PH NG PHÁP Đ T N PH D NG 1 GI I PH NG TRÌNH LOGARITƯƠ Ặ Ẩ Ụ Ạ Ả ƯƠ
N u đ t ế ặ
log
a
t x=
v i x > 0 thì ớ
1
log ;log
k k
a x
x t a
t
= =
v i ớ
0 1x
< ≠
Ta bi t r ng: ế ằ
log log
b b
c a
a c=
Ví d 1: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( ) ( )
2 4
log 5 1 .log 2.5 2 1
x x
− − =
Đi u ki n: ề ệ
5 1 0 5 1 0
x x
x− > ⇔ > ⇔ >
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( ) ( )
2 2
1log 5 1 .log 2 5 2 1
2
x x
− − =
Đ t ặ
( )
2
log 5 1
x
t= −
Khi đó pt (1) có d ng:ạ
( )
( )
( )
5
2
2
2
5
2
log 3
5 3
log 5 1 1
1 5 1 2
1 1 2 0 5
5
2log
5
5 1 2
log 5 1 2 4
4
x
xx
x
x
x
x
t
t t t t
tx
−
=
=
− =
= − =
+ = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= − =
=
− =
− = −
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 2: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
( )
23 3
log 3 3 4log 2 0 1
x
x
+
+ − =
Đ t ặ
( )
2
log 3 3
x
t= +
, đi u ki n ề ệ
23 3
1
log 3 log 2
x
t
t
+
> ⇒ =
Khi đó pt (1) có d ng:ạ
( )
( )
2
2
2
40 4 0 log 3 3 2 3 3 4 3 1 0
2
x x x
t
t t x
t l
t
=
− = ⇔ − = ⇔ ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
= −
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 3: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( ) ( )
2
1
log .log log
a x a
ax ax
a
=
v i ớ
0 1a
< ≠
Đi u ki n: ề ệ
00 1
0 1
ax
x
x
>
⇔ < ≠
< ≠
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( ) ( )
1 1
1 log . 1 2
log 2
a
a
x
x
+ + = −
Đ t ặ
log
a
t x=
Khi đó pt (2) có d ng:ạ
( )
2
2
1
1
1log
1 1
1 1 2 5 2 0 2
2
21
log 2
2
a
a
x
x
ta
t t t
tx
tx
a
=
= −
= −
+ + = − ⇔ + + = ⇔ ⇔ ⇔
= −
= − =
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 4: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
2
2 2
log log
8.2 14. 22 0 1
x x
x
−
+ − =
Đi u ki n: ề ệ
0x
>
Đ t ặ
2
log 2
t
t x x= ⇒ =
Khi đó pt (1) có d ng:ạ
( )
2
8.2 14. 2 22 0
t
t t −
+ − =
( )
2
2
14
8.2 22 0 2
2
t
t
⇔ + − =
Đ t ặ
2
2
t
u=
, đi u ki n ề ệ
1t≥
Khi đó pt (2) có d ng:ạ
2
2
2
2
2
2
22
2
7
log 4
2 2
0
10
2 1
8 22 14 0 777
7log log
2
444
4
log 0 1
7
log log 2
4
t
t
t
ut
u u
utt
xx
xx
±
=
==
=
− + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=== ±
=
=
=
⇔ ⇔
= ± =
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 5: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
2 2
9
lg 3lg 2lg
2
10 1
x x x
x
− − −
=
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( )
2 2
9
lg 3lg 2
lg 2
2
10
x x x
x x
− − −−
= =
2 2 2
11
0 1 0 1
9
lg 3lg 2 8lg 6lg 5 0
2
xx
xx
x x x x
=
=
< ≠
< ≠
⇔ ⇔
− − = − − − =
Đ t ặ
lgt x=
, ta đ c:ượ
1
2
25
4
1 1
1
0 1 0 1
1
1 1
0 1 10
lg
2 2
8 6 5 0 5 5 10
lg
4 4
x x
x
x x
x
xx
t x
t t
x
t x
−
= =
=
< ≠ < ≠
=
< ≠
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
= − = −
− − =
=
= =
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 6: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
( )
( ) ( )
3
log 9 2 3
2 9 2 1
x
x x
−
− = −
Đi u ki n: ề ệ
2 0 2x x− > ⇔ >
L y logarit c s 3 hai v , ta đ cấ ơ ố ế ượ :
( )
( )
( )
3
log 9 2 3
3 3
log 2 log 9 2
x
x x
−
− = −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
3 3 3
log 9 2 .log 2 2 log 2
2 log 2 .log 2 2 3log 2 2
x x x
x x x
⇔ − − = + −
⇔ + − − = + −
Đ t ặ
( )
3
log 2t x= −
Khi đó pt (2) có d ng:ạ
( ) ( )
( )
3
2
3
7
log 2 1
1
2 2 3 2 0 3
2log 2 2 11
x
tx
t t t t t
txx
− = −
= − =
+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇔ ⇔
=− =
=
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 7: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
()()()
2 2 2
2 3 6
log 1 .log 1 log 1x x x x x x− − + − = − −
Đi u ki n: ề ệ
2
2
2
1 0
1 0 1
1 0
x
x x x
x x
− ≥
− − > ⇔ ≥
+ − >
Nh n xét r ng: ậ ằ
()()()()
1
2 2 2 2
1 1 1 1 1x x x x x x x x
−
− − + − = ⇒ − − = + −
Khi đó pt đ c vi t l i d i d ng:ượ ế ạ ướ ạ
()()()
1 1
2 2 2
2 3 6
log 1 .log 1 log 1x x x x x x
− −
− − + − = − −
()()()
( )
2 2 2
2 3 6
log 1 .log 1 log 1 2x x x x x x⇔ + − + − = + −
Bi n đ i c s :ế ổ ơ ố
()()
2 2
2 2 6
log 1 log 6.log 1x x x x+ − = + −
Và
()()
2 2
3 3 6
