D C
B
A
Chuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
*) Khái niệm chung về tứ giác:
+) Định nghĩa :
a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA
trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một
đường thẳng.
A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.
Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các
đỉnh.
Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên
một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với
hai cạnh đối (không kề nhau).
Đường chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.
Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân
biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác.
b) ABCD là tứ giác lồi
ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường
thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó.
Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm.
Trong hình, ABCD là tứ giác lồi
1. Định lí:
Tổng các gọc trong tứ giác bằng 3600 .
*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi:
Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đường chéo cắt nhau.
Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau thì đó là một tứ
giác lồi.
ABCD lồi
ABCD có hai đường chéo cắt nhau.
Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:
(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy
tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với
M
Oz, N
Oy
(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt
phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ
chứa Oy.
(III)
Cho tam giác ABC
a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ
giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
M
C
A
B
b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không
thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M
thì ABCM là tứ giác lồi?
c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và
không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong
năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra được bốn điểm là đỉnh
của một tứ giác lồi.
Giải
a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai
nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a)
b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M
là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC.
Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai trường hợp :
- M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác. trong h .2b, M ở
trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc
miền trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm).
j
M'
M
B
CA
- M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M’ nằm trong góc A.
Do đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC,
cho nên đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC và ABM’C là tứ giác lồi.
Tóm lại, trong h .2b, các miền được gạch chéo là tập hợp các điểm M mà
MABC là tứ giác lõm.
Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các
đỉnh của tứ giác lồi.
MN
C
A
B
o
C
D
A
B
c) Đường thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ cũng không cắt một cạnh
của tam giác ABC. Trong h .2c, đường thẳng MN không cắt AC. Tứ
giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài
của tam giác MAC và nằm trong góc MAC).
H .2a
CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các
cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đường chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ
dài các đường chéo.
*) Nhận xét :
Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ
thêm các đường phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tam
giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”.
Giải