SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc (Đề có 01 trang) KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN THỨ 3 NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn : Toán 12 Khối D Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề)
y
=
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
( ) A 0;1
1 sin 2
x
+
x
)(
3
Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số có đồ thị là ( ) C
+ + 3 + 8 x + 3 5 4 x x
x 1 2 - 1 x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với ( ) C cách điểm một khoảng bằng 2 . Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình: ( Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình: ( 4
) 1 tan = + ) =
3
2 x
1 tan - x )( 1 ) 1 ln + 2 x +
1
AC
BD
=
8
ABCD . Biết khoảng
. S ABCD có đáy ABCD là hình thoi , hai đường chéo SBD cùng vuông góc với mặt phẳng (
= 8 3 , )
) SAB bằng 3 , tính thể tích khối chóp
. S ABCD .
x 2 + + 1 dx I = Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân : x - ( e x (cid:242) ln x
SAC và ( ) )
,
Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp và cắt nhau tại O .Hai mặt phẳng ( cách từ điểm O đến mặt phẳng (
x y z thoả mãn ,
( x x
) - + 1
( y y
) - + 1
( z z
) 4 - £ 1 3
. Tìm giá trị nhỏ Câu 6 (1 điểm). Cho ba số thực dương
M = + + nhất của biểu thức: .. 1 + x 1 1 + y 1 1 + z 1
( ) A 1; 2
) ( . Viết phương trình B 3;5
- + y
z
P
2
9
x
0
+ = và các điểm
và điểm
-
( ) M P ˛
) ( .Tìm toạ độ điểm - 1; 5; 0 B
( ) 3; 1; 2 ,
x
-
2
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ( O là gốc toạ độ ) và xác định toạ độ trực tâm tam giác OAB . Câu 8a (1 điểm). Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 A sao cho . uuur uuur MA MB = . 30
1 2 x 2
(cid:230) (cid:231) Ł
n (cid:246) (cid:247) ł
=
90
1 n
2 C C + 2 n
Câu 9a (1 điểm). Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển Niutơn của nhị thức biết
* n ˛ ¥ và B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elíp ( ) E có tâm sai
e = và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng 2 5 . 3 3
x
1
y
1
z
3
d
:
=
=
+
2
y
5 0
z
Câu 8b (1 điểm). Trong không gian với hệ truc toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa đường
- + = một góc nhỏ nhất.
+ 2
+ 1
- 1
thẳng và tạo với mặt phẳng ( ) : P x
Câu 9b (1 điểm). Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . HẾT
ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20132014 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án gồm 5 trang)
ĐIỂM
NỘI DUNG Câu Ý 1 2,0 điểm
D =
¡ \
a TXĐ:
=
= +¥
lim fi–¥ x
lim + fi- 1 x
lim - fi- 1 x
{ } - 1 - x 1 2 + x 1
- 1 x 2 + 1 x
- 1 x 2 x + 1 3
y '
=
>
0
0,25 Giới hạn: , 2 , = -¥
" ˛
x D
+
( x
) 2 1
Chiều biến thiên: Ta có
BBT : x -¥ 1 0,25 +¥ 2 +¥
y
D =
¡ \
-¥
{ } - 1
2 Hàm số luôn nghịch biến trên
0,25
A (
;0)
2 y = x = - 1 Đồ thị hàm số có TCN là Đồ thị hàm số có TCĐ là Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm
1 2 ( ) - 0; 1 B
0,25 Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm
( I -
) 1; 2
Nhận xét đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm làm tâm đối xứng
( ) C
) 1
- ; 2 0
( x „ - 0
3 +
1
x 0
(cid:230) M x (cid:231) Ł
3
D
:
y
=
-
+ - 2
b Gọi Đồ thị học sinh tự vẽ (cid:246) ˛ (cid:247) ł 0,25
( x
) 0 x
2
3 +
1
+
x 0
) 1
( x 0
2
tại M là Phương trình tiếp tuyến với ( ) C
MA = hay 2
( ) A 0;1
2 x 0
2 x 0
2 (cid:246) (cid:247) ł
= (cid:219) + 4 = 4 theo bài ra + 1 - 0,25 - + 2 1 - 1 + 1 x 0 x 0 x 2 0 x 0 (cid:230) (cid:231) Ł
( x 0
-
0
D
y
=
y
(cid:219) + 2 - + 6 0 4 0 , 0,25 x 0 x 0 x 0 x 0
) +
( ) y 0
1 D :
)( 2 x 2 = (cid:219) x 0 0
1 :
D
y
=
y
-
2
D
:
y
=
x
+
hay y = 3 x - 1 pt (cid:230) (cid:231) Ł ) = (cid:222) = tiếp tuyến là • (cid:246) (cid:247) ł 2 = ( )( ¢ x 0
( )( ¢ x 2
) +
( ) y 2
2 :
2
1 3
1 3
y
=
x
+
• = (cid:219) pt tiếp tuyến là hay: x 0 2 0,25
1 D :
2 D :
1 3
1 3
• Vậy có hai tiếp tuyến y = 3 x - và 1 .
