CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT TÂN KỲ NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN THI: TOÁN - KHỐI 10

2

( Thời gian làm bài: 150 phút)

xf )(

x

1

 m 2

 mx  1

xf )(

mmx 

2 

1

 Câu 1: (6 điểm) Cho

a) Tìm điều kiện của m để phương trình: có hai nghiệm trái dấu.

Rx  làm nghiệm.

  0xf

b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình: nhận mọi

2

x

7.2

x 

.2

x



1

x

8

x



17

Câu 2: ( 6 điểm )

2

xy

y

2

y



1

x

y

1 

x

a) Giải phương trình: .

y 

2.3

x

3

y

7 

2

x

7

   6.3 

b) Giải hệ phương trình:

MA

.2

MC

Câu 3: ( 6 điểm )

NB

.3

NM

PB

.

PCk

a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho , N thuộc BM sao cho

, P thuộc BC sao cho . Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi

C

; 4

AE

: 4

x

H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn

y   và 3 0

 H 

1;3

5 2

  

  

HD. Giả sử , phương trình đường thẳng .

Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.

2

2

x

 y

1

Câu 4: (2 điểm)

Trang | 1

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện .

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

2

P

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

x 4 xy 2

 

xy 2 2 y 2

 

1 3

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

…………………Hết…………………

Trang | 2

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

2

Đáp án Điểm Câu

xf )(

x

2

mx 

1

 m

 1

xf )(

mmx 

2 

1

1 Cho

a) Tìm điều kiện của m để phương trình: có hai

nghiệm trái dấu.

Rx 

  0xf

b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình nhận mọi

2

2

làm nghiệm.

xf )(

mmx 



1

x

m



02

2

 3

 2 mmx

 1

0.5 a)

(3 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và khi 1.0

2 mm



02

m

2 

điểm)

m

1

  

1.0

Kết luận: … 0.5

Rx  làm nghiệm

  0xf

b) Bất phương trình nhận mọi

0'

(3 khi và chỉ khi vì hệ số a = 1 > 0 0.5

2



0'

m

m 3

0



3

m

0

điểm) 1.0

1.0

2

Kết luận:... 0.5

x

7.2

x 

.2

x



1

x

8

x



17

2

xy

y

2

y



1

x

y

1 

x

2 a) Giải phương trình: .

y 

2.3

x

3

y

7 

2

x

7

  1   2

   6.3 

b) Giải hệ phương trình:

7;1x 

Trang | 3

a Điều kiện: 0.5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

pt

x 

1

x

x

x 

x

 71

 72

 0  1

(3 0.5

điểm)

x 

1

7

x

x



21

0.5

 0 



x

1 

7

x

x



21

   

0.5

x x

 

4 5

  

0.5

So sánh điều kiện và kết luận nghiêm:... 0.5

y 

6

b 0.5

0  x  3

y



07

1   x   2 

Điều kiện: (*) (3

điểm)

1

pt

y

y



x

  1

 1 

 xy

 1

y y

x  1 

x

Vì x = 0 và y = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên 0.5

1

(x y   

  1

0

y

x

  1

 ) y  1  

   

x y

y

1 0

1

       (do điều kiện (*)) x

0.25

0.25

x

x

x  

3 5

  4

2

7

 (3)

/

5

0.25 Thay vào PT (2) ta được: 3 5

x 

ĐK: 4 5

x)

x

)

(   7

3 5

x  

(x 3

5

4

0

0.25 (3)

1

3

2 x+x )

(  

4 5

0

x)

x

3 5

x (  

7

x 5

  4

   

   

0.25

y

1

2

x+

x  

2 5

4

0

y

    x x   

4

5

  

0.25

Trang | 4

So sánh điều kiện và kết luận nghiêm:... 0.5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

MA

.2

MC

3 a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho , N

NB

.3

NM

PB

.

PCk

thuộc BM sao cho , P thuộc BC sao cho .

Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A,

B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên

 H 

1;3

C

; 4

AE x : 4

đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử ,

y   và 3 0

5 2

  

  

phương trình đường thẳng . Tìm tọa

độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.

A

a)

(3

M

N

B

C

P

điểm)

Ta có:

NB



.3

AN



AN

AB

.3

AM

.4

AN

0.5

 AM .3

 

AC

.

 AN

AB

 1

NM 1 4

 AB 1 2

PB

PCk .

AB 

AP

AB

AP

ACk .

(

k

)1

  1

 APk

0.5

 ACk

 

 AP

AB

AC

 2

1 

1

k

k 

1

k

0.5

1 

h 4

AP

ANh .

k k 

1

k

h 2

  1    

Trang | 5

Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi 0.5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

2 k

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

0.5

Kết luận: ... 0.5

C

B

H

b)

K

I

(3

E

D

A

điểm)

- Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I 0.5

KE

AD

Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK  AE.

1 2

+) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và

hay KE song song và bằng BC

AE  CE: 2x - 8y + 27 = 0

Do đó: CE 0.5

E AE CE

E

;3

  

3 2

 

  

 D 

2;3

0.5 Mà , mặt khác E là trung điểm của HD nên

- Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1). 0.5

- Suy ra AB: x - 2y +3=0. Do đó: B(3; 3). 0.5

2

2

KL: A(-1; 1), B(3; 3) và D(-2; 3) 0.5

x

 y

1

2

4 Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện .

P

x 4 xy 2

 

xy 2 2 y 2

 

1 3

(2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

2

P

điểm)

2

x 3 2 xy

 

 xy 2 2 3  y

y x

Từ giả thiết suy ra:

Trang | 6

Với y = 0 thì P = 1 (1) 0.5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

2

0y

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

P

2

t 3 3 t

 

t 2 t 2

 

1 1

2

P

3

2

P



01

  3

 t

 Pt 1

 *

Với ta có:

1P

0.5 Phương trình (*) không có nghiệm khi P = 1

 '

P

2

P

4



2

P

1

Khi

  1

 0 

(2) 0.5

1;2P 

3

10

x



;

y



Kết hợp (1) và (2):

10 10

10

Suy ra: MinP = - 2 khi

x



y ;1 

0

0.5

Trang | 7

MaxP = 1 khi

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt

giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

-

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.

Trang | 8

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807