TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
VÒNG 1
Năm học 2023 - 2024
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. (4 điểm)
Cho hàm số
( ) ( )
221y f x x m x m= = − − +
1. Tìm m để bất phương trình
( )
0fx
nhận mọi x thuộc R là nghiệm.
2. Tìm m để phương trình
( )
0fx=
có hai nghiệm x1, x2 lớn hơn 1.
Câu 2. (4 điểm)
1. Tìm m để phương trình
2
x 9 x x 9x m
có nghiệm thực.
2. Giải phương trình:
( ) ( )
2
22
2 3 18 0.x x x x− − − + − =
Câu 3. ( 4 điểm)
1. Một hộ nông dân dự định trồng đậu và trồng cà trên diện tích
2
800m
. Biết rằng cứ
2
100m
trồng
đậu cần 10 công và lãi là 7 triệu đồng, cứ
2
100m
trồng cà cần 15 công và lãi là 9 triệu đồng.
Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để lãi lớn nhất, biết tổng số công không
vượt quá 90 công.
2. Một bác nông dân có
lưới muốn rào một mảng vườn hình chữ nhật để trồng rau, biết
rằng một cạnh là tường, bác chỉ cần rào
3
cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Em
hãy tính hộ diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể rào được?
Câu 4. ( 4 điểm)
1. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB=2 và AD=4.Gọi M là trung điểm cạnh AB và N trên
cạnh AD sao cho
1
8
AN AD=
. Chứng minh
CM BN⊥
2. Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N là điểm thuộc cạnh AC
sao cho NA = 2NC. Gọi K là giao điểm của MA và BN.
Chứng minh rằng: AK = 6.KM
Câu 5. ( 4 điểm)
1. Cho tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng:
( )
2
22 2
. . 4 sin sin sinAB AC AB AC R A B C−=
2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của G
xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
. . . 0a GA b GB c GC+ + =
. (với a=BC, b=AC,
c=AB).
……..……………..Hết……………………..
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1. (4 điểm)
1. Ta có:
2
1 0, ' 3 1a m m= = − +
23 5 3 5
( ) 0 ' 0 3 1 0 ;
22
f x x m m m 
−+
− + 

(2 điểm)
2. Yêu cầu bài toán tương đương với
( )( )
( ) ( )
12
12
'0
1 1 0
1 1 0
xx
xx

− −
− + −
(1 điểm)
( )
1 2 1 2
12
3 5 3 5
'0 22
35
1 0 3 0 3
2
2 4 0
20
mm
x x x x m m
m
xx
−+

+
− + + −


−
+ −
(1 điểm)
Câu 2. ( 4 điểm)
1. Tìm m để phương trình
2
x 9 x x 9x m
(1) có nghiệm thực.
ĐK
0 x 9
PT (1)
2
9 2 (9 ) 9x x x x x x m + − + − = − + +
22
9 2 9 9x x x x m + − + = − + +
(2) ( 0,5 điểm)
Xác định điều kiện chặt cho t: Đặt
29t x x= − +
do
09x
suy ra
9
02
t
( 0,5 điểm)
Phương trình (2) trở thành
22
9 2 2 9t t m t t m+ = + − + + =
(3)
Xét hàm số
2
( ) 2 9f t t t= − + +
,
9
02
t
Bảng biến thiên ( 0,5 điểm)
Phương trình (1) có nghiệm
0;9x
phương trình (3) có nghiệm
9
0; 2
t


Từ BBT ta có
910
4
YCBT m −
( 0,5 điểm)
2. Giải phương trình:
( ) ( )
2
22
2 3 18 0.x x x x− − − + − =
ĐK:
xR
. Đặt
2
t x x=−
( 0,5 điểm)
2
(2) 2 24 0tt − − =
26
2 24 0 4
t
tt t
=
− − = =−
( 0,5 điểm)
2
4 4 0t x x x= − − + =
( 0,5 điểm)
23
6 6 0 2
x
t x x x
=
= − − = =−
( 0 5 điểm) . Kết luận:Tập nghiệm
2;3 .S=−
Câu 3. (4 điểm)
1. Gọi x, y lần lượt là diện tích trồng đậu, diện tích trồng cà (đơn vị
2
100m
)
0; 0; x+y 8xy
(1) ( 0,5 điểm)
Vì tổng số công không quá 90 nên ta có
10 15 90 2 3 18x y x y+ +
(2) ( 0,5 điểm)
Số tiền lãi tính bằng công thức
79T x y=+
Ta có:
(1),(2)
7 9 3( ) 2(2 3 ) 3.8 2.18 60T x y x y x y= + = + + + + =
( 0,5 điểm)
Dấu bằng xảy ra
86
2 3 18 2
x y x
x y y
+ = =



+ = =

T lớn nhất khi x=6, y=2
KL: Vậy trồng
2
600m
đậu,
2
200m
cà ( 0,5 điểm)
2. Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là
,xy
(như hình vẽ);
0 , 60xy
( 0,5 điểm)
Ta có
2 60 60 2x y y x+ = = −
( 0, 5 điểm)
Diện tích hình chữ nhật là
2
1 1 2 60 2
(60 2 ) .2 (60 2 )
2 2 2
xx
S xy x x x x +−

