Đ I H C THÁI NGUYÊN Ạ Ọ
TR NG Đ I H C S PH M ƯỜ Ạ Ọ Ư Ạ
LÊ H I HÀẢ
VÀNH PHÂN TH C H U T
Ữ Ỷ
Ứ
VÀ NG D NG
Ứ
Ụ
KHÓA LU N T T NGHI P Ậ Ố
Ệ
2
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
Đ I H C THÁI NGUYÊN Ạ Ọ
TR NG Đ I H C S PH M ƯỜ Ạ Ọ Ư Ạ
LÊ H I HÀẢ
VÀNH PHÂN TH C H U T
Ữ Ỷ
Ứ
VÀ NG D NG
Ứ
Ụ
KHÓA LU N T T NGHI P Ậ Ố
Ệ
Gi ng viên h
ả
ướ
ng d n: T.S TR N NGUYÊN AN Ầ
ẫ
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
M c l c ụ ụ
M đ u ở ầ ..........................................................................................................1
Ch ng 1. Ki n th c chu n b ươ ứ ế ẩ ị.................................................................2
1.1. Xây d ng vành K[X] ............................................................................2 ự
1.2. Hàm đa th cứ ..........................................................................................6
1.3. S h c trong K[X] ................................................................................7 ố ọ
1.4. Không đi m c a đa th c ể ứ ......................................................................10 ủ
1.5. Đa th c v i h s ph c và th c. ứ ớ ệ ố ứ ự .........................................................12
Ch ng 2. Phân th c h u t ươ ứ ữ ỷ.....................................................................16
2.1. Xây d ng tr ng các phân th c h u t ự ườ ứ ữ ỷ...............................................16
2.2. Phân tích thành phân th c đ n gi n ứ ơ ả .....................................................22
2.3. Th c hành phép phân tích thành phân th c đ n gi n (PTĐG) ...........28 ứ ơ ự ả
................................................................38 2.4. Công th c n i suy Lagrange ứ ộ
Ch ng 3. M t s bài toán liên quan .......................................................42 ươ ộ ố
3.1. Ch ng minh đ ng th c v i vành phân th c h u t ứ ữ ỷ............................42 ứ ớ ứ ẳ
ng trình, h ph ng trình v i hàm phân th c h u t 3.2. M t s l p ph ộ ố ớ ươ ệ ươ ứ ữ ỷ ớ
........................................................................................................................45
3.3. Ph ng trình hàm trong l p hàm phân th c h u t ươ ứ ữ ỷ............................53 ớ
K t lu n ậ ........................................................................................................58 ế
Tài li u tham kh o ả ......................................................................................59 ệ
M đ u ở ầ
Phân th c h u t là m t trong nh ng khái ni m c b n c a ch ng trình ứ ữ ỷ ơ ả ủ ữ ệ ộ ươ
Toán các tr ở ậ b c h c ph thông. Đ c bi ổ ặ ọ t, ệ ở ườ ớ ng THPT chuyên và các l p
chuyên toán có r t nhi u d ng toán liên quan đ n hàm phân th c. H n n a phân ơ ữ ề ạ ứ ế ấ
th c h u t còn xu t hi n c b c Đ i h c trong Đ i S , Gi ứ ữ ỷ ấ ệ ở ả ậ ạ ố ạ ọ ả ọ i Tích, Hình H c,
T H p. Đ ph c v cho vi c d y h c sau này cũng nh làm ti n đ đ nghiên ể ụ ụ ệ ạ ọ ề ề ể ổ ợ ư
c u sâu v phân th c h u t . Tôi đã ch n nghiên c u đ tài: ứ ứ ữ ỷ ứ ề ề ọ “ Vành phân th cứ
h u t và ng d ng”. Lu n văn đ c chia ra làm ba ch ng. ữ ỷ ứ ụ ậ ượ ươ
Ch ng 1: Là ki n th c chu n b v vành đa th c bao g m cách xây ươ ị ề ứ ứ ế ẩ ồ
d ng vành đa th c K[X], hàm đa th c, s h c trong vành K[X], không ự ố ọ ứ ứ
đi m c a đa th c và đa th c v i h s ph c và th c, đ c bi t ch ng này ứ ớ ệ ố ứ ự ủ ứ ể ặ ệ ươ
gi i thi u m t cách ch ng minh c a Đ nh lý c b n Đ i s (Đ nh lý ớ ạ ố ơ ả ủ ứ ệ ộ ị ị
d’Alambert); gi i thi u thu t toán chia theo lũy th a tăng. ớ ừ ệ ậ
Ch . Cách xây d ng tr ng các ươ ng 2: Trình bày v phân th c h u t ề ứ ữ ỷ ự ườ
, cách phân tích thành các phân th c đ n gi n cũng nh phân th c h u t ứ ữ ỷ ứ ả ơ ư
ụ cách th c hành phép phân tích đ n gi n, Đ nh lý Lagrange và ng d ng ứ ự ả ơ ị
trong phân tích phân th c h u t ứ ữ ỷ
Ch ng 3: Ch ng này bao g m các bài toán trên phân th c h u t ươ ươ ữ ỷ ứ ồ
và m t s ph ng trinh và ph ng trình hàm trên hàm phân th c h u t ộ ố ươ ươ . ứ ữ ỷ
Đ hoàn thành luân văn này, tr c nh t em xin chân thành c m n t ể ướ ả ơ ớ i ấ
T.S Tr n Nguyên An đã dành th i gian h ầ ờ ướ ng d n ch b o t n tình giúp đ ỉ ả ậ ẫ ỡ
trong su t quá trình làm lu n văn này. ậ ố
Em cũng xin g i l ử ờ ả ơ ể i c m n chân thành đ n các th y cô đã đ c, ki m ế ầ ọ
tra, đánh giá và cho nh ng ý ki n quý báu đ lu n văn đ c đ y đ và ể ậ ữ ế ượ ủ ầ
phong phú h n.ơ
5
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Lê H i Hà ả
Ch
ng 1
ươ
Ki n th c chu n b ứ
ế
ẩ
ị
s ng. Trong toàn b lu n văn ta gi ộ ậ ả ử K là m t tr ộ ườ
]K X [ 1.1. Xây d ng vành đa th c ự ứ
(
1.1.1. Đ nh nghĩa. ị
nK , ta g i t p h p các n thu c ợ
(cid:0) ﾥ thu c ộ
) n n
a ọ ậ ộ ﾥ sao cho ớ
na (cid:0)
(cid:0) ﾥ .
) n n
a 0 (i). V i m i dãy ọ là giá c a ủ (
) n n
a (ii). Đa th c (m t n và l y h t trong K ) là dãy ( ộ ẩ ệ ử ứ ấ ấ ộ (cid:0) ﾥ b t kỳ thu c
nK có giá h u h n.
ữ ạ
K kí hi u là
(
trong ]K X . [ ợ ộ ẩ ấ ệ ử ệ
(cid:0) ﾥ thu c ộ K ﾥ :
) n n
a [ Nh th , ư ế ọ ớ
( > ,
) ) 0 .
( ﾥ N � �
(cid:0) ﾥ
) n n
(iii). T p h p các đa th c m t n và l y h t ứ ậ ]K X (cid:0) K ﾥ và v i m i dãy ( $ " a K X [ n ] , n N ﾥ � � � = a n
[ Các ph n t c a ]K X cũng đ c g i là đa th c hình th c. Ta kí hi u 0 là ầ ử ủ ượ ứ ệ ọ
n
" n 0 ứ =�ﾥ , a dãy h ng không thu c ), đ c g i là đa ằ ị ượ ọ ộ K ﾥ (xác đ nh b i:
(cid:0) ﾥ thu c ộ
) n n
a [ ]K X sao cho: ứ
" (cid:0) 1, n 0. ở ứ ( th c không. Đa th c h ng là các đa th c ứ ằ = a n
(cid:0) ﾥ thu c ộ
) n n
a [ ]K X b t kỳ sao cho t n t ứ ( Đ n th c là đa th c ứ ơ ấ ﾥ th aỏ ồ ạ 0n (cid:0) i
mãn:
n
" ,( n a 0). i =�ﾥ n n 0
Nh n xét:
) n n
a ậ (i). Theo 1.1.1, hai đa th c ứ ( ằ ỉ )n nb (cid:0) ﾥ b ng nhau khi và ch khi:
(cid:0) ﾥ , ( =�ﾥ a ,
n
6
" n . b n
ﾥ vì dãy h ng (1) (xác đ nh b i:
" n =�ﾥ , a ]K X [ K(cid:0) (ii). ằ ở ị 1n ) thu c ộ K ﾥ ,
]K X . [ không thu c ộ
ﾥ
= (cid:0) P ( a K X [ ]. (cid:0) Đ nh nghĩa. Cho ị ) n n
na (cid:0)
0 0P (cid:0) , s t nhiên g i là b c c a (i). N u ế ố ự n l n nh t sao cho ấ ớ ậ ủ P, ọ
)P
a deg( và kí hi u là )P . Ph n t đ c g i là h t c a h ng t ệ ầ ử deg( ượ ệ ử ủ ạ ọ ử ậ có b c
cao nh t (ho c h t P là chu n t c khi và ch ặ ệ ử ấ cao nh t) c a ấ ủ P. Ta nói r ng ằ ẩ ắ ỉ
)P
= - (cid:0) . 0P (cid:0) a deg( khi và =1. Ta kí hi u ệ deg(0)
( ) 0P (cid:0) , đ nh giá c a val P , là s t nhiên n bé (ii). N u ế ủ P, kí hi u là ệ ị ố ự
na (cid:0)
= +(cid:0) val (0) . 0 nh t sao cho . Ta quy ấ c ướ
: Nh n xét ậ
" S P K X [ ]\{0}, val P ( ) deg( P ).
ﾥ
= (cid:0) P ( a K X [ ]. (cid:0) Đ nh nghĩa. Cho ị ) n n
P là ch n khi và ch khi: (i). Ta nói r ng ằ ẵ ỉ
" p , 0. �ﾥ = a + 1 2 p
P là l (ii). Ta nói r ng ằ ẻ
p
" p 0. khi và ch khi: ỉ =�ﾥ , a 2
1.1.2. M nh đ (Phép c ng). ề ộ ệ
( = Q b
ﾥ
) n n
(cid:0) = K X [ ]. P a (cid:0) (i). Cho (cid:0) )n n
n
ﾥ
ﾥ , ) b n n
+ = + (cid:0) ( ( P Q a K X [ ], Khi đó xác đ nh phép c ng trên K[X]. ộ ị (cid:0)
]K X : [ (ii). Ta có, v i ớ P, Q b t kì thu c ấ ộ
+ (cid:0) • deg( P Q Max ) (deg( P ),deg( Q )).
+ • deg( P Q ) deg( = P Q Max ) (deg( P ),deg( Q )). ) deg( � �
+ (cid:0) • val P Q Min val P val Q ), ( ) ( ( ( )).
+ = • val P ( ) val Q ( ) val P Q Min val P val Q ), ( ) ( ( ( )). � �
[ (iii). ( ]K X ,+) là m t nhóm Abel. ộ
7
1.1.3. M nh đ (Phép nhân). ề ệ
( = Q b
ﾥ
) n n
n
(cid:0) = K X [ ]. ( P (cid:0) (i). Cho (cid:0)
ﾥ
ﾥ , ) c n n
n
(cid:0) K )n n a Kí hi u ệ PQ là dãy ( xác đ nh b i: ị ở (cid:0)
j
�
=
+ =
0
k
j n
i
" ﾥ n , . - = a b k n k a b i = � � c n
(cid:0) ]K X [ Khi đó PQ , xác đ nh phép nhân trên K[X]. ị
(ii). Ta có:
2 deg( (
(cid:0) " (cid:0) (cid:0) ( P Q , ) ( K X [ ]) , + = ) deg( ) deg( Q ) P PQ + = val Q val PQ val P ). ) ( ) ( (cid:0)
Ta quy đây r ng: c ướ ở ằ
(
(
) + �
( ( ) + + � �
) �
" - • N , = - N , = + N . ﾥ �
) + -
(
) = -
(
) + +(cid:0)
(
) = +(cid:0)
+(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) • ( , .
[ (iii). ( ]K X ,+, g) là m t mi n nguyên. ộ ề
,0,...,0,...) [ a ]K X là các dãy ( ngh ch đ o c a vành ả ủ ị v iớ ầ ử
a (cid:0) (iv). Các ph n t } { \ 0 . K
ệ
ﾥ , và ta có:
) a n n
l l K X [ ]. 1.1.4. M nh đ (Lu t ngoài). ề ậ ( =� , K P P = l ( (cid:0) (i). Cho Ta kí hi u ệ (cid:0) a )n n �ﾥ
l (cid:0) P K X [ ].
(ii). Ta có:
{ } \ 0 ,
(cid:0) l " " (cid:0) [ ], . K � P K X � = l P ) P ) deg( deg( = l val P val P ( ) ) ( (cid:0)
[ (iii). ]K X , đ c trang b các lu t +, ượ ậ ị g (ngoài), g (trong) là m t ộ K - đ iạ
ơ
K - đ i s . ạ ố
s k t h p, giao hoán, có đ n v . ị ố ế ợ q (cid:0) K X [ ] (iv). Ánh x ạ : là đ n c u các ơ ấ
l 1 K la
M nh đ trên cho phép “đ ng nh t” m t ph n t ệ ấ ồ ộ ầ ử l thu c ộ K v i m t đa ớ ộ
8
[ [ ề 1l ]K X , t c là “nhúng” K vào th c ứ thu c ộ ứ ]K X . Ta kí hi uệ
1n
n
+ =
0 1
(cid:0) X = (0,1,0,...,0,...) n" là n. Ta s kí hi u ﾥ , . ệ ẽ ẩ X = , và v i ớ X X X
1X
n
t: răng: Đ c bi ặ ệ . M t phép quy n p đ n gi n ch ng t ạ ứ ả ộ ơ ỏ X=
" K n (0, ,0,1,0, K K ,0, ), =�ﾥ *, X
v trí th 0). ứ n (s 0 đ u tiên ầ ố ở ị
)
n
n
= (cid:0) trong đó 1 ( v trí th ở ị ) ứ ( P a K X N ], N deg P (cid:0) Cho ﾥ sao cho , ta có: [ ��ﾥ
(
)
N
= P K , , a
(
)
) K K K
N
N
N
n
= + + a a , 0 1 ( ,0, ) K K ,0, ( + K 1,0, K K ,0, 0,1,0, ,0, a 0, ,0,1,0, K K ,0, a 1 a 0
=
0
n
= + + + = (cid:0) K . a 0 a X 1 a X N a X n
+(cid:0)
N
n
n
n
Bây gi ờ ệ ( ta b kí hi u ỏ ố ớ ứ ộ ệ (cid:0) ﾥ đ i v i m t đa th c, và thay vào đó là kí hi u )n na
(
)
ﾥ
n
=
=
0
n
0
n
N
n
(cid:0) (cid:0) a X n (cid:0) (cid:0) N deg P (trong đó (đ tránh ch ), ho c ặ , ho c ặ ể ỉ a X n a X n (cid:0)
=
0
n
n
= (cid:0) K X [ ] P (cid:0) rõ b c c a đa th c). Đ i v i và n (cid:0) ﾥ , ph n t ậ ủ ố ớ ứ ầ ử na c aủ a X n
nX trong P, và đ n th c
na X là h ng t
K đ c g i là h t c a ượ ệ ử ủ ọ ứ ơ ạ ử ậ n b c
2
c a ủ P.
nX (cid:0) ﾥ , t c là
)n 1, X X , XK , , ,n K là m t c s ạ ( (v). H vô h n ọ ứ ộ ơ ở K - kgv
[ [ ọ ủ ắ ]K X . V i ớ n (cid:0) ﾥ c đ nh, t p h p ợ ố ị ậ
2
S ]K X , g i là c s chính t c c a ơ ở } { ) P K X ];deg( P n [ ]K X , [ rõ ràng là m t ộ K - không gian vector con c a ủ
nK X . H h u h n ọ ữ
[ ] 1, X X , , XK , ,n th ng đ c kí hi u K là m t c s ườ ượ ệ ạ ộ ơ ở
nK X , g i c s chính t c c a
nK X . V y ta có: ậ
nK X [
[ ] [ ] dim( ]) n= + . 1 c a ủ ọ ơ ở ắ ủ
i IP (cid:0) )i
(vi). Cho I là m t b ph n c a ộ ộ ậ ủ ﾥ , ( ộ là m t h c nh ng đa th c thu c ữ ộ ọ ứ
2
[ ]K X \{0} sao cho:
(
)
(
)
(
) ) .
