Nguy n Văn Quy n - 0938.59.6698 - S u t m và biên so nễ ề ư ầ ạ
TOÁN 9
CHUYÊN Đ 2: H TH C L NG TRONG TAM GIÁC VUÔNGỀ Ệ Ứ ƯỢ
A – LÝ THUY TẾ
I . H th c l ng v c nh và đng cao trong tam giác vuôngệ ứ ượ ề ạ ườ :
1. Cho tam giác ABC vuông t i A, đng cao AH. Ta có:ạ ườ
(1) b2 = ab’; c2 = ac’.
(2) b2 + c2 = a2 (đnh lý Pitago)ị
(3) h2 = b’c’
(4) ah = bc
(5)
2. Các h th c (1), (3), (4) và (5) trên có đnh lý đo v i đi u ki n H n m gi a B vàệ ứ ở ị ả ớ ề ệ ằ ữ
C.
3. Đi v i ố ớ ABC b t k , ta có:ấ ỳ
(đnh lý Py-ta-go);ị
II . T s l ng giác c a góc nh nỉ ố ượ ủ ọ :
sin = ; cos = ;
tan = ; cot = .
N u hai góc nh n ế ọ và có sin = sin
(ho c cosặ = cos, ho c tanặ = tan, ho cặ
cot = cot) thì = .
N u hai góc ph nhau thì sin góc này b ng cos góc kia và tan góc này b ng cot góc kia.ế ụ ằ ằ
N u ế + = 900 thì:
sin = cos ; cos = sin ;
tan = cot ; cot = tan .
II . H th c l ng gi a các c nh và các góc c a m t tam giác vuôngệ ứ ượ ữ ạ ủ ộ :
b = a . sinB = a . cosC
c = a . sinC = a . cosB
b = c . tanB = c . cotC
Gia S Thành Công - Chuyên đào t o và cung ng Gia s ch t l ng t i nhà.ư ạ ứ ư ấ ượ ạ
ĐT : 024.6260.0992 - 0914.757.486
Nguy n Văn Quy n - 0938.59.6698 - S u t m và biên so nễ ề ư ầ ạ
c = b . tanC = b . cotB
B – CÁC VÍ DỤ.
D NG 1Ạ: V n d ng h th c v c nh và đng cao đ tính c nh trong tam giác.ậ ụ ệ ứ ề ạ ườ ể ạ
Ví d 1: ụTính di n tích hình thang ABCD có đng cao b ng 12cm, hai đng chéo ACệ ườ ằ ườ
và BD vuông góc v i nhau, BD = 15cm.ớ
Gi iả:
Qua B v đng th ng song song v i AC,ẽ ườ ẳ ớ
c t DC E. G i BH là đng cao c a hìnhắ ở ọ ườ ủ
thang. Ta có BE // AC, AC BD nên BE
BD.
Áp d ng đnh lý Pitago vào tam giác vuôngụ ị
BDH, ta có: BH2 + HD2 = BD2
122 + HD2 = 152 HD2 = 225 – 144 = 81 HD = 9 (cm).
Xét tam giác BDE vuông t i B:ạ
BD2 = DE . DH 152 = DE . 9 DE = 225 : 9 = 25 (cm).
Ta có: AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm).
Do đó: = 25 . 12 : 2 = 150 (cm2).
Ví d 2: ụHình thang cân ABCD có đáy l n CD = 10cm, đáy nh b ng đng cao, đngớ ỏ ằ ườ ườ
chéo vuông góc v i c nh bên. Tính đng cao c a hình thang.ớ ạ ườ ủ
Gi iả:
G i AH, BK là đng cao c a hình thang. Đt ABọ ườ ủ ặ
= AH = BK = x. D dàng ch ng minh đc DH =ễ ứ ượ
CK = . Do đó HC =
Xét tam giác ADC vuông t i A, ta có AH = HD . HC. Do đó: ạ
T đó x = cm. V y đng cao c a hình thang b ng cm.ừ ậ ườ ủ ằ
Ví d 3: ụTính di n tích m t tam giác vuông có chu vi 72cm, hi u gi a đng trungệ ộ ệ ữ ườ
tuy n và đng cao ng v i c nh huy n b ng 7cm.ế ườ ứ ớ ạ ề ằ
Gi iả:
Gia S Thành Công - Chuyên đào t o và cung ng Gia s ch t l ng t i nhà.ư ạ ứ ư ấ ượ ạ
ĐT : 024.6260.0992 - 0914.757.486
Nguy n Văn Quy n - 0938.59.6698 - S u t m và biên so nễ ề ư ầ ạ
Kí hi u nh hình bên. Đt AM = x, ta cóệ ư ặ
BC = 2x, AH = x – 7.
Theo các h th c trong tam giác vuông:ệ ứ
AB2 + AC2 = BC2 = 4x2 (1)
AB . AC = BC . AH = 2x(x – 7). (2)
T (1) và (2) suy ra:ừ
AB2 + AC2 + 2AB.AC = 4x2 + 4x(x – 7)
(AB + AC)2 = 8x2 – 28x (72 – 2x)2 = 8x2 – 28x.
Đa v ph ng trình xư ề ươ 2 + 65x – 1296 = 0 (x – 16)(x + 81) = 0.
Nghi m d ng c a ph ng trình là x = 16. T đó BC = 32cm, AH = 9cm.ệ ươ ủ ươ ừ
V y di n tích tam giác ABC là: 32 . 9 : 2 = 144 (cmậ ệ 2).
