Đ 1Ề
Bài 1:( 3,5 đi m)ể
Cho bi u th c M =ể ứ
+
+
−
+
−2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:
+
−
+− 2
10
2
2
x
x
x
a) Rút g n Mọ
b)Tính giá tr c aị ủ M khi
x
=
2
1
Bài 2:(3đi m) ể
a) Cho đa th c f(n) = nứ5 - 5n3 + 4n.
Ch ng minh r ng f(n) ứ ằ
M
120 v i m i giá tr c a n ớ ọ ị ủ
N
b) Tìm c p s (x,y) tho mãn ph ng trìnhặ ố ả ươ
2x2 + y2 + 2xy – 2x + 2y + 5 = 0
Bµi 3 : (4 ®iÓm)
a)Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n
3 2
3 10x xy− =
vµ
3 2
3 30y x y− =
.
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P =
.
b) Chøng minh r»ng nÕu
1 1 1 2
a b c
+ + =
vµ a + b + c = abc thì
2 2 2
1 1 1 2
a b c
+ + =
Bài 4 (7 đi m) Cho hình ch nh t ABCD. Trên đ ng chéo BD l y đi m P, g i M làể ữ ậ ườ ấ ể ọ
đi m đ i x ng c a đi m C qua P. ể ố ứ ủ ể
a) T giác AMDB là hình gì?ứ
b) G i E và F l n l t là hình chi u c a M lên AD, AB. Ch ng minh EF // AC v baọ ầ ượ ế ủ ứ ả
đi m E, F, P th ng hàng.ể ẳ
c) Ch ng minh r ng t s các c nh c a hình ch nh t MEFN không ph thu c vào vứ ằ ỉ ố ạ ủ ữ ậ ụ ộ ị
trí c a Pủ
d) Gi s CP ả ử
⊥
BD và CP = 2,4 cm,
9
16
PD
PB =
. Tính các c nh c a hình ch nh t ạ ủ ữ ậ
Bài 5(2,5 đi m)ể : Ch ng minh r ng x > 0, y > 0 thì ứ ằ
1 1 4
x y x y
+ +
.
Áp d ng v i a, b, c là 3 c nh c a tam giác p là n a chu vi . CMRụ ớ ạ ủ ử
1 1 1 1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
+ + + +
− − −
Đ 2Ề
Bài 1:(4 ®iÓm) Cho bi u th c M =ể ứ
+
+
−
+
−2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:
+
−
+− 2
10
2
2
x
x
x
a. Rút g n Mọ
b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt.
1
Bài 2:(3 ®iÓm) Cho bi u th c: A = ( bể ứ 2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a. Phân tích bi u th c A thành nhân t .ể ứ ử
b. Ch ng minh: N u a, b, c là đ dài các c nh c a m t tam giác thì A < 0.ứ ế ộ ạ ủ ộ
Bài 3:(3 ®iÓm)
a. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau :ị ỏ ấ ủ ể ứ
A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
b. Cho các s x,y,z th a mãn đ ng th i: ố ỏ ồ ờ
x + y + z = 1: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 và x
3
+ y
3
+ z
3
= 1.
Tính t ng: S = xổ
2009
+y
2010
+ z
2011
Bµi 4:(3 ®iÓm)
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
209
1
2++ xx
+
3011
1
2++ xx
+
4213
1
2++ xx
=
18
1
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn:
x( x
2
+ x + 1) = 4y( y + 1).
Bài 5:(7 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H.
a. TÝnh tæng:
HD HE HF
AD BE CF
+ +
b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC
2
c. Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF.
d. Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN.
Chøng minh ®êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè
®Þnh.
.........................HÕt......................
