H THNG KIN THC MÔN HÌNH HC
PHN TRONG KHÔNG GIAN TA OXYZ
…………………………………….* * * ………………………………………..
KIN THC C BN :
1- H trc ta  : z
- Nu : kzjyixOM ... ++= ; thì ta
 im M là : M ( x;y;z)
O
x y
- Trc ox là trc hoành ; trên ó có véc t
)0;0;1(=i
- Trc oy là trc tung ; trên ó có véc t
)0;01;0(=j
- Trc oz là trc cao ; trên ó có véc t )1;0;0(=k
-im O là gc ta  ; O ( 0;0;0)
2- Các công thc ta  im và vécto
a)Ta  im :
* im nm trên các trc ta 
-Nu im M nm trên trc hoành ox ; thì ta  M(x; 0;0)
-Nu im M nm trên trc tung oy ; thì ta  M(0; y;0)
-Nu im M nm trên trc cao oz ; thì ta  M(0; 0;z)
* im nm trên các mt phng ta 
-Nu im M nm trong mt phng (oxy) ; thì ta  M(x; y;0)
-Nu im M nm trong mt phng (oyz) ; thì ta  M(0; y;z)
-Nu im M nm trong mt phng (oxz) ; thì ta  M(x; 0;z)
b)Ta  trung im ca mt on thng ; trong tâm ca tam giác ; ca t din
*
Ta  trung im M ca on thng AB ; vi
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB
Thì ta  trung im M là :
+++
2
;
2
;
2
212121
zzyyxx
M
*
Ta  trng tâm G ca tam giác ABC ; vi
);;(
111
zyxA
;
);;(
222
zyxB
;
);;(
333
zyxC
. Thì ta  trng tâm G
++++++
3
;
3
;
3
321321321
zzzyyyxxx
G
*
Ta  trng tâm G ca t din ABCD ; vi
);;(
111
zyxA
;
);;(
222
zyxB
;
);;(
333
zyxC
;
);;(
444
zyxD
Thì ta  trung im G là :
+++++++++
4
;
4
;
4
432143214321
zzzzyyyyxxxx
G
c) Công thc tính  dài ca mt on thng
Cho hai im :
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB
thì ta có :
( ) ( ) ( )
2
12
2
12
2
12
zzyyxxAB −+−+−=
Chú ý : dùng công thc tính  dài on thng  tính chu vi ca mt tam giác ; t
giác ; khong cách t mt im n mt im
b) Ta  vécto
* Cho hai im
);;(
111
zyxA
và
);;(
222
zyxB
;
khi ó ta có công thc tính ta

ca vecto
AB
là :
(
)
121212
;; zzyyxxAB −−−=
* Cho hai vecto:
(
)
321
;; aaaa =
và
(
)
321
;; bbbb =
; khi dó ta có các công thc tính
như sau :
Ct1: (Ta  vecto tng và vecto hiu ca các vecto )
(
)
332211
;; babababa +++=+
và
(
)
332211
;; babababa −−−=−
Ct2: (Ta  vecto tích mt s thc vi mt vecto )
(
)
321
;; kakakaka =
(vi k là mt s thc bt k )
Ct3 : ( Tích vô hưng hai vecto)
332211
... babababa ++=
Ct4 : ( Hai vecto cùng phưng )
3
3
2
2
1
1
// b
a
b
a
b
a
bkaba ==⇔=⇔
Chú ý : Vn dng hai vecto cùng phưng  chng minh :
-Ba im thng hàng ( hay không thng hàng ; khi hai vecto không cùng phưng )
-Hai ưng thng song song
Ct5 : ( Hai vecto vuông góc )
0...0
332211
=++⇔=⇔⊥ bababababa
Chú ý : Vn dng hai vecto vuông góc  chng minh :
-Tam giác vuông
-Hai ưng thng vuông góc
Ct6 : ( Hai vecto bng nhau )
=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba
( Hai vecto bng nhau )
Chú ý : Vn dng hai vecto bng nhau  :
-Tìm ta  im ; khi bit t giác ó là mt hình bình hành
Ct7: ( Tính góc ca hai vecto)
(
)
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
...
..
.
;cos
bbbaaa
bababa
ba
ba
ba
++++
++
==
3) Tích có hưng hai vecto và áp dng ca nó :
a) Khái nim : Tích có hưng hai vecto là mt vecto ; mà vuông góc vi hai vecto ó .
ký hiu là :
[
]
ba;
b ) Công thc ta  ca tích có hưng hai vecto :
*Cho hai vecto:
(
)
321
;; aaaa =
và
(
)
321
;; bbbb =
; khi dó ta có các công thc tính
như sau :
[
]
ba;
( )
212113133232
21
21
13
13
32
32
..;..;..;; abbaabbaabba
bb
aa
bb
aa
bb
aa −−−=
=
c) Áp dng ca tích có hưng hai vecto
-Ad1: ( Tính din tích ca tam giác ABC )
[
]
ACABS
ABC
;
2
1
=
∆
-Ad2 : ( Tính th tích ca t din ABCD)
[
]
ADACABV
ABCD
.;
6
1
=
∆
-Ad3: ( Chúng minh bn im A; B ; C ; D ng phng )
Chúng minh bn im A; B ; C ; D ng phng
⇔
[
]
0.; =ADACAB
*Chú ý :
1) Vn dng công thc tính din tích tam giác ta có th tính  dài ưng cao ca tam
giác k t mt nh
2) Vn dng công thc tính th tích t din ta có th tính  dài ưng cao ca t
din k t mt nh
3) Vn dng chng minh 4 im ng phng ; ta chng minh 4 im ó lp thành mt
t din ( Nu không ng phng thì nó lp thành mt t giác )
3) Phng trình mt cu:
a) Nu mt cu ( S ) có tâm I ( a; b ; c ) và bán kính R thì phưng trình mt cu là :
(
)
(
)
(
)
2
222
Rczbyax =−+−+−
( 1)
Chú ý :  lp ưc phưng trình mt cu ta phi tìm ta  tâm và tính bán kính sau
ó thay vào phưng trình ( 1)
Ví d : Vit phưng trình mt cu ( S ) ; trong các trưng hp sau :
1)Khi bit mt cu có tâm I và i qua mt im M thì bán kính là : R = IM
2)Khi mt cu nhn MN làm ưng kính thì ta  tâm I là trung im ca MN ;
và bán kính R =
MN
2
1
3) Khi bit mt cu có tâm I và tip xúc vi mt phng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0
; thì bán kính là : R = khong cách t tâm I n mt phng ó . Ta có :
222
CBA
DCzByAx
R
III
++
+++
=
b) Phưng trình tng quát ca mt cu ( S ) :
0222
222
=+−−−++ dczbyaxzyx
( 2 )
Trong ó : -Ta  tâm I ( a; b ; c )
-Bán kính R = dcba −++
222
( vi :
0
222
>−++ dcba
)
Chú ý :
- lp ưc phưng trình mt cu i qua bn im A; B ; C ; D cho trưc ; ta thay
ta  bn im ó vào phưng trình ( 2) ; ri gii h phưng trình tìm : a; b ; c; d .
T ó ta vit ưc phưng trình mt cu ( S )
-T phưng trình ( 2) ta tìm ưc ta  tâm và tính bán kính
Ví d :
1)Vit phưng trình mt cu ( S ) ; bit mt cu i qua bn im A ( 1; 0; 0 ) ;
B ( 0; 1; 0 ) ; C ( 0;0;1) và O ( 0;0; 0 )