" i (cid:0) i j , i I , j deg( deg( P i P j
K - kgv
i IP (cid:0) )i
( đ c l p trong ]K X . [ Th thì ế ộ ậ
9
1.1.5. Đ nh nghĩa (Phép h p đa th c). ứ ợ ị
N
n
=
0
n
N
n
(cid:0) = (cid:0) Q K X [ ] P K X [ ] (cid:0) Cho và . Ta đ nh nghĩa đa th c h p ứ ợ P Qo ị a X n
=
0
n
( (cid:0) )P Q ) là: P Qo = ( )P Q = . (ho c ặ a Q n
N
n
( Nh v y, ta đ c )P Q b ng cách th ư ậ ượ ế Q vào ch ỗ X trong P . ằ
=
0
n
= (cid:0) K X [ ] P (cid:0) 1.1.6. Đ nh nghĩa (Phép đ o hàm). V i m i ạ ị ọ ớ , đa th cứ a X n
'P , là đa th c đ
c đ nh nghĩa b i: đ o hàm c a ạ ủ P , và kí hi u là ệ ứ ượ ị ở
N
1
N
'
n
1
n
) 1
�
( �
=
= 1
n
n
0
(
)
(
0
) 1
''
- - = = + P n . na X n a X + 1 n
(
) '
*ﾥ
= = = P P P , P P ' , và v i k b t kỳ thu c , Ta kí hi u ệ ớ ấ ộ
(
)
(
k
k
)1
'
- = P ( P ) .
V i nh ng kí hi u trên, n u 0N = thì 0P = . ữ ệ ế ớ
N
n
1.2. Hàm đa th cứ
=
0
n
= (cid:0) K X [ ] P (cid:0) 1.2.1. Đ nh nghĩa. V i m i . ị ớ ọ a X n
Ta kí hi u ệ
N
n
% :P K K(cid:0)
(cid:0)a
=
0
n
x a x n
hàm này g i là hàm đa th c liên k t v i ế ớ P . ứ ọ
•
(cid:0) a (cid:0) P Q K X [ , ] K và : 1.2.2. M nh đ . ệ ề V i m i ớ ọ
•
+ a . ﾥ P ﾥ = + a Q P ﾥ Q
ﾥ ﾥ ﾥ PQ PQ= .
K
ﾥ • =o o ﾥ ﾥ P Q P Q
K X ] là đ n ánh khi và ch khi K(cid:0) 1.2.3. M nh đ . ệ ề Ánh x ạ [ ơ ỉ K vô h n.ạ
10
P ﾥ Pa
K là vô h n, ta có th đ ng nh t
: V y khi Nh n xét ậ ậ ể ồ ạ ứ ấ P v i ớ ﾥP , t c là kí
hi u ệ P thay ﾥP .
P X N [ ], ﾥ � � 1.2.4. Đ nh lí (Đ nh lí Taylor đ i v i đa th c). ố ớ ứ Cho ị ị ﾥ th aỏ
(
)
n
N
)
(cid:0) (cid:0) P ) N a , mãn deg( ﾥ . Ta có:
n
(
)
=
( !
0
n
ﾥ P a + P a X X . = (cid:0) n
2
]K X [ 1.3. S h c trong ố ọ
A
(cid:0) ( A P , ) ( K X [ ]) 1.3.1. Đ nh nghĩa (Tính chia h t). ế Cho ị . Ta nói r ng ằ
(cid:0) Q K X [ ] [ |A P , n u t n t i sao cho ]K X ) và kí hi u ệ ế ồ ạ
chia h t ế P (trong P AQ= .
c c a Thay cho A chia h t ế P , ta cũng nói: A là m t ộ ướ ủ P , ho c ặ P là m tộ
ộ ủ A . b i c a
Nh n xét: ậ
" (cid:0) • A K X [ ], A|0.
" • ], (0|P = P 0). [ P K X ��
{
•
} ],P=AQ
2
= $ AK X [ ] P K X Q K X ]; [ [ � � N u kí hi u ệ ế ọ , v i m i ớ
(cid:0) (cid:0) A K X [ ] A P | AK X [ ] PK X [ ]. � � ( A P , ) ( K X [ ]) thì ta có v i m i , ớ ọ
1.3.2. M nh đ . ề ệ
" (cid:0) • A K X A A . ], [ |
{
2 ]) ,
} = 0 ,
(cid:0) A P | a a " $ - • ( A P , ) ( P A ( K X [ �� K � P A | � (cid:0)� (cid:0)� � ) . � �
3 ]) ,
(cid:0) A B | " • ( A B C , , ) A C | ( K X [ ��
� . � � � (cid:0)� (cid:0)�
)
3 ]) ,
" B C | {( • ( A B C , , ) A B | A BC | . ( K X [ ��
3 ]) ,
11
(cid:0) A B | " • ( A B C , , ) + A B C | ( K X [ �� A C | � (cid:0)� (cid:0)� � ) . � �
4 ]) ,
(cid:0) A B | " • ( A B C Q , , , ) AP BQ | ( K X [ �� P Q | � . � �
2
n
)
)
n A B |
( d � ,
* " � (cid:0)� (cid:0)� ( • ﾥ A B n , ( K X [ ]) A B | . ,
ị ị
)
{ } ]\ 0
d 1.3.3. Đ nh lý - Đ nh nghĩa (Phép chia Euclide). ( A B K X K X [ [ ] ) ( , Cho . T n t ồ ạ ấ i m t c p duy nh t ặ ộ
(
) 2
(cid:0) Q R ( , ) K X [ ] sao cho:
= (cid:0) (cid:0) + < A BQ R R deg( ) deg( B ). (cid:0)
ng (t Đa th c ứ Q (t ươ ng ng: ứ R ) g i là th ọ ươ ươ ng ng: d ) c a phép chia ư ủ ứ
Euclide A cho B .
1.3.4. M nh đ . ề ệ
)
( a K X a P
) 0 .
" " - [ ], , | ﾥ ( = P a P K X � � �
)
(
ệ ừ ề ị
)0
]
(
) 2
[ K X
(cid:0) ﾥ A K X B K X ], n [ [ ] , � � � 1.3.5. M nh đ - Đ nh nghĩa (Phép chia theo lũy th a tăng). ﾥ ( B 0 val B = (t c là 0 sao cho Cho ứ ). T nồ
1n
t i m t c p duy nh t sao cho ạ ộ ặ ấ (Q, R) thu c ộ
) ( deg Q n(cid:0)
= + A BQ X R+ . và
ng ng ng (t ng ng d ) c a phép chia A Đa th c ứ Q (t ươ ứ R) g i là th ọ ươ ươ ứ ư ủ
ế ấ n cho B tho lũy th a tăng đ n c p ừ
Ch ng minh ứ
(i). S t n t i. ự ồ ạ Quy n p theo n ạ
Tr ng h p ườ ợ n = 0
0
0
1
,a b là các h ng t h ng t ng ng c a Ta kí hi u ệ ạ ử ằ ươ ủ A, B (t c là ứ ứ
)
) 0 ,
0 0
= = (cid:0) = Q a b - ﾥ ( A ﾥ ( B 0 0 ), h ng c a . H ng t ạ ử ằ ủ A – BQ là không, b 0 a 0
+ = (cid:0) A BQ XR R K X [ ] i và ạ sao cho A – BQ = XR.V y ậ
12
v y t n t ậ ( ồ ) 0Q (cid:0) deg .
(
)
]
(
) 2
[ K X
1n
(cid:0) ,Q R Gi s ﾥ và gi s t n t sao cho ả ử n (cid:0) ả ử ồ i ạ
) ( deg Q n(cid:0)
= + A BQ X R+ và . Theo s kh o sát tr ng h p ự ả ườ ợ n = 0, áp
)
]
(
) 2
[ K X
n
1
= + (cid:0) sao cho và d ng cho R thay vì A, t n t ụ ồ ạ ( i R Bq XR 1 ,q R 1
(
) q (cid:0)
1
+
+ 1
n
n
2
= deg 0 + Q Q X q+ . Đ t ặ
)
1
(
1
+ 1
n
= + = (cid:0) ta suy ra ( . (cid:0) + Bq XR 1 + BQ X R 1 (cid:0) + (cid:0) A BQ X ) (cid:0) deg Q n 1. (cid:0)
(
)
)
(
) =
(
)
2
2
- - , , X Gi Q R thích h p. Suy ra , do đó (ii). Tính duy nh tấ ả ử ( s ợ Q R , 1 1 B Q Q 1 2 R 2 R 1
b ng cách chuy n sang các đ nh giá ằ ể
(
)
- - (cid:0) + n 1 . R 1
( val R 2 (
)
1
1
2
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) val Q Q 1 2 ( ị ) = + + 1 n ) deg n + n 1 Q Q- 0 , thì , mâu thu n.ẫ N u ế Q Q 2 val Q Q 1 2
1
2
R= nên . V y ậ Q Q= 2, R 1
3
3
Ví dụ
+ 2 - = + + 2 - cho (trong ệ A = + 2 X 3 X X B 1 4 X X X
3
2
3
Th c hi n phép chia ự ]Xﾥ [ ) theo lũy th a tăng đ n c p 2. ế ấ ừ
2
3
2
+ + 2 - - 2 X 3 X X + 1 4 + X X X
2
3
- - - - 7 X X X + 2 7 X 27 X
4
5
- 27 X 8
2
2
X + 3 - - 116 X 34 X 27 X
n
*
)
(
)
= - = - - Q 2 7 + X 27 X Suy ra th ng ươ và d ư R + 116 34 X X
{ } ]\ 0
} { ]\ 0
n K X [ . , ,..., 1.3.5. Đ nh nghĩa (UCLN, BCNN). Cho ﾥ � 27 ( � ị P 1 P n
T p h p t sao cho: ợ ấ ả t c các b c c a đa th c ậ ủ ậ
(
13
" (cid:0) K X [ ) 1,..., | i ứ P thu c ộ } { n P P , i
{
(
)
} n
" (cid:0) i 1,..., ,1| là m t b ph n khác r ng c a ộ ộ ủ ﾥ (vì: ậ ỗ ở ), b ch n trên b i ặ ị P i
deg( )iP .
V y t n t , khác không, là c chung ậ ồ ạ i duy nh t m t ấ ẩ ắ D ộ đa th c chu n t c ứ ướ
c chung c a c a ủ ậ ấ ướ ủ ngươ P 1,..., P , và có b c cao nh t trong các n P 1,..., P . T n
t t n t ự ồ ạ i duy nh t m t ấ ộ đa th c chu n t c ẩ ắ M , khác không, là b i chung ứ ộ
ấ ậ ấ ộ P c a ủ 1,..., P và có b c th p nh t trong các b i chung c a n P ủ 1,..., P . n
n
n
1.3.6. Đ nh lý (UCLN, BCNN). ị
I
= 1
i
= 1
i
= D ] K X [ ], [ [ ]. (cid:0) PK X [ i = ] PK X MK X i
(
) 2
{ } ]\ 0
(cid:0) (cid:0) ( P Q , ) K X [ Ký hi u: V i ệ ớ , ta kí hi u: ệ ( ( , , =�(cid:0) P Q UCLN P Q ) =�(cid:0) P Q BCNN P Q ).
n
*
)
1.3.7. Đ nh lý Bezout. ị
)
]
(
)
[ K X
} { \ 0
n
n
(cid:0) PK , K , Cho , ( nguyên t cùng ﾥ . Đ ể ( ố n (cid:0) P 1, P 1, P n
)
]
(
)
[ K X
1,
n
(cid:0) K U , U nhau trong toàn th , đi u ki n c n và đ là t n t ủ ề ệ ể ầ ồ ạ ( i
n
sao cho
i
= 1
i
= (cid:0) 1. PU i
1.3.8. Đ nh lý Gauss. ị
(
)
]
) 3
[ K X
{ } \ 0
( ��
(cid:0) " (cid:0) A B C , , , A C | . 1 A BC | =�(cid:0) A B
1.4. Không đi m c a đa th c ứ ể ủ
a là m t không đi m ể
P K X a K ], [ � 1.4.1. Đ nh nghĩa. Cho ị � . Ta nói r ng ằ ộ
(ho c m t nghi m ) c a ﾥ ( ) P a = . 0 ủ P khi và ch khi ệ ặ ộ ỉ
n
* P K X n [ ], , ,..., K � ﾥ � � t ng đôi khác nhau. 1.4.2. M nh đ . ệ ề Cho ừ x 1 x n
(
) X x P i
=
0
i
14
- | (cid:0) . N u ế ủ P thì ể x 1,..., x là các không đi m c a n
ả 1.4.3. H qu . ệ
* )P (i). Cho P K X n [ ], � �ﾥ n< và n u ế P có ít nh t ấ n không
. N u ế deg( 0P = . đi m t ng đôi khác nhau, thì ừ ể
[ ]K X tri t tiêu t i m t s vô h n các (ii). N u m t đa th c ộ ế ệ ạ ộ ố ạ
ph n t thu c ứ P thu c ộ 0P = . ầ ử ộ K , thì
* (cid:0) ], � ,a Cho 1.4.4. Đ nh nghĩa. ị .Ta nói r ng ằ a là m t ộ không ﾥ
a
ể ấ ộ c a ủ P khi và ch khi: ỉ
- . | a X a a là m t không đi m c p b i đúng b ng P K X a K [ � ấ ơ a đi m c p b i không th p h n ( ể Ta nói r ng ằ ộ
) P ấ ộ
ằ c a ủ P khi và chỉ
a +
a
khi:
)
X a
1 |
- -
( X a ng ng: 2, t
P . P | a ng ng: 3), ta nói
) ươ
a = (t 1 N u ế ươ ứ và ( ứ ơ là không đi m đ n ể
(t ng ng: kép, t ng ng: b i ba). ươ ứ ươ ứ ộ
{ } ]\ 0
(cid:0) P K X [ Cho , a K(cid:0) là không 1.4.5. M nh đ - Đ nh nghĩa. ề ệ ị . N u ế a
* (cid:0) đi m c a ủ P , thì t n t ể ồ ạ a i duy nh t sao cho ấ a là không đi m c p b i ộ ể ấ ﾥ
a a là c p b i c a không đi m đúng b ng ằ c a ủ P , và ta nói r ng ằ ộ ủ ấ ể a trong
(ho c c a) ặ ủ P .
*� ﾥ
n
n ,..., K � t ng đôi khác nhau. 1.4.6. M nh đ . ệ ề Cho ừ x 1, x n
(
) X x B K X ,
k
= 1
k
= - (cid:0) A [ ]. (cid:0)
Th thì ta có: ế
) =
( { � �
" k 1,..., A B | ﾥ ( } n B x , k
) 0 . ứ P c a ủ
[ 1.4.7. Đ nh nghĩa (Đa th c tách). M t đa th c ]K X đ c g i là đa ứ ị ộ ượ ọ
th c tách (hay: tách đ c) trên K khi và ch khi t n t ứ ượ ồ ỉ ạ i
{ } \ 0 ,
n
* l n , ,..., K K � ﾥ � � sao cho: x 1 x n
(
)
= 1
i
= l - P (cid:0) . X x i
15
t khác nhau t ng đôi. đây Ở ấ ế ừ x 1,..., x không nh t thi n
*� ﾥ
n ,..., K � 1.4.8. Đ nh nghĩa (Hàm đ i x ng c b n). . Các ơ ả Cho ố ứ ị x 1, x n
n
bi u th c sau: ứ ể
.
