Đ C NG TOÁN CAO C P AỀ ƯƠ Ấ 3
1.Mã s : 102(TN)103ố
2.S tín ch : 5 đ n v h c trìnhố ỉ ơ ị ọ
3.Phân b th i l ng: 75 ti t = 45LT + 30 BTố ờ ượ ế
4.Môn tiên quy t: Toán cao c p A1ế ấ
5.Môn song hành: Toán cao c p A2ấ
6.N i dung chính: Vi phân hàm nhi u bi n, tích phân b i, tích phân đ ng, tích phân m t, lýộ ề ế ộ ườ ặ
thuy t tr ng.ế ườ
CH NG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHI U BI N. (20T=12LT+8BT)ƯƠ Ề Ế
1.1.Khái ni m c b n.ệ ơ ả
1.1.1.Đ nh nghĩa hàm 2 bi n, nhi u bi n hàm xác đ nh, mi n giá tr , đ th .ị ế ề ế ị ề ị ồ ị
1.1.2.S h i t trong R, R. T p b ch n, đóng m , đi m t , đi m trong, đi m biên, biên, lânự ộ ụ ậ ị ặ ở ể ụ ể ể
c n.ậ
1.2.Gi i h n và liên t c:ớ ạ ụ
1.2.1.Gi i h n hàm s , 2 đ nh nghĩa (không ch ng minh t ng đ ng)ớ ạ ố ị ứ ươ ươ
1.2.2.Gi i h n l p.ớ ạ ặ
1.2.3.Hàm s liên t c. Liên t c trên t p đóng b ch n, các đ nh lý Weierstrass (không ch ngố ụ ụ ậ ị ặ ị ứ
minh).
1.3.Đ o hàm riêng và vi phân.ạ
1.3.1.Đ o hàm riêng.ạ
1.3.2.Kh vi và vi phân.ả
1.3.3.Đi u ki n c n, đi u ki n đ kh vi.ề ệ ầ ề ệ ủ ả
1.3.4.Tính g n đúng.ầ
1.4.Đ o hàm riêng và vi phân c a hàm h p:ạ ủ ợ
1.4.1.Đ o hàm ri ng c a hàm h p.ạ ệ ủ ợ
1.4.2.Tính b t bi n vi phân v p m t.ấ ế ấ ộ
1.5.Đ o hàm c a hàm n:ạ ủ ẩ
1.5.1.Đ nh nghĩa hàm n, đ nh lý hàm n (không ch ng minh).ị ẩ ị ẩ ứ
1.5.2.Cách tính đ o hàm ri ng, vi phân c a hàm n (xác đ nh t 1 ho c 2 ph ng trình).ạ ệ ủ ẩ ị ừ ặ ươ
1.6.Đ o hàm và vi phân c p cao:ạ ấ
1.6.1.Tính đ i x ng đ o hàm riêng c p cao (đ nh lý Schwartz).ố ứ ạ ấ ị
1.6.2.Đ o hàm và vi phân c p cao c a hàm n.ạ ấ ủ ẩ
1.6.3.Công th c Taylor.ứ
1.7.Đ o hàm theo h ng.ạ ướ
1.7.1.Vect gradiert.ơ
CH NG II: NG D NG C A HÀM NHI U BI N (10T=6LT+4BT)ƯƠ Ứ Ụ Ủ Ề Ế
2.1.C c tr c a hàm nhi u bi n:ự ị ủ ề ế
2.1.1.Khái ni m c c tr , ví d , đi u ki n c n.ệ ự ị ụ ề ệ ầ
2.1.2.Đi u ki n đ c c tr (nêu d ng toàn ph ng: Không ch ng minh). Tr ng h p hai bi nề ệ ủ ự ị ạ ươ ứ ườ ợ ế
(thông qua A,B,C,D).
2.2.C c tr có đi u ki n:ự ị ề ệ
2.2.1.Khái ni n c c tr có đi u ki n, ph ng pháp đ a v c c tr t do.ệ ự ị ề ệ ươ ư ề ự ị ự
2.2.2.Ph ng pháp nhân t Lagarange (đi u ki n c n).ươ ử ề ệ ầ
2.2.3.Đi u ki n đ (không ch ng minh).ề ệ ủ ứ
2.3.Giá tr l n nh t, bé nh t trong mi n đóng, b ch n.ị ớ ấ ấ ề ị ậ
2.4. ng d ng hình h c.Ứ ụ ọ
2.4.1.Hình bao.
