Trường THPT Đội Cấn

ĐỀ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 1

Năm học: 2015-2016

MÔN: TOÁN – LỚP 12

y

   x

3 3

x

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (

)C của hàm số

 2

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (

)C tại điểm có hoành độ

0x thỏa mãn

y

"

12

phương trình

.

0 x 

x

x

cos

1

Câu 2. Giải phương trình lượng giác cos 2

   2 

  

x

x

26.5

Câu 3. a. Giải phương trình 5.25

  5 0

x

2

L

b. Tính giới hạn

lim  1 x

3 x  1

x

Câu 4. Một trường có 55 đoàn viên học sinh tham dự đại hội Đoàn trường, trong đó

khối 12 có 18 em, khối 11 có 20 em và 17 em khối 10. Đoàn trường muốn chọn 5 em để

bầu vào ban chấp hành nhiệm kì mới. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 5 em được

chọn có cả 3 khối, đồng thời có ít nhất 2 em học sinh khối 12.

SA a

3

và SA vuông góc

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

với mặt phẳng đáy. Biết tam giác SAB cân và góc giữa SD với mặt đáy bằng 300.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

AB

2

BC

Câu 6. Cho hình chữ nhật ABCD có A(1;5),

và điểm C thuộc đường thẳng

d x :

y 3

7

0

  . Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia CB, N là hình chiếu vuông góc

N  (

)

của B trên MD. Tìm tọa độ các điểm B và C biết

và điểm B có tung độ nguyên.

5 1 ; 2 2

x

y

x

7

 

1 1   

Câu 7. Giải hệ phương trình

2

 1 1 

1 13

 

12

x

y

 1

yz

zx

xyz

,

       x y x  x y z thỏa mãn điều kiện xy ,

. Chứng minh

Câu 8. Cho các số dương rằng

x

y

xz

xyz

x

z

z

y xy yz ---------------------Hết---------------------

KỲ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN I - NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Đáp án gồm: 04 trang. ——————— I. Hướng dẫn chung

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần

như hướng dẫn quy định.

II. Đáp án – thang điểm

Nội dung trình bày

Câu

Thang điểm 0,25

2

y

'

  3

x

Câu 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  Tập xác định: D    Sự biến thiên:

 , 3

y

1

x   1      ' 0 x , nghịch biến trên mỗi khoảng

1;1

+ Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng     và    1;  ; 1

y 1,

 4

CĐ

 

1,

 0

y CT

 

y

0,25

, lim  x

x

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x Hàm số đạt cực tiểu tại x   + Giới hạn: lim y 

0,25

y

4

2

1

0

-2

2

x

-1

1

-1

2

0,25 +Bảng biến thiên: x  1 1  y’ + 0  0 +  4 y 0   Đồ thị:

y

'

  3

x

    y

3

''

6

x

0,25 b. Có

y

  

12

6

12

x 0

    x 2 0

0,25

4,

y

y

'

 0 x     9 2

   2

y

  9

x

14

"  Vậy phương trình tiếp tuyến là:

2

0,25 Có Theo giả thiết 

 

1 2sin

x

sin

x

 1

sin

x

0

sin

x

 

0,25 0,25 Phương trình Câu 2 0,25

    

k  

sin

x

1 2    0

x

k

0,25

x

k

 2

sin

x

0,25

 k  

  1     2

k

 2

x

x

 

0

  x     5

0,25 Câu 3 a. Phương trình      6  7 6  5 5.5

   1

x

5

5

   x 1

x

5

   

1 5

1.

x

2

0,25

x

L

lim  1 x

lim  1 x

x 3  1

x

x

 1  x

3

x

 

2

x     x   1

Phương trình có nghiệm 2 b. Có 0,25

 

lim  1 x

1 2

 x 2   2 x

3

x

0,25 =

Câu 4 Chọn 5 em học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán xảy ra 3 trường hợp:

.

494190

1 17

2 18

2 C C C  . 20

0,25 cách chọn

416160

.

1 C C C  . 20

2 18

2 17

0,25 cách chọn

277440

.