1
= 1
i
= + s = + + ... (cid:0) x i x 1 x 2 x n
(
)
(
)
2
n
1
n
< (cid:0) i 2
i 1
s = = + + + + ... + + ... (cid:0) x x 1 2 x x 1 3 x x 1 n x x 2 3 x x 2 x x i i 1 2 (cid:0)
(
)
2
1
2
1
+ + + + ... . - - - - x n x n x n x n x n x n
k
1
n
< < < (cid:0) i ... k
i 2
i 1
M s = (cid:0) (cid:0) ... (1 k n ). (cid:0) x x i i 1 2 x i k (cid:0)
n
M s = ... . x x 1 2 x n
x g i là các hàm c b n c a ọ ơ ả ủ 1,..., x . n
n
i
*
n
1
(
)
1.4.9. M nh đ (H th c gi a h t và không đi m). ữ ệ ử ệ ứ ệ ề ể
na (cid:0)
=
i
0
0 P = (cid:0) n , ,..., K + ﾥ � � Cho sao cho và . Gi thi ả ế P t a X i a 0 a n
K và ký hi u ệ
tách đ c trên ượ ể ủ P (không nh tấ x 1,..., x là các không đi m c a n
n
thi t t ng đôi khác nhau), sao cho: ế ừ
)
(
n
= 1
i
- = P a (cid:0) . X x i
k
n
Th thì ta có: ế
1
(
(
) 1
) 1
1
n
- - s = - s ,..., s ,..., = - k = - n . a n k a a n a n a 0 a n
n
s x trong đó ch các hàm đ i x ng c b n c a ố ứ ỉ s 1,..., ơ ả ủ 1,..., x . n
1.5. Đa th c v i h s ph c và th c ự ứ ớ ệ ố ứ
]Xﾥ [ Do tr ng ﾥ là vô h n, nên ta đ ng nh t đa th c và hàm ườ ứ P thu c ộ ạ ấ ồ
(cid:0) ﾥ P X [ ] ng t do tr ng ﾥ vô h n nên ta cũng đ ng nh t ự ườ ạ ấ ồ ươ
đa th c ứ ﾥP . T và hàm đa th c ứ ﾥP .
]Xﾥ [ M i đa th c khác h ng thu c có 1.5.1. Đ nh lí (Đ nh lí d’Alembert). ị ị ứ ằ ộ ọ
ﾥ . Ta nói r ng tr
ﾥ là đóng đ i s . ạ ố
16
ít nh t m t không đi m trong ng ể ấ ộ ằ ườ
(cid:0) ﾥ P X [ ] Ch ng minh: i , ứ Ta ch ng minh b ng ph n ch ng: Gi ằ ứ ứ ả s t n t ả ử ồ ạ
ﾥ . Ta ký hi uệ
n
i
khác h ng và không có m t không đi m nào trong ộ ể ằ
=
i
0
)
= (cid:0) n deg( P ) 1 (cid:0)ﾥ ﾥ P :j = (cid:0) , , và a X i
( P z
z a
(
)z
j +(cid:0) (cid:0) (i). Vì , ta có:
( > j
)
(
)
+(cid:0)a z
" > $ > " 0, A B 0, z > , z B z A ﾥ � � .
* +
(cid:0) ﾥ B i Đ c bi ặ t t n t ệ ồ ạ
(
(
)
) > z
j
j j " , sao cho: ( z , > z B 0 ﾥ � .
) } z B
S � { ﾥ z ; M t khác, liên t c trên t p compact , nên j ặ ụ ậ ạ b ch n và đ t ị ặ
các biên trên t p compact này, v y t n t i ﾥ sao cho: ậ ậ ồ ạ 0z (cid:0)
j )= (z) z 0( . (cid:0) j Inf z B
Vì h n n a: ơ ữ
(
(
) j
(
(
) > z
)0 )
j j " z , > z B 0 z ﾥ � � � .
nên ta k t lu n: ế ậ
(
)
(
)
0
j = z z . (cid:0) j Inf ﾥ z
n
(
n
(ii). Theo công th c Taylor đ i v i đa th c ta có: ố ớ ứ ứ
) (
)
) = h
' hP z (
( + P z 0
0
" h , P z ( P . z �ﾥ + ) 0 + + ) ... 0 h n !
)
( P z
0
0
+ < P z ( h ) Ta s ch ng minh r ng có th ch n . ể ọ h sao cho ằ
)
0
(
n
*
j + < j ẽ ứ ( h z ) , đi u này s cho ta m t mâu thu n. ứ ề ẽ ẫ ộ z 0(
)
0
n
17
= (cid:0) T c là ) ( P z n a !, 0 Vì , nên t n t i sao cho: ồ ạ ﾥ k (cid:0)
(
k
)
) (
0
(
l
}
) (
(cid:0) (cid:0) 0 P (cid:0) (cid:0) . "
(
)
) = 0
K (cid:0) l , < l 1, , k k P z 0 z { � � (cid:0)
)
) (
( kP
0
(cid:0) z 0 1 sao cho . ấ (cid:0) Nói khác đi, k là s nguyên bé nh t ố
(
(
k
n
V y ta có: ậ
k
0
n
0
) ( z P k P z ! (
) + + ... )
) ( z P n P z ! (
) )
0
0
0
*
+ " h , h h �ﾥ . P z ( 0 P z ( ) h = + 1 )
(
)
k
k
Theo s kh o sát c a các căn b c i sao cho: ự ả ậ k trong ﾥ , t n t ồ ạ ủ ﾥ w(cid:0)
o
= - w . z P 0( k P z ! ( ) )
k
ﾥ ): ớ t (cid:0) V y ta có (v i ậ
t
0
0
. + k t ( r ) o a t �+� � P z � 0 w �= - � 1 ) P z (
V y t n t i ậ ồ ạ h >0 sao cho:
]
[ �
0
" t h 0, , 1 . t �+� � P z � 0 w � � < ) P z (
0z .
đi u này mâu thu n v i đ nh nghĩa ẫ ớ ị ề
1.5.2. H quệ ả.
]Xﾥ [ (i). M i đa th c khác h ng trong đ u tách đ c trên ﾥ . ứ ằ ọ ề ượ
]Xﾥ [ (ii). Các đa th c b t kh quy thu c là các đa th c b c 1. ứ ấ ả ộ ứ ậ
ệ ứ ớ ệ ố ự ề
[
(cid:0) 1.5.3. M nh đ (Đa th c v i h s th c). ] ﾥ P X (i). Cho . Ta có:
[
]
)
"
)
( P z
X z = ( ) P z , P
( ﾥ � �
18
ﾥ � .
[
]
* (cid:0) (cid:0) ﾥ P X (ii). Cho , a (cid:0) ﾥ ,a . Đ cho ể a là không đi m c p b i ộ ể ấ ﾥ
P , c n và đ là
(t ơ a không th p h n ấ ươ ứ ằ a ) c a ủ ủ ầ a là
ng ng: đúng b ng ng ng: đúng b ng ơ a không đi m c p b i không th p h n ộ ể ấ ấ ướ ứ ằ a ) c a ủ P .
(t ]Xﾥ [ là: (iii). Các đa th c b t kh quy c a ứ ấ ủ ả
19
Các đa th c b c nh t ho c các đa th c b i hai bi ặ ứ ậ ứ ộ ấ ệ t th c <0. ứ
Ch
ng 2
ươ
Phân th c h u t
ứ ữ ỷ
2.1. Xây d ng tr ng các phân th c h u t ự ườ
[ [ ]K X x ( xác đ nh trong E Ta ký hi u ệ E = ứ ữ ỷ ]K X \{0}) và xét quan h ệ (cid:0) ị
(
) ,A S (cid:0)
) ,B T (cid:0)
b i ở
( . AT BS=
là m t quan h t ng đ ng trong E . Quan h ệ (cid:0) ệ ượ ộ ươ
ậ ậ ả ắ ng đ i x ng là hi n nhiên , còn v tính b c ể ề
)
ươ ( ) ạ ( A S , , , , , Th t v y , tính ph n x và t ọ ( c u thì v i m i ầ ố ứ ) B T C U thu c ộ E ớ
) ) B T ,
) ) . = AT BS �(cid:0) � = BU CT �
[
]
( A S ( , �� � C U ( B T , , ( �� = = = = = BU S ) BS U ) ( ( AU T ) ( AT U ) ( CT S ( ) CS T ( ) = AU CS � � ,vì
0T (cid:0) và K X là vành nguyên.
/E (cid:0) ng đ c ký hi u là c a nó đ T p th ậ ươ ượ ệ ầ ử ủ ọ c g i
)
)
(
ượ ) E(cid:0) A S , , ta là các phân th c h u t m t n và l y h t ứ ữ ỷ ộ ẩ [ ]K X và các ph n t ấ ệ ử trong K . V i ớ (
) B T ,
(cid:0) A S , , là l p modun ký hi u ệ ớ c a ủ ( ọ ( ,A S . Nh th v i m i ư ế ớ A S
thu c ộ E ta có
AT BS . =� A B = T S
2.1.1. Phép c ng tr ng K(X). ọ ộ
Ta đ nh nghĩa m t lu t trong , ký hi u + , trong ệ ộ ị
)
(
)
(
+ = + ậ ( E b i ở ) A S , B T , AT BS ST , .
ST (cid:0) 0 0S (cid:0) (ta có , vì ). và
Lu t + này t (C.1.1) t c là: ậ ươ ứ
20
" ( A S B T C U E A S , ),( ),( ) , , ) ( B T , ) (( + ) A S , ( C U , )) B T , + ) ( C U , )). 0T (cid:0) ớ (cid:0) ng thích v i ,( , ��� (( �
)
(
)
2
2
(cid:0) A S , B T , , AT BS= thì t đâyừ ậ ậ
= = + = + ế ( Th t v y n u + + AU CS TU ATU CSTU BSU CSTU ) ( ( BU CT SU ) .
V yậ
+ ( AU CS SU , BU CT TU ( , ). +� )
T c là ứ
(
+ + (( A S , ) C U ( , )) B T , ) C U ( , )).1 (( �
) K X b iở
V y ta có th đ nh nghĩa m t lu t c ng , v n ký hi u là + , trong ậ ộ ể ị ệ ậ ẫ ộ
" ( A S B T ),( , , ) , E � . A B = + T S + AT BS ST
2.1.2. Phép nhân trong K(X).
T ng t nh ươ ự ư ở ậ 2.1.1 ta ch ng minh r ng ta có th đ nh nghĩa m t lu t ể ị ứ ằ ộ
t d u nào c ) nh nhân trong K(X) , ký hi u ệ g (ho c b ng cách không vi ằ ặ ế ấ ả ư
sau
(
)
(
" ( A S B T ),( , , ) , E �� . AB ST
A B = S T ) , , 2.1.2.1. Đ nh lý – Đ nh nghĩa. K X + g là m t, g i là tr ng các phân ị ị ộ ọ ườ
th c h u t trong K . ứ ữ ỷ m t n và l y h t ộ ẩ ệ ử ấ
Ch ng minh: ứ
Ta có th ch ng minh d dàng các tính ch t sau : ễ ể ứ ấ
(i). K t h p , giao hoán có (ký hi u 0) là ph n t ế ợ ẩ ử ệ ẩ trung hòa , và m i ph n ọ 0 1
(
)
A S
21
- t K X đ u có m t ph n t đ i là . ử thu c ộ ầ ử ố ề ộ , ký hi u là - ệ A S A S
(
)
(ii). K t h p, giao hoán , phân ph i đ i v i +, có (ký hi u 1 ) là ph n t ố ố ớ ế ơ ầ ử ệ 1 1
trung hòa , và v i m i ph n t K X –{0} , ta có A (cid:0) 0 và có ầ ử ọ ớ thu c ộ A S A S
. m t ph n t ầ ử ộ ngh ch đ o , đó là ả ị S A
2.1.3. Lu t ngoài trong K(X). ậ
T ng t ươ ự ể ị ứ ằ ộ
K ), đ
nh ư ở ( 2.1.1 ta ch ng minh r ng ta có th đ nh nghĩa m t lu t ậ ) ngoài trong c ký hi u b ng cách không trong K X (l y h t ấ ệ ử ượ ể ằ
vi t d u nào c ế ấ ả
(
)
(
)
l l " " , A S ( . ) . K � l E , � A = S A S
, , 2.1.3.1. M nh đ . ệ ề K X + g là m t ộ K đ i s k t h p , giáo hoán , có ạ ố ế ợ
đ n v . ị ơ
Ch ng minh: ứ
Ta có th ch ng minh d dàng các tính ch t sau ( trong đó m t s đã thu ộ ố ứ ể ễ ấ
(
)
đ c ượ ở
)
(
)
2.1.2): ( , (i).
)
K X + là m t nhóm Abel. ộ ( , , (ii). K X + g là m t K – không gian vector. ộ
l " " K F G K X ( . , l ),( = l ) F G ( FG ) � � (iii).
(iv). K[X] có tính k t h p, giao hoán, có ph n t đ n v 1. ế ợ ầ ử ơ ị
y (cid:0) K X [ ] K X ( ) là m t đ ng c u 2.1.4. Nhúng K[X] vào K(X). Ánh x ạ : ộ ồ ấ
P a P 1
22
đ n c u đ i s , t c là : ạ ố ứ ơ ấ
y y " , [ ( ], + y ) P ( Q ( ). g
y " , [ ], ( y ( P Q ( ) ). g
" " [ = + ) P Q = y ) PQ y l ], ( = ly P ) ( P ). g
y P Q K X � P Q K X � l K P K X , � � = (1) 1. g
" [ y ], ( = ) 0 P ( = P 0). g P K X � �
V y ta có th đ ng nh t m t đa th c ể ồ ứ P v i phân th c h u t ứ ữ ỷ ấ ậ ộ ớ . Nh thư ế
(
[
(
] K X đ ]
[
[
]
P 1 ) c xem nh là m t đ i s con có đ n v c a K X , đ c bi ượ ộ ạ ố ị ủ ư ơ ặ ệ t
) K X , và
K X là m t vành con c a K X là m t không gian vector con ủ ộ ộ
)
(
)
c a ủ K – không gian vector K(X)
A S , , , 2.1.5. B c c a m t phân th c h u t . ậ ủ ộ ọ ( ứ ữ ỷ V i m i ớ B T thu c ộ E sao
cho ta có : A B = T S
)
)
)
)
)
) =
)
( deg A
( deg S
( deg AT
( deg ST
( deg BS
( deg ST
( deg B
( deg T
) .
= = - - – –
Đi u này cho phép ta đ nh nghĩa b c c a m t phân th c h u t b i: ứ ữ ỷ ở ậ ủ ề ộ ị
, deg deg( A S ) deg( ) {- } U� � " = - ( E A S , ) ﾥ .
(cid:0) A � � � � S � � ( ) K X (cid:0) Ta chú ý r ng ánh x deg: { - } (cid:0) ạ ﾥ thác tri n ánh x : ạ ể
- (cid:0) (cid:0) ằ K X (cid:0) [ ] { } deg: ﾥ vì :
)
( deg P
*
= " - [ ], deg deg( P = ) deg(1) deg( P ) P K X � . P � � = � � 1 � �
(
)
" (cid:0) " (cid:0) ,F G K X Ta có th ch ng minh các công th c sau , v i và ể ứ ứ ớ k K
+ (cid:0) F G Max ) {deg( F ).deg( G )}. (i). deg(
= kF ) deg( F ). (ii). deg(
23
= + FG ) deg( F ) deg( G ). (iii). deg(
(
2.1.6. D ng b t kh quy c a m t phân th c h u t khác không. ứ ữ ỷ ủ ộ ạ ấ ả
)
]
(
[ K X
) 2 \ { }0
di n b t kh quy c a m t phân th c h u t khác không Đ iạ ) K X là ứ ữ ỷ ủ ệ ấ ả ộ F thu c ộ
,A S b t kỳ thu c sao cho: c p ặ ( ấ ộ
= F và A S =� . 1 A S
Ta ch ng minh đ c : ứ ượ
khác không có ít nh t m t đ i di n b t kh quy ọ ộ ạ ệ ấ ấ ả
)
(cid:0) F K X (i). M i phân th c h u t ứ ữ ỷ và ( ) ( (ii). Cho ộ ạ ấ ả ủ F ; m i đ i ọ ạ
[
) QA QS Q K X ,
{ } \ 0
(
(cid:0) ,A S là m t đ i di n b t kh quy c a ệ ] , di n c a .
