ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ
Mã môn học: MATH 141401
Ngày thi: 30/12/2014. Thời gian làm bài: 90 phút
Sinh viên được sử dụng tài liệu
Chú ý: Đề thi có 14 ý, mỗi ý 1 điểm. Sinh viên chỉ được chọn 10 ý để làm bài.
Câu 1: Cho các ma trận
1 2 3 4
3 1 1 0 , 2 ,
9 9 14
x
A m B m X y
m m z
.
a/ (1điểm) Tìm m để hệ phương trình tuyến tính
.A X B
có vô số nghiệm.
b/ (1điểm) Với
3m
, tính
2014
det 5.A
.
Câu 2: Cho
1 2 3
0, 2, 1 ; 1,1 , 0 ; 1, 0, 1B u u u
là m t cơ s c a
3
và
22
1 2 3
2 , 1, 1E v x v x v x x
là m t cơ s c a
2
Px
. Cho ánh xạ tuyến tính
được xác định b i
2
, , 2 . .f a b c a b x b c x a b c
.
a/ (1điểm) Tìm m t cơ s và số chiều c a
Im f
.
b/ (1điểm) Tìm ma trận c a ánh xạ tuyến tính
f
đối với cặp cơ s
,BE
.
c/ (1điểm) Trong
2
Px
cho tích vô hướng
1
1
,.u v u x v x dx
. Hãy trực giao cơ s E.
Câu 3: Cho ma trận
5 3 0
3 5 0
0 0 4
A






và
1
2
3
x
Xx
x





.
a/ (1điểm) Tìm tất cả các giá trị riêng và vectơ riêng c a ma trận A.
b/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
, , 5 5 4 6f x x x x x x x x
về ạng chính t c b ng ph p biến
đ i trực giao.
c/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương
2014
1 2 3
,, T
g x x x X A X
về ạng chính t c b ng ph p biến đ i trực giao.
Câu 4: Cho ánh xạ
:gG
xác định b i
3 3,g k k k
,
với là tập số nguyên và tập
3:G n k k
.
a/ (1điểm) Chứng minh quy t c
:3n k n k
(với mọi
,n k G
) là m t ph p toán hai ngôi trên
G
.
b/ (1điểm) Chứng minh
G
cùng với ph p toán
là m t nhóm Abel (nhóm Abel là nhóm giao hoán).
c/ (1điểm) Chứng minh ánh xạ
g
là m t song ánh.
d/ (1điểm) Chứng minh
g
là m t đồng cấu từ nhóm
,
(nhóm các số nguyên với phép cộng các số
nguyên) vào nhóm
,G
. Từ đó suy ra
: , ,gG
là m t đẳng cấu nhóm.
Câu 5: Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy đẳng nếu
2
AA
.
a/ (1điểm) Chứng tỏ r ng
01
01
A


là ma trận lũy đẳng. Ma trận A có khả nghịch không?
b/ (1điểm) Chứng minh r ng nếu
,n
A B M
là các ma trận lũy đẳng và
AB BA
thì
AB
cũng là ma
trận lũy đẳng.
CBCT không giải thích đề thi. Ngày tháng năm
B môn Toán