ĐỀ MEGABOOK SỐ 2 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). b) Tìm hệ số góc của đường thẳng d đi qua điểm , sao cho cắt tại hai điểm phân biệt

. Gọi là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị tại và . Tìm các giá trị của để đạt

giá trị nhỏ nhất.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình .

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân .

Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm tất cả các số phức thỏa mãn và là số thực.

b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng. Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và đường

thẳng . Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc sao cho

.

,

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp hai mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng có đáy là tam giác , tam giác vuông tại cân tại , góc giữa thuộc mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng

và .

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có

phương trình , đi qua , hai đường cao và . Tìm tọa độ các đỉnh biết

có hoành độ âm và đường thẳng có phương trình .

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình .

Câu 9 (1,0 điểm). Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

..................HẾT.................. HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.a.

. - Tập xác định:

- Sự biến thiên: Trang 1 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

+ Chiều biến thiên: .

, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và .

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị. + Giới hạn: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .

đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là .

+ Bảng biến thiên

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm .

+ Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm .

+ Đồ thị hàm số giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm .

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. Phương trình đường thẳng là .

Để cắt tại 2 điểm phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Tức phương trình có 2 nghiệm khác .

.

Ta có . Suy ra trong đó là nghiệm của phương trình

.

Trang 2 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

Nên và thỏa mãn .

Suy ra , đẳng thức xảy ra khi .

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi .

Nhận xét: Phương trình đường thẳng đi qua một điểm nào đó và cắt đồ thị hàm số cho trước tại điểm thỏa mãn tính chất của tiếp tuyến tại các hoàng độ giao điểm. Ta lập phương trình đường thẳng rồi tìm giao điểm của nó với hàm số , sau đó biện luận các yêu cầu của bài toán. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Phương trình đường thẳng đi qua điểm có phương trình: hệ số góc .

: . Dấu bằng xảy ra .

-Bất đẳng thức Áp dụng cho bài toán: - Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc là .

- Lập phương trình hoành độ giao điểm. cắt tại hai điểm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt - Hệ số góc tiếp tuyến tại . lần lượt là ( là nghiệm của phương trình ). Khi đó tìm

được với ( theo ).

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến của độ thị biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ

lần lượt tại A,B thỏa mãn . Đáp số: .

b. Cho hàm số . Viết phương trìn tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo hai trục tọa độ một

tam giác có diện tích bằng . Đáp số: .

Câu 2. Điều kiện .

Phương trình tương đương

.

Phương trình có nghiệm: .

Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử, giải phương trình cơ bản. Để giải phương trình ta sử dụng công thức cơ bản nhân đôi, đặt nhân tử chung. Lưu ý kiểm tra điều kiện để kết hợp nghiệm.

Trang 3 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Sử dụng công thức góc nhân đôi -Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản. -Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất tìm đươc với công thức nghiệm:

+ .

.

+ -Kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của phương trình. Bài tập tương tự:

a. Giải phương trình . Đáp số: .

b. Giải phương trình . Đáp số: .

Câu 3. .

.

Đặt .

.

.

Vậy .

Nhận xét: Đặc điểm biểu thức dưới dấu tích phân khó có thể đổi biến số và sử dụng tích phân từng phần. Ta tách tích phân ban đầu thành 2 tích phân nhỏ. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Công thức tính tích phân từng phần : .

-Công thức tính .

-Nhận thấy , nên ta có .

- Tính : Sử dụng công thức tính tích phân từng phần với .

- Tính : . Nhận thấy nên ngầm đặt ẩn phụ chuyển về công

thức .

Bài tập tương tự:

Trang 4 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

a. Tính tích phân . Đáp số: .

b. Tính tích phân . Đáp số: .

Câu 4.a. Giả sử số phức có dạng:

.

Vậy .

Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm số phức thỏa mãn điều kiện nào đó. Ta chỉ cần đặt số phức có dạng chung

rồi thay vào các điều kiện để giải ra .

Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Đặt . Số phức là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0.

- Thay vào đẳng thức . Sử dụng tính chất modul của số phức.

- Mặt khác , là số thực nên phần ảo bằng 0.

tìm được thu được số phức cần tìm. - Giải hệ cơ bản

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Tìm số phức thỏa mãn . Đáp số: .

b. Tìm số phức thỏa mãn . Đáp số: .

(cách), suy ra, không gian mẫu là .

là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.

Câu 4.b. Số cách chọn ra 5 viên bi từ 14 viên bi là Gọi Ta có .

Vậy .

bất kì. Nhận xét: Bài toán tính xác suất ta chỉ cần sử dụng công thức tính xác suất cho biến cố Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Công thức tính xác suất của biến cố A bất kì: với là số trường hợp thuận lợi cho A ,

là tổng các trường hợp có thể xảy ra.

theo các cách

Áp dụng cho bài toán: - Tìm số cách chọn 5 viên bi từ 14 viên cho trước. - Gọi A là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả màu xanh và trắng , ta tính được chọn. -Sử dụng công thức tính xác suất ta thu được đáp án. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

Trang 5 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

a. Trong mặt phẳng

, ở góc phần thư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các góc phần tư thứ hai , ba , bốn lấy 3,3,5 điểm phân biệt(các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Tính xác suất để

đường thẳng nối 2 điểm đó cắt hai trục tạo độ. Đáp số: .

b. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 màu. Đáp số: 645.