(
)
)
)
(cid:0) F K X (iii). Cho ,A S là m t đ i di n b t kh quy c a ệ ộ ạ ủ F ; các đ iạ ấ ả
} { \ 0
kA kS , k K(cid:0) , . ệ ủ F đ u có d ng ề ạ và ( ủ F là ( di n b t kh quy c a ả ệ ấ
2.1.7. Đ nh nghĩa (Không đi m và c c đi m c a phân th c h u t ). ứ ữ ỷ ự ủ ể ể ị
(
)
{
)
} 0
(cid:0) F K X \ Cho , ( ,A S là m t đ i di n b t kh quy c a ệ ộ ạ ủ F . Các không ấ ả
đi m c a ủ A đ ể ọ ượ ủ ể .F N u ế a là m t không đi m ể ộ
c g i là không đi m c a ộ ủ a nh là không đi m c a ể ư ủ A g i là c p b i c a không ộ ủ ấ ọ
c g i là c c đi m c a c a ủ F, c p b i c a ấ đi m ể a c a ủ F . Các không đi m c a ể ủ S đ ượ ọ ủ F . N uế ự ể
a là m t c c đi m c a ,F c p b i c a ộ ự ủ ể ộ ủ a nh là không đi m c a ủ A g i làọ ư ể ấ
4
2
c p b i c a không đi m ấ ộ ủ ể a c a ủ F .
+
) 1
=
- (cid:0) ﾥ ( X ) , d ng b t kh quy c a F là Ví dụ: V i ớ ủ ạ ấ ả X 2 - X + X 3 X 2
F ch cóỉ
F
( 2 X X X
2
, các không đi m c a ủ F là -1( đ n) , 0 (kép) , và ơ ể -
m t c c đi m : 2(đ n). ể ộ ự ơ
2.1.8. Đ nh nghĩa (Đ o hàm m t phân th c h u t ). ứ ữ ỷ ộ ạ ị
(
)
(
)
(cid:0) (cid:0) = F K X , A S , E F Cho sao cho . A S
'F b i ở
24
Ta đ nh nghĩa phân th c h u t đ o hàm c a ứ ữ ỷ ạ ủ F , ký hi u ệ ị
'
'
'
- = F .
)
)
'
'
'
'
A S AS 2 S ( A S , , , Đ nh nghĩa này h p l B T là hai ph n t c a ợ ệ ị ế ( vì n u ầ ử ủ E sao cho
'
'
2
'
2
'
'
'
2
2
= = F AT BS= . Thì do đó . V y :ậ + AT AT + B S BS A B = T S
' BT S
'
'
'
2
2
+ - - - - - ( A S AS T ) = ' ) BT BT S ( (
' BT S
'
'
= - - ( ) BS
= - ( AT B S ST AS T ) + AT ST AS T = + ) 0.
(
)
]
[ K X
[ K X
) ( K X (cid:0)
'
F
'
Fa
(cid:0) )( BS AT S T ST ] vì: Ánh x ạ K X thác tri n ánh x ạ ể
'
P Pa
' 1
2 1
- P P .0 = " [ ], P ' P K X � . P � � = � � 1 � �
( K X
) :
Ta có th ch ng minh d dàng các công th c sau , v i m i ứ ứ ể ễ ớ ọ l thu c ộ K và
m i ọ ,F G thu c ộ
'
= l = l + F G ( )' + ' F G ', ( F )' F ,
'
- ' ' = (cid:0) ( FG )' + FG FG ', G ( 0). F G FG 2 G
)
1
( deg F
(cid:0) F � � = � � G � � ( ) deg F - nh trong các ví d sau: ụ ư Có th x y ra là ể ả
= = - = (cid:0) F ) 0,deg( F ) F 1,
2
= ' 0, deg( F + 1 X = = - F , F ' , deg( F = ) 0,deg( F = - ') 2. X 1 X
" ( ) \ {0},deg( F < ') deg( F ) F K X � Tuy nhiên ta có th chú ý r ng: ể ằ . Ta đ nhị
(1)
(0)
nghĩa b ng quy n p các đ o hàm k ti p c a m t phân th c h u t ế ế ủ ứ ữ ỷ F : ạ ạ ằ ộ
n
(
)
n
(
1)
= (cid:0) (cid:0) " F n , F ' F - ( )' = F F F , =�(cid:0) ﾥ
2
j
i
(
j
)
Ta có th ch ng minh các công th c sau: ể ứ ứ
25
" " ( ), j ( , ) i ,( = i ) F F + . F K X � �ﾥ (i).
n
2
n
k
k
)
(
(
n k
)
n
=
0
k
n
" " (cid:0) n , ( F G , ) K X ( )) ,( = FG ) C F G - . ﾥ � ( � (ii). (công th c Leibniz) ứ
[
]
= 1
i
= l l l (cid:0) - (cid:0) (cid:0) P K X P ( X ), K \{0}, 2.1.8.1. M nh đ . tách đ c, ề Cho ệ ượ
n
'
n
n ....., . ﾥ � x K � Ta có v i ớ x 1*,
= 1
i
i
n
= (cid:0) . - 1 X l P P
(
)
j
= 1
i
j n
= l - (cid:0) (cid:0) X x P ' Ch ng minh: Suy ra t b ng cách chia cho P. ứ ừ ằ (cid:0) (cid:0) � � � i � � �
)
(cid:0) F K X ( ) 2.1.9. Đ nh nghĩa (Hàm h u t ). ,( ữ ỷ Cho ị ,A S là m t đ i di n ệ ộ ạ
b t kh quy c a ấ ủ F ả
= % F x ( ) Hàm t v i m i ượ c xác đ nh b i ị ở ọ x ớ ừ K vào K , ký hi u ệ F% , đ % A x ( ) % S x ( )
( )S x% (cid:0) 0, đ c g i là hàm h u t liên k t v i thu c ộ K sao cho ượ ọ ữ ỷ ế ớ F .
, vì các đ i di n b t kh quy c a ị ợ ệ ủ F là ệ ấ ả ạ
)
{ } \ 0
Đ nh nghĩa này h p l ( k K(cid:0) kA kS , , (xem 2.1.6).
V i các ký hi u trên , t p xác đ nh c a ệ ậ ớ ị ủ F . ự ể ớ ủ F% là K b t đi các c c đi m c a
3
Ví dụ: Xét
+ 2 - X X = = ﾥ K , F . 2 2 X + X X
2
Bi u di n ễ F d ể ướ ạ i d ng b t kh quy ấ ả
- X 1 = F , + 2 X + 1 X
v yậ
{ } \ 1
(cid:0) ﾥ P P :
) 2 1 + 1
26
- P ( . x a x x
M i hàm f t i m t phân th c h u t ừ K vào K sao cho t n t ồ ạ ữ ỷ F c aủ ứ ộ
) K X mà
K )
'
ọ ( f ﾥ F= đ c g i là hàm h u t (trong ượ ọ ữ ỷ
(cid:0) ﾥ :f Ví d :ụ
2
z a ﾥ 1 z
2
là m t hàm h u t , đó là hàm h u t liên k t v i phân th c h u t . ữ ỷ ộ ữ ỷ ứ ữ ỷ ế ớ 1 X
2.2. Phân tích thành phân th c đ n gi n ứ ơ ả
Muc này phân tích m t phân th c h u t ứ ữ ỷ ộ thành phân th c đ n gi n. T đó ứ ơ ừ ả
ta có th tính các nguyên hàm c a phân th c h u t hay phân tích thành ữ ỷ ủ ứ ể
chu i nguyên c a phân th c h u t ủ . ứ ữ ỷ ỗ
(
)
)
]
(
) 2
[ K X
= ( ), A S , K X [ ] (K[X]\{0}) d� F K X F 2.2.1. B đ . sao cho . ổ ề Cho A S
T n t sao cho: ồ ạ ấ ( i m t c p duy nh t ộ ặ ,E R thu c ộ
)
)
( deg R
( deg S
< + = F E . và R S
1 A S =� thì R S =� . 1 H n n a n u ơ ữ ế
c g i là ph n nguyên c a đôi khi Đa th c ứ E đ ượ ủ F , phân th c h u tỳ ữ ứ ầ ọ R S
đ c g i là ph n phân th c c a ượ ọ ứ ủ F . ầ
2
Ch ng minh: ứ
)
(cid:0) ,E R ( K X [ ]) (i). S t n t i. ồ ạ ( i ự ồ ạ Theo phép chia Euclide A cho S , t n t
<
sao cho:
)
( deg R
( deg S
) ,
= A SE R + và
t đó thu đ c k t qu c n ch ng minh. ừ ượ ế ả ầ ứ
1 A S =� thì R S =� . 1 H n n a, theo thu t toán Euclide n u ậ ơ ữ ế
(ii). Tính duy nh tấ
2
2
1
27
- R 2 R 1 - ( ),( ) E E Gi s có E R th a mãn .Th thì ả ử ế ỏ v y:ậ E R 1 1 = 2 S
1
1
- - - deg( = ) deg( < ) deg( ) 0 S . E E 2 R R 2
1
2
1
2
1
2
4
3
= = = E E- 0, E E R , R Do đó và .
K
E=
3
2
3
4
3
+ - - X 1 = F , , nh phép chia Euclide Ví d : ụ V i ớ ờ - X X + 2 X 2 + X 3 X 1
2
- + - - cho ta đ c ượ X + 23 X 1 X X + 22 X X 1
*
- + = F X 4 . 10 3 5 + 2 - X 3 X X 1
n
n
A K X n [ ], , , ..., S K X [ ]\{0} � ﾥ � � 2.2.2. B đ . sao cho S ổ ề Cho S 1, ..., S 1
n
A A (cid:0) [ nguyên t cùng nhau t ng đôi. Khi đó t n t ]K X sao cho ố ừ ồ ạ 1, ..., i
n
n
= + A ... S A +���. n S S 1 A 1 S 1
Ch ng minh : ứ
Quy n p theo n ạ
Tính ch t là t m th ng v i n = . 1 ấ ườ ớ
2
ầ n = 2 Tr ng h p ườ ợ
2
2
(cid:0) S(cid:0) ) ( K X [ ]) Theo đ nh lý Bezout ,vì =1 nên t n t i sao cho ị ồ ạ S 1 U U ( 1
1
1
2
S U S U+ = V y ta có: 2 1 ậ
1
2
2
2
1
2
2
2
+ ( ) = = + . AU S A S S 1 A S U S U 1 S S 1 AU S 1
*ﾥ và gi
n
n
1
S ,..., S + Gi tính ch t đúng v i m t s ả ử ộ n thu c ộ ấ ớ s ả ử
(cid:0) K X [ ]\{0} nguyên t cùng nhau t ng đôi. Lúc đó ta có: ố ừ
n
n
1
( ... S ) 1 =� S + . S 1
nC A ,
n
+ 1
+ 1
(cid:0) K X [ ] n = 2 ng h p t n t i sao cho: Theo kh o sát tr ả ườ ợ ồ ạ
n
+ 1
n
n
n
+ 1
= + . C 1 S ... A n S A S S S ... 1 S 1
n
(cid:0) A A ]K X [ Theo gi thi sao cho: ả ế t quy n p, t n t ạ ồ ạ 1,..., i
n
n
28
= + C 1 S ... A +���. n S S 1 A 1 S 1
1
+ 1
n
Cu i cùng ta đ c: ố ượ
1
+ 1
n
1
+ 1
n
= + A S ... S A S A +��� . S
Bây gi ta s k t h p các B đ 2.2.1 và B đ 2.2.2 đ thu đ c k t qu ờ ẽ ế ợ ổ ề ổ ề ể ượ ế ả
sau đây
n
1
n
1
* ,..., A K X n [ ], , S .... K X [ ]\{0} � ﾥ � � 2.2.3. B đ . sao cho S + ổ ề Cho S 1 S 1
(cid:0) ( ,..., ) K X + ])n [ ( nguyên tố cùng nhau t ng đôi. T n t ồ ạ i ừ duy nh t sao ấ E R , 1 R 2
cho:
2 n {1,..., }, deg(
n < ) deg( R i
i
(cid:0) = + + E (cid:0) A S ... R +��� . n S (cid:0) R 1 S 1 (cid:0) " S ). S 1 i �(cid:0)
Ch ng minh ứ
[
]
n
(cid:0) A K X (i). S t n t i i sao cho: ự ồ ạ . Theo B đ 2.2.2 t n t ổ ề ồ ạ A 1,...,
n
n
= + . A S ... A +��� n S S 1 A 1 S 1
[
]
2
(cid:0) ,..., ,..., R K X i sao cho: R i theo B đ 2.2.1 , t n t ổ ề ồ ạ ồ E 1 E R , 1 n
i deg(
i ) deg(
i
(cid:0) = + . (cid:0) E i " (cid:0) A i S R i S (cid:0) i {1,..., ), n (cid:0) < S ). (cid:0) R i
+ + ..... , ta đ c k t qu mong mu n. Ký hi u ệ ượ ế ả ố = E E 1 E n
n (ii). Tính duy nh tấ . Quy n p theo ạ
Tr ng h p c ch ng minh trong B đ 2.2.1. ườ ợ ượ ổ ề ứ
1
2
( , , ), ( ) , , Tr ng h p 1n = đã đ 2n = . Gi D P P th a mãn ườ ợ s ả ử ỏ E R R 1 2
2
2
i ).
2 R i P ) deg( i
i
(cid:0) = + + + + = E . D (cid:0) P 2 S R 2 S (cid:0) A S S 1 (cid:0) < (cid:0) R 1 S 1 deg( ) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) i {1, 2}, (cid:0) P 1 S 1 ) deg( S < deg( S (cid:0) (cid:0)
2
2
2
1
1
1
29
- - - = ) ) ( ), S S P R- ( | ) V y ta có nên . ậ S R ( 1 2 P 2 + S S D E ( 1 S P R 1 1
1
1
1
|S P R- Vì , đ nh lý Gauss ch ng t r ng . Nh ng m t khác ứ ị ỏ ằ ư ặ S 1 S =� 2 1
1
1
1
- deg( < ) deg( ) 0, P R= . Ta suy ra t c là . T ng t ta có ứ ươ ự P R 1 1 S 1 = P R- 1
D
E=
2
2
*
P R= . và cu i cùng ố
Gi thi . Gi s ả t ế tính ch t ấ đúng v i ớ ả ử ﾥ n (cid:0)
1
+ 1
n
1
+ 1
n
n
+ 1
n
+ 1
(cid:0) E R , ,..., R D P , , ,..., P K X [ ] th a mãn: ỏ
i
i
= 1
i
i
+ 1
n
i
= 1 <
i
i
i ) deg( <
i
n
n
(cid:0) = + = + E D . (cid:0) A S ... R � S P � S (cid:0) S 1 (cid:0) (cid:0) S ) deg( R (cid:0) " (cid:0) i {1,...., + n 1}, � (cid:0) ) deg( S ). deg( (cid:0) (cid:0) P i
j
j
�
�
= 1
i
= 1
i
j n 1
i j
j n 1
i j
= = = T ,..., C Ký hi u ệ S 1 S B , n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) � � R i � � � � � � � � � , S � � � � � � � � P i � � � � � � � � � S . � � � � � �
n
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
n
+ 1
n
+ 1
n
1. (cid:0) (cid:0) Ta có = + = + E D . (cid:0) =�(cid:0) T S A TS B R + n S T C P + n S T (cid:0)
2 T s kh o sát tr ng h p ừ ự ả ườ ợ
+ 1
+ 1
n = = ta suy ra: = = , , . D E C B P n R n
n
n
Nh v y : ư ậ
= 1
= 1
i
i
i
i
i ).
i
(cid:0) . (cid:0) P = � � i S R i S (cid:0) (cid:0) < (cid:0) deg( S ) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) i {1,..., }, n (cid:0) ) deg( < deg( S (cid:0) (cid:0) R i P ) deg( i
1,...,
Do đó theo gi thi t quy n p . ả ế ạ = P R 1 = P R n n
(iii). V i các ký hi u c a b đ ệ ủ ổ ề ớ
j n
+ + deg Max 0. R ��� � n S n (cid:0) (cid:0) � R 1 � S � 1 � � � � � � R i � � � S � � � i i � � � deg � � � � � < � � �
E là ph n nguyên c a
n
30
Nên theo b đ 2.2.1, . ổ ề ủ ầ A S S 1...
