Trang 1
Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng Dụng
ĐỀ THI CHK181 – Môn: GIẢI TÍCH 1
Ngày thi: 07-01-2019
Thời gian: 90 phút
Ca thi: CA 1
Hình thức tự luận: Đề gồm 6 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu
𝐂â𝐮 𝟏: Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số 𝑦=𝑥 − arcsin(1 − 1
𝑥)
𝐂â𝐮 𝟐: Cho miền D giới hạn bởi 𝑦=√2𝑥− 𝑥2,𝑦=√2𝑥,0≤𝑥≤1. Tính diện tích bề mặt
của vật thể tạo ra khi miền 𝐷 quay xung quanh trục 𝑂𝑥
𝐂â𝐮 𝟑: Tìm tất cả các số thực 𝛼 để tích phân sau hội tụ 𝐼=∫ 1
(𝑥+1)√𝑥arctan𝑥𝛼𝑑𝑥
1
0
𝐂â𝐮 𝟒: Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi 𝛼=1
2
𝐂â𝐮 𝟓: Tìm nghiệm phương trình vi phân 𝑦′′ =2𝑒−2𝑥−4sin2𝑥+8cos2𝑥−4𝑦.
với điều kiện đầu: 𝑦(0)=5
4,𝑦′(0)=9
2
Câu 6: Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối. Người ta bơm vào bể chứa dung
dịch nước muối nồng độ 0.005kg/lít với tốc độ 10 lít/phút, đồng thời dung dịch được
đưa ra ngoài với tốc độ 12 lít/phút.
a/ Hãy xác định thể tích dung dịch trong bể chứa sau 𝑡 phút.
b/ Gọi 𝑦(𝑡) là số kilogram muối còn lại trong thùng sau 𝑡 phút, hãy xác định nồng độ
muối trong bể sau 𝑡 phút theo 𝑡 và 𝑦(𝑡).
c/ Chứng minh lượng muối trong bể sau 𝑡 phút là nghiệm của phương trình vi phân:
𝑦′=0.05−12𝑦
2000−2𝑡 với điều kiện đầu 𝑦(0)=50.
d/ Tìm 𝑦(𝑡), từ đó tính lượng muối còn lại trong thùng sau 10 phút.
Chủ nhiệm bộ môn
TS. Nguyễn Tiến Dũng
Trang 2
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Tập xác định 𝐷=[1
2;+∞)
𝑦′=1− 1
𝑥2
√1−(1−1
𝑥)2=1− 1
𝑥2
√2
𝑥−1
𝑥2
𝑦′=0 ↔ 1
𝑥2=√2
𝑥−1
𝑥2⇒𝑥=1
Bảng biến thiên:
X
1
2
1 +∞
𝑦′
0 +
𝑦
+∞
1
Hàm số có một cực tiểu là (1,1)
Đồ thị có tiệm cận xiên: 𝑦=𝑥−𝜋/2
Vẽ đồ thị:
.
.
Trang 3
Câu 2:
Miền 𝐷 là phần giao nhau của 3 màu trong hình vẽ.
𝑓1(𝑥)=𝑦=√2𝑥⇒𝑦′=1
√2𝑥
𝑆1=2𝜋∫ |𝑓1(𝑥)|√1+[𝑓1′(𝑥)]2𝑑𝑥
1
0
𝑆1=2𝜋∫√2𝑥√1+ 1
2𝑥𝑑𝑥=
1
02𝜋∫√2𝑥√2𝑥+1
2𝑥 𝑑𝑥=
1
0 2𝜋∫ √2𝑥+1𝑑𝑥
1
0
𝑆1=2𝜋(√3−1
3) 𝑓2(𝑥)=𝑦=√2𝑥−𝑥2⇒𝑦′=1−𝑥
√2𝑥−𝑥2
𝑆2=2𝜋∫ √2𝑥−𝑥2 √1+( 1−𝑥
√2𝑥−𝑥2)2𝑑𝑥
1
0
𝑆2=2𝜋∫ √2𝑥−𝑥2 √2𝑥−𝑥2+1−2𝑥+𝑥2
2𝑥−𝑥2𝑑𝑥
1
0
.
-
.
.