= = − = − 

( 0,5 điểm)
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là
( )
2
450 m
, đạt được khi
15, 30xy==
. ( 0,5 điểm)
Câu 4. (4 điểm)
1. Ta có
1
= - (1)
2
CM CB BM
AD AB
=+
−
1 (2)
8
BN BA AN AB AD= + = − +
( 1 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra:
22
22
11
.28
1 1 1
= . .
8 2 16
11
= 0- 4 2 0 0
82
CM BN AD AB AB AD
AB AD AD AB AB AD
= − − − +
− + −
+ − =
( 1 điểm)
(vì
.0AB AD AB AD⊥ =
, AB=2, AD=4 ,
22
AD AD=
)
Vậy
CM BN⊥
2. Đặt:
;AB a AC b==
và
.AK t AM=
( 0,5 điểm)
Khi đó:
21.
33
tt
BK a b

= − +


2
3
BN a b= − +
( 0,5 điểm)
Do B, N, K thẳng hàng nên
22
: 1 .
3 3 3
tt
m BK mBN a b m a b
= − + = − +
23
1
37
26
3 3 7
tmm
tm t

− = − =





==


( 0,5 điểm)
Suy ra
6. 6. 6.
7
AK AM AK KM AK KM= = =
(đpcm). ( 0,5 điểm)
Câu 5. (4 điểm)
1.
( )
2
22 2 2 2 2 2
. . . . .cos . .sinVT AB AC AB AC AB AC AB AC A AB AC A= − = − =
(1 điểm)
Theo định lí Sin ta có:
2 sinAB R C=
và
2 sinBAC R=
(0,5 điểm)
Vậy:
2
4 sin sin sinVT R A B C VP==
(đpcm). (0,5 điểm)
2. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
. . . 0a GA b GB c GC+ + =
. (Với a=BC, b=AC, c=AB).
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
. . . 0 ( . . . ) 0a GA b GB a GC a GA b GB a GC+ + = + + =
4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . . 2 . 2 . 2 . 0a GA b GB c Gc a b GA GB a c GA GC b c GB GC + + + + + =
(*) (0,5 điểm)
Ta có:
1 1 1
, , , 2
3 3 3
a b c
a b c
h h h
GA GB GC ah bh ch S= = = = = =
, ( 0,5 điểm)
0 2 2 2
1 1 1 1 1 1
0 2 2 2
1 1 1 1 1 1
0
1 1 1 1 1 1
. . . os(180 ) . . os , -2ab.cos
. . . os(180 ) . . osB, -2ac.cos
. . . os(180 ) . . osA, -2cb.cos
GA GB GA GB c C GA GB c C C c a b
GA GC GA GC c B GA GC c B b a c
GC GB GC GB c A GC GB c A
= − = − = − −
= − = − = − −
= − = − 2 2 2
abc= − −
( 0,5 điểm)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(*)
4 . 4 . 4 . 4 .( ) 4 .( ) 4 .( ) 0
9 9 9 9 9 9
S a S b S c S c a b S b a c S a c b
VT − − − − − −
= + + + + + =
( 0,5 điểm)
Là điều phải chứng minh.
TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
VÒNG 2
Năm học 2023 - 2024
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. (8 điểm)
1. Giải bất phương trình:
22
( 3 ) 2 3 2 0x x x x− − −
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt
22
2 1 0x x m− + −
nghiệm đúng với mọi
1;2x
3. Cho tập A gồm n điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tìm n sao cho
số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A.
4. Cho hai tia
Ax
,
By
với
100=AB
( )
cm
,
0
45=xAB
và
⊥By AB
. Chất
điểm
X
chuyển động trên tia
Ax
bắt đầu từ
A
với vận tốc
32
( )
/cm s
,
cùng lúc đó chất điểm
Y
chuyển động trên tia
By
bắt đầu từ
B
với vận tốc
4
( )
/cm s
. Sau
t
(giây) chất điểm
X
di chuyển được đoạn đường
AM
,
chất điểm
Y
di chuyển được đoạn đường
BN
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
MN
Câu 2. (6 điểm)
1. Cho parabol
( )
2
: 2 6 1P y x x= + −
. Tìm giá trị của
k
để đường thẳng
( )
: 6 1y k x = + +
cắt
( )
P
tại hai
điểm phân biệt
,MN
sao cho trung điểm của
MN
nằm trên đường thẳng
3
:2
2
d y x= − +
.
2. Một cầu treo có dây truyền đỡ là Parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm
,AB
trên mỗi trục
'
AA
và
'
BB
với độ cao 30 m. Chiều dài đoạn
''
AB
trên nền cầu bằng 200 m. Độ cao ngắn
nhất của dây truyền trên cầu là
'5CC =
m. Gọi
' ' ' ' ' ' '
, , , , , ,Q P H C I J K
là các điểm chia đoạn
''
AB
thành
các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền
' ' ' ' ' ' '
, , , , , ,QQ PP HH CC II JJ KK
gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo
3. Có 8 người ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Mỗi người cầm một đồng xu cân đối và đồng chất. Cả 8
người đồng thời tung đồng xu. Ai tung được mặt ngửa thì phải đứng dậy, ai tung được mặt sấp thì ngồi yên
tại chỗ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy?
Câu 3. (6 điểm)
1. Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
2 2 2 2 2 2
AB BC CD DA AC BD+ + + = +
.
2. Cho tứ giác
ABCD
là tứ giác nội tiếp và có các cạnh
, , ,a b c d
. Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó được
tính theo công thức sau
( )( )( )( )S p a p b p c p d= − − − −
, trong đó
p
là nửa chu vi tứ giác
3. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho
1
3
BH HC=
Điểm M di
động trên BC sao cho
.BM x BC=
. Tìm x sao cho độ dài vectơ
MA GC+
đạt giá trị nhỏ nhất.
y
x
45
0
A
B
M
N