[
]
[
]
( deg S
) 1,
+ 1
* (cid:0) (cid:0) ﾥ A K X S K X , n � � sao cho . ổ ề Cho
)
(
) ] n
1
(cid:0) E C , ,..., K X [ C a 2.2.4. B đ . ồ ạ ( T n t i duy nh t sao cho: ấ
1
n n
n n
1 1
(cid:0) - = + + + (cid:0) E - (cid:0) C S (cid:0) " C S n {1,..., }, deg( S C A a S j �(cid:0) C +��� . S < ) deg( ). j
n
H n n a, . ơ ữ E là ph n nguyên c a ầ ủ A S
Ch ng minh: ứ
(i). S t n t n ự ồ ạ Quy n p theo ạ
i. 1n = đã đ Tr ng h p c ch ng minh trong B đ 2.2.1. ườ ợ ượ ổ ề ứ
1E ,
2
+ 1
n
* (cid:0) (cid:0) C ,..., C K X [ ] Gi s tính ch t đúng v i m t , v y t n t i sao ﾥ ả ử ấ ớ ậ ồ ạ ộ n
cho:
+ 1
j
(cid:0) = + (cid:0) + + ... . E 1 (cid:0) (cid:0) " C n n S n {1,..., }, deg( C S A n S j �(cid:0) C 2 S < ) deg( ). + 1
[
]
(cid:0) , Theo B đ 2.2.1 , t n t i sao cho: ổ ề ồ ạ E C K X 1
< = + deg( S ) deg( ) E và . C 1 E 1 S C 1 S
V y ta có: ậ
+ 1 + 1
(cid:0) = = + + + (cid:0) . ..... E 1 (cid:0) (cid:0) " A n S S + n {1,..., C n n S 1}, deg( C S A + 1 n S j �(cid:0) C 1 S < ) deg( ). j
n (ii). Tính duy nh t. ấ Quy n p theo ạ
Tr ng h p 1n = đã đ c ch ng minh trong B đ 2.2.1. ườ ợ ượ ổ ề ứ
+ 1
n
+ 1
(cid:0) ,..., C , ,..., K X [ ] Gi thi t sao cho : ả ế E C , 1 1 E D , 2 1 D n
2
+ 1 + 1
j D
j
31
(cid:0) = + + + + + = + .... .... . E E 1 (cid:0) A + 1 n S C n n S D 1 S (cid:0) (cid:0) < (cid:0) C 1 S deg( C D + 1 n + 1 n S S ) deg( ) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) j 1}, +� {1,..., n (cid:0) < (cid:0) deg( ) deg( ). S (cid:0) (cid:0)
,nS ta đ Nhân v i ớ c:ượ
n
n
1
(
)
n
1
n
- = + + + + C C S - E S 1 + C S ��� 1 A S
n
n
1
+ 1
(
)
n
n
1
2
1
- = + + + + + E S D D S .... D S . - C + 1 n S D n S
+
1
n
1, =
= C+ Theo B đ 2.2.1 , ta suy ra r i áp d ng gi thi t quy n p : ổ ề ụ ồ ả ế ạ D n
n
n
1
2
1
= = D C ,..., D C E , . E 1
(iii). V i các ký hi u c a B đ ệ ủ ổ ề ớ
j
j
j n
C + + (cid:0) deg .... Max deg 0, C 1 S C � n � n S � � � � (cid:0) (cid:0) �� � �� � � � � S � � � i � � � � � � � � � < � � �
(
) K X là:
nên theo B đ 2.1.1, E là ph n nguyên c a ổ ề ủ ầ A n S
2.2.5. Đ nh nghĩa. ị Các phân th c đ n gi n c a ứ ơ ả ủ
(
)
Các đ n th c c a ]K X . [ ứ ủ ơ
C n S
Các ph n t c a trong đó : ầ ử ủ K X có d ng ạ
g (cid:0) S K X [ S ], deg( ) 1 (cid:0) * (cid:0) (cid:0) ﾥ n (cid:0) , (cid:0) ]\{0} [ (cid:0) (cid:0) C K X < deg( C S ) deg( ) (cid:0)
S là b t kh quy. ấ ả
Các ph n t đ n gi n có d ng trong đó ầ ử ơ ả ạ c n S
* = [ S ], deg( ) 1, n \ {0}. S K X � � �ﾥ , c K
đ ượ ọ c g i là phân th c đ n gi n Lo i 1. ứ ơ ạ ả
32
T các b đ trên , ta suy ra đ nh lý sau: ổ ề ừ ị
2.2.6. Đ nh lý (S t n t ự ồ ạ ị ộ i và tính duy nh t c a phép phân tích m t ấ ủ
ả phân th c h u t thành phân th c đ n gi n). ứ ữ ỷ ứ ơ
a
n
1
n
n
= F ﾥ n (cid:0) * Cho trong đó , S (cid:0) K[X]\{0} b t kh quy và ấ ả S 1,..., A ... S a S 1
[
]
n
* (cid:0) a (cid:0) A K X ﾥ nguyên t , . Khi đó t n t ố cùng nhau t ng đôi m t, ừ ộ ồ ạ i a 1,...,
m t h duy nh t các đa th c ứ ấ ộ ọ
1,1
,
,1
a ,1
n
2, 2
n
,
n
1
1
2
( ,..., C C C ) E C , a C a a , a C ,..., a a ,..., a ,..., a (cid:0) K[X] .
a
n
i
sao cho
i
,
j
j
= 1
i
= 1
j
i j
a
i
j
i
(cid:0) + = F E . (cid:0) C a �� (cid:0) S (cid:0) " " i {1,..., }, n C ) deg( S ). � � a {1,..., }, deg( i < , (cid:0)
c g i là phân tích thành phân th c đ n gi n ( Vi Công th c trên đ ứ ượ ứ ả ọ ơ ế ắ t t t
PTĐG) c a phân th c h u t ứ ữ ỷ F . ủ
2.3. Th c hành phép phân tích thành phân th c đ n gi n (PTĐG) ứ ơ ự ả
2.3.1. Tr ng h p c c đi m đ n. ườ ợ ự ơ ể
a d A S , ) K X [ ] ( K X [ ]\{0}), = F , Cho ( là m t không đi m c a ủ S. ể ộ A S
(cid:0) S K X [ ] Gi i sao ả ử ằ s r ng a là m t không đi m đ n c a S. Th thì t n t ể ơ ủ ế ộ ồ ạ 1
cho
= - (cid:0) S ( ) ) 0 và X a S 1 % S a 1(
l )Kl (cid:0) ( , trong đó ta tìm cách tính l . PTĐG c a ủ F ch a h ng t ứ ạ ử a - X
l = = + (cid:0) F A K X [ ] Theo B đ 2.2.2, t n t i sao cho . ổ ề ồ ạ 1 - A S X a A 1 S 1
l= - - l= A ( ) % A a ( ) V y ta có t đây, thay . ậ ừ X b i ở a : S 1 X a A 1 % S a ( ) 1
V yậ
) )
( % A a ( % S a 1
33
l = = - ﾥ (( X a F a ) )( ).
d K X [ ] ( K X [ ]\{0}), = F 2.3.1.1. M nh đ ệ ề. Cho (A,S) , a là m t không ộ A S
l đi m đ n c a ơ ủ S. H t ể ệ ử l c a h ng t ử trong PTĐG c a ủ F là -
- ủ ạ X a ) ( ) ﾥ( ( ) X a F a .
= F Nói khác đi , ta đ c ượ l b ng cách nhân hai v c a đ ng th c ế ủ ứ ẳ ằ v iớ A S
X b i ở a .
A – a , r i thay ồ
= F )Xﾥ ( trong . Ví d : ụ PTĐG c a ủ - - ( X X 1)( X 2)
2
l m = + (cid:0) F l m .( , ) R Ph n nguyên b ng 0 , v y PTĐG có d ng . ằ ậ ầ ạ - - X X 1 2
Theo M nh đ 2.3.1.1 ệ ề
l = - ﾥ x (( 1) F = )(1) 1.
m = - ﾥ x (( 2) F = )(2) = (2) 2. ﾥ X � � = - (1) � �-� � X 1 ﾥ X � � � �-� � 1 X
- 1 2 = + F , mà ta có th ki m tra l V y ậ ể ể ạ ễ i d dàng b ng cách quy ằ - - X 1 X 2
đ ng v m u s chung. ề ẫ ố ồ
Trong m t s tr ng h p, v i các ký hi u c a M nh đ 2.1.1 vi c tính ộ ố ườ ệ ủ ề ệ ệ ợ ớ
- ﾥ(( x a F a ) )( ) có th cho nh ng k t qu xem ra ph c t p ho c không th s ứ ạ ể ử ữ ể ế ặ ả
c . d ng đ ụ ượ
(
)
= - S Nh n xét, vì nên khi đ o hàm hai v ta đ c: ậ ế ạ ượ X a S 1
= - = S ( X a S ) % S a ( ) t đây . ừ + ' 1 S 1 % S a ( ) 1
34
V y ta đã ch ng minh M nh đ sau : ứ ệ ề ậ
)
d ,A S K X K X ] [ [ ]\{0}, = F 2.3.1.2. M nh đ ệ ề. Cho ( , a là m t không ộ A S
l đi m đ n c a là ơ ủ S . H t ể ệ ử l c a h ng t ủ ạ ử trong PTĐG c a ủ - X a A S % A a ( ) % S a ( )
.
)Xﾥ (
)Xﾥ (
* = (cid:0) F trong . ﾥ tìm PTĐG c a ủ Ví d :ụ V i ớ n - 1 1n X
Ta có phân tích nguyên t (trong ) là : ố c a ủ 1nX -
n
1
n
k
=
0
k
- - (cid:0) X - = 1 X w ( ) trong đó:
k
w = (cid:0) (cid:0) - exp , 0 k n 1 . p ik 2 � � � � n � �
Các không đi m c a đ u toàn đ n . v y PTĐG c a ủ ể ủ F có d ng:ạ ề ậ ơ
1
n
k
ﾥ , 0
=
0
k
k
} 1n -K ,
- 1nX - l = (cid:0) (cid:0) - (cid:0) F k n 1 trong đó l (cid:0) . w - X
0, Theo m nh đ 2.3.1.2 v i m i . ề ệ ớ ọ k thu c ộ {
k
k
1
n
1
k n
k
ﾥ w 1 l = = = ) - - . w n � � 1 w ( � � n nX � �
n
1
=
0
k
k
- = (cid:0) Do đó PTĐG: . 1 n - - X 1 n X w
k
k
j
0
1
j n j k
l = w - (cid:0) đây n u áp d ng m nh đ 2.2.1 s đ c . Ở ẽ ượ ụ ế ệ ề 1 w ( ) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
K t qu này đúng , nh ng thoáng nhìn thì th y là không s d ng đ c. ử ụ ư ế ả ấ ượ
2.3.2. Tr ườ ng h p c c đi m b i ộ ợ ự ể
35
2.3.2.1. Tr ng h p c c đi m 0 ườ ợ ự ể
(cid:0) = A T K X [ , ] F Ta hãy quan tâm đ n m t phân th c h u t trong đó , ứ ữ ỷ ế ộ A n X T
(cid:0) % T (0) 0 .
Theo đ nh lý v phép phân tích thành phân th c đ n gi n, t n t ứ ề ả ơ ồ ị ạ i
1
n K
n n
n
1
n
n
n
1
a a (cid:0) (cid:0) = + B K X [ ] F . a +��� + , sao cho: a 1,..., X B X T - = + a + + + A a ( X .... T X B ) . - V y ta có Theo đ nh lý v phép chia ậ ề ị a X 1
1
n
A cho
n
n X
1
1
- a + a + - theo lũy th a tăng, +��� là th a X ng c a phép chia ừ ươ ủ
T theo lũy th a tăng đ n c p
5
1n - ế ấ ừ (và B là d c a phép chia ) ư ủ
)Xﾥ (
3
+ = F trong . Ví d :ụ L p PTĐG c a ủ ậ - X X X ( 1 2)
3 3
1 X
a + a + + l + = F E PTĐG c a ủ F có d ng ạ , trong đó E là ph nầ a 2 2 - X X X 2
3
1
4
a (cid:0) , , ﾥ . nguyên c a F và ủ a l a , 2
5 1
32 X
E X=
- Ta tính E xem nh th ng cùa phép chia Euclide ư ươ X + cho X
+ . 2
ta đ
5
c ượ Ta tính l b ng cách nhân và thay th : ế ằ
3
- +
1 l = - (( X 2) F = )(2) . 33 8 -� X � X � � = (2) � �
2
1
5X cho 2 X
, Ta tính b ng phép chia 1+ theo lũy th a tăng ằ ừ a a a , 3.
5
đ n c p 2: ế ấ
2
5
+ 1 X - + 2 X
2
5
+ - - - X X X X 1 2 1 4 1 8 1 2
3
5
+ X X 1 4
36
+ X X 1 8
3
2
a = - a , Ta đ a = , . c ượ = - 1 1 4 1 8 1 2
Ta có th chú y r ng trong phép chia này, không có các h ng t ể ằ ạ ử ậ có b c
3(cid:0) tham gia vào . V y trong th c hành ta có th s d ng m t phép chia ể ử ụ ự ậ ộ
“ch t c t”. ặ ụ
2
1 - + 2 X
2
- - - X X X 1 2 1 4 1 8 1 2
X 1 4
0
5
- - - + Cu i cùng: ố 33 8 = + + + X + + 2 . 1 4 2 - - X 3 X X ( 1 2) 1 2 3 X X 1 8 X 2 X
ng h p c c đi m khác 0 ườ ợ ự ể
c các h t 2.3.2.2. Tr N u ế a là m t không đi m b i c a ể ộ ộ ủ S , đ đ ể ượ t ệ ử ươ ớ ng ng v i ứ
, ta s đ c c đi m ự ể a trong PTĐG c a ủ ẽ ượ ổ ẩ c th c hi n m t “phép đ i n” ộ ự ệ A S
= Y X – a và ta s quy v tr ng h p trên (đ i v i n ề ườ ẽ ố ớ ẩ Y ). ợ
)Xﾥ (
3
(
= F trong . Ví d :ụ PTĐG c a ủ - x 1 ) 4 1 ( + X 2)
Rõ ràng r ng ph n nguyên b ng không . PTĐG c a ủ F có d ng:ạ ằ ầ ằ
4
3
2
1
3
2
1
4
3
2
3
2
a a a b b b = + + a + F . + + + + + + - - - - ( X 1) ( X 1) ( X 1) ( X 1) ( X 2) ( X 2) X 2
4
1
1
a a b ,..., , ,..., Trong đó đ u là nh ng s th c ph i tính. ố ự ữ ề ả b 3
4
1
37
a a ,..., Tính
Y X=
1
1X
= + ) , Y
3
4
3
= = - F Đ i n ổ ẩ ( v yậ r iồ - ( X 1 4 1) ( + X 2) 1 + (3 Y Y )
(
) 3
) 4 1
2
3
= - 3 3 Y+ chia theo lũy th a tăng đ u đ n c p cho ( . ế ấ ừ ề
2
3
2
3
+ + 1 + 27 27 Y Y 9 Y
2
3
- - - - - Y Y Y Y Y Y 1 27 1 + 27 2 81 10 729
3
+ Y Y 1 3 2 3
- Y 1 27 8 27 10 27
0
4
3
a = = - , , Ta đ c ượ = 2 = - 1 1 a , 27 1 a 27 2 a 81 10 729
3
1
Z X=
X
= - + 2
Z
b b ,..., Tính
+ (v yậ 2
). Đ i n ổ ẩ
3
3
= = F ấ r i chia theo lũy th a tăng đ n c p ừ ế ồ - ( X 1 4 1) ( + X 2) - + ( 3 1 4 Z Z )
(
) 4
) 3 1
2
= - - + 2 3 Z cho ( .
