ðỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ II LỚP 11 CƠ BẢN.
*CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN LƯU Ý
1/ ðại số và Giải tích:
1/ Tìm giới hạn của hàm số (
0
x x
→
hoặc
x
→ ±∞
).
2/ Khảo sát tính liên tục của hàm số tại 1 ñiểm, trên tập xác ñịnh
3/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số ñể chứng minh sự tồn tại nghiệm.
4/ Dùng các qui tắc, tính chất ñể tính ñạo hàm của một hàm số, làm việc với các hệ thức ñạo hàm.
5/ Vận dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (tại hoặc biết hệ số góc k)
2/ Hình học:
1/Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc với nhau.
2/Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
4/ Xác ñịnh và tính góc giữa ñường thẳng và ñường thẳng, ñường thẳng và mặt phẳng; mặt phẳng và mặt phẳng.
**MỘT SỐ DẠNG TOÁN MẪU:
I/ ðại số và giải tích:
Bài 1: Tính giới hạn các hàm số sau:
1)
2
3 3 3
4 3 ( 3)( 1)
lim lim lim( 1) 2
3 3
x x x
x x x x x
x x
→ → →
− + − −
− −
2)
2
2
1 1 1
2 3 1 ( 1)(2 1) 2 1 1 1
lim lim lim
1 ( 1)( 1) 1 2 2
x x x
x x x x x
x x x x
→− →− →−
+ + + + + −
= = = =
− − + − −
3)
3 2 2
x 1 x 1 x 1
2x 2 2(x 1) 2 2
lim lim lim 2
x 4x 3 (x 1)(x x 3) x x 3 1
® ® ®
- -
= = = = -
- + - + - + - -
4) 2
2 2 2
4 (2 )(2 )( 7 3) (2 )( 7 3)
lim lim lim 24
7 9 1
7 3
x x x
x x x x x x
x
x
→ → →
− − + + + − + + +
= = = −
+ −
+ −
5)
2
2 2 2
2 ( 2)( 4 1 3) ( 1)( 4 1 3) 9
lim lim lim
8
4 1 3 (4 1 9)( 2) 4( 2)
x x x
x x x x x x x
x x x x x x
→ → →
− − − + + + + + +
= = =
+ − + − + − + −
6)
3
3 2 3 3
332 3 2 3
3 1 3 1
(4 ) 4
4 3 1
lim lim lim 4
1 3 1 3
3(1 ) 1
x x x
x
x x x x x x
x x x
x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
− + − +
− +
= = =
+ − + − + −
7)
2
1 1 1 1 1
1 2 ( 2 ) 2
2
lim lim lim
2 2
2 3 3
( 3) 3
1 2
lim 2 3
x x xx
x x
x x x x x
xxx x
x x
x
→−∞ →−∞ →−∞→−∞
− − − − − −
= = = =
−− −
+ −
−
8)
( )
2 2
2
2 2
x x x
x x 2x 2x
lim x x 2x lim lim
x x 2x x x 2x
® + ¥ ® + ¥ ® + ¥
- +
- - = =
+ - + -
x
2 2
lim
2 1 2
1 2 x
® + ¥
=+
+ -
=
.
Bài 2: 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các ñiểm ñược chỉ ra:
a)
−
≠
=−
2
4
Õu x 2
( ) 2
4 Õu x=2
xn
f x x
n
t
ạ
i
ñ
i
ể
m x
o
= 2.
+ f(2) = 4; +
→ → → →
− − +
= = = + = =
− −
2
2 2 2 2
4 ( 2)( 2)
lim ( ) lim lim lim( 2) 4 (2)
2 2
x x x x
x x x
f x x f
x x
Vậy hàm số liên tục tại x = 2.
b)
11
( ) 1
2 1
2 1
xkhi x
f x taïi x
x
x khi x
−<
= =
− −
− ≥
Ta có: + f(1)= -2; +
+ +
→ →
= − = −
1 1
lim ( ) lim( 2 ) 2
x x
f x x
+
− − − −
→ → → →
− − − + − +
= = = = −
− − −
− −
1 1 1 1
1 ( 1)( 2 1) 2 1
lim ( ) lim lim lim 2
2 1 1
2 1
x x x x
x x x x
f x x
x
Vì
+ −
→ →
= = = −
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 2
x x
f x f x f suy ra hàm số liên tục tại x = 1.