D NG 2Ạ: D a vào các h th c đã h c đ làm các bài toán ch ng minh.ự ệ ứ ọ ể ứ
Ví d 4: ụCho hình thang ABCD có , hai đng chéo vuông góc v i nhau t i H. Bi tườ ớ ạ ế
r ng AB = cm; HA = 3cm. Ch ng minh r ng:ằ ứ ằ
a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8
b)
Gi iả:
a) Mu n ch ng t HA, HB, HC, HD tố ứ ỏ ỉ
l v i 1, 2, 4, 8 tr c tiên ta tính đ dàiệ ớ ướ ộ
c a các đo n th ng đó.ủ ạ ẳ
Áp d ng h th c bụ ệ ứ 2 = ab’ vào tam
giác vuông BAC ta đcượ
AB2 = AC . AH
AC = = 15cm HC = 12cm.
Áp d ng h th c hụ ệ ứ 2 = b’c’ vào tam giác vuông BAC và tam giác vuông CBD ta
đc:ượ
BH2 = HA . HC = 36 BH = 6 (cm);
CH2 = HB . HD HD = = 24 (cm).
Gia S Thành Công - Chuyên đào t o và cung ng Gia s ch t l ng t i nhà.ư ạ ứ ư ấ ượ ạ
ĐT : 024.6260.0992 - 0914.757.486
Nguy n Văn Quy n - 0938.59.6698 - S u t m và biên so nễ ề ư ầ ạ
V y HA : HB : HC : HD = 3 : 6 : 12 : 24 = 1 : 2 : 4 : 8.ậ
b) Áp d ng h th c vào tam giác vuông BAC và CBD ta đc:ụ ệ ứ ượ
;
Tr t ng v c a hai đng th c ta đc: ừ ừ ế ủ ẳ ứ ượ
Nh n xétậ:
- Trong câu a, đ tính HB ta có th áp d ng đnh lý Py-ta-go vào tam giác vuôngể ể ụ ị
HAB (vì đã bi t c nh huy n và m t c nh góc vuông).ế ạ ề ộ ạ
- Trong câu b, đi u gì g i ý cho ta áp d ng h th c ? Đó là vì đng th c c nề ợ ụ ệ ứ ẳ ứ ầ
ch ng minh có ch a các ngh ch đo bình ph ng c a các c nh góc vuông, c a đngứ ứ ị ả ươ ủ ạ ủ ườ
cao ng v i c nh huy n. Vì v y ta đã v n d ng h th c này vào các tam giác vuôngứ ớ ạ ề ậ ậ ụ ệ ứ
thích h p.ợ
D NG 3Ạ: Tính góc d a vào t s l ng giác.ự ỉ ố ượ
Ví d 5: ụCho tam giác ABC vuông A, đng cao AH. Bi t AB = 7,5cm; AH = 6cm.ở ườ ế
a) Tính AC, BC;
b) Tính cosB, cosC.
Gi iả:
a) Tam giác ABH vuông H, theo đnh líở ị
Py-ta-go, ta có:
BH2 = AB2 – AH2 = 7,52 – 62 = 20,25
suy ra BH = = 4,5 (cm).
Tam giác ABC vuông A, có AH ở BC,
theo h th c l ng trong tam giác vuông, taệ ứ ượ
có:
AB2 = BH . BC, suy ra BC = = 12,5 (cm).
L i áp d ng đnh lý Py-ta-go v i tam giác vuông ABC, ta có:ạ ụ ị ớ
AC2 = BC2 – AB2 = 12,52 – 7,52 = 156,25 – 56,25 = 100.
suy ra AC = = 10 (cm)
V y AC = 10cm, BC = 12,5cm.ậ
Gia S Thành Công - Chuyên đào t o và cung ng Gia s ch t l ng t i nhà.ư ạ ứ ư ấ ượ ạ
ĐT : 024.6260.0992 - 0914.757.486
Nguy n Văn Quy n - 0938.59.6698 - S u t m và biên so nễ ề ư ầ ạ
b) Trong tam giác vuông ABC, ta có:
cosB = = 0,6 ;
cosC = = 0,8 .
Tr l iả ờ : cosB = 0,6 ; cosC = 0,8.
D NG 4Ạ: S d ng các t s l ng góc đã h c đ làm các bài toán ch ng minh.ử ụ ỉ ố ượ ọ ể ứ
Ví d 6: ụS d ng đnh nghĩa các t s l ng giác c a m t góc nh n đ ch ng minhử ụ ị ỉ ố ượ ủ ộ ọ ể ứ
r ng: V i góc nh n ằ ớ ọ tùy ý, ta luôn có:
a) ;
c) ;
b) tan . cot = 1 ;
d) .
Gi iả:
Xét tam giác ABC vuông A. Đt , BC = a, CA = b, AB = c (h6). Theo đnh nghĩa t sở ặ ị ỉ ố
l ng giác c a góc nh n, ta có:ượ ủ ọ
;
;
;
.
V y:ậ
a) (vì b2 + c2 = a2)
b) .
c) .
d) .
D NG 5Ạ: V n d ng h th c gi a c nh và góc đ tính c nh và góc trong tam giác.ậ ụ ệ ứ ữ ạ ể ạ
Ví d 7: ụCho tam giác ABC vuông A, có AC = 15cm, . Hãy tính đ dài:ở ộ
a) AB, BC ;
b) Phân giác CD.
Gi iả:
a) Tam giác ABC vuông A, theo h th cở ệ ứ
l ng v c nh và góc c a tam giác vuông,ượ ề ạ ủ
ta có:
AB = AC.cotB = 15.cot500 15 . 0.8391
Gia S Thành Công - Chuyên đào t o và cung ng Gia s ch t l ng t i nhà.ư ạ ứ ư ấ ượ ạ
ĐT : 024.6260.0992 - 0914.757.486