- 1 81 108 + Z 54 Z
2
2
2
4 - + Z Z Z Z 1 + 81 243 10 729 4 3
Z 2 3 10 9
0
3
2
1
b = = = b , , Ta đ . c ượ 1 81 4 b 243 10 729
38
Cu i cùng ố
- -
4
3
2
3
2
(
(
(
(
( +
)
( +
)
= + + + + + + F - - - - 10 729 ) 1 X 10 729 + X 2 X X X 1 27 ) 1 2 81 ) 1 1 81 2 X X 4 243 2 1 27 ) 1
2.3.2.3. Nh n xét v tính ch n l ẵ ẻ ề ậ
Khi s d ng tính duy nh t c a PTĐG c a m t phân th c h u t ứ ữ ỷ ấ ủ ử ụ ủ ộ ấ , ta th y
r ng n u phân th c h u t ằ ứ ữ ỷ F ch n (t ế ẵ ươ ứ ơ ng ng: l ) và n u phân th c đ n ế ứ ẻ
có m t trong PTĐG c a gi n ả ả ủ F thì phân th c đ n gi n ứ ặ ơ C X ( S X- ( ( ) ))k
2
- - (t ng ng ) cũng có m t trong PTĐG c a ươ ứ ủ F . ặ - ( C X S X- ( ( ) ))k C X ( S X ( ( ) ))k
+ = )Xﾥ ( F trong . Ví d : ụ PTĐG c a ủ - X 2 2 X ( 5 3 1)
D ng c a PTĐG c a ủ F là: ủ ạ
2
3
3
2
a b a b c = + + + + + F . - - - ( X + ( ( ( X X 1) 1) 1) + ( X 1) X 1) g + (
a , ..., Trong đó ố ự ề ả
X 1) g đ u là các s th c ph i tìm X- : Thay X b i ở
3
2
3
2
b g a - - - - + = + + + + . F b + c + - - - a + 1) ( X 1) ( X 1) ( X 1) ( X 1) ( X 1) ( X
Vì F ch n, tính duy nh t c a PTĐG c a ủ ủ ấ F ch ng t ứ ỏ ằ r ng
ẵ b = - a g a = - b , = - , c . Tính ,a b c : ,
Y X=
1
1X
2
2
- Đ i n ổ ẩ (v yậ
3
= + ). Y + 5 + X
) 2
) 3
+ ) = = F 5 3 - X 2 3 1) ( X 2(1 3 Y + Y + (2 Y ) 1)
( 2 1
39
( + cho ( 5 Y+ 2 Y+ theo lũy th a tăng đ n c p 2. r i chia ồ ế ấ ừ
2
2
2
2
+ + + 7 + 4 Y Y 2 12 Y Y 6 8
2
+ - - - Y Y Y Y 7 8 13 16 13 16 13 2
Y 13 4 13 2
0
= = - a , b = c , Ta đ . c ượ 7 8 13 16 13 16
Cu i cùng : ố
2
3
2
3
2
- - - - + 8 . 13 6 13 6 = + + + + + + + + - - - - 2 X 2 X ( 5 3 1) ( X 1) ( X 13 6 1) ( X 1) ( X 7 8 1) ( X 13 6 1) ( X 1)
Chú ý: Ngoài các cách tính trên, ta có th quy theo m u s r i gi ố ồ ể ẫ ả ệ i h
i
a i n= 1, ph , . ươ ng trình đ tìm các ể
)Xﾥ ( 2.3.2.4. Tr ườ ợ ng h p
( deg S
) 1,
*
= (cid:0) A X S [ ], X [ ] ﾥ � ﾥ � F Cho chu n t c sao cho . Theo đ nh lý ẩ ắ ị A S
ﾥ , v y t n t
n
z (cid:0) n (cid:0) ﾥ d’Alambert S tách đ c trên i , ﾥ t ng đôi ượ ậ ồ ạ ừ z 1,...,
n
*ﾥ
a (cid:0) khác nhau, sao cho: a 1,...,
n
a
i
)
(
i
= 1
i
A = F . - (cid:0) X z
a
n
i
a i ,
j
= +
F E
PTĐG cùa F có d ng:ạ
j
= 1
= 1
i
j
l -�� (
)
X z
i
l
.
ja ,i
l
Trong đó E là ph n nguyên c a là nh ng s ph c. ủ F và các ầ ố ứ ữ
ja ,i
40
Trong th c hành đ tính các ự ể ta s s d ng: ẽ ử ụ
ng pháp nhân và thay th , ho c công th c s d ng đ o hàm khi ươ ử ụ ứ ế ạ ặ
Ph 1ia =
M t phép đ i n ti p theo là m t phép chia theo lũy th a tăng khi ổ ẩ ừ ế ộ ộ 1ia > .
A X S [ ], X [ ] ﾥ � ﾥ � 2.3.2.5. Tr ng h p R(X). Gi chu n t c sao ườ ợ s ả ử ẩ ắ
= (cid:0) F deg(S) 1, . A S
'
N
N
S
2
r i
k
Phân tích nguyên t c a ố ủ S có d ng:ạ
k
k
� (
� (
= 1
i
= 1
k
= + - S ) X + p X q ) , X x i
ﾥ ,
N
2
N N (cid:0) , ' x (cid:0) trong đó : ﾥ , t ng đôi khác nhau, ừ x 1, ...,
'
'
2 k
k
N
(cid:0) " - ﾥ ( ),....,( ) k {1,..., N '}, p < 4 q 0 � p q , 1 1 t ng c p khác nhau, , ừ ặ p q , N
'
N
* (cid:0) ﾥ ,..., , s ..... r 1 r N s 1 .
'
N
N
r i
s k
V y PTĐG c a ủ F có d ng:ạ ậ
k l ,
j
l
= 1
= 1
j
i
= 1
= 1
k
l
�� (
�� (
i, j X x i
k
k
l m + + = F F , + 2 - ) X + X v , k l + p X q )
là nh ng s th c.
i
,
j
k l ,
ố ự
ữ
l m , , g , k l trong đó E là ph n nguyên c a F, và các ủ ầ
l
i, j X x i
Các ph n t đ n gi n đ ầ ử ơ ả ượ ả c g i là các phân th c đ n gi n ứ ơ ọ - ( ) j
lo iạ 1.
m
2
j
, k l +
k
k
Các ph n t đ ầ ử ơ đ n gi n ả ượ ơ c g i là các phân th c đ n ứ ọ + X v k l , + p X q ) ( X
gi n Lo i 2 ạ ả
M t tr ng h p riêng ộ ườ ợ
(cid:0) A K X [ ] Gi s F = trong đo , T là m t tam th c b t kh ả ử F có d ng ạ ứ ấ ộ ả A s T
* (cid:0) . PTĐG c a ủ F có d ng:ạ ﾥ quy, s
s s
s s
1 1
41
- = + + + F = + L .... . - A s T C T C T C 1 T
1,...,
s
C Trong đó E là ph n nguyên c a ủ F và ầ C là nh ng đa th c thu c ộ ứ ữ
s
1
[ Xﾥ ] ,..., - đ u có b c ≤ 1. Ta có th tính b ng nh ng phép chia ể ề ậ ữ ằ C C , s C E , 1
s
,..., ,..., Euclide liên ti p . Th t v y t n t i các đa th ế ậ ậ ồ ạ R thu cộ Q ứ 1 Q R , s 1
[ Xﾥ ] sao cho:
1
1
s
1 1 s {1..... }, deg(
2 < ) 2.
j
= + = + = (cid:0) , ..., . - A QT R Q Q T R , 2 Q s + Q T R s (cid:0) " R i �(cid:0)
Và khi đó ta có
1
1
= + = + + + , - - Q s A s T R 1 s T Q 1 s T R = ��� 1 s T R 2 s T R + ��� s T
t đó do tính duy nh t c a PTĐG c a ừ ủ F :
s
s
1
1
8
ấ ủ = = = = C , ..., - . R C , 1 R 2 C R E Q , s s
2
8
4
- = )Xﾥ ( F trong Ví d : ụ PTĐG c a ủ + + 4 + X X ( X X 2 3 1)
7
6
6
5
3
+ + 2 - X X 2 X + X 1
5
+ 2 - - - - X X X + X X + 2 X X 1
4
3
X
3
2
- - 2 X X
2
+ X 2 X
- - X 2
6
5
3
2
2
- + X + X 2 1
4
3
2
5
4
+ - - X X X + X 2 + X 1 + X + X 1
4
3
- - - - X + 2 X + X 2 X 5 2 X
3
2
X + X 3 X
2
- 2 X 3 X
- - 5 X X
42
+ 4 X 6
4
2
3
+
+ 2
X
X
2
X
5
2
X
X
+ X
1
3
2
+
- - -
3
X
X
3
X
3
2
+
3
X
5
X
- - .
2
X
8
-
8
Ta k t lu n : ế ậ
2
2
2
- - - = - X + + X 3 3 . + 3 + 2 2 2 + + 4 + + 4 X + 2 6 + X + 8 + X X ( X X 2 3 1) + 2 X + X 1 + 1) ( X 1 X X ( X X 1)
Trong tr ng h p t ng quát, ta s k t h p các ph ng pháp đã nói trên đây. ườ ẽ ế ợ ợ ổ ươ
)Xﾥ ( Nh ng viêc tính m t PTĐG trong ư ộ có th dài ,khi m u ch a nhiêu tam ẫ ứ ể
th c b t kh quy có lũy th a cao. Vi c chuy n qua s ph c th ừ ứ ứ ể ệ ả ấ ố ườ ẫ ng d n
đ n nh ng phép tính ph c t p ế ứ ạ ữ
2.4. Công th c n i suy Lagrange . ứ ộ
[
2
n
2.4.1. Đ nh nghĩa ị ] f x ( ) X ,deg f n= , a ,..., �ﾥ Cho và 1n + s th c cho tr c thì f ố ự ướ a a 1
đ c xác đ nh nh sau: ượ ư ị
)
+ 1
n
2
3
)
(
)
( f x
1
( a
(
) ( ) ( a
)
) ( ... ) ( a ...
1
1
1
+ 1
n
3 a
a a - - - a x x x = a f + + ... a a - - - a 2
(
)
)
1
n
(
)
+ 1
n
2 a
) ( ) (
)
( a x ( a ...
+ 1
n
+ 1
2
+ 1
n
n
+ 1
n
+ 1
n
- - - a f x a - - - ... ) x a n a a 1 � . � � � � � ( � a �
j
)
(
)
( f x
i
= 1
i
j
i
j
= = 1, 1 i i j
a - x = a f (cid:0) (cid:0) Hay: . a a - (cid:0)
+ 1
n
+ 1
n
Ch ng minh: ứ
j
(
)
)
)
( g x
( f x
i
= 1
i
= = 1, 1 i
j
i
j
a - x a = f (cid:0) (cid:0) n(cid:0) Xét = thì deg g và có 1n + nghi m.ệ a a -
)
)
(
) =
( g a
( ) g x (cid:0)
i
i
j
43
a a - f 0 0 Ta có = ( g nên .
Do đó ta có công th c Lagrange. ứ
t 2.4.2. K t qu . ế ả M t đa th c b c ứ ậ n hoàn toàn xác đ nh khi bi ộ ị ế 1n + giá trị
(
)
k
[
] , deg
a = f k 1,2,..., n v i ớ
X f n= + . 1 ( ) f x �ﾥ 2.4.3. Đ nh lí. Cho 1n + s th c phân bi ị . V i ớ ố ự ệ t
1
+ 1
n
,..., ấ x x , 1 2 x + b t kì. Đ t: ặ n
(
)
= 1
i
+ 1
n
+ 1
n
+ 1
n
j = - x ( x ) (cid:0) . x i
(
)
)
( f x
( f x i
'
�
� (
) )
)
j x
= 1
i
= 1
i
= = 1. 1 i
j
( f x i x x i
) x ( x i
j
+ 1
n
+ 1
n
- x x = = (cid:0) Thì: . j j - - x i
) )
) )
( f x ( g x
= 1
= 1
i
i
( f x i ( ' x i
1 = = (cid:0) K t qu : . ế ả - - x x x i
(
)
) (
(
)
) x 2 ...
= j - - - A � � i j x i ( x x x x Trong đó deg f n< và . x 1 x n
Đây là công th c phân tích thành phân t ứ ử ơ ự đ n c a các phân th c b c th c ủ ứ ậ
s (b c c a t ự ậ ủ ử bé h n b c c a m u). ậ ủ ẫ ơ
2.4.4. M t s ví d áp d ng ộ ố ụ ụ
2
đ n gi n b ng công th c Lagrange. Ví d 1: ụ Phân tích thành phân t ử ơ ứ ả ằ
(
) (
)
) ( 1
a ) - x x + x 2 + x 3
(
) (
)
) ( 1
b ) - - - - 1 ) ( x 2 x x 3 x 4
+ 1
n
+ 1
n
Gi i:ả
j
)
(
)
( f x
i
= 1
i
= = 1, 1 i
j
i
j
+ 1
n
(
a - x = a f (cid:0) (cid:0) Ta đã bi t công th c Lagrange: . ế ứ a a -
)
(
)
(
) (
(
)
( f x
) x 2 ...