2. Tìm m ñể hàm số sau liên tục tại các ñiểm ñã chỉ ra:
3 2
2 2 1
( ) 1
1
3 1
x x x khi x
f x taïi x
x
x m khi x
− + −
≠
= =
−
+ =
Ta có: + f(1)= 3 + m;
+
→ → → →
− + − − +
= = = + =
− −
3 2 2
1 1 1 1
2 2 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim lim( 2) 3
1 1
x x x x
x x x x x
f x x
x x
.
ðể
hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i x = 1 thì
3 3 0
m m
+ = ⇔ =
.
V
ậ
y khi m = 0 thì hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i x = 1.
3. Tìm số thực m sao cho hàm số:
2
3
( ) 2 1
x
f x mx
=
+ ≥
nÕu x < 2
nÕu x 2
liên tục tại x = 2.
Ta có:
2
2 2 2 2
lim ( ) lim 3 12, lim ( ) lim(2 1) 4 1 (2)
x x x x
f x x f x mx m f
− − + +
→ → → →
= = = + = + =
f(x) liên tục tại x = 2 khi
2 2
lim ( ) lim ( ) (2)
x x
f x f x f
− +
→ →
= =
suy ra
2 2
11
lim ( ) lim ( ) 12 4 1
4
x x
f x f x m m
− +
→ →
= ⇔ = + ⇔ =
V
ớ
i m =
11
4
thì f(x) liên t
ụ
c t
ạ
i x = 2.
Bài 3: Chứng minh phương trình sau có ñúng 3 nghiệm phân biệt:
a)
3
3 1 0
x x
− + =
b)
3 2
6 9 1 0
x x x
+ + + =
a) Ta có
( 2) 1; (0) 1; (1)= -1; (2) 3.
f f f f
− = − = =
Vì hàm s
ố
y =
− +
3
3 1
x x
là hàm
ñ
a th
ứ
c nên liên t
ụ
c trên các kho
ả
ng [-2; 0], [0; 1], [1; 2].
Mà : + f(-1).f(0)=-1.1=-1 <0 nên hàm s
ố
có
ít nhất một nghiệm
trên
(
-2; 0
)
;
+ f(0).f(1) = 1.-1=-1<0 nên hàm s
ố
có
ít nhất một nghiệm
trên
(
0; 1
)
;
+ f(1).f(2)=-1.3= -3<0 nên hàm s
ố
có
ít nhất một nghiệm
trên
(
1; 2
)
.
Suy ra hàm có ít nh
ấ
t 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t trên R mà hàm s
ố
là hàm b
ậ
c 3 nên có nhi
ề
u nh
ấ
t là 3 nghi
ệ
m. V
ậ
y hàm s
ố
có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b) t
ươ
ng t
ự
xem nh
ư
bài t
ậ
p.
Bài 4 :ðạo Hàm
1.
Cho hàm s
ố
f(x) = x
5
+ x
3
– 2x - 3. CMR: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)
Ta có
: f’(x) = 5x
4
+ 3x
2
– 2. VT = f’(1) + f’(-1) =(5 + 3 - 2) + (5+ 3- 2) = 12
VP = -4f(0) = -4.(-3) = 12 = VT , Suy ra
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
2. Cho hàm số y =
2
2 5
1
x x
x
+ +
−
a) Tính y’ . b) Giải bất phương trình y’<0.
a) y’ =
2 2
2
( 2 5)'( 1) ( 2 5)( 1)'
( 1)
x x x x x x
x
+ + − − + + −
=
−
2 2 2 2
2 2 2
(2 2)( 1) ( 2 5) 2( 1) 2 5 2 7
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x
x x x
+ − − + + − − − − − −
= = =
− − −
b)
2
2
2
1
1 0
2 7
' 0 0 2 7 0
( 1)
1 2 2 1 2 2
x
x
x x
yx x
xx
≠
− ≠
− −
< ⇔ < ⇔ ⇔
− − <
−− < < +
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là:
(1 2 2; 1 2 2) {1}
\
− +
.
