TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA: VẬT LÝ
Đề chính thức
Đề số 01
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên HP: GIẢI TÍCH 2
Học kỳ: 02 Năm: 2014-2015
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (2 điểm)
a. Chứng minh rằng hàm:
2
0
2
()
4
1
( , ) 2
xx
at
f x t e
at
với ∀xϵR, t > 0 (trong đó a,
0
x
là
các hằng số dương) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt:
2
2
2
ff
tx
a
.
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm:
22
( , ) 2f x y x y x
trên miền
22
1xy
.
Câu 2(1 điểm). Tính tích phân đường loại 2:
I
arctan x+
22
) ( 2 )
y
y dx x xy y e dy
với L là đường tròn:
22
2x y y
Câu 3(3 điểm). Tính các tích phân mặt sau:
a.
2 2 2
( ) ,
S
I x y z dS
S là phần của mặt cầu
2 2 2 2
x y z a
ứng với x≥0,y≥0.
b.
24 ,
S
dydz dxdz dxdy
Ix y z
S là mặt ngoài của ellipsoid:
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c
(với
a,b,c>0).
Câu 4(1 điểm).
Li độ x(t) tại thời điểm t của vật nặng khối lượng m được gắn vào một đầu của một lò xo
có độ cứng k dao động dưới tác dụng của lực cưỡng bức F(t)=
0
F
cos ωt (trong đó
0
F
là
biên độ của lực, ω là hằng số dương và ω≠
k
m
) thỏa mãn phương trình vi phân :
2
0
2cos
dx
m kt F
dt
ωt
Hãy tìm phương trình li độ x(t), biết x(0)=0 và
'(0) 0
x
.
Câu 5(3 điểm). Giải các phương trình vi phân sau :
a.
2
2( ) 0
cos
xy y dx xdy
x
b.
'' ' .
x
y y xe