'
(
) )
(
)
= 1
i
( f x k x x k
) x x k
n
)
= j = - - - (cid:0) x x x x N u đ t: thì , do ế ặ x 1 x n j j -
)
( f x và có
'
(
(
)
) )
( f x ( g x
= 1
i
( f x k ) j x k
44
= (cid:0) đó . Đó là công th c xác đ nh đa th c ứ ứ ị - x x k
)
)
( f x k
= k 1,2,..., n t . Áp d ng k t qu giá tr là ị ạ i giá tr ị ủ ụ ế ả ố ố ( kx c a đ i s
2
trên:
(
) (
)
(
) ( 1
( + x
= + - - - + ( + x + x x 2 + x 3 x 1 ) 1 .3.4 4 ) 2 .1.( 3) x 9 ) 3 .4.1 a)
(
(
)
) 1
= - . - 12 1 x 3( + 2 9 + x 4 3 4 + x
b)
(
) (
)
(
(
)
(
(
)
) ( 1
= - - . - - - - - - - - 1 ) ( x x 2 x 3 x 4 1 x 6 + ) 1 1 x 2 2 1 x 2 + ) 3 1 x 6 4
ằ Ví d 2ụ : Ch ng minh r ng ứ
+ + + + a d + + + - - - - - - - - - - - )( a d ( ) ) ( a b c a c b c x )( )( )( c )
- - - - = - - - - - - - - + + b c d )( b a c a d ( )( + + a b d a d b d c d x d )( c d )( c b d b a b x b )( x a b c d c x d )( )( )( x a x b x )( )( ( ( ) )
Gi iả . Ta c n ch ng minh ầ
- - ) ( a ( ) b + - - - - - - - - ) ( )
- - )( ) + + - - - - - - - - )( x ( ) + + + a b c d b a b c b d b x ( )( )( + + + a b c d ( a d b d )( )( ) d c d )( )( d ( x )
- ( = = 0. - - - - ứ + + + a b c d a b a c a d a x )( )( + + + a b c d c ( c a c b c d c )( )( + + + x a b c d ) c x d )( )( x a x b x )( ( )
Ap d ng công th c n i suy Lagrange ứ ộ ụ
f y ( ) = + + + - a b c d a y , c y , x . = y y , 1 = 2 = b y , 3 = 4 = d y , 5
ta thu đ c đi u ph i ch ng minh. ượ ứ ề ả
ng n và s th c Ví d 3:ụ V i s nguyên d ớ ố ươ ố ự
- - - - - x { 2 , n n + - + , 2 n 2, n 1,..., 2, 1,0} � ,
45
ta luôn có:
k
n
n
k n
=
0
k
=
0
k
k
n
n
- n ! = (cid:0) C . (i) ( 1) + k x + (cid:0) ( x k )
n
k n
=
0
k
=
0
k
- n !2 = (cid:0) C . (ii) ( 1) + x 2 k + (cid:0) ( x k 2 )
n
Gi iả : T vi c tách các phân th c ( theo công th c n i suy Lagrange): ứ ộ ừ ệ ứ
n
=
0
k
=
0
k
n ! = (cid:0) . x k + x k + (cid:0) ( x k )
n
n
Và
n
=
0
k
k 2
=
0
k
n !2 = (cid:0) . x + x k + (cid:0) ( x k 2 )
46
Ta suy ra k t qu c n ch ng minh. ả ầ ứ ế
Ch
ng 3
ươ
M t s bài toán liên quan
ộ ố
3.1. Ch ng minh đ ng th c v i vành phân th c h u t . ứ ớ ứ ữ ỷ Trong m c này, ứ ẳ ụ
ta đ ng nh t đa th c v i hàm đa th c; phân th c v i hàm phân th c và dung ứ ớ ứ ớ ứ ứ ấ ồ
) )
( f x ( g x
chung các kí hi u f(x), g(x),… đ ch đa th c; ứ ể ệ ỉ , … đ ch các phân ỉ ể
th c. ứ
k
+ 1
n
n
*
3.1.1. Ví dụ. Ch ng minh r ng: ứ ằ
+ 1
n
=
0
k
= + " (cid:0) (cid:0) ﾥ , a 0, n (cid:0) - - 1 a x x k a x + 1 ( a a x )
= = f x ( ) , 0 Gi ta có: iả . V i phân th c ứ ớ x 0 - 1 a x
. - - 1 a x 1 - = a 1x a a x
k
+ 1
n
n
L p l c: ặ ạ i sau n l n ta thu đ ầ ượ
+ 1
n
=
0
k
= + . (cid:0) - - 1 a x x k a x + 1 ( a a x )
......., s cho b s d ng 3.1.2. Ví d .ụ Gi ả ử ộ ố ươ a a , 1 2 a . Khi đó n
n
1
n
- - - - + + = 0 (i). + a n + + + ( a ) ( a ) ( a a ) - a 1 a a 1 2 + a a )( 2 + ��� a n a 1 a a )( n a a 1 n + a a )( 1
+ = ta luôn có đ ngồ
na
1
- = f x u ( , ) (ii). V i hàm phân th c ứ ớ a 1 1 + x u + và coi u a x a
n
n
nh t th c: ứ ấ
) =
+ 1
k
( �
�
= 1
k
= 1
k
- ) , ) f x a ( , ). f x a ( , k f a ( k a k
Gi i: ả (i). D dàng ki m tra đ ng nh t th c ứ ể ễ ấ ồ
47
- - - - . + + x a 1 + x a a = 1 a a x a 2 + a x a a 2 a 2 + a 1 a 2
Nh v y ta luôn có các h th c d i đây: ệ ứ ướ ư ậ
2
- - - - . 1 + + 1 + x a 1 + a x a a a 2 1 + a a )( ( = ) a x a 2 + a x a a a 1 a 1
2
2 a a 3 + a a )( 3
2
- - - - . 1 + + 1 + x a 2 + a x a ( a = ) a x a 3 + a x a a 2 a 3
...
1
1
1
- - - - - - . 1 + a n + + 1 + x a n + a x a ( a = ) a x a n + a x a - - a n a n a a )( n a n
n
1 1 +
n a a 1 + a a )( 1
n
- - - - . + 1 + x a n + a x a ( a = ) a x a 1 + a x a a n a 1
C ng các v theo c t d c ,ta thu đ ộ ọ ế ộ ượ ồ c đ ng nh t th c c n ch ng minh. ứ ầ ứ ấ
(ii). T ng t , nhân các v theo c t d c, ta đ c đi u ph i ch ng minh. ươ ự ộ ọ ế ứ ả
n
( )p x có deg ( )p x ề ượ n< , ta luôn có: 3.1.3. Ví d .ụ V i m i đa th c ớ ứ ọ
k
(
) 0 .
k
= 1
k
k
+ = - a ( p + ) p (cid:0) a a - p x ( ) + n x 1 1 n 2 x x 1 2
k
+ + (2 k p 1) (2 k p 1) a = + = cos i sin , k 1,2...., n . Trong đó n n
n
T đó suy ra các đ ng th c ứ ừ ẳ
= 1
k
+ + (2 (2 k p 1) = cot cos 0. (cid:0) k 2 p 1) n n
n
Và
= 1
k
+ + (2 (2 k p 1) = cot sin n . (cid:0) k 2 p 1) n n
n
Gi i. ả Ta có
k
k a
� a n
= 1
k
= 1
k
n k
k
k
n
) p ( ) = = - . - p 1 a n � - - p x ( ) + n x 1 a ( ( x ) 1 n a k a x
k
= 1
k
p (0) a ( p ). Cho 0x = , ta có 1 = (cid:0) n
48
Khi đó ta có
n
n
k
(
)
k
� p
= 1
k
= 1
k
k
n
k
) a - - = - (0) p a 2 � - p x ( ) + n x 1 1 2 1 n 2 1 n 2
k
= 1
k
k
= - p a ( ). (cid:0) - p a ( k x a + x a x a 1 n 2
n
k
Do đó
k
= 1
k
= - a ( p + ) p (0). (cid:0) - 1 n 2 1 2 + x a x a k
n
( )p x ( ) p x + n x 1 x= và 1x = , ta có Khi ch n ọ
k
k
= 1
k
k
+ = - a (cid:0) . a a - 1 2 1 n 2 1 1
D dàng bi n đ i đ c ổ ượ ế ễ
k
k
k
+ + + p + (2 (2 k 1) (2 p k 1) a = + i cot i sin a a - 1 1 k 2 p 1) n n n � cos � � � . � �
n
V y nên ậ
= 1
k
+ + (2 k (2 k p 1) = (cid:0) cot cos 0. p 1) n 2 n
n
Và
= 1
k
+ + (2 k (2 k = (cid:0) cot sin n . p 1) n 2 p 1) k n
n
( )p x có deg ( )p x n< , ta luôn có 3.1.4. Ví d .ụ V i m i đa th c ớ ứ ọ
k
k
= 1
k
k
+ = - (cid:0) a ( p ) p (0). a a - ( ) p x n x 1 n 2 x x 1 2
p 2 + = cos i sin , k 1,2,..., n . Trong đó a = k k n p 2 k n
T đây suy ra ừ
n
= 1
k
4 - 2cos cos n p k n p 2 k n = (cid:0) . 2 n - 2 2 1 - 5 4cos p k n
49
Gi i ả .Ta có
n
k
k a
= 1
k
= 1
k
� a n
k
k
n k
k
= 1
k
p ( ) ) = = . - p 1 a n � - - - p x ( ) n x 1 1 n a k a x ) a ( x ( n (0)p a ( p ). Cho 0x = , ta nh n đ c ậ ượ 1 = (cid:0) n
n
n
n
Khi đó
k
k
k
k
k
� p
= 1
k
= 1
k
= 1
k
k
k
) = + = p (0) a ( ) a p ( ). a 2 � a ( p a + a - - - 1 + 1 2 1 n 2 x 1 n 2 1 n 2 a x � x
n
p x ( ) n x Do v yậ
k
k
n
= 1
k
k
+ = - (cid:0) a ( p ) p (0). a a - - 1 n 2 x x 1 2
n
( )p x p x ( ) x 1 x= ta thu đ c ượ Ch n ọ
2 k
n
= 1
k
k
x = (cid:0) . - - x 1 1 n a x a
n
Cho 2x = , ta nh n đ c ậ ượ
n
2 k a
= 1
k
k
2 a = (cid:0) . - - 1 n 2 1 2
T đây suy ra ừ
n
= 1
k
4 - 2cos cos n p k n p 2 k n = (cid:0) . 2 n - 2 2 1 - 5 4cos
3.2. M t s l p ph ng trình, h ph p k n ứ ng trình v i hàm phân th c ớ ộ ố ớ ươ ệ ươ
h u t ữ ỷ
2
n
i
a , ..., a + (cid:0) j 0 s các s đôi m t khác nhau và 3.2.1. Ví d .ụ Gi ả ử ộ v iớ a a , ố 1
= j 1, 2, ..., n . Hãy gi ng trình sau: i m i ọ , i h ph ả ệ ươ
+
+
+
=
....
1
x 2 + a
x n +
x 1 (cid:0) + a 1
2
a n
1
2
1
(cid:0)
2
+
+
+
=
....
1
x 1 + a
x + a
x n +
1
2
a n
.
2
2
2
...
+
+
+
=
....
1
x 2 + a
x n +
x 1 (cid:0) + a 1
2
a n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
n
n
50
(cid:0)
, ..., Gi ng trình đã cho xét hàm s i.ả Gi ủ ệ ươ ệ ố s ả ử 1 x x , 2 x là nghi m c a h ph n
n
= 1
i
p x ( ) + + - = 1 , x 1 + x 2 + x 2 x x + n ��� + n x 1 f x = ( ) v i đa th c ớ ứ p(x) b c nậ + i ( x ) (cid:0)
i
ip a (
= a ( f = ) 0, i 1, ..., n = ) 0. Vì nên
Do đó
n
- - ( ) = - f x ( ) . a + x ( x a x )( 1 + x 1)( ) -��� a ) ( x 2 +��� x n ( 2)
T h th c ừ ệ ứ
n
- - ( ) + + - = - 1 . x 1 + x 2 + a + 1 x 2 x x + n ��� + n x x ( x a x )( 1 + x 1)( ) -��� a ) ( x 2 +��� x n ( 2)
Ta suy ra
+ + + + + 3) ) 3) )
x 2)( + + x n ( ��� + + x 1)( + + x n ( ��� + + x x ( 1 + + x x x 4) x ) 1)( x ) x x ( 4
+ 2)( + 1)( + - 1) x + ( x + 1)( x 2) ) + 2) x n ( ��� + ( x n ���
1
n
2
3( + ( x x ��� n a = - 1)( a - - ( x ). ) )( x x x ( 2 + x n ( ��� + - 2) ( x n ��� -��� a ( x
n
Ta nh n đ c các nghi m ậ ượ ệ
n
1
i
= 1
- a - ( 1) + (1 ) (cid:0)
i n
n
= x = - 1 ng v i ứ ớ x 1 - ( 1)!
n
2
i
= 1 i n
n
- a - ( 1) + (2 ) (cid:0) x = - 2 ng v i ứ ớ = x 2 - 1!( 2)!
n
3
i
= 1 i n
- a - ( 1) + (3 ) (cid:0) x = - 3 ng v i ứ ớ = x 3 - 2!( 3)!
51
…
n
n n
i
= 1
i n
- a - ( 1) + n ( ) (cid:0) n= - . ng v i ứ ớ x = x n - ( 1)!
n
c gi i xong . Và h đã đ ệ ượ ả
i
= 1
i
n
i
n
j = + a x ( ) ( x ) (cid:0) khi đó 3.2.2. Ví d . ụ Gi s ả ử
=
i
0
n
i
n
= - - ( 1) ( 1) n ! (cid:0) (i). j i C i ( ) n
i n C i n
=
i
0
n
i
n
= - - ( 1) ( 1) n ! (cid:0) (ii).
=
i
0
- ( 1) ( 1) (cid:0) (iii). = - i i C C + 1 n n
Gi i.ả
trên ta suy ra đ ng nh t th c sau đây (i). T các gi ừ i ả ở ứ ấ ồ
n
n
n )
i
= 1
- j 1 - - - - ( ) - = - 1 . (cid:0) + - - ( 1) i 1)( ( ) i n i 1)!( )! a x + ( x a )( x 1 + x 1)( a )...( x 2 + x n 2)....(
( x 0x = , ta có V i ớ
n
1
n
+ j n
= 1
i
- j 1 - - ( 1) (0) - = 1 (cid:0) . - ( 1) i n !( i ( ) 1)! n !
n
i
n
Hay ta nh n đ ậ ượ c công th c ứ
= 1
i
= - - ( 1) ( 1) n ! (cid:0) . j i C i ( ) n
i
a (Chú ý r ng công th c này cũng đúng cho c tr ả ườ ứ ằ ng h p các ợ có thể
n
i
n
b ng nhau) ằ
i n C i n
i
=
i
0
n
i
n
= - a - ( 1) ( 1) n ! (cid:0) (ii). Công th c ứ đúng cho m i ọ nên khi l yấ
1
n
2
i i n C i i n n
=
i
0
52
a = a = a = = = - - ( 1) ( 1) n !. (cid:0) 0 ��� , ta thu đ c ượ
n
i
n ( 1) .
i
=
i
0
n
- i ( 1) (cid:0) a = ng v i m i (iii). Khi l y ấ ứ ớ ọ i , ta có = - i i C C + 1 n n
i
= 1
i
i
n
j = + a x ( ) ( x ) (cid:0) , khi đó 3.2.3. Ví d . ụ Gi s ả ử
n
= 1
i
- = + - j ( 1) (0) (cid:0) (i). . - j i C i ( ) ( 1) n i 2 1 n 4 ! c
1
2
n
n
i ( 1) 2 i 2
i n i C i 1 n 1
= 1
i
- - - = . (cid:0) (ii). - n 2 ( !) n 2
Gi đ ng th c i.ả Xu t phát t ấ ừ ẳ ứ
= + + - f x ( ) x 1 + x 4 + x 2 1 x a x 1 + a - - - = - . 1 c x ( + x (2 2 x )( 1 + x 1)( 1)( x x + 1 ��� + n x ) n + x n a x )...( 2 + 2)...( )
n
, ..., c suy ra t (i) ượ ừ Ta suy ra (i) khi thay 1 x x , 2
2
n
x và x b i ở 0x , còn (ii) đ a , ..., s các s th c th a mãn h ph ng trình 3.2.4. Ví d . ụ Gi ả ử ố ự ệ ỏ ươ a a , 1
n
=
=
,
r
1, 2, ...,
n .
sau
a k +
4 + r
2
1
k
r
= 1
k
n
(cid:0)
k +
= 1
k
< 1. (cid:0) Ch ng minh r ng ứ ằ 2 a k 1
n
Gi i.ả Xét
= 1
k
2 = + - f x ( ) ( x ) x k (cid:0) (cid:0) a k + x k + x � n � 1 � � + � �� 2 � � = � k 1 �
n
Là đa th c b c � � . � 1 � 2 � f r = v i ớ r = 1, 2, …, n nên ( ) 0 ứ ậ n c a ủ x b i vìở
= 1
r
53
= - f x ( ) a ( x r ). (cid:0)
n
= 1
r
- r = - a 2 . (cid:0) x = - Cho , ta đ c ượ 1 2 - - r 1 2 1 2
Nh v y ư ậ
n
n
n
n
� (
= 1
k
= 1
k
= 1
= 1
r
r
- r 2 + + - - x k x )( )[ = - ] x r ). (cid:0) a k + 1 2 k x + - - x 1 2 1 2 � � 2 ( 1 r 2
T đây suy ra ừ
n
n
= 1
k
= 1
k
n
- ( x - + )( k k ) 2 - 2 . (cid:0) (cid:0) a k + k x + + + x ( x k k )( ) = - 1 2 1 2 1 2
2
k +
= 1
k
n
2 - = - 2 . (cid:0) x = , ta thu đ V i ớ c ượ 2 + 2 a k 1 (2 n 1) 1 2
k +
= 1
k
< 1. (cid:0) Do v y ậ a k 1 2
- - - a b c , , {0, 1, 2, 3} � t và gi s các 3.2.5. Ví d . ụ V i ba s ố a, b, c phân bi ớ ệ ả ử
ng trình s ố x ,y ,z th a mãn h ph ỏ ệ ươ
(cid:0) + + = 1 z + a 1 1 (cid:0) (cid:0) + + = (cid:0) 1. 2 a 2 b 2 c (cid:0) (cid:0) + + = 1 (cid:0) x (cid:0) + 1 x + x + y + b y + y + c z + z + (cid:0) 3 a 3 b 3 c
+ + = + 1 . Ch ng minh r ng ứ ằ x a y b z c 6 abc
= + + f t ( ) - = - 1 , Gi i. ả Xét ứ v i đa th c ớ z + ( ) p t + + + x + a t y + b t c t a t b t c )( )( t )
= = = = f (1) f (2) f (3) 0 p (1) p (2) p (3) 0 ( = nên ( )p t v i b c 3. Vì ớ ậ = và như
54
v yậ
- - - t + + - = - 1 . z + + x + a t y + b t c t t t )( t 2)( ( + a t b t c )( )( ( 3) + t )
3
+ + = + 1 . t = ta đ 0 V i ớ c ượ x a y b z c 6 abc
+ , ng trình 3.2.6. Ví d . ụ Gi ủ ươ s ả ử 1 x x , 2 x là nghi m c a ph ệ 3 x ax b + = 0
- a b+ (cid:0) 1 v i ớ . Hãy tính các giá trị
2
2
2
= + + , D 1 - - - (1 ) (1 ) (1 ) 1 x 1 1 x 2 1 x 3
2 ) (
2 ) (
2 ) .
