WWW.VNMATH.COM
Đ s 3ề ố
Đ ÔN T P H C KÌ 2 – Năm h c Ề Ậ Ọ ọ
Môn TOÁN L p 10ớ
Th i gian làm bài 90 phútờ
Câu 1:
a) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng: ứ ằ
a b c
b c a
1 1 1 8
+ + + ≥
÷ ÷ ÷
b) Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
x x x x
2 2
2 5
5 4 7 10
<
− + − +
Câu 2: Cho ph ng trình: ươ
x m x m m
2 2
2( 1) 8 15 0− + + + − + =
a) Ch ng minh ph ng trình luôn có nghi m v i m i ứ ươ ệ ớ ọ m .
b) Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m trái d u .ể ươ ệ ấ
Câu 3: Trong m t ph ng Oặ ẳ xy, cho ∆ABC v i A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).ớ
a) Vi t ph ng trình t ng quát c a đ ng cao k t A.ế ươ ổ ủ ườ ẻ ừ
b) Vi t ph ng trình đ ng tròn tâm B và ti p xúc v i đ ng th ng AC.ế ươ ườ ế ớ ườ ẳ
c) Vi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ∆ vuông góc v i AB và t o v i 2 tr c to đ m t tamớ ạ ớ ụ ạ ộ ộ
giác có di n tích b ng 10.ệ ằ
Câu 4 : Đi m trung bình ki m tra c a 2 nhóm h c sinh l p 10 đ c cho nh sau:ể ể ủ ọ ớ ượ ư
Nhóm 1: (9 h c sinh)ọ1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9
Nhóm 2: (11 h c sinh)ọ1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10
a) Hãy l p các b ng phân b t n s và tu n su t ghép l p v i các l p [1, 4]; [5, 6];ậ ả ố ầ ố ầ ấ ớ ớ ớ
[7, 8]; [9, 10] c a 2 nhóm.ủ
b) Tính s trung bình c ng, ph ng sai, đ l ch chu n 2 b ng phân b .ố ộ ươ ộ ệ ẩ ở ả ố
c) Nêu nh n xét v k t qu làm bài c a hai nhóm.ậ ề ế ả ủ
d) V bi u đ t n su t hình c t c a 2 nhóm.ẽ ể ồ ầ ấ ộ ủ
Câu 5:
a) Ch ng minh:ứ
( )
k k
2 3
3
cos sin 1 cot cot cot , .
sin
α α α α α α π
α
+= + + + ≠ ∈
¢
b) Rút g n bi u th c: ọ ể ứ
A2
tan2 cot2
1 cot 2
α α
α
+
=+
. Sau đó tính giá tr c a bi u th c khi ị ủ ể ứ
8
π
α
=
.
--------------------H t-------------------ế
H và tên thí sinhọ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
WWW.VNMATH.COM
Đ s 3ề ố
ĐÁP ÁN Đ ÔN T P H C KÌ 2 – Năm h c Ề Ậ Ọ ọ
Môn TOÁN L p 10ớ
Th i gian làm bài 90 phútờ
Câu 1:
a) Do a, b, c > 0 nên
a a b a c c
b b c b a a
1 2 , 1 2 , 1 2
+ ≥ + ≥ + ≥
÷ ÷ ÷
Nhân các b t đ ng th c trên, v theo v , ta đ c: ấ ẳ ứ ế ế ượ
b) Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
x x x x x x x x
2 2 2 2
2 5 2 5 0
5 4 7 10 5 4 7 10
< ⇔ − <
− + − + − + − +
x x x x x x
x x x x x x x x
2 2
2( 7 10) 5( 5 4) (3 11)
0 0
( 1)( 4)( 2)( 5) ( 1)( 2)( 4)( 5)
− + − − + − −
⇔ < ⇔ <
− − − − − − − −
x11
( ;0) (1;2) ;4 (5; )
3
⇔ ∈ −∞ ∪ ∪ ∪ +∞
÷
Câu 2: Cho ph ng trình: ươ
x m x m m
2 2
2( 1) 8 15 0− + + + − + =
⇔
x m x m m
2 2
2( 1) 8 15 0− + − + − =
a)
m m m m m m m R
2 2 2 2
1 23
( 1) 8 15 2 6 16 (2 3) 0,
2 2
∆
′= + + − + = − + = − + > ∀ ∈
V y ph ng trình b c hai đã cho có hai nghi m phân bi t v i m i ậ ươ ậ ệ ệ ớ ọ m.
b) Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m trái d u .ể ươ ệ ấ
PT có hai nghi m trái d u ệ ấ ⇔ ac < 0
( )
m m m m m
2 2
1(( 8 15) 0 8 15 0 ( ;3) 5;⇔ − + − < ⇔ − + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
Câu 3: Trong m t ph ng Oặ ẳ xy, cho ∆ABC v i A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).ớ
a) Vi t ph ng trình t ng quát c a đ ng cao k t A.ế ươ ổ ủ ườ ẻ ừ
•
A VTPT BC(1;2), : (1;8)= ⇒
uuur
PT đ ng cao k t A là ườ ẻ ừ
x y x y1 8( 2) 0 8 17 0− + − = ⇔ + − =
b) Vi t ph ng trình đ ng tròn tâm B và ti p xúc v i đ ng th ng AC.ế ươ ườ ế ớ ườ ẳ
• Tâm B(2; –3), Ph ng trìnhươ AC:
x y x y
1 2 3 2 1 0
2 3
− −
= ⇔ − + =
,
Bán kính
R d B AC 3.2 2.( 3) 1
( , ) 13
9 4
− − +
= = =
+
V y ph ng trình đ ng tròn đó là ậ ươ ườ
x y
2 2
( 2) ( 3) 13− + + =
c) Vi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ∆ vuông góc v i AB và t o v i 2 tr c to đ m t tamớ ạ ớ ụ ạ ộ ộ
giác có di n tích b ng 10.ệ ằ
Gi s ả ử
Ox M m Oy N n( ;0), (0; )
∆ ∆
∩ = ∩ =
.
AB (1; 5)= −
uur
,
MN m n( ; )= −
uuur
.
Ph ng trình MNươ :
x y nx my mn
m n 1 0+ = ⇔ + − =
.
Di n tích tam giác MON làệ:
ABC
S m n mn
1. 10 20
2
∆
= = ⇔ =
(1)
M t khác MNặ
AB MN AB m n m n. 0 5 0 5⊥ ⇒ = ⇔ − − = ⇔ = −
uuuur uuur
(2)
T (1) và (2) ừ⇒
m
n
10
2
= −
=
ho c ặ
m
n
10
2
=
= −
⇒ Ph ng trình ươ ∆ là:
x y5 10 0−+=
ho c ặ
x y5 10 0− − =
2
Câu 4:
L p đi mớ ể
T n sầ ố
ni
Giá trị
đ i di nạ ệ
ci
T n su tầ ấ
fi
T n sầ ố
ni
T n su tầ ấ
fi
[1; 4] 3 2,5 33% 7,5 18,75 5 45% 12,5 31,25
[5; 6] 3 5,5 33% 16,5 90,75 1 9% 5,5 30,25
[7; 8] 2 7,5 22% 15,0 112,50 4 36% 30 225,00
[9; 10] 1 9,5 11% 9,5 90,25 1 9% 9,5 90,25
N 9 100% 48,5 312,25 11 100% 57,5 376,75
S trung bình c ng:ố ộ 5,39 5,23
Ph ng sai:ươ 5,65 6,93
Đ l ch chu n:ộ ệ ẩ 2,38 2,63
Nhóm 1
Nhóm 2
i i
n c
i i
n c
2
i i
n c
i i
n c
2
Bi u đ t n su t đi m trung bìnhể ồ ầ ấ ể
11%
22%
33%
33%
9%
36%
9%
45%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
[1; 4] [5; 6] [7; 8] [9; 10]
Đi m trung bìnhể
T lỉ ệ
Nhóm 1
Nhóm 2
Câu 5:
a)
cos 2 2
3 2 2
cos sin 1 1
. cot .(1 cot ) 1 cot
sin
sin sin sin
α α α α α α
α
α α α
+= + = + + +
2 3
1 cot cot cot
α α α
= + + +
(đpcm)
b)
A2
2
tan2 cot2 1 .sin 2 tan2
sin2 .cos2
1 cot 2
α α α α
α α
α
+
= = =
+
Khi
8
π
α
=
thì
Atan2. tan 1
8 4
π π
= = =
--------------------H t-------------------ế
3