- 1 tan
x
1 sin 2
+
x
1 tan
x
2
)(
) = +
cos
x
„ (cid:219) „
0
x
( p h h
) ˛ ¢
p + 2
1,0 điểm Giải phương trình ( 0,25 điều kiện
2
2
2
Khi đó phương trình
( cos
)(
)
( cos
) Ø º
(cid:219) x - sin x cos x + sin x = cos x + sin x (cid:219) x + sin x cos x - sin - x = 0 0,25 ø 1 ß
tan
x
= - (cid:219) = -
1
x
+
p k
cos x + sin x = 0 x = - 1 (cid:219) cos 2 x - = 1 0 1 Ø Œ º tan Ø Œ cos 2 º
( ) k ˛ ¢
cos 2
x
= (cid:219) =
1
x
( ) k ˛ ¢
x
= -
p k
+
• thỏa mãn đk 0,25 • thỏa mãn đk = x p 4 kp
=
kp
( ) k ˛ ¢
3
, Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm là: x 0,25
)( 1 2
p 4 ) = + x
3 1,0 điểm. - x - + 1 3 x + 6 . 6 Giải phương trình: ( x
3
(cid:219)
x
+ + 3
3
x
+
5
=
0
Do x
=
KTM
-
ĐK: x ‡ - 3
( ) *
Ø º
ø ß
1 4
+ 8 - 1
(cid:246) (cid:247) ł
(cid:230) (cid:231) Ł
3
x
+ + 3
3
x
+
5
;
-
x
3;
¨
Khi đó phương trình 0,25
( ) = f x
Ø º
ø ß
x 4 4 x + 8 - 1
x 4 x 4
1 +¥ ; 4
Ø ˛ - Œ º
Xét hàm số
( ) ¢ = x
2
3
1 (cid:246) (cid:247) 4 ł 5 (cid:246) (cid:247) 3 ł
(cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł 5 1 (cid:246) ; (cid:247) 3 4 ł
( 4
) 2 1
( 3
) 5
3;
+¥
1 1 36 f + + > " ˛ - - ¨ - 3; x 0 ¨ 1 +¥ ; 4 2 x + 3 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł x - x + 0,25
1 4
1 ; 4
Ø - Œ º
(cid:246) (cid:247) ł
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł
x
3;
vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và
( ) = f x
( - (cid:219) = - 2
)
1 4
• Với (cid:219) f x 2 phương trình ( ) *
x
+¥
˛
0,25
( ) = f x
( ) 1
1 ; 4
Ø ˛ - Œ º (cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł (cid:246) (cid:247) ł
x
= -
2 ,
x
=
1
• Với (cid:219) f (cid:219) = x 1 phương trình ( ) *
3
0,25
2 x
4 + x + 2 + 1,0 điểm. Tính Tích phân = I 1 dx
( e x (cid:242)
1
3
e
e
e
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ) 1 ln + x 2 ln x
2 x
+ x + 2 +
( x
2 x dx
(cid:242)
(cid:242)
0,25 I = 1 dx = +
) 1 ln + 2
1
1
1
e
e
3 e
x ln x 1 ln + x (cid:242) dx 2 + x x ln
3 x
1
2 (cid:242) x dx
1 e
e
e
1 • = = 0,25 1 3
) x
( + e
) -
( ln 2
)
(cid:242)
1
1
1
+ x ln e 2 • dx = = + x ln x = ln 2 ln 2 = ln 0,25 d (cid:242) + x 1 ln + x x ln 2 ln x + 2
AC
=
8 3 ,
BD
8
e e 2 0,25 Vậy I = + ln - 3 ( 2 2 + x 3 1 - 3 + 2 5 1,0 điểm
= và AC BD
^
Từ gt tai trung điểm O của mỗi đường chéo. Tam giác
SO
SO
OB 4 3 , = ) ( ( ABCD SAB ,
OA ) ^
• ABD ( SBD
ABO vuuông tại O và ( SAC Gọi
) ( ( ) ^ ABCD SBD , , H K lần lượt là trung điểm
0 hay ABD đều D 60 = = (cid:222) 4 ) ) ( ) = (cid:222) ^ ˙ ABCD , AB BH DH AB (cid:222)
^
0,25
DH
=
4 3 ,
OK DH OK
P
,
=
DH
=
2 3
OK
AB
^
SK
( ) (cid:222) ^ (cid:222) ^ SOK AB
1 2
0,25 và , OI
OI
^
SK OI ,
AB
OI
( ) ^ (cid:222) ^ SAB
Ta có hay OI = 3 . Tam giác
) ( ( ) = d O SAB ,
OI
(cid:222)
=
+
+
(cid:222) = SO
2
SOK vuông tại O đường cao
2
2
2
1 OI
1 OK
1 OS
1 (cid:222) = 3
1 12
1 2 OS
S
=
4
S
=
2.
