UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm)
1. Cho hai biểu thức với .
a. Rút gọn biểu thức .
b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của để .
2. Cho các số dương thỏa mãn các điều kiện và .
Tính giá trị biểu thức: .
Câu 2 (4,0 điểm):
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn: .
2. Cho là các số nguyên và
Chứng minh rằng chia hết cho khi và chỉ khi chia hết cho.
Câu 3 (3,0 điểm):
1. Cho đường thẳng (là tham số) và parabol Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt và . Chứng minh rằng
2. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
.
Câu 4 (6,0 điểm): Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại . Tia cắt tại (khác ), tia
cắt tại (khác ) và tia cắt tại ( khác ).
a) Chứng minh và tứ giác nội tiếp một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh và .
c) Tia và tia cắt đường tròn lần lượt tại và ( khác ). Chứng minh .
Câu 5 (2,0 điểm): 1. Giải phương trình
2. Cho là số lẻ. Chứng minh rằng từ số nguyên bất kì có thể chọn ra được số sao cho tổng của chúng chia hết
cho .
====== Hết ======
Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:……....................
UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán lớp 9
Câu Đáp án Điểm
1.1
Cho hai biểu thức
với .
a. Rút gọn biểu thức .
b. Tìm tất cả các giá trị nguyên
của để
3,0
ĐKXĐ:
Vậy với thì .
2,0
Lại có
Nên
Mà là số nguyên thỏa mãn
Vậy .
1,0
1.2
Cho các số dương thỏa mãn các
điều kiện và. Tính giá trị biểu
thức: 2,0
Xét
Mà nên
Khi đó ta có:
Tương tự
Do đó
2,0
2.1 Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả
mãn: 2,0
0,5
Do là các số nguyên nên là các
số chính phương không vượt quá
nên
Mà là số chính phương nên
Khi đó ta có , mà là số chính
phương nên
1,0
Với thì
Với thì
Vậy phương trình đã cho có các
nghiệm nguyên là .
0,5
2.2
Cho là các số nguyên và
Chứng minh rằng chia hết cho
khi và chỉ khi chia hết cho.
2,0
Đặt với là các số nguyên.
Khi đó ta có:
Xét
0,5
Ta có chứng minh với mọi số
nguyên thì chia hết cho 30
Thật vậy:
Với mọi số nguyên thì là số
nguyên liên tiếp nên trong đó có
một thừa số chia hết cho ; một
thừa số chia hết cho; một thừa số
chia hết cho mà nguyên tố cùng
nhau từng đôi một nên tích của
1,0
chúng chia hết cho . Do đó chia
hết cho .
Tương tự chia hết cho , mà nên
chia hết cho .
Vậy với mọi số nguyên thì chia
hết cho .
Do đó chia hết cho với là các số
nguyên. Suy ra do đó chia hết
cho khi và chỉ khi chia hết cho .
0,5
3.1
Cho đường thẳng ( là tham số) và
parabol Đường thẳng cắt tại hai
điểm phân biệt và . Chứng minh
rằng
1,5
Xét phương trình hoành độ giao
điểm của và
Có với mọi , nên phương trình
luôn có hai nghiệm phân biệt. Vì
vậy luôn cắt tại hai điểm phân
biệt và .
0,5
Theo định lý Vi-ét ta có do đó
.
Do đó ta cần chứng minh:
luôn đúng với mọi .
Nên suy ra
1,0
3.2
Cho ba số thực dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng:
.
1,5
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
cho ba số dương, ta có:
.
.
Tương tự ta có: .
1,0
Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta
được:
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
0,5
4
Câu 4 (6,0 điểm): Cho tam giác
nhọn nội tiếp đường tròn . Các
đường cao cắt nhau tại . Tia cắt tại
(khác ), tia cắt tại (khác ) và tia
cắt tại ( khác ).
a) Chứng minh và tứ giác nội
tiếp một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của và .
Chứng minh và .
c) Tia và tia cắt đường tròn lần
lượt tại và ( khác ). Chứng minh .
6,0
a
Ta có
Vì là phân giác của góc mà tại
nên cân tại .
Suy ra là trung điểm của
có lần lượt là trung điểm của và
là đường trung bình của , suy ra .
1,5
Vì (2 góc đồng vị)
Xét có (hai góc nội tiếp cùng
chắn cung )
và nên .
Suy ra .
Do đó tứ giác nội tiếp một đường
tròn.
1,0
b
Có tứ giác nội tiếp nên nội tiếp
Mà tứ giác nội tiếp
Do đó 1,0
Ta có nên nội tiếp
Mà (cùng chắn cung )
Mà (vì cân tại )
Vẽ tiếp tuyến của đường tròn , suy
ra
Mà nên
Từ và suy ra .
1,0
cKéo dài và cắt nhau tại .
Dễ thấy và là các phân giác trong
và ngoài tại đỉnh của .
Suy ra
Xét có và nên và lần lượt là
phân giác trong và phân giác
ngoài tại đỉnh của .
Mặt khác, tứ giác nội tiếp nên .
1,5
Tương tự:
Do đó .
5.1 Giải phương trình 1,0
Với 0,5
Với
Ta có ;
Do đó
Nên (*)
Vậy phương trình có nghiệm
0,5
5.2
Cho là số lẻ. Chứng minh rằng từ
số nguyên bất kì có thể chọn ra
được số sao cho tổng của chúng
chia hết cho .
1,0
Lấy số nguyên bất kì đã cho chia
cho , và xem xét số dư của chúng
khi chia , ta có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Chọn được số
khi chia cho có đầy đủ số dư là .
Khi đó
Ta có là số lẻ nên là số nguyên.
Do đó
Hay
0,5
Trường hợp 2: Với số dư ở phép
chia của số nguyên bất kì cho
có nhiều nhất loại số dư.
Khi đó theo nguyên lý Dirichlet có
ít nhất số có cùng số dư khi chia
cho (vì nếu có tối đa số có cùng
số dư khi chia thì số các số tối đa
là ).
Giả sử số đó là , chúng chia có
cùng số dư là .
Khi đó .
0,5