ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
GIÁO TRÌNH CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2022 - 2023
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Mã số : GT.TN.2023.01
Chủ biên: TS. Vũ Thị Mai
Thành viên: ThS. Đỗ Thị Hoài
Đơn vị : Khoa Toán và KHTN
Hải Phòng, tháng 5 năm 2023
1
MỤC LỤC
Lời nói đầu 5
Chương 1 Mở đầu về phương trình vi phân 6
1.1 Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Mô hình chuyển động của lò xo . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Conlắctoánhọc ........................ 6
1.1.3 Mô hình tăng trưởng dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Định luật Malthus về quần thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Mô hình toán học của quần thể vật săn-mồi . . . . . . . . . . 9
1.2 Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Khái niệm phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 BàitoánCauchy ........................ 10
1.2.3 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . 10
1.2.5 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . 14
Chương 2 Phương trình vi phân cấp 1 16
2.1 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . 16
2.1.1 Phương trình biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Phương trình biến số phân ly được . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Phương trình vi phân thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.4 Phương trình đưa về phương trình thuần nhất . . . . . . . . . 19
2.1.5 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . 25
2.1.7 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.8 Phương trình Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.9 Phương trình Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Ứng dụng của phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Ứng dụng trong vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Ứng dụng trong sinh hóa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Ứng dụng trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đối với đạo hàm . . . . . . 35
2
2.3.1 Phương trình vi phân chưa giải ra đối với đạo hàm dạng tổng
quát............................... 35
2.3.2 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange . . . . . . . 38
2.3.3 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . 41
2.4 Giải một số phương trình vi phân cấp một bằng Maple . . . . . . . . 44
2.4.1 Phương trình biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Phương trình tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.3 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.4 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.5 Phương trình Clairaunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
BàitậpChương2............................... 49
Hướngdẫn,đápsố .............................. 52
Chương 3 Phương trình vi phân cấp cao 56
3.1 Phương tình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương . . . . . . . . 56
3.1.1 Phương trình chỉ chứa biến độc lập và đạo hàm cấp cao nhất . 56
3.1.2 Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp nvà n−1......... 58
3.1.3 Phương trình chỉ chứa y(n−2)và y(n).............. 60
3.2 Phương trình vi phân cấp cao hạ cấp được . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Lý thuyết tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp n . . . . . 64
3.3.1 Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n . . . . . . . 64
3.3.2 Các tính chất cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính cấp n64
3.3.3 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
thuầnnhất............................ 65
3.3.4 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.5 Lập phương trình tuyến tính thuần nhất biết hệ nghiệm cơ bản
củanó.............................. 70
3.3.6 Công thức Ostrogradski – Liouville . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.7 Cấu trúc của nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.8 Phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số hằng . . . . . . . . . . . 73
3.4.1 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất . . . . . . . . 74
3.4.3 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.4 Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Giải một số phương trình vi phân cấp cao bằng Maple . . . . . . . . . 83
3.5.1 Công thức Ostrogradski – Liouville . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.2 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . 84
3
3.5.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số hằng và phương
pháphệsốbấtđịnh....................... 85
BàitậpChương3............................... 86
Hướngdẫn,đápsố .............................. 88
Chương 4 Hệ phương trình vi phân 92
4.1 Hệ phương trình vi phân cấp một tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.1 Cácđịnhnghĩa......................... 92
4.1.2 Liên hệ giữa hệ phương trình và phương trình vi phân cấp cao 92
4.1.3 Phương pháp tổ hợp tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.5 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . 96
4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.1 Hệ tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ vecto hàm 99
4.2.3 Hệnghiệmcơbản ....................... 99
4.2.4 Công thức Ostrogradski-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3 Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.1 Dạngtổngquát.........................100
4.3.2 Các tính chất của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.1 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.2 Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
BàitậpChương4...............................108
Hướngdẫn,đápsố ..............................110
Chương 5 Lý thuyết ổn định 113
5.1 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . 118
5.1.4 Ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng . . . . . . 121
5.1.5 Tiêu chuẩn Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.6 Các điểm cân bằng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Một số tiêu chuẩn ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.1 Bổ đề Gronoun - Benman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.2 Các tiêu chuẩn ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
BàitậpChương5...............................131
![Giáo trình Đại số đại cương 1 [mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260312/hoabattu2026/135x160/71441773631876.jpg)