1 C C C  . 20

3 18

1 17

0,25 cách chọn

0,25

+ Trường hợp 1: Khối 12 có 2 em, khối 11 có 2 em, khối 10 có 1 em: Có + Trường hợp 2: Khối 12 có 2 em, khối 11 có 1 em, khối 10 có 2 em Có +Trường hợp 3: Khối 12 có 3 em, khối 11 có 1 em, khối 10 có 1 em Có Vậy có 494190 + 416160 + 277440 = 1187790 cách chọn.

S

ABCD

Câu 5

H

SA  cân nên  3

SAB  AB SA a

E

D

A

O

a. Do và

B

C

F

0,25

0

tan 30

  AD

a 3

0,25 Góc giữa SD với mặt đáy là góc  030

0

SA tan 30

Trong tam giác SAD có

S

AB AD .

a a 3 .

3

a 3 3

SDA  SA AD 2

ABCD

0,25

2

3

V

SA S . .

a .

a 3.3 3

3

a

S ABCD

.

ABCD

1 3

1 3

0,25

d BD SC

,

  d O SCE ,

  d A SCE ,

1 2

AF

CE F CE

  

CE

,

SAF

0,25 b. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD tại E. Do BD//CE  BD//(SCE)    d BD SCE ,

     AH CE

AH

SCE

Kẻ

AH

AH SF H SF ,      d A SCE ,   AE 6 , 2

AD

 a CE BD

a 2 3

Kẻ 0,25

a a 6 .

3

S

AE CD .

 AF.CE AF=

a 3

Có

ACE

1 2

1 2

AE CD . CE

2

a

3

AH

0,25

2

2

2

a 3 2

Trong tam giác SAF có:

d BD SC

,

AH

1 AH   d A SCE ,

1 AF  

1 2

1 SA 1 2

a 3 4

A

B

I

0,25 Vậy

D

C

ANC

Câu 6

N

M

N

 NA

0,25 Gọi I AC BD Do BN DM IN IB ID      IN IA IC vuông tại N  

5 1 ; 2 2

7 9 ; 2 2

  

  

   

  

Đường thẳng CN qua và nhận là pháp tuyến nên có

0,25

C CN d

 

C

2; 3

y 9

13 0

 . Do

 

AB

BC

a

a

0

5

b

3

nên ta có hệ phương trình:

2

2

2

2

5

a

b

3

b

4

a

2

0,25

 

5,

b

  1

2      a

phương trình: 7 x ;B a b . Do      b 2 1   1 và AB BC   Gọi       

,

b

 

(

ktm )

9 5

7 5

B

     a   2; 3.

Giải hệ trên suy ra 0,25

 C 5; 1 ,

   1 1

x

7

x

 

y

  1

Vậy

2

y

Giải hệ:

 1 1 

x

 

1 13

12

  2

x

 1  

1,

x y ,

      x  Điều kiện:

Câu 7

PT

y

x

     

1

1

1

y

x

7

 y x  

y  không là nghiệm

  1

   7

y 7

 

1 y

(Do

  1

x

0,25

y 7

2

2

2

.

y

13.

y .

1

y 7

1 y

1 y

 

1 y

y 7

Thay vào (2) ta được phương trình: của phương trình)  1  y

2

2

2

2

   y

y

   

y

   13

y

7

y

 1

4

3

     y

     1 

y

y 7  y y 

33

y

25 y

    1 7   36 0

1

2

y

y

3

y

5

y

12

 0

  

 1



0,25

3

 y    y

y

1

0,25

    x

y

3

0

Với

8 9    x

  ;1 , 0;3 .

 ;x y là

8 9

  

  

a

,

b

,

c

a b c ,

,

Với 0,25 Hệ phương trình có 2 nghiệm 

 và 0

a b c

  

1

1 x

1 y

1  z

Đặt Câu 8 0,25

 c ab

 b ac

ab

bc

ac

 1

a bc   Thật vậy,

2

2

 a bc

 

bc

a

bc

a

2

a bc bc

 a b c

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 

a

bc

 

a bc

  a

bc

0,25

ac

  a a b c 2    b    c 

ab

0,25 ,

Tương tự, b ac c ab

 b ac

 a bc

ab

bc

   ac a b c ac 1

b

a

3

x

y

c

z

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:  c ab 0,25   a bc   b ac   c ab   bc    đpcm

       

Dấu đẳng thức xảy ra ab 1 3

------------------Hết--------------------