OA OB .
=
32 3
0,25
Y
ABCD
D
OAB
S ABCD
.
ABCD
(cid:222) V 2 32 3 (cid:215) = (cid:215) SO S Y 1 = (cid:215) 3 1 = (cid:215) 3 64. 3 3 0,25
. S ABCD bằng
Vậy thể tích khối chóp (đvtt) ( h/s tự vẽ hình) 64. 3 3
1
1
1
2
3
=
x
+
1
+
y
+
1
+
z
+
1
£
+ + +
z
y
6 1,0 điểm
( M x
) 3
x
+
1
y
+
1
z
+
1
(cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł
2 (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł
Ta có
0,25
2
2
2
(cid:219) + x
y
+
z
-
+ + y
(cid:222) ‡ M 9 + + + z y 3 x
( x
4 ) £ (cid:219) z 3
Mặt khác giả thiét
2
‡
+ + y
z
-
+ + (cid:219) < + + £ 0
z
y
x
y
z
4
)
( x
)
4 3
1 ( x 3
0,25
x
= = =
z
y
(cid:222) ‡ M ‡ = dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi Từ đó 9 + + + z y 3 x 9 + 4 3 9 7 0,25 + + = z y 4 (cid:219) = = = y z x + = + = + z 1 1 y 1 x (cid:236) (cid:237) x (cid:238)
4 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng đạt được khi 0,25 4 3 9 7 7.a 1,0 điểm
2
2
2
2
Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
+
y
-
2
ax
-
2
by
+ = c
0
( ) C x :
c
=
0
21,5
a
=
2
0,25 ( đ/k a + b - > c 0 )
˛ (cid:219) +
2
-
2
a
-
+ b c 4
9,5
A C
0
2
0
0
+
5
-
6
a
-
10
b c
+ =
˛
(cid:236) (cid:239) = (cid:219) = - b (cid:237) (cid:239) = c (cid:238)
(cid:236) (cid:239) 2 1 (cid:237) (cid:239) 2 3 (cid:238)
( ) (cid:236) ˛ O C (cid:239) ( ) (cid:237) (cid:239) ( ) B C (cid:238)
2
2
+
y
-
43
x
+
19
y
=
0
Do thỏ mãn đ/k
;
Vậy ( ) C x : 0,25
) H m n . Ta có uuur OB
) 2 ,
( m
( uuur ) OA , 5
( ) 1; 2 ,
) ( , H là trực tâm tam giác = 3;5
( m uuur uuur . = AH OB uuur uuur BH OA .
) - + 1 ) +
( - n ( - n
) = ) =
( 3 (cid:236) m (cid:239) (cid:237) ( 1 m (cid:239) (cid:238)
Gọi H là trực tâm tam giác OAB và uuur AH uuur BH - n 3; 1; - - = - n = = 0,25 5 2 0 0 m = - 39 (cid:219) (cid:219) n = 26 3 - 2 5 0 = 0 (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)
( H -
) 39 ; 26
Vậy trực tâm 0,25
8.a 1,0 điểm
AB
( ) , Vậy khi đó - 2; 3;1 I (cid:222)
) ( ( ) = d I P ,
2 2
Gọi I là trung điểm = = 6 0,25 18 3 +
2
+ + + 4 3 2 9 ) 2 ( 2 2 + - 1 uur ur I A IB O = Và uur IA ur uur . I A IB
2 36
) ( = - - - (cid:222) 1; 2; 1 uur uuur uur )( ) + IB MI MI IA MI = ) ( ( ) (cid:219) M d I P ;
= +
t 2 2
d
:
d
:
d
:
= - - t 3
30 = = + + + uur uur 2 . = IA IB MI - 6 6 , = - - - = - 1 4 1 uur uuur uur ) ( IA IB + + 0,25 uur ( ) 1; 2;1 , = IB uuur uuur uuur ( MA MB MI . = (cid:222) = = MI 6 MI là hình chiếu của I trên ( ) P
^
=
( ) - 2; 3;1 qua I (cid:222) ( ) P
( ) 2; 3;1 - qua I (cid:222) r r ( ) - 2; 1; 2 = n vtcp u P
(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)
(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)
= +
t 1 2
x (cid:236) (cid:239) y (cid:237) (cid:239) z (cid:238)
Đường thẳng 0,25
x = + t 2 2 x = - 2
M d
( ) P
y = - - 3 t y = - 1 (cid:219) (cid:219) 0,25 z = + t 1 2 = - 3
M - - -
