TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH TỔ: TOÁN – TIN (Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN 2 NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 17/12/2015

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số (1).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có

hoành độ thỏa mãn

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình .

Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình

Câu 4 (1,0 điểm). Cho góc thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức

Câu 5 (1,0 điểm).

a. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

b. Cho n là số nguyên dương, tính tổng (với là số tổ

hợp chập k của n phần từ)

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, B‟A = B‟B = B‟C, góc giữa cạnh bên BB‟ và (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, BB‟. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(3;0) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BD, điểm K(0;–2) là trung điểm cạnh BC, phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh A của tam giác ADH là 7x + 9y – 47 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình (với )

Câu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

––––––––––Hết––––––––––

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ................................

1

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

ĐÁP ÁN

Câu 1

a. Với m = 1 ta có

+Tập xác định: D = ℝ.

+Sự biến thiên:

–Chiều biến thiên: y‟ = 4x3 – 6x

y‟ = 0 ⇔ x = 0 hoặc

Các khoảng đồng biến: và

Các khoảng nghịch biến: và

và x = ; –Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = ; yCT =

yCT =

–Giới hạn tại vô cực:

+Bảng biến thiên

0 +∞ x –∞

– 0 + – 0 + y‟ 0 2 +∞ +∞ y

+ Đồ thị

2

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

b. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành:

(2)

Đặt t = x2, t ≥ 0, phương trình (2) trở thành:

Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt

⇔ phương trình (3) có hai nghiệm dương phân biệt

Giả sử . Khi đó

⇔ m = –3 (loại) hoặc m = 2 (thỏa mãn)

Vậy m = 2.

Câu 2

3

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Vậy nghiệm của phương trình là (k ∈ ℤ)

Câu 3

(1)

ĐK:

⇔ x = 0 (loại) hoặc x = –4 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là {–4}

4

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Câu 4

Vì . Do đó

(loại) hoặc (thỏa mãn)

Suy ra

Vậy

Câu 5

a. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số chẵn”

+ Tính số phần tử của không gian mẫu:

Chọn chữ số hàng nghìn: chọn 1 trong 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5: có 5 cách

Chọn chữ số hàng trăm: chọn 1 trong 5 chữ số còn lại: có 5 cách

Chọn chữ số hàng chục: chọn 1 trong 4 chữ số còn lại: có 4 cách

Chọn chữ số hàng đơn vị: chọn 1 trong 3 chữ số còn lại: có 3 cách

Theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là 5.5.4.3 = 300 (số)

+ Tính số kết quả thuận lợi cho A:

– TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0

Chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục: Số cách là số chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1,2,3,4,5

– TH2: Chữ số hàng đơn vị khác 0:

Chọn chữ số hàng đơn vị là 1 trong các chữ số 2, 4: có 2 cách

Chọn chữ số hàng nghìn là 1 trong 4 chữ số còn lại (trừ số 0): có 4 cách

5

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Chọn chữ số hàng trăm và hàng chục: số cách là

Theo quy tắc nhân, TH2 có 2.4. = 96

Theo quy tắc cộng, số kết quả có lợi cho A là 106

Xác suất cần tính là

b. Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

. Do đó: Với mọi k ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ n, ta có:

Vậy S = 22n.

Câu 6

Gọi H hình chiếu vuông góc của B‟ trên mặt phẳng (ABC).

Góc giữa B‟B và mặt phẳng (ABC) là

6

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Vì B‟A = B‟B = B‟C nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Gọi M là trung điểu AC. Vì ABC là tam giác đều nên BM ⊥ AC và H là trọng tâm ∆ ABC.

Xét tam giác vuông AMB ta có:

Tam giác BB‟H vuông tại H:

Kẻ MK vuông góc với BB‟ tại K.

Vì AC ⊥ B‟H, AC ⊥ BM nên AC ⊥ (B‟BM) ⇒ AC ⊥ MK.

⇒ MK ⊥ AC và MK ⊥ BB‟

⇒ MK = d(AC; BB‟)

Tam giác MKB vuông tại K:

Câu 7

Gọi M là trung điểm DH.

7

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Ta có:

⇒ AMKB là tứ giác nội tiếp đường tròn

Viết phương trình đường thẳng MK:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AM là .

Đường thẳng MK đi qua K(0;–2), nhận là vectơ pháp tuyến, có phương trình:

9x – 7(y + 2) = 0 ⇔ 9x – 7y –14 = 0

M là giao của AM và MK nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

M là trung điểm của DH nên:

Phương trình đường thẳng AH qua H(3;0) nhận làm vectơ pháp tuyến: x + 5y – 3 =

0

A là giao của AH và AM nên tọa độ A là nghiệm của hệ:

Phương trình AB qua A và nhận làm vectơ pháp tuyến: 2x – 3y – 19 = 0

8

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Phương trình BD: 5x – y – 15 = 0

Tọa độ B là nghiệm của hệ:

K(0;–2) là trung điểm BC ⇒ C(–2;1)

Vậy A(8;–1), B(2;–5), C(–2;1), D(4;5)

Câu 8

TH1: > x – y > 0; sin(x – y) > 0. Từ (*) suy ra cos(x + y) > 0; mà cos(x + y) > x > y ≥ 0 ⇒

≤ 1 nên từ (*) suy ra x – y ≤ sin (x – y) (**)

Xét f(t) = t – sin t với 0 < t < . . f „(t) = 1 – cos t > 0 ∀ t ∈

Suy ra f đồng biến trên

⇒ t > sin t ∀ t ∈

Thay t = x – y, ta có x – y > sin (x – y), mâu thuẫn với (**)

TH2: > y – x > 0; sin(y – x) > 0 > y > x ≥ 0 ⇒

(*) ⇔ y – x = sin (y – x)cos (x + y)

Tương tự TH1, trường hợp này cũng dẫn đến mâu thuẫn

9

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

TH3: 0 ≤ x = y < ⇒ thỏa mãn (1)

Thay vào phương trình (2) ta được:

Dễ thấy g(x) là hàm nghịch biến trên nên có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mà g(1) = 0 nên g(x) có nghiệm duy nhất là x = 1

x = 0 ⇒ y = 0 (thỏa mãn)

x = 1 ⇒ y = 1 (thỏa mãn)

Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0;0) và (1;1)

Câu 9

*Tìm giá trị nhỏ nhất

Với mọi y,z ≥ 0, ta có:

Thật vậy:

10

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Áp dụng bất đẳng thức (*) với chú ý y + z = 1 – x, ta có:

Vì x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1 nên x ∈ [0;1]

Xét hàm với x ∈ [0;1].

Vì x ∈ [0;1] nên

Dấu bằng xảy ra ⇔

*Tìm giá trị lớn nhất:

Vì

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

11

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

Xét hàm trên [0;1]

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 1, y = z = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là và giá trị lớn nhất của T là .

12

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!