3. Tính ñạo hàm các hàm số sau:
a)
x
yx
3 2
2 5
−
=
+
b)
y x x x
2
( 3 1).sin
= − +
a)
xx x
x
y'= xx x x x
2
3 2 5 3(2 5) 2 6 13
2 5
2 5
(2 5) 2 5 (2 5) 2 5
+ − + − +
+= =
+
+ + + +
b)
y x x x y x x x x x
2 2
( 3 1).sin ' (2 3)sin ( 3 1)cos
= − + ⇒= − + − +
.
4. Cho hàm số :
x
f x x x
43
5
( ) 2 1
2 3
= + − +
. Tính
f
(1)
′
.
Ta có:
′ ′
= + + = + +
⇒
= +
3 2 3 2
(2 )' 1 1
( ) 2 5 2 5 (1) 5
2 2 2 2 2
x
f x x x x x f
x x
5. Cho hàm s
ố
( )
1 2
f x sin x sin3x sin5x
3 5
= + + . Tính
( ) ( )
A f ' 3f 2
= p - p
.
Ta có :
( )
f ' x cosx cos3x 2cos5x f '( ) 1 ( 1) 2.( 1) 4
= + + Þ p = - + - + - = -
,
f(2
π
) = 0 nên A= - 4.
Bài 5: Cho hàm số
= +
3 2
y x x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
1) Tại ñiểm có hoành ñộ bằng -1. 2) Tại ñiểm có tung ñộ bằng 2.
3) Biết hệ số góc k = 1
4) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng d:
y x
5
=
.
5) Biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng
∆
: x – 5y -9 = 0.
Gi
ả
i: Ta có
= +
⇒
= +
3 2 2
' 3 2
y x x y x x
.
1)
0
0
0
1
'( 1) 1
y
xy
=
= −
⇒
− =
, suy ra ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là:
1( 1) 0 1
y x y x
= + + ⇔ = +
.
2)
Ta có
3 2
0 0 0 0
2 2 1 '(1) 5
y x x x y
= ⇔ + = ⇔ = ⇒=
. V
ậ
y ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là : y = 5(x – 1) + 2
⇔
y = 5x – 3.
3)
G
ọ
i G
ọ
i
x y
0 0
( ; )
là to
ạ
ñộ
c
ủ
a ti
ế
p
ñ
i
ể
m. Vì ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc k = 1
nên:
= ⇔ + =
2
0 0 0
'( ) 1 3 2 1
y x x x
= −
⇔ + − = ⇔
=
0
2
0 0
0
1
3 2 1 0
1
3
x
x x x
+ V
ớ
i
= −
⇒
=
0 0
1 0
x y
⇒ PTTT:
= +
1
y x
.
+ V
ớ
i
=
⇒
=
0 0
1 4
3 27
x y
⇒ PTTT:
= − + ⇔ = −
1 4 5
1( )
3 27 27
y x y x
V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n có k =1 là
= +
1
y x
.và
= −
5
27
y x
4)
Vì ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i d:
y x
5
=
nên ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc là
k
= 5
G
ọ
i
x y
0 0
( ; )
là to
ạ
ñộ
c
ủ
a ti
ế
p
ñ
i
ể
m.
y x x x
2
0 0 0
'( ) 5 3 2 5
= ⇔ + =
x
x x x
0
2
0 0
0
1
3 2 5 0
5
3
=
⇔ + − = ⇔
= −
.
+ V
ớ
i
x y
0 0
1 2
=⇒=
⇒ PTTT:
y x
5 3
= −
.
+ V
ớ
i
x y
0 0
5 50
3 27
= −
⇒
= −
⇒ PTTT:
y x
175
5
27
= +
V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i d là :
y x
5 3
= −
và
y x
175
5
27
= +
.
5)
Ta có:
1 9 1
5 9 0 5 9
5 5 5
x y y x y x k
∆
+ − = ⇔ = − + ⇔ = − + ⇒= −
G
ọ
i k là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n, Vì ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
∆
nên ta có : 1
. 1 . 1 5.