2 x - + y 2 z + = 9 0 = - 2 (cid:236) (cid:239) (cid:239) = ˙ (cid:222) Toạ độ M là nghiệm hpt (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) z (cid:239) (cid:239) t (cid:238)
) 2; 1; 3
Vậy
9.a
( 1,0 điểm
( n n
) 1
2
*
=
90
2 C C + 2 n
1 n
n
12
12
12
- k
- 12 2
k
- 0,25 (cid:219) + 2 n = (cid:219) + 90 n n 3 - 180 = (cid:219) = n 0 12 (do n ˛ ¥ )
2
x
-
=
2
x
-
=
C
x
-
=
- 12 3 k x
( 2
)
( -
k ) 1 2
k 12
k 12
2
2
(cid:229)
(cid:229) C
1 x 2
1 2 x 2
k
=
0
k
=
0
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:230) (cid:231) Ł
k (cid:246) (cid:247) ł
0,25
k
- 12 3 k x
x
(cid:219) -
k 12 3
= (cid:219) =
k
0
4
1 x 2 k ) 1 2
(cid:246) (cid:247) ł + = k T
k 12
1
4
4 C =
=
7920
( - Vậy số hạng không phụ thuộc vào x là
2 12 (cid:246) (cid:247) ł - 12 2 Số hạng C không phụ thuộc vào 0,25
T 5
12 .2
0,25
2
7.b 1,0 điểm
2
2 y 2 b
2
2
2
2
2
2
0,25 E = 1 , a > > b 0 + Giả sử phương trình ( ) : x a
2 - (cid:219) = b 3
0,25 Ta có e = = (cid:222) = (cid:219) = c 3 a a 3 b 2 a
( a
)
2
2
2
c a 3 3
2 b
( ) 5 2
( ) 1 ) = (cid:219) +
độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng 2 5 . (cid:219) 4 4.5 a + b = 0,25
( a
2
2
2 b
2 y 2
r m =
-
0,25 a = 3 , 2 + = 1 = Vậy elip ( ) E có phương trình. ( ) E : Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra x 3 8.b 1,0 điểm
2
2
( ) , 1; 2; 1 ) 0 ^ (cid:219) = (cid:219) + + = (cid:219) = - a b c
0,25 >
2
0
c
2
a b
- (cid:219) =
- ; 2
r n
( a b ;
) - a b
, ( ) P có vtpt ) ( 2 b ; + + c a r r r n u . u 0,25
r ( ) d có vtcp u = 2;1;1 r ( ( ) Q có vtpt ; = a b c n ; r Do ( ) Q chứa d (cid:222) n 0 Gọi a là góc hợp bởi ( ) P và ( ) Q r r ) ( n m ;
2
2
2
2 b 2
( 2
) 2 + a b
3
+ a b
3
+ a b
0
0 30
a + b 2 + + a b 2 a 3 + b 3 cos cos (cid:222) a = = = = r r . n m r r n m 6 5 a + 4 ab + 6 a + b + 0,25
=
£
=
=
cos 30
(cid:219) ‡ a
0 30
a = min
2
2
3 2
a 6 3
+
2
( + a b
)
2 ( ) + a b 6 2
Vậy
b
=
1;
c
= - (cid:222) =
1
r n
-
0
( ) 0;1; 1
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi lúc đó ta chọn
( ) Q y
a = ) ( ˛ - - 1; 1;3 ( ) - 0;1; 1 =
10
W =
d 0,25 (cid:219) - + = 4 0 z Mặt phẳng ( ) Q : Qua A (cid:236) (cid:239) (cid:237) r vtpt n (cid:239) (cid:238) 9.b 1,0 điểm
30 C
Gọi W là tập hợp cách chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ. Ta có 0,25
0,25
W =
.
A C C C .
5 15
4 12
1 3
W
.
=
=
0,25 Gọi A là biến cố “ Có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10 “ Để tính A ta làm như sau: Đầu tiên chọn 5 tấm trong 15 tấm mang số lẻ, tiếp đó chọn 4 tấm trong 12 tấm mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10, sau cùng chọn 1 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.Theo quy tắc nhân ta có
( ) = P A
W
99 667
4 5 1 . A C C C 12 15 3 10 C 30
Vậy 0,25
Hết
LƯU Ý CHUNG: Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