2.4.2.Ti p tuy n và pháp di n c a đ ng congế ế ệ ủ ườ
2.4.3.Ti p di n và pháp tuy n c a m t cong.ế ệ ế ủ ặ
CH NG III: TÍCH PHÂN B I (15T=9LT+6BT)ƯƠ Ộ
3.1.Tích phân kép:
3.1.1.Đ nh nghĩa, tính ch t.ị ấ
3.1.2.Cách tính.
3.2.Đ i bi n trong tích phân kép:ổ ế
3.2.1.Tr ng h p t ng quát (không ch ng minh).ườ ợ ổ ứ
3.2.2.Đ i bi n trong t a đ c c.ổ ế ọ ộ ự
3.3. ng d ng trong hình h c c a tích phân kép:Ứ ụ ọ ủ
3.3.1.Di n tích ph ng.ệ ẳ
3.3.2.Th tích.ể
3.3.3.Di n tích m t cong.ệ ặ
3.4. ng d ng c h c c a tích phân kép:Ứ ụ ơ ọ ủ
3.4.1.Kh i l ng mãnh ph ng.ố ượ ẳ
3.4.2.Moment quán tính c a mãnh ph ng.ủ ẳ
3.4.3.Moment tĩnh và tr ng tâm c a mãnh ph ng. Đ nh lý Guldin th hai.ọ ủ ẳ ị ứ
3.5.Tích phân b i ba:ộ
3.5.1.Đ nh nghĩa, tính ch t.ị ấ
3.5.2.Cách tính.
3.6.Đ i bi n trong tích phân b i ba:ổ ế ộ
3.6.1.Tr ng h p t ng quát (không ch ng minh).ườ ợ ổ ứ
3.6.2.Đ i bi n trong t a đ tr .ổ ế ọ ộ ụ
3.6.3.Đ i bi n trong t a đ c u.ổ ế ọ ộ ầ
3.7. ng d ng c a tích phân b i ba:Ứ ụ ủ ộ
3.7.1.Th tích.ể
3.7.2.Kh i l ng.ố ượ
3.7.3.Moment quán tính.
3.7.4.Moment tĩnh, tr ng tâm.ọ
CH NG IV: TÍCH PHÂN Đ NG (15T=9LT+6BT)ƯƠ ƯỜ
4.1.Tích phân đ ng lo i 1:ườ ạ
4.1.1.Đ nh nghĩa, tính ch t.ị ấ
4.1.2.Cách tính.
4.2. ng d ng tích phân đ ng lo i 1:Ứ ụ ườ ạ
4.2.1.Kh i l ng cung.ố ượ
4.2.2.Moment tĩnh, tr ng tâm cung, đ nh lý Guldin th nh t.ọ ị ứ ấ
4.2.3.Moment quán tính c a cung.ủ
4.3.Tích phân đ ng lo i 2:ườ ạ
4.3.1.Đ nh nghĩa, tính ch t.ị ấ
4.3.2.Cách tính.
4.3.3.Liên h gi a tích phân đ ng lo i 1 và lo i 2.ệ ữ ườ ạ ạ
4.4.Công th c Green:ứ
4.5.Đi u ki n không ph thu c đ ng l y tích phân.ề ệ ụ ộ ườ ấ
4.6. ng d ng:Ứ ụ
4.6.1.Tính công.
4.6.2.Gi i ph ng trình vi phân toàn ph n.ả ươ ầ
CH NG V: TÍCH PHÂN M T VÀ LÝ THUY T TR NG (15T=9LT+6BT)ƯƠ Ặ Ế ƯỜ
5.1.Tích phân m t lo i 1:ặ ạ
5.1.1.Đ nh nghĩa, tính ch t.ị ấ
5.1.2. ng d ng (Moment tr ng tâm).Ứ ụ ọ
5.2.Tích phân m t lo i 2:ặ ạ
5.2.1.M t đ nh h ng, đ nh nghĩa tích phân m t lo i 2.ặ ị ướ ị ặ ạ
5.2.2.Cách tính.
5.2.3.Đ nh lý Gauss – Ostrogratski (ch ch ng minh cho mi n đ n gi n)ị ỉ ứ ề ơ ả
5.2.4.Đ nh lý Stokes (ch ch ng minh cho mi n đ n gi n).ị ỉ ứ ề ơ ả
5.3.Lý thuy t tr ng.ế ườ
5.3.1.Tr ng Vect .ườ ơ
5.3.2.Thông l ng, div, d ng Vect c a công th c Gauss –Ostrogratskiượ ạ ơ ủ ứ
5.3.3.Hoàn l u,Vect xoáy, d ng Vect c a công th c Stokes.ư ơ ạ ơ ủ ứ
5.3.4.Vài lo i tr ng đ c bi t (th , ng, đi n,đi u hòa).ạ ườ ặ ệ ế ố ệ ề