Đ 3Ề
Bài 1 (1,0 đi m) Phân tích các đa th c sau thành nhân t :ể ứ ử
a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4;
Bài 2: (2,5 đi m)ể
Cho bi u th c: ể ứ P =
4 2
2 3
4 1 1 1 ( 1) (1 )
( )
1 1 1 1
x x x x x x x x
x x x x
+ − + − + + − +
− +
− + − −
a. Tìm x đ P xác đ nh.ể ị
b. Rút g n P.ọ
c. Tìm giá tr nguyên c a x đ P nh n giá tr nguyên?ị ủ ể ậ ị
Bài 3: (2,5 đi m)ể
a) Cho đa th c ứ
( 3)( 5)( 7)( 9) 2014Q x x x x= + + + + +
. Tìm s d trong phép chiaố ư
đa th c ứ
Q
cho đa th c ứ
2
12 32x x+ +
.
2
b) Ch ng minh b t đ ng th c: ứ ấ ẳ ứ
1 1 4
a b a b
+ +
. V i ớ
;a b
là các s d ng.ố ươ
Áp d ng b t đ ng th c trên tìm giá tr nh nh t c a ụ ấ ẳ ứ ị ỏ ấ ủ
2 2
2 3
Mxy x y
= + +
.
v i ớ
;x y
d ng và ươ
1x y
+ =
.
Bài 4: (2,5 đi m)ể
ABCD là hình ch nh t có AB //CD, AB = 2CB. T A k đ ng th ngữ ậ ừ ẻ ườ ẳ
vuông góc v i đ ng chéo BD t i H. Trên HB l y đi m K sao cho HK = HA. T Kớ ườ ạ ấ ể ừ
k đ ng th ng song song v i AH c t AB t i E. ẻ ườ ẳ ớ ắ ạ
a. Ch ng minh E là trung đi m AB.ứ ể
b. L y M trung đi m DE, tia AM c t DB t i N, c t DC t i Pấ ể ắ ạ ắ ạ
Tính t s di n tích tam giác AND v i di n tam giác PMD?ỷ ố ệ ớ ệ
Câu 5:(1,5 đi m)ể
Cho tr c góc xOy; t s ướ ỷ ố
m
n
và m t đi m P n m trong góc xOy. D ngộ ể ằ ự
đ ng th ng đi qua P c t các c nh Ox, Oy l n l t t i C và D sao cho: ườ ẳ ắ ạ ầ ượ ạ
PC m
PD n
=
.
(Ch trình bày cách d ng và ch ng minh)ỉ ự ứ
Đ 4Ề
Bài 1 (4đ). Phân tích các đa th c sau thành nhân t : ứ ử
a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2
b) x2 + 7x + 10
Bài 2 (4đ) Cho
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
Ax x x x
− − −
= + −
− − + −
a) Rút g n A. ọ
b) Tìm x nguyên đ A nguyên.ể
Bài 3 (4đ). Gi i ph ng trìnhả ươ
) 2 1 3 2a x x+ = −
b) x2 – 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23
Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nh n, các đ ng cao AD, BE, CF g p nhauọ ườ ặ
t i H. Đ ng th ng vuông góc v i AB t i B và đ ng th ng vuông góc v i AC t iạ ườ ẳ ớ ạ ườ ẳ ớ ạ
C c t nhau t i G.ắ ạ
3
a) Ch ng minh r ng GH đi qua trung đi m M c a BC.ứ ằ ể ủ
b) ∆ABC ~ ∆AEF
c)
EDCFDB ˆˆ =
d) H cách đ u các c nh c a tam giác ề ạ ủ ∆DEF
Bài 5 (1đ). Cho ba s th c x, y và z sao cho x + y + z = 1. ố ự Ch ng minh r ngứ ằ
Bài 6 (1đ). Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
2008
2007 <
−x
H TẾ
Đ 5ề
Bµi 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
3 3 3
a b c 3abc− + +
2) Cho
3 2
a 3ab 5− =
vµ
3 2
b 3a b 10− =
. TÝnh S =
2 2
a b+
Bµi 2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
8 4 2
x 2x x 2x 2 0− + − + =
2) Cã tån t¹i hay kh«ng sè nguyªn d¬ng n sao cho
6 n 2011
n 26 21+ =
Bµi 3: Rót gän biÓu thøc A =
3 3 3
3 3 3
2 1 3 1 2011 1
...