Câu 5. có vectơ pháp tuyến là ; có vectơ pháp tuyến là .

đi qua và có vectơ chỉ phương là .

+ .

+ Lại có

.

+ Với ; chọn .

+ Với ; chọn .

Nhận xét: Bài toán cơ bản viết phương trình mặt phẳng : Ta tìm một điểm thuộc và một vector pháp

tuyến của . Sử dụng dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng để tìm một vector pháp tuyến của .

Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến. -Mặt phẳng đi qua nhận là một vector pháp tuyến: .

-Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng : với lần lượt là vector

.

pháp tuyến của Áp dụng cho bài toán: - Tham số vector pháp tuyến của , đi qua điểm và có vector chỉ phương là ,

.

- Sử dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng .

- Tìm được mối quan hệ giữa tương ứng viết được mặt phẳng .

Bài tập tương tự:

a. Trong hệ trục tọa độ , cho điểm và mặ phẳng . Lập

phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với .

Đáp số: .

b. Trong hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Viết phương

trình mặt phẳng chứa đường thẳng và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng bằng 3. Đáp

số: .

Trang 6 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

Câu 6. vuông tại , nên đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm và bán kính

. Gọi là trung điểm của .

. Kẻ

Ta có .

đi qua của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

và song song với và

Kẻ đường thẳng là giao điểm của đường trung trực đoạn cầu bán kính mặt . Khi đó tâm trong mặt phẳng tiếp ngoại và là

.

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là (đvtt).

Dựng hình chữ nhật , khi đó , suy ra khoảng

cách giữa và bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng .

Gọi giao điểm của với là , ta có .

Kẻ thì là khoảng cách từ đến mặt phẳng .

Trong tam giác vuông có là đường cao nên

.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng .

Nhận xét: Dạng toán liên quan tới thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và góc giữa hai mặt phẳng. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Công thức tính thể tích khối cầu ngọa tiếp: .

-Dựng góc giữa hai mặt phẳng .

là trung điểm của thì chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam . và song song , suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao của

- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp: giác Kẻ đường thẳng đi qua điểm đường trung trực và trong mặt phẳng .

và : Dựng hình chữ nhật

.

- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng . Dựng Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: vuông cân, cạnh huyền . Trên đường thẳng

a. Cho tam giác với mặt phẳng lấy điểm sao cho mặt phẳng tạo với đi qua một góc bằng và vuông góc . Tính

. diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có đáy b. Cho hình chóp , hình chiếu vuông góc của

trùng với trung điểm của . Đáp số: là hình thoi cạnh . Đường trung tuyến lên có độ dài là của tam giác

Trang 7 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

, góc giữa mặt phẳng và bằng . Tính thể tích khối chóp và diện

tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Đáp số: Diện tích mặt cầu .

Câu 7. Chứng minh được , suy ra có vectơ pháp tuyến là .

Tọa độ thỏa hệ (do ). Vậy .

nhận làm vecto chỉ phương .

Tọa độ thỏa hệ .

Tọa độ thỏa hệ .

qua và vuông góc .

Tọa độ thỏa .

Với thì và , suy ra góc tù.

Với thì và , suy ra góc nhọn.

và .

Vậy Nhận xét: Hướng giải cho bài toán : Viết phương trình các cạnh tam giác , lấy giao phương trình các cạnh viết được với đường tròn suy ra tọa độ .

Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến. Để viết được đường thẳng ta cần tìm điểm , một

vector pháp tuyến . Dạng tổng quát

ngoại tiếp tam giác . -Đường tròn tâm Áp dụng cho bài toán:

- Viết phương trình là nghiệm của hệ ( ).

- Đường thẳng nhận làm một vecto chỉ phương nên viết được phương trình . Hoàn toàn tương

tự là nghiệm của hệ .

- Tính tọa độ điểm : . đi qua và vuông góc nên có phương trình .

Tọa độ là nghiệm của hệ .

Lưu ý: Để loại trường hợp ta sử dụng tích vô hướng của 2 vector , nếu tù và

nhọn.

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: Trong hệ trục tọa độ , cho tam giác có hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng là điểm

. Phân

Trang 8 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa các ẩn

phụ giải được nghiệm của phương trình.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Nhận thấy biểu thức trong căn về phải có thể viết lại được như sau ,

với điểm tương đồng vế trái có . Đặt 2 ẩn phụ , ta có phương trình

.

-Giải phương trình vô tỉ cơ bản dạng ta được nghiệm của phương trình đã

cho.

Lưu ý: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức cơ bản để đánh giá phương trình.

Bài toán kết thúc.

Bài tập tương tự:

a. Giải phương trình . Đáp số: .

b. Giải phương trình . Đáp số: .

Câu 9. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi . Áp dụng bất đẳng thức ta có

.

Vậy .

Nhận xét: Bài toán tím giá trị nhỏ nhất của hai biến với điều kiện cho trước . Ta cố gắng đánh

giá biểu thức theo .

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Tách biểu thức .

Trang 9 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

- Sử dụng bất đẳng thức cho 3 bộ số và 2 bộ số .

Ta có: .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng trong xảy ra.

Bài tập tương tự:

a. Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

(Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009).

Đáp số: .

b. Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng :

(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên-Hà Nội lần 3).

Trang 10 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi