Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 48
CHÆÅNG 3
PHÆÅNG PHAÏP TÊNH MAÛCH TUYÃÚN TÊNH HÃÛ SÄÚ HÀÒNG
ÅÍ CHÃÚ ÂÄÜ XAÏC LÁÛP ÂIÃÖU HOÌA
Ta âaî biãút khi maûch âiãûn laì maûch tuyãún tênh hãû säú hàòng åí chãú âäü xaïc láûp våïi kêch
thêch âiãöu hoìa thç mä hçnh cuía noï chênh laì hãû phæång trçnh KF 1, 2 daûng âaûi säú phæïc.
Cáön phaíi nãu nhæîng phæång phaïp âãø giaíi hãû âaûi säú âoï cho ra nhæîng âaïp æïng cuía maûch
âiãûn. Vç maûch KF coï âàûc âiãøm laì coï thãø âo traûng thaïi åí nhæîng yãúu täú kãút cáúu khaïc nhau
: åí nhaïnh, åí âènh, åí voìng...Vç váûy coï hãû phæång trçnh tæång æïng våïi caïc biãún nhaïnh,
biãún âènh, biãún voìng nãn coï caïc phæång phaïp giaíi cho tæìng biãún.
Chuï yï vç caïc âënh luáût KF daûng phæïc giäúng hãût cho træåìng håüp maûch thuáön tråí
hoàûc maûch coï doìng khäng âäøi. Chè coï khaïc laì khi âoï caïc biãún traûng thaïi vaì caïc toaïn tæí
âãöu laì säú thæûc U, I, E, R, g. Vç váûy nhæîng phæång phaïp seî nãu cuîng duìng cho maûch coï
doìng khäng âäøi hoàûc thuáön tråí.
Biãún nhaïnh - phæång phaïp doìng (aïp) nhaïnh.
Maûch coï m nhaïnh, d âènh nãn nãúu láúy biãún laì doìng (aïp) nhaïnh thç säú áøn säú doìng
(aïp) nhaïnh laì m, váûy cáön viãút m phæång trçnh theo biãún laì doìng (aïp) nhaïnh theo caïc
âënh luáût KF1, KF2. Ta viãút âæåüc (d-1) phæång trçnh KF1 theo doìng (aïp) nhaïnh daûng :
∑∑ =k
k
.jI (3-1)
Viãút âæåüc (m-d+1) phæång trçnh KF2 theo doìng (aïp) nhaïnh daûng :
L
.
L
.
LEIZ ∑∑ = (3-2)
Hoàûc : (3-3)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∑∑
∑∑
L
.
L
.
kk
.
k
EU
jUY
Táút nhiãn âãø viãút caïc phæång trçnh âaûi säú trãn cáön phaíi quy æåïc chiãöu dæång caïc
doìng âiãûn vaì chiãöu dæång caïc voìng.
Giaíi hãû phæång trçnh âaûi säú trãn ta seî âæåüc giaï trë phæïc doìng (aïp) caïc nhaïnh. Coï
doìng (aïp) nhaïnh qua âënh luáût Äm tênh aïp (doìng) cuía nhaïnh.
Hãû phæång trçnh daûng ma tráûn theo biãún doìng nhaïnh :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
nh
.
t
nh
.
nht
nh
.
t
ECIZC
0IA (3-4)
Vê duû : Láûp hãû phæång trçnh biãún nhaïnh âãø giaíi maûch âiãûn hçnh (h.3-1). Maûch
âiãûn coï d = 3, m = 5.
h.3-1
c
ab
Z1Z3Z5
Z2Z4
I1
.
I3
.
I5
.
I4
.
I2
.
E4
.
E5
.
III
II
I
Hãû phæång trçnh theo daûng
biãún nhaïnh :
Nuït a : 0III 3
.
2
.
1
.=−−
E1
.
Nuït b : 0III 5
.
4
.
3
.=+−
Voìng I :
1
.
2
2
.
1
1
.EZIZI =+
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
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Voìng II :
4
.
2
2
.
4
4
.
3
3
.EZIZIZI −=−+
Voìng III :
4
.
5
.
4
4
.
5
5
.EEZIZI −=+
Hãû phæång trçnh daûng ma tráûn :
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=−+−
=++−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
→=
0III
0III
I
I
I
I
I
11100
00111
0IA
5
.
4
.
3
.
3
.
2
.
1
.
5
.4
.3
.2
.1
.
nh
.
t
[] []
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
100
110
010
011
001
C,
Z0000
0Z000
00Z00
000Z0
0000Z
Z,
E
E
E
E
E
E
5
4
3
2
1
nh
5
.4
.
3
.2
.1
.
nh
.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
↔=
.
5
.
4
.
1
5
.4
.3
.2
.1
.
5
4
3
2
1
nh
.
tnh
.
nht
E
E
0
0
E
11000
01110
00011
I
I
I
I
I
Z0000
0Z000
00Z00
000Z0
0000Z
11000
01110
00011
ECIZC
Hãû phæång trçnh theo aïp nhaïnh :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=+
−=−+
=+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−−
••••
••••
•••
•••
•••
45
43
4
243
1
21
5
5
4
4
3
3
3
3
2
2
1
1
EEUU
EUUU
EUU
0UYUYUY
0UYUYUY
Hãû phæång trçnh daûng ma tráûn viãút theo biãún aïp nhaïnh : ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
nh
.
t
nh
.
t
nh
.
nh
t
ECUC
0UYA (3-5)
Biãún voìng - phæång phaïp doìng âiãûn voìng :
Ta âaî biãút caïc doìng buì cáy trãn mäüt graph laìm thaình mäüt táûp âuí doìng nhaïnh âäüc láûp.
Nhæîng doìng áúy chaíy kheïp kên qua nhæîng voìng xaïc âënh trãn cáy âaî choün, laìm thaình
mäüt táûp doìng voìng buì caình. Cuîng coï thãø choün caïc doìng chaíy kheïp kên caïc màõt læåïi
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 50
mäüt graph phàóng. Caïc doìng buì caình (doìng chaíy trong caïc màõt læåïi) goüi laì doìng voìng.
Sau khi biãút doìng voìng coï thãø tênh âæåüc doìng nhaïnh vaì aïp nhaïnh. Váûy âàût biãún laì doìng
voìng ( ), nãn säú áøn säú laì chênh bàòng säú voìng âäüc láûp, chênh bàòng säú buì caình = (m
- d + 1). Tæïc laì ta cáön viãút (m - d +1) phæång trçnh theo . Qua khaïi niãûm âënh nghéa
vãö doìng voìng ta tháúy chuïng âaî chæïa âæûng sæû thoía maîn luáût KF1 (tênh liãn tuûc) nãn
phæång trçnh liãn hãû caïc biãún coï yï nghéa seî laì phæång trçnh KF2. Ta coï trçnh tæû giaíi
maûch âiãûn bàòng phæång phaïp doìng voìng nhæ sau :
v
.
Iv
.
I
v
.
I
v
.
I
Choün vaì daïnh säú, quy æåïc chiãöu dæång cuía caïc doìng voìng (doìng buì caình hoàûc
doìng màõt læåïi) kãø caí caïc nguäön doìng âènh âaî cho kheïp kên qua nhæîng voìng âäüc láûp.
Viãút (m - d +1) phæång trçnh KF2 theo biãún voìng. Læu yï coï caí nhæîng aïp do häù caím,
aïp do caïc nguäön doìng gáy trãn voìng , (3-6)
j
.
Em
.
mkjk
.JZE =
Giaíi hãû phæång trçnh âæåüc caïc doìng voìng sau âoï suy ra caïc doìng nhaïnh laì täøng âaûi
säú caïc doìng voìng qua nhaïnh âoï.
Vê duû : Láûp hãû phæång trçnh biãún voìng âãø giaíi maûch âiãûn hçnh (h.3-2)
Choün 3 doìng voìng theo màõt læåïi , , .
1v
.
I2v
.
I3v
.
I
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Phæång trçnh KF2 cho caïc voìng :
Voìng I :
1
.
33v
.
22v
.
3211v
.EZIZI)ZZZ(I =−+++
Voìng II :
4
.
53v
.
21v
.
5242v
.EZIZI)ZZZ(I =++++
Voìng III : 0ZIZI)ZZZ(I 31v
.
52v
.
3563v
.=−+++
Giaíi hãû phæång trçnh âæåüc caïc doìng voìng ,
, sau âoï suy ra doìng nhaïnh ,
, ,, . Ta tháúy
1v
.
I
2v
.
I3v
.
I1v
.
1I=
.
I
3v
.
1v
.
3
.III −= 3v
.
6
.II =2v
.
1v
.
2
.III += 2v
.
4
.II =)ZZZ( 321
+
+
laì täøng tråí tham
gia voìng I laì voìng âang viãút coï chaûy qua ta kê hiãûu laì Z
1v
.
Iv1, Z2 laì täøng tråí nhaïnh
chung giæîa voìng I vaì voìng II kê hiãûu laì Z12 = Z2 , tæång tæû Z3 = Z13 laì täøng tråí nhaïnh
chung giæîa voìng I vaì voìng III, Z5 = Z23 laì täøng tråí nhaïnh chung giæîa voìng II vaì voìng
III. Luïc naìy phæång trçnh voìng I âæåüc viãút goün laì : .
1
.
133v
.
122v
.
1v1v
.EZIZIZI =−+
I6
.
I
.
4
I5
.
I3
.
E4
.
I1
.
E1
.
E1
.
III
III Z5
Z4
Z2
I2
.
Z1
Z3
Z6
h.3-2
Tæång tæû nhæ váûy cho caïc voìng khaïc :
4
.
253v
.
121v
.
2v2v
.EZIZIZI =++
0ZIZIZI 131v
.
252v
.
3v3v
.=−+
Trong âoï : Zv2 = Z2 + Z4 + Z5, Zv3 = Z3 + Z5 + Z6.
1v1v
.ZI : laì suût aïp do doìng voìng gáy ra trong baín thán voìng I, luän coï dáúu dæång.
lmvm
.ZI : laì suût aïp do doìng voìng m coï nhaïnh chung våïi voìng l âang viãút gáy ra trong
nhaïnh chung âoï, dáúu + hay - tuìy chiãöu cuía doìng voìng m qua nhaïnh chung cuìng chiãöu
hay ngæåüc chiãöu våïi doìng voìng l âang xeït. Tæì âáy ta âæa ra daûng täøng quaït :
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 51
∑∑ =± vk
.
n
lklvl
.
vkvk
.EZIZI
vk
.
E
∑ laì täøng âaûi säú Sââ thuäüc voìng k, Sââ naìo cuìng chiãöu våïi voìng thç coï dáúu
dæång, ngæåüc chiãöu thç dáúu -. Nãúu trong maûch âiãûn coï nhæîng nguäön doìng kêch thêch
båm vaìo càûp nuït naìo âoï thç coi âoï laì doìng âäüc láûp nhæ âaî biãút J. Vç phæång trçnh KF2
laì viãút cho aïp nãn phaíi cho doìng J chaûy qua mäüt nhaïnh naìo âoï giæîa hai nuït maì J båm
vaìo taûo ra âãø åí vãú phaíi phæång trçnh giäúng nhæ caïc . Luïc naìy coï
phæång trçnh :
j
.
k
.
k
.EZJU == .
E
j
.
vk
.
n
lklvl
.
vkvk
.EEZIZI ±=± ∑∑ (3-8)
Læu yï trong maûch r, L, M, C ta coï xeït tênh tæång häù nãn Zkl = Zlk nãn hãû säú Zkl âäúi
xæïng qua truûc cheïo cuía [Znh].
Phæång trçnh daûng ma tráûn : (3-9)
nh
.
tv
.
nht ECICZC =
Khi coï caïc nguäön doìng j thç vãú phaíi coï thãm thaình pháön CtZnhjnh.
Vê duû 2 : Láûp hãû phæång trçnh biãún doìng voìng
giaíi maûch âiãûn hçnh (h.3-3).
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Ta tuìy yï giaí thiãút nguäön j kheïp maûch qua nhaïnh Z3 taûo
nãn aïp âaî biãút .
3j3
.Z.jU =
Phæång trçnh voìng I :
2
.
1
.
22v
.
211v
.EEZI)ZZ(I −=−+
Phæång trçnh voìng II :
3
.
2
.
21v
.
322v
.ZjEZI)ZZ(I −=−+
3j3
.Z.jU = laì aïp råi trãn Z3 do nguäön doìng j gáy ra nàòm
åí vãú traïi phæång trçnh, vç j cuìng chiãöu voìng nãn mang dáúu +, chuyãøn sang vãú phaíi nãn
âäøi thaình dáúu -. Vãö màût toaïn hoüc ta tháúy phæång phaïp doìng voìng thæûc cháút laì tênh caïc
doìng phuû thuäüc theo caïc doìng âäüc láûp qua KF1 räöi thay vaìo phæång trçnh KF2 âãø âæåüc
phæång trçnh KF2 theo biãún voìng, tæïc laì âæa phæång trçnh KF1 vaìo phæång trçnh KF2.
II
Z3
Z1
E1
.
h.3-3
)
I
j
j
Z2
E2
.
Biãún âènh - phæång phaïp âiãûn thãú âènh :
Ta âaî coï mäúi liãn hãû giæîa âiãûn thãú âènh våïi aïp nhaïnh nãn nãúu choün biãún laì thãú
âènh láûp hãû phæång trçnh thãú âènh giaíi ra caïc thãú âènh thç suy ra âæåüc caïc aïp nhaïnh räöi
doìng nhaïnh. Maûch âiãûn coï d âènh thç coï d thãú âènh, song phaíi so våïi mäüt thãú mäúc
(thæåìng choün mäúc laì 0), nãn säú thãú cáön xaïc âënh laì (d -1), tæïc laì säú áøn säú thãú âènh laì (d-
1).
Váûy ta cáön viãút (d-1) phæång trçnh theo áøn säú laì thãú âènh. Khaïi niãûm thãú tæì tênh
cháút thãú noï âaî chæïa âæûng sæû thoía maîn luáût KF2 nãn chè coï phæång trçnh KF1 liãn hãû
caïc thãú måïi coï yï nghéa. Váûy cáön viãút (d-1) phæång trçnh KF1 theo biãún laì thãú âènh.
Nhæng ta måïi chè coï phæång trçnh KF1 cho biãún laì caïc doìng nhaïnh, nãn phaíi tçm biãøu
thæïc giæîa caïc doìng nhaïnh våïi thãú âènh âãø coï phæång trçnh KF1 theo biãún laì thãú âènh.
Ta âaî coï âënh luáût Äm liãn hãû giæîa aïp våïi doìng nhaïnh maì aïp nhaïnh laûi liãn hãû våïi thãú
nãn ta láûp âæåüc quan hãû giæîa doìng nhaïnh våïi thãú âènh.
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Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
52
h.3-4
Zkl
Ikl
.
k
l
Âäúi våïi nhaïnh khäng nguäön hçnh (h.3-4) ta coï :
kllk
kl
lk
kl
.
klkl
.
lkkl
.Y).(
Z
IZ.IU ϕ−ϕ=
ϕ−ϕ
=⇒=ϕ−ϕ=
ZklIkl
.
k
l
Ekl
.
h.3-5
(3-10)
Âäúi våïi caïc nhaïnh coï nguäön nhæ hçnh (h.3-5) ta coï :
klkl
.
kllkkl
.
kl
.
klkl
.
kl Y.EY).(IEZ.I −ϕ−ϕ=⇒−−ϕ=ϕ
(3-11)
Nhæ váûy khi cuìng chiãöu våïi thç (3-12)
kl
.
Ekl
.
Iklkl
.
kllkkl
.Y.EY).(I +ϕ−ϕ=
Tæïc laì Sââ naìo cuìng chiãöu doìng thç coï dáúu +. Sau khi coï biãøu thæïc doìng
theo thãú ta viãút âæåüc hãû phæång trçnh KF1 theo
thãú.
.
E Y.E
.
I6
.
b
d
I4
c
.
I5
.
I3
.
E4
.
I1
a
.
E1
.
E1
.
Z5
Z4
Z2
I2
.
Z1
Z3
Z6
Vê duû : Láûp hãû phæång trçnh theo biãún thãú
âènh âãø giaíi maûch âiãûn nhæ hçnh (h.3-6)
Choün âènh d laìm mäúc, viãút phæång trçnh KF1 cho
caïc âènh coìn laûi :
Âènh a : 0III 6
.
3
.
1
.=−−
Âènh b : 0III 5
.
3
.
2
.=++−
h.3-6
Âènh c : 0III 6
.
5
.
4
.=+−
Thay caïc doìng âiãûn trong phæång trçnh trãn theo biãún âènh :
Vê duû thay vaìo âènh a :
6ca6
.
3ba3
.
11
.
1a1
.Y).(I,Y).(I,Y.EY).0(I ϕ−ϕ=ϕ−ϕ=+ϕ−=
Ta coï : 0Y).(Y).(Y.EY).0( 6cb3ba11
.
1a =ϕ−ϕ−ϕ−ϕ−+ϕ−
0YYYYYEY 6c6a3b3a11
.
1a =ϕ+ϕ−ϕ+ϕ−+ϕ−
11
.
6c3b631a
11
.
6c3b631a
YEYY)YYY(
0YEYY)YYY(
=ϕ−ϕ−++ϕ⇒
=+ϕ+ϕ+++ϕ−⇒
Tæång tæû nhæ váûy cho caïc âènh khaïc :
Âènh b : 0YY)YYY( 5c3a532b
=
ϕ
−ϕ−++ϕ
Âènh c :
44
.
6a5b654c YEYY)YYY( =ϕ−ϕ−++ϕ
Qua caïc phæång trçnh viãút theo thãú caïc âènh, vê duû âènh a ta coï nháûn xeït : säú haûng âáöu
tiãn ϕa(Y1+Y3+Y6) laì têch thãú cuía âènh viãút våïi täøng täøng dáùn caïc nhaïnh näúi våïi âènh
viãút, (Y1+Y3+Y6) = Ya laì täøng táút caí täøng dáùn cuía caïc nhaïnh coï näúi âãún nuït a. Caïc säú
haûng sau cuía vãú traïi : ϕb.Y3, ϕc.Y6 laì têch thãú cuía âènh coï näúi våïi âènh âang viãút qua
mäüt nhaïnh våïi täøng dáùn cuía nhaïnh âoï. Kê hiãûu ϕk.Yka , trong âoï Yka laì täøng dáùn cuía
nhaïnh näúi giæîa nuït âang viãút a våïi nuït k, ϕkYka luän mang dáúu -. Coìn vãú bãn phaíi