5
k k k k
∆
−
= − ⇔ = − ⇔ =
(Có k = 5 làm gi
ố
ng câu 4: G
ọ
i
x y
0 0
( ; )
là to
ạ
ñộ
…).
II. Hình học:
Cho hình chóp S.ABCD có
ñ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh
b
ằ
ng
a
và SA
⊥
(ABCD) và SA =
a
6
3
. 1) Ch
ứ
ng minh BD
⊥
SC.
2) Ch
ứ
ng minh BC
⊥
(SAB). 3) Ch
ứ
ng minh (SAD)
⊥
(SCD).
4) Tính góc gi
ữ
a SC và (ABCD). 5) Tính góc gi
ữ
a (SBD) và (ABCD).
OC
S
A
B
D
1)
(ðể chứng minh ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng ta chứng minh ñường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa ñường
thẳng kia
).
Ta có :
(ABCD là hìn ô )
(SA (ABCD)) ( )
.
trong (SAC)
à ( )
BD AC h vu ng
BD SA BD SAC
BD SC
SA AC A
m SC SAC
⊥
⊥ ⊥ ⇒⊥
⇒⊥
∩ =
⊂
2)
(ðể chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh ñường thẳng này vuông góc với hai ñường thẳng cắt
nhau nằm trong mặt phẳng).
Ta có
(vì ABCD là hìn ô )
( vì SA (ABCD)) ( )
trong (SAB)
BC AB h vu ng
BC SA BC SAB
SA AB A
⊥
⊥ ⊥ ⇒⊥
∩ =
.
3)
(ðể chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này có chứa một ñường thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia).
Ta có :
( vì ABCD là hìn ô )
( vì SA (ABCD)) ( )
( ) ( ).
trong (SAD)
à ( )
CD AD h vu ng
CD SA CD SAD
SCD SAD
SA AD A
m CD SCD
⊥
⊥ ⊥ ⇒⊥
⇒⊥
∩ =
⊂
.
4)
(Tính góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm hình chiếu của ñường thẳng trên mặt phẳng, khi ñó góc giữa ñường thẳng và
mặt phẳng là góc giữa ñường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng).
Ta có :Hình chi
ế
u c
ủ
a SC trên (ABCD) là AC nên:
(SC,(ABCD))=(SC,AC)= SAC
( vì SA (ABCD))
⊥
=
SCA
. Trong tam giác vuông SAC ta có
:
0
6
SA 3
3
tan(SCA)= SCA 30 .
AC 3
2
a
a
= = ⇒=
V
ậ
y (SC,(ABCD)) = 30
0
.
5
)(ðể xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng ta: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, trong mỗi mặt phẳng tìm ñường vuông góc với giao
tuyến. Khi ñó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai ñường vuông với giao tuyến ñó).
G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD, ta có:
( ) ( )
( ), (( ),( )) ( , )
( ),
SBD ABCD BD
AO ABCD AO BD SBD ABCD AO SO SOA
SO SBD SO BD
∩ =
⊂ ⊥ ⇒= =
⊂ ⊥
.
Trong tam giác vuông SAO ta có:
0
62 3
3
tan( ) 49 6'
3
2
2
a
SA
SOA SOA
OA a
= = = ⇒=.
***CÁC ðỀ THI THỨ HỌC KÌ II
ðỀ 1:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1)
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
2)
2
2
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ −
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số 2 1
3
( ) 3
3 3
xkhi x
f x x
khi x
− +
≠
=−
=
tại x = 3.
Bài 3: Cho hàm số
( )
3 2
y f x 2x 4x 1
= = + -
có ñồ thị
( )
C
.
1) Giải bất phương trình
( )
f ' x 0
³
.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị
( )
C
tại ñiểm có hoành ñộ
0
x 2
=
.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị
( )
C
tại ñiểm có tung ñộ bằng
1
-
.
4) Viế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị
( )
C
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
2
-
.
Bài 4:
Cho hai hàm s
ố
:
4 4
( ) sin cos
f x x x
= +
và
1
( ) cos4
4
g x x
=
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
'( ) '( ) ( )
f x g x x
= ∀ ∈ℜ
.