2 1 3 1 2011 1
− − −
+ + +
Bµi 4: Cho ∆ABC vu«ng t¹i A, cã AB < AC. KÎ ph©n gi¸c AD. Gäi M vµ N
lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB vµ AC. BN c¾t CM t¹i K, AK c¾t DM t¹i I,
BN c¾t DM t¹i E, CM c¾t DN t¹i F.
1) Chøng minh r»ng EF // BC
2) Chøng minh r»ng K lµ trùc t©m cña ∆AEF
3) TÝnh sè ®o cña
ﾶ
BID
Bµi 5: Cho a, b, c, d, e > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d + e = 4.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
( ) ( ) ( )
a b c d a b c a b
Pabcde
+ + + + + +
=
Đ 6Ề
Bài 1 (4 đi m):ể Cho bi u th cể ứ
++
+
−−
=222222 2
11
:
y
4xy
Axxyyxyx
a) Tìm đi u ki n c a x, y đ giá tr c a A đ c xác đ nh.ề ệ ủ ể ị ủ ượ ị
b) Rút g n A.ọ
c) N u x; y là các s th c tho mãn: 3xế ố ự ả 2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm t t c cácấ ả
giá tr nguyên d ng c a A?ị ươ ủ
Bài 2 (4 đi m):ể
a) Gi i ph ng trình :ả ươ
4
82
44
93
33
104
22
115
11 +
+
+
=
+
+
+xxxx
b) Tìm các s x, y, z bi t :ố ế
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
và
2010200920092009 3=++ zyx
Bài 3 (3 đi m):ể Ch ng minh r ng v i m i nứ ằ ớ ọ
N
thì n5 và n luôn có ch s t n cùngữ ố ậ
gi ng nhau. ố
Bài 4 (7 đi m):ể Cho tam giác ABC vuông t i A. L y m t đi m M b t kỳ trên c nhạ ấ ộ ể ấ ạ
AC. T C v m t đ ng th ng vuông góc v i tia BM, đ ng th ng này c t tia BMừ ẽ ộ ườ ẳ ớ ườ ẳ ắ
t i D, c t tia BA t i E.ạ ắ ạ
a) Ch ng minh: EA.EB = ED.EC và ứ
ﾶ
ﾶ
EAD ECB=
b) Cho
ﾶ
0
120BMC =
và
2
36
AED
S cm=
. Tính SEBC?
c) Ch ng minh r ng khi đi m M di chuy n trên c nh AC thì t ng BM.BD +ứ ằ ể ể ạ ổ
CM.CA có giá tr không đ i.ị ổ
d) Kẻ
DH BC
⊥
( )
H BC
. G i P, Q l n l t là trung đi m c a các đo n th ngọ ầ ượ ể ủ ạ ẳ
BH, DH. Ch ng minh ứ
CQ PD⊥
.
Bài 5 (2 đi m):ể
a) Ch ng minh b t đ ng th c sau:ứ ấ ẳ ứ
2≥+ x
y
y
x
(v i x và y cùng d u) ớ ấ
b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
2 2
3 5
x y x y
y x y x
� �
+ − + +
� �
� �
(v i ớ
x 0, y 0
)
Đ 7Ề
Bµi 1: (2 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:
1.
2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
Bµi 2: (2®iÓm)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1.
2
3 2 1 0x x x− + + − =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x
� � � � � �� �
+ + + − + + = +
� � � � � �� �
� � � � � �� �
Bµi 3: (2®iÓm)
1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)(
9)
111 ≥++ cba
2. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho ®a thøc
2
10 21x x+ +
.
5