Dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thông qua việc khái quát hoá từ một số trường hợp cụ thể

Chia sẻ: Minh Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo trình bày về một phương án dạy học theo hướng tổ chức các hoạt động giúp học sinh kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian thông qua khái quát hoá. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thông qua việc khái quát hoá từ một số trường hợp cụ thể

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 36-42 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DẠY HỌC KIẾN TẠO CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG THÔNG QUA VIỆC KHÁI QUÁT HOÁ TỪ MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Bùi Văn Nghị1 , Hoàng Ngọc Anh2 , Nguyễn Tiến Trung3 Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1 2 Khoa Toán, Trường Đại học Tây Bắc 3 Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt. Bài báo trình bày về một phương án dạy học theo hướng tổ chức các hoạt động giúp học sinh kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian thông qua khái quát hoá. Ban đầu, học sinh giải bài toán tổng quát thông qua việc cụ thể hoá từng phần: điểm cụ thể, phương trình mặt phẳng có các hệ số ở dạng tổng quát; điểm có toạ độ ở dạng tổng quát, phương trình mặt phẳng hệ số cụ thể. Tiếp đó, học sinh khái quát hoá, đề xuất và chứng minh công thức khoảng cách trong trường hợp tổng quát. Từ khóa: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian; khái quát hoá; dạy học kiến tạo. 1. Mở đầu Theo quan niệm về dạy học kiến tạo, học sinh (HS) học bằng cách đặt mình vào trong một môi trường tích cực, phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề bằng cách đồng hoá hay điều ứng những kiến thức và kinh nghiệm đã có cho tương thích với những tình huống mới, từ đó xây dựng nên những kiến thức mới cho bản thân. Khái quát hoá là hoạt động tư duy nhằm tóm lược, quy vào những điểm chung nhất cho nhiều sự vật, sự việc, hiện tượng. Trong dạy học một công thức tính toán, định lí, giáo viên (GV) có thể dùng phương pháp đặc biệt hoá: cho HS tìm công thức trong một số trường hợp riêng. Sau đó, trên cơ sở thống kê các kết quả, GV hướng dẫn HS tìm công thức tính tổng quát - định lí đó. Ở đây, khái quát hoá là một hoạt động tư duy giúp HS kiến tạo tri thức. Dạy học theo hướng này, một mặt phát huy được tính tích cực học tập của HS một mặt rèn luyện cho HS sinh khả năng và thói quen giải quyết vấn đề trong môn Toán cũng như trong cuộc sống: Khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, có thể chia nhỏ, cụ thể hoá một vấn đề thành các vấn đề đơn giản hơn, cụ thể hơn. Khái quát phương thức giải quyết các vấn đề cụ thể sẽ có được phương án giải quyết chung của vấn đề lớn hơn, ban đầu. Liên hệ: Nguyễn Tiến Trung, e-mail: trungnt@hnue.edu.vn. 36
Dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng... Trong dạy học môn Toán nói chung, dạy học hình học nói riêng, “Người giáo viên cần tạo ra những tình huống, trong đó học sinh gặp trở ngại về nhận thức, học sinh phải hoạt động, giải quyết vấn đề, phải điều chỉnh nhận thức, phải tìm kiếm để có được những tri thức mới” [3;93]. Theo [2;184], trong quá trình dạy học hình học, ta “cần chú trọng cả phương pháp tiên đề và phương pháp toạ độ”. Khi đó, hai phương pháp sẽ bổ khuyết cho nhau, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học hình học. Trong bài báo này chúng tôi trình bày phương án thiết kế tình huống dạy học kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian (Hình học lớp 12 THPT). Đây là một phương án khác với phương án đã trình bày trong [4]. 