Trang 4
𝑆2=2𝜋∫𝑑𝑥
1
0=2𝜋
𝑆3=𝜋|𝑓12(1)−𝑓22(1)|=𝜋
Suy ra: 𝑆=𝑆1+𝑆2+𝑆3=𝝅(𝟐√𝟑+𝟕
𝟑)
Câu 3:
𝑥=0 là điểm kì dị.
Khi 𝑥→0+:
TH1: α<0: lim
𝑥→0+𝑥𝛼= lim
𝑥→0+1
𝑥−𝛼 =+∞. Suy ra:
1
(𝑥+1)√𝑥arctan𝑥𝛼~1
√𝑥.𝜋
2~1
𝑥1
2√𝜋
2
Suy ra 𝐼 cùng bản chất với ∫ 𝑑𝑥
𝑥1
2√𝜋
2=
1
0√2
𝜋∫𝑑𝑥
𝑥1
2
1
0
Dễ thấy √2
𝜋∫𝑑𝑥
𝑥1
2
1
0 hội tụ⇒𝐼 hội tụ (1).
TH2: α≥0 1
(𝑥+1)√𝑥arctan𝑥𝛼~1
√𝑥.𝑥𝛼~1
𝑥1+𝛼
2
Suy ra 𝐼 cùng bản chất với ∫ 𝑑𝑥
𝑥1+𝛼
2.
1
0
Vậy để 𝐼 hội tụ thì 1+𝛼
2<1⇒𝛼<1 (2).
Từ (1) và (2) suy ra α <1.
Câu 4:
Ta có:
.
-
.N .
.
.
Trang 5
𝐼=∫ 1
(𝑥+1)√𝑥arctan√𝑥𝑑𝑥
1
0
Đặt 𝑡=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√𝑥 .Suy ra 𝑑𝑡= 𝑑𝑥
2√𝑥(1+𝑥)
𝐼=∫ 2𝑑𝑡
√𝑡=4√𝑡 |
𝜋
4
0𝜋/4
0=𝟐√𝝅
Câu 5:
Ta có: 𝑦′′+4𝑦=2𝑒−2𝑥−4sin2𝑥+8cos2𝑥
𝑦𝑇𝑄 =𝑦0+𝑦𝑟1+𝑦𝑟2.
Tìm 𝑦0: Phương trình đặc trưng: 𝑘2+4=0. Suy ra 𝑘=±2𝑖.
⇒𝑦0=𝐶1cos2𝑥+C2sin2𝑥.
Tìm 𝑦𝑟1:𝑓1(𝑡)=8cos2𝑥−4sin2𝑥⇒𝑦𝑟1=𝑥𝑠.𝑒0𝑥(𝐴cos2𝑥+𝐵sin2𝑥). Vì 0 ± 2𝑖 là
nghiệm của pt đặc trưng nên 𝑦𝑟1=𝑥(𝐴cos2𝑥+𝐵sin2𝑥).
Đạo hàm tìm 𝑦𝑟1′ và 𝑦𝑟1′′ và đồng nhất hệ số ta được: 𝑦𝑟1=𝑥(cos2𝑥+2sin2𝑥).
Tìm 𝑦𝑟2:𝑓2(𝑡)=2.𝑒−2𝑥 ⇒𝑦𝑟2=𝑥𝑠.𝑒−4𝑥.𝐶. Vì -4 không là nghiệm của pt đặc trưng nên
𝑦𝑟2=𝐶𝑒−2𝑥.
Đạo hàm tìm 𝑦𝑟2′ và 𝑦𝑟2′′ và đồng nhất hệ số ta được:
𝑦𝑟2=1
4𝑒−2𝑥.
Vậy 𝒚𝑻𝑸 =𝒚𝟎+𝒚𝒓𝟏+𝒚𝒓𝟐=𝑪𝟏𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+𝐂𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙+𝒙(𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙)+𝟏
𝟒𝒆−𝟐𝒙
Câu 6:
a/ Sau 𝑡 phút, lượng dung dịch được thêm vào là 10𝑡 (lít). Cùng lúc đó, lượng dung dịch
được lấy ra là 12𝑡 (lít). Thể tích dung dịch ban đầu là 2000 (lít). Suy ra thể tích dung
dịch sau 𝑡 phút là: 2000+10𝑡−12𝑡=𝟐𝟎𝟎𝟎−𝟐𝒕 (lít)
.
-
.N .
.
.