t❤✐ t♦➳♥ q✉è❝ ❣✐❛ ✈➭ q✉è❝ tÕ✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ë ♥➢í❝ t❛✱ t➭✐ ❧✐Ö✉
✈✐Õt ✈Ò tæ ❤î♣ ❝❤➢❛ ♥❤✐Ò✉✳ ❉♦ ➤ã✱ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② sÏ ❝✉♥❣ ❝✃♣ t❤➟♠ ♠ét t➭✐
❧✐Ö✉ ✈Ò tæ ❤î♣ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ♣❤æ t❤➠♥❣❀ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ♥❤÷♥❣ ❡♠ ❤ä❝
s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ ♠➠♥ t♦➳♥✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ❤✐ ✈ä♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② sÏ ➤➳♣ ø♥❣
➤➢î❝ ♣❤➬♥ ♥➭♦ ❧ß♥❣ ②➟✉ t❤Ý❝❤ ❦❤➳♠ ♣❤➳ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❡♠✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ➤➞②
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét t➭✐ ❧✐Ö✉ ➤Ó ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ♠ét ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥
✹

t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ tæ ❤î♣ t❤❡♦ ♠ét ❧➠❣✐❝ ❦❤➳❝ s♦ ✈í✐ s➳❝❤ ♣❤æ t❤➠♥❣ ♥❤➺♠ ❣➞②
sù ♠í✐ ❧➵ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤✳ ❈❤➢➡♥❣ ❤❛✐ ❧➭ trä♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣
♥➭②✱ ❤ä❝ s✐♥❤ ➤➢î❝ t×♠ ❤✐Ó✉ ♠➢ê✐ ❝❤✉②➟♥ ➤Ò✿
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
1
✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
2
✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
3
✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
4
✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡②✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
5
✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
6
✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
7
✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
8
✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
9
✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò
10
✿ ➜➵✐ ❧➢î♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥✳
❚r♦♥❣ ♠ç✐ ❝❤✉②➟♥ ➤Ò✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t❐♣ t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ ❞➱♥ ❞➽t t❤❡♦ ♥❤÷♥❣ ❝❤ñ ➤Ò
♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ◗✉❛ ➤ã ❤ä❝ s✐♥❤ tù t×♠ t❤✃② ❝❤♦ ♠×♥❤ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥
➤Õ♥ ❝❤ñ ➤Ò ➤➢î❝ ♥➟✉✳ ➜å♥❣ t❤ê✐✱ ♠ç✐ ❜➭✐ ➤Ò✉ ❝ã ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤✐ t✐Õt✱ ♥❣➽♥ ❣ä♥✱
➤➬② s➳♥❣ t➵♦ ✈➭ ❜✃t ♥❣ê✳ ❈➳❝ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ♥➭② Ýt ❣➷♣ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ✈Ò tæ ❤î♣ ❝ã
tr➟♥ t❤Þ tr➢ê♥❣✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❤✐ ✈ä♥❣ ❝❤Ý♥❤ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ý❝❤ t❤Ý❝❤ sù ❤❛♠ ❤✐Ó✉ ❜✐Õt✱
❧ß♥❣ s❛② ♠➟ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ❜❛ ❝ã ♥é✐ ❞✉♥❣ ❧➭
♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t❐♣ ➤Ò ♥❣❤Þ ➤➢î❝ ❝❤ä♥ ❧ù❛ ❦Ü ❧➢ì♥❣❀ ♥❤➺♠ ❣✐ó♣ ❝➳❝ ❡♠ ✈❐♥ ❞ô♥❣
♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ t❤✉ ➤➢î❝ tõ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣ tr➢í❝ ➤Ó ♥➞♥❣ ❝❛♦ ❦ü ♥➝♥❣ ❣✐➯✐ t♦➳♥
tæ ❤î♣ ❝ñ❛ ♠×♥❤✳
❙❛✉ ♠ét t❤ê✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ sÏ
❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤✐Ò✉ s❛✐ sãt✳ ❑Ý♥❤ ♠♦♥❣ sù ❣ã♣ ý ❝ñ❛ q✉ý t❤➬② ❝➠✱ ❝➳❝
❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ✈➭ ❝➳❝ ❡♠ ❤ä❝ s✐♥❤✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✦
✺

❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
✶✳✶✳ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥
◗✉② t➽❝ ❝é♥❣
✿ ◆Õ✉
Ei(i= 1, ..., k)
❧➭
k
sù ❦✐Ö♥ t❤♦➯ ♠➲♥✿
(i)
❑❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥ ♥➭♦ tr♦♥❣ sè ❝❤ó♥❣ ①➯② r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐
(ii)Ei
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦
ni
❝➳❝❤
t❤× ♠ét tr♦♥❣
k
sù ❦✐Ö♥ ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦
(n1+n2+... +nk)
❝➳❝❤✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶
▼ét ❧í♣ ❤ä❝ ❝ã
18
❤ä❝ s✐♥❤ ♥❛♠ ✈➭
12
❤ä❝ s✐♥❤ ♥÷ t❤× ❝ã
18 + 12 = 30
❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♠ét ❤ä❝ s✐♥❤ ✭❦❤➠♥❣ ❦Ó ♥❛♠✱ ♥÷✮ ❧➭♠ ♥❣➢ê✐ ➤➵✐
❞✐Ö♥ ❝❤♦ ❧í♣✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✷
●✐➯ t❤✐Õt
E
❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á ❤➡♥
10
✈➭
F
❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❝❤➼♥ ♥❤á ❤➡♥
10
✳
❚❤×✿
E
❝ã
4
❝➳❝❤ ①➯② r❛✱
F
❝ã
4
❝➳❝❤ ①➯② r❛✳ ◆❤➢♥❣ ✈×
2
❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥
tè ❝❤➼♥ ♥➟♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥
E
❤♦➷❝
F
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦
4+4−1 = 7
❝➳❝❤✳
◗✉② t➽❝ ♥❤➞♥
✿ ◆Õ✉
Ei(i= 1, ..., k)
❧➭
k
sù ❦✐Ö♥ ✈➭
E1
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦
n1
❝➳❝❤❀
E2
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦
n2
❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ö❝
E1
①➯②
r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮❀
E3
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦
n3
❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ö❝
E1
✈➭
E2
①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱✳✳✳✱
Ek
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦
nk
❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô
t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✭
k−1
✮ sù ❦✐Ö♥ tr➢í❝ ①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱ t❤×
k
sù ❦✐Ö♥ ❝ã t❤Ó ①➯②
r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤❡♦
n1.n2.n3...nk
❝➳❝❤✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✸
▼ét ❣✐➳ s➳❝❤ ❝ã
6
q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ❆♥❤ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉❀
8
q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ P❤➳♣ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭
10
q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ➜ø❝ ➤➠✐
♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳
(i)
❈ã
6.8.10 = 480
❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❧✃②
3
q✉②Ó♥ s➳❝❤ tr♦♥❣ ➤ã ♠ç✐ q✉②Ó♥ ♠ét
✻