2. Nội dung nghiên cứu Kịch bản tổ chức các hoạt động học tập giúp học sinh kiến tạo công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng trong không gian như sau: Hoạt động 1: Tiếp cận vấn đề và xác định phương án giải quyết Giáo viên: Đặt vấn đề trực tiếp từ nội bộ môn Toán: Tương tự như trong phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, trong không gian chúng ta cũng thường phải gặp bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Có thể phát biểu bài toán như sau: Cho mặt phẳng (α) : Ax+By +Cz +D = 0 và điểm M (x0 ; y0 ; z0 ), hãy xác định công thức tính khoảng cách d (M ; α) từ điểm đến (α). Trong trường hợp tổng quát này, các em hãy đề xuất phương án giải bài toán. Phân tích: Học sinh đã biết biết khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) là độ dài đoạn thẳng M M ′ , trong đó M ′ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α)). Đồng thời học sinh có quy trình để xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : Bước 1. Xác định đường thẳng (∆) qua M ′ vuông góc với mặt phẳng (α). Bước 2. Xác định giao điểm M ′ của đường thẳng (∆) và mặt phẳng (α). Bước 3. Độ dài đoạn M M ′ chính là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α). Đương nhiên, còn một cách khác mà đa số học sinh đã quen với việc xác định một điểm −−−→ → bằng cách: Gọi điểm M ′ là điểm cần tìm, M ′ thuộc (α), thì ta có M M ′ //− n (α) , khi đó ta có thể −−−→′ → − biểu diễn M M = t. n (α) , (t ∈ R), tức là ta có   xM ′ − xM = tA y ′ − yM = tB  M zM ′ − zM = tC Suy ra:
−−−→
q √ d (M, (α)) =
M M ′
= (tA)2 + (tB)2 + (tC)2 = A2 + B 2 + C 2 . |t|.
Khi đó, chỉ cần xác định được t (sao cho điểm M ′ thuộc (α)) thì ta xác định được công thức tính khoảng cách. Học sinh: Thảo luận, trao đổi tìm phương án giải bài toán. Hoạt động 2 (Hoạt động khám phá, kiến tạo công thức): Giáo viên: Chia lớp thành 04 nhóm, mỗi nhóm giải một bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 37
Bùi Văn Nghị, Hoàng Ngọc Anh, Nguyễn Tiến Trung Bài toán 1. Tính khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) : 2x − 3y + 6z − 5 = 0. Bài toán 2. Tính khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) : 5x − 4y − 1 = 0. Bài toán 3. Tính khoảng cách từ điểm M (2; −2; 3) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B 2 + C 2 > 0. Bài toán 4. Tính khoảng cách từ điểm M (−3; 0; 4) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B 2 + C 2 > 0. HS: Giải bài tập theo từng nhóm. Dự kiến một số lời giải thu được như sau: Nhóm 1: Gọi M ′ (x1 ; y1 ; z1 ) là hình chiếu của M trên (α), khi đó ta có −−−→′ −−−→ −−−→ M M ⊥(α) ⇔ M M ′ //~n(α) , tức là ta có M M ′ = t~n(α) , (t ∈ R). (1) −−−→′ Hơn nữa, M M = (x1 − x0 ; y1 − y0 ; z1 − z0 ) , ~n(α) = (2; −3; 6) nên đẳng thức (1) trở thành    x1 − x0 = 2t  x1 = x0 + 2t y1 − y0 = −3t ⇔ y = y0 − 3t (2)   1 z1 − z0 = 6t z1 = z0 + 6t Thế toạ độ của điểm M ′ từ (2) vào phương trình mặt phẳng (α) ta được 2x0 − 3y0 + 6z0 − 5 2(x0 + 2t) − 3(y0 − 3t) + 6(z0 + 6t) − 5 = 0 ⇔ t = − 4 + 9 + 36 Khi đó ta có
−−−→
q √ √ d (M ; (α)) =
M M ′
= (2t)2 + (−3t)2 + (6t)2 = 49t2 = |t| 49 Thay giá trị của
vừa tìm được vào công
thức trên ta được
2x0 − 3y0 + 6z0 − 5
√ d (M ; (α)) =