log 1 log 6.log 1x x x x+ − = + −
Khi đó pt (2) đ c vi t l i d i d ng:ượ ế ạ ướ ạ
()()()
( )
2 2 2
2 6 3 3 6
log 6.log 1 .log 6.log 1 log 1 3x x x x x x+ − + − = + −
Đ t ặ
()
2
6
log 1t x x= + −
Khi đó pt (3) có d ng:ạ
( )
2 3
2 3
0
log 6.log 6. 1 0 log 6.log 6. 1 0
t
t t
t
=
− = ⇔ − =
V i t = 0ớ
()
2
2 2
62
1 1
log 1 0 1 1 1
1 1
x x
x x x x x
x x
+ − =
+ − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =
− − =
V i ớ
2 3
log 6.log 6. 1 0t− =
()
2
2 3 6
log 6.log 6.log 1 1 0x x+ − − =
()
2
2 3
log 6.log 1 1 0x x+ − − =
()
2
2 3
log 6.log 1 1x x⇔ + − =
()
6
log 2
2 2
3 6
log 1 log 2 1 3x x x x⇔ + − = ⇔ + − =
( )
6
6 6
6
log 2
2
log 2 log 2
log 2
2
1 3 13 3
2
1 3
x x
x
x x
−
−
+ − =
⇔ ⇔ = +
− − =
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 8: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( ) ( )
2 2
log 3 1 .log 2.3 2 2
x x
− − =
Đi u ki n: ề ệ
3 1 0 0
x
x− > ⇔ >
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( ) ( )
( )
2 2
log 3 1 . 1 log 3 1 2 1
x x
− + − =
Đ t ặ
( )
2
log 3 1
x
t= −
Khi đó pt (1) có d ng:ạ
( )
( )
( )
2
2
2
3
2
1
3 3
log 3 1 1
1 3 1 2
1 2 2 0 5
5
2log
3
3 1 2
log 3 1 2 4
4
x
xx
x
x
x
x
t
t t t t
tx
−
=
=
− =
= − =
+ = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= − =
=
− =
− = −
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 9: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( ) ( )
2 2
log 5 1 .log 2.5 2 2
x x
− − =
Đi u ki n: ề ệ
5 1 0 0
x
x− > ⇔ >
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( ) ( )
( )
2 2
log 5 1 . 1 log 5 1 2 1
x x
− + − =
Đ t ặ
( )
2
log 5 1
x
t= −
Khi đó pt (1) có d ng:ạ
( )
( )
( )
5
2
2
2
5
2
log 3
5 3
log 5 1 1
1 5 1 2
1 2 2 0 5
5
2log
5
5 1 2
log 5 1 2 4
4
x
xx
x
x
x
x
t
t t t t
tx
−
=
=
− =
= − =
+ = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= − =
=
− =
− = −
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 10ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
2 2
2
log 2. .log 2 1
x
x=
Đi u ki n: ề ệ
0 1x< ≠
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( )
2
2
2 2
2
2
1 2log 1 log 2 log 1 0 1
log
xx x
x
+= ⇔ − − =
Đ t ặ
2
logt x=
Khi đó pt (1) có d ng:ạ
2 1 5
2
2 1 0 1 5 log 1 5 2t t t x x
±
− − = ⇔ = ± ⇔ = ± ⇔ =
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 11ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
2
5 5
5
log log 1
x
x
x+ =
Đi u ki n: ề ệ
1
05
x< ≠
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( ) ( )
52 2
5
5 5
5 5
5
log 1 log
log 1 log 1 1
log 5 1 log
x
xx x
x x
−
+ = ⇔ + =
+
Đ t ặ
5
logt x=
Khi đó pt (1) có d ng:ạ
( )
5
2 3 2 2
5
5
log 0
0 1
11 2 0 2 0 1 log 1 5
12 1
log 2
25
x
t x
tt t t t t t t t x x
t
txx
=
= =
−
+ = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+
= − = −
=
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 12ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2
log 2 log 4 3
x
x+ =
Đi u ki n: ề ệ
0 2x< ≠
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( )
2 2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
log 4 log 3 log 1 0 log 1 1
2log 2 log 1 log
log
x x x
x x
x
+ + = ⇔ + − = ⇔ + −
− −
Đ t ặ
2
logt x=
Khi đó pt (1) có d ng:ạ
( )
2
2
2
log 0
0 1
11 0 2 0 2 0 2 log 2 4
1
x
t x
t t t t t
t x x
t
=
= =
+ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔
= = =
−
V y, pt có nghi m ...ậ ệ
Ví d 13ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
( )
( )
2
log 4 2 3
2
2 2 . 2
x
x x
−
− = −
Đi u ki n: ề ệ
2 0 2x x− > ⇔ >
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( )
( )
( )
( )
2 2 2
3 log 4 log 2 log 2 1
2 2
2 2 2 2
x x
x x
− + + − − −
− = ⇔ − =
L y logarit c s 2 hai v ph ng trình, ta đ c:ấ ơ ố ế ươ ượ
( )
( )
2
log 2 1 2
2 2
log 2 log 2
x
x
− −
− =
( ) ( )
2 2
log 2 1 .log 2 2x x⇔ − − − =
Đ t ặ
( )
2
log 2t x= −
Khi đó ph ng trình có d ng:ươ ạ
( ) ( )
( )
2
2
2
5
log 2 1
1
1 2 2 0 2
2log 2 2 6
x
tx
t t t t
txx
− = −
= − =
− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ ⇔
=− =
=
V y, pt có nghi m ...ậ ệ