3
= - - - ( và D 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1
2
2
+ + = - - - x ax b ( x )( x x )( x ) Gi nên i.ả Vì x 1 x 3
+ - - - - - - 3 x + = a ( x )( x ) ( x )( x ) ( x )( x ). x 2 + x 3 x 3 x 1 x 2 x 1
3
T đây ta suy ra ừ
2 b 27 .
2 x 3 )( 1
2 x 3 )( 2
- = - + ( a + a + a 4 a D 2 = - 3 3 ) x 3
2
Ta l i có ạ
+ 1 1 1 a + + . 3 3 = + - - - ( x ) ( x ) ( x ) x + ax x b x 1 x 2 x 3
2
4
V y nên ậ
2
2
2
- + + = . - - - ) ( x ) ( x ) ( x + 3 b a x 6 + + 2 x a b ( ) 1 x 1 1 x 2 1 x 3
2
1x = có V i ớ
2
2
2
2
3
- = + + . D 1 - - - (1 ) (1 ) (1 ) 3 6 = + + (1 + b a a b ) 1 x 1 1 x 2 1 x 3
+ + = , ng trình ủ ươ s ả ử 1 x x , 2 x là nghi m c a ph ệ 3 x ax b 0
3.2.7. Ví d . ụ Gi a(cid:0) 1. b + Tính v i ớ
2 x 3 1)(
2 x 1 1)(
2 x 2 1)(
3
+ + . T = + + + + + + ( 1) ( 1) ( 1) x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2
2
55
+ + = - - - x ax b ( x )( x x )( x ) Gi nên i.ả Vì x 1 x 3
2 x 1 1
2 x 1 1)(
= + + + (1 + - ( 1) x 2 x 3
2 x 2 1
2 x 2 1)(
= , + + x ) 1 a b + (1 + - ( 1) x ) 2 a b x 1 x 3
2
và
= . + + ( 1) + 2 x (1 3 + - 1 x ) 3 a b x 1)( x 2 x 3
3 x 1
3 x 2
2 x 2
2 x 3
2 x 1 a b
+ + + + - - = = Suy ra T . + 3 x 3 + - 1 2 a b 3 + - a b 1
ng trình 3.2.8. Ví d . ụ Ch ng minh r ng ph ứ ằ ươ
1 1 1 + + = 2. - - - x 1 x 2 x 3
Có ba nghi m th c phân bi ự ệ t ệ
3
Gi i.ả Xét t ng các phân th c ứ ổ
3
+ 2 - - 1 1 1 = + + f x ( ) - = - 2 . - - - - - - x x 2 x 3 x 2 x ( 15 1)( x x 34 x x 2)( 23 3) 1
)
+ 2 - - < (1) 0, g > (2) 0, g g (3) 0 g = ( ) 2 g x x 15 x 34 x 23. Vì < và > (4) 0 Đ t ặ
( g x = có ba nghi m th c phân bi
0 nên t. Do v y ự ệ ệ ậ f(x) = 0 có ba nghi mệ
th c phân bi t. ự ệ
2n (cid:0) f x là đa th c b c s có n nghi m th c phân bi 3.2.9. Ví d .ụ Gi ả ử ( ) ứ ậ ự ệ ệ t
n
n
- , ..., 1n(cid:0) x . Khi đó " đa th c g(x) b c , ta luôn có ứ ậ x x , 1 1
k
= 1
k
) = , (cid:0) x x(cid:0) (i). v i m i , k=1,2,….n ớ ọ - ( ) g x f x ( ) g x ( k x )( ) f x '( k x k
n
T đó hãy tính t ng ừ ổ
= 1
k
s x k ' f x ( k
= (cid:0) (cid:0) - , 0 s n 2, (cid:0) T s )
56
và t ngổ
1
n
n
-
1
= 1
k
. = (cid:0) - T n ) x k ' f x ( k
(ii). Tính t ngổ
n
1
k e
=
0
k
k
- e . (cid:0) S= - x
p 2 + cos i sin . v i ớ e = k k n p 2 k n
Gi i.ả
n
(i). Theo đ nh lý Lagrange , ta có ị
= 1
k
k
) = . (cid:0) - ( ) g x f x ( ) g x ( k x )( x ) f x '( k
n
s
= (cid:0) - x , k 1,2....., n , n(cid:0) 1. V i m i ớ ọ và đa th c ứ ( )g x có b c ậ x k
s x f x ( ) k x )(
= 1
k
k
n
x = = k (cid:0) , suy ra Ch n ọ ừ ( )g x = sx , t - x ) f x '( k
= 1
k
s x k f x '( k
= = (cid:0) (cid:0) - 0,0 s n 2 (cid:0) T s )
s n= - 1 V i ớ , có t ng ổ
1
n
1
= 1
k
n x k f x '( k
- = = 1. (cid:0) - T n )
n
1
n
1
k
=
0
k
- - = e - x ( x ) (cid:0) , suy ra (ii). T ừ
n
1
n
1
=
0
k
k
- - = . (cid:0) 1 e - - nx n x 1 x
Do đó
n
n
1
n
k e
=
0
k
k
- e n = = S - = n (cid:0) - - - x nx n x 1 x . 1
3.2.10. Ví d . ụ Phân tích
2
2
2
2
2
57
= f x ( ) . + + + x x ( 1)( x 1 2 )....( x n )
k
n
i đây (trên ﾥ ) thành t ng các phân th c đ n gi n . T đó hãy tính t ng d ứ ơ ừ ả ổ ổ ướ
2
= 1
k
n
- . (cid:0) - + n k ( )!( ( 1) n k + )!(1 k )
= 1
k
f x ( ) . (cid:0) Gi i.ả Ta có a = + x + a x b k k + 2 2 k x
k
n
T đây suy ra ừ
2
2
= 1
k
- = + f x ( ) 2 . (cid:0) + 2 - 1 n ( !) x + n k ( )!( ( 1) n k x )!( x k )
k
n
Cho 1x = , ta nh n đ c ậ ượ
2
2
2
= 1
k
- 1 = - . (cid:0) + - ( 1) n k + n k ( )!( + )!(1 k ) + 2 4(1 2 )....(1 n ) 1 n 2( !)
3
2
1
- - a a a (cid:0) , , {0, 1, 2} Khi đó có 3.2.11. Ví d . ụ Cho ba s th c phân biêt ố ự
1 a
2 1 +
det 0D (cid:0) D , v i ớ 1 a 1 1 + 1 a 4 1 + 1 1 1 a 2 a 3
1 + 1 + 1 + 2 2 2 a 2 a 3 � � � � = � a � 1 � � a � 1
� � � � . � � � � � 0D = thì các dòng c a ma tr n Gi ủ i.ả N u đ nh th c ứ det ế ị ậ D là ph thu c ộ ụ
1
2
, , tuy n tính . Khi đó có ế ờ ằ ồ u u u không đ ng th i b ng 0 sao cho 0
+ + = = 0, i 1, 2, 3. u 1 + u 2 + 1 2 u 0 a i a 1 a i
Xét hàm
)
= + + = f x ( ) , u 1 + u 2 + + 1 2 x x ( p x ( ) + x 1)( 2) u 0 a i a i a i
( p x có b c ậ (cid:0)
i
ip a = v i ớ i =1, 2, 3. V yậ (
) 0 2. Vì f a = nên ) 0 ( v i đa th c ớ ứ
iu (cid:0)
- - (cid:0) - p x (cid:0) ( ) 0 f x (cid:0) ( ) 0 x (cid:0) {0, 1, 2} 0 i hay khi . N u t n t i thì khi x ta ế ồ ạ
iu i+ x
58
(cid:0) (cid:0) có .
i-
(cid:0) f x (cid:0) ( ) Khi đó . Do đó , khi x đ g n có ủ ầ f x quá l n , m u thu n ( ) ẫ ẫ ớ
0
2
= = f x (cid:0) ( ) 0 u u 0 . Đi u này ch x y ra = , hay đi u gi s là sai. v i ớ ỉ ả ề ề ả ử u 1
D (cid:0) 0. V y ậ det
3.3. Ph ươ ng trình hàm trong l p hàm phân th c h u t . ứ ữ ỷ ớ
Trong m c này ta xét m t s bài toán v ph ộ ố ụ ề ươ ế ng trình hàm liên quan đ n
hàm phân th c h u t ứ ữ ỷ
f x g x ( ) ( ), 3.3.1. Bài toán. Ch ng minh r ng không t n t i hai đa th c th c ồ ạ ứ ằ ứ ự
2
th a mãn đi u ki n ề ệ ỏ
2
x + = 1 f x ( ) g x ( )
2
2
2
2
( ) x + = 1 Gi s t n t i f x g x sao cho ( ), . Ta có th coi i.ả Gi ả ử ồ ạ ể f x ( ) g x ( )
2
2
2
2
2
2
= + = ( g x ( ) ( x 1) f x ( ) f x g x = Khi đó ( ), ( )) 1 .Vì ả x + là b t kh quy 2 1 ấ
2
= + = + f x ( ) x +M 1 f x ( ) ( x h x 1) ( ) g x ( ) ( x 1) h x ( ) nên hay . V y ậ và như
f x g x = ( ), ( )) 1. g x ( ) x +M 1 th ế ọ ( m u thu n v i vi c ch n ớ ệ ẫ ẫ
3.3.2. Bài toán. Tìm các hàm s ố ( ) f x th a mãn đi u ki n ệ ề ỏ
- + " (cid:0) (cid:0) f x , 1. (1.2) + - x x 3 1 x x + 3 1 � � � � = f � � � � � � � �
+ - = = " (cid:0) (cid:0) t x x 1. , Gi , thì i.ả Đ t ặ + - x x 3 1 3 1 t t
+ - = x . = t, Đ t ặ ở - 3 1 t t t t 3 + Khi đó (1.2) tr thành 1
- = " (cid:0) (cid:0) f f t ( ) , t 1. (1.3) t + t 3 1 + 3 t � �+ � �- t 1 � �
+ - = = t x thì Đ t ặ - 3 1 x x t t 3 + . Khi đó 1
(
)
59
- - = " (1.2) f t f , t � 1 �� (1.4) + t t 3 1 t 3 � �+ � �+ t 1 � �
Công v v i v c a (1.3) và (1.4) , ta thu đ c ế ớ ế ủ ượ
+ - + = + + " (cid:0) (cid:0) t 2 ( ) f f t 1. - - 3 1 t t + t + t 3 1 t + t 3 1 t t + 3 1 � � � � f , � � � � � � � �
2
2
= (cid:0) (cid:0) t 2 ( ) f + " , t t 1 f t ( ) Suy ra , hay . Th l ử ạ ấ i , ta th y - - 1 = - + 2 1 t 4 t t 8 t 1
2
4 f x ( ) hàm s ố th a mãn đi u ki n bài ra . ề ệ ỏ - x = - + 2 1 x x
3.3.3. Bài toán. Cho hàm s ố ( ) ệ ﾥ và th a mãn các đi u ki n ề ỏ ụ
f x liên t c trên = (2010) 2009 f . (1.5)
4
(cid:0) ( ) 1 x" . f x f x = , ( ). ﾥ (1.6)
nf x ( )
= f (2008) f ( f ....( f x ( ))), Trong đó .
fI
f
= " (cid:0) f R ( ) x I Gi . Khi đó , ta có . T (1.5) cho ta i.ả Đ t ặ ừ n l n ầ f , hãy tính xf x = , 3( ) 1
fI
fI
4f (2010) =
(cid:0) (cid:0) 2009 x = 2010 thì hay . . Trong (1.6) th ế 1 2009 1 2009
fI
;2009 M t khác, ﾥ nên D = . ặ f liên t c trên ụ 1 2009 � � � �(cid:0) � �
D
3
= " (cid:0) f x ( ) x D , Do đó . Suy ra f là đ n ánh trên ơ 1 x
D nên f đ n đi u gi m trên D . H n n a , ơ ữ f liên t c trên ụ ệ ả ơ
> ) f x ( 0 Gi sao cho . ả ử 0x D(cid:0) s 1 x 0
f x ta có ( ) S d ng tính đ n đi u gi m c a ơ ử ụ ủ ệ ả
> ) ) f f x ( 0 hay (1.7) f x ( 2 0 1 x 0 � � 1 > � � x � � 0
2
60
= ) f Suy ra . Do đó f x ( 3 0 1 x 0 � � 1 > � � x � � 0
0
0
< f . (1.8) x 0 1 x 1 x � � � � = f � � � � 3 � � � �
0
< = > ) ) ) f x ( 0 f x ( 3 0 T (1.7) và (1.8) ta thu đ c , hay .Đi u này ừ ượ ề x 0 f x 0( 2 1 x
0
< = (cid:0) ) . f x ( ) , x D . f x ( 0 thi t m u thu n v i gi ẫ ẫ ớ ả ế V y ậ 1 x 1 x
(cid:0) f (2008) . Hi n nhiên ,2008 D nên = ể 1 2008
(cid:0) S = - +(cid:0) ( 1, ) :f S S , tìm t t c các hàm só th a mãn 3.3.4. Bài toán. Đ t ặ ấ ả ỏ
các đi u ki n ề ệ
)
)
)
( f y
( xf y
( f x
( yf x
) ,
+ + + " (cid:0) = + y x y S , (1.9) f x � � � �
tăng trên (-1;0) và (0, +(cid:0) ) (1.10) ( ) f x x
a = 0 Gi i sao cho i.ả N u t n t ế ồ ạ a S(cid:0)
x Th t v y , trong đi u ki n (1.9) cho ậ ậ ề ệ
)
)
)
( f a
( af a
( f a
2
2
+ + f a = thì ta có ( ) 0 = = , ta đ a y ) + = + a c ượ ( af a . f a � � � �
)
(
)
( f a
2
+ = + a= f a ( a 2 ) a 2 a Suy ra .
( f b
vì ) + suy ra b= . Ta xét ba tr Đ t ặ ườ ng h p ợ = b a 2 a
2
= (cid:0) + = = a 2 a a a 0. - N u ế b a= thì 0 = - a ��(cid:0) a 1 ( loai ) (cid:0)
2
> (cid:0) 0 + > > a 2 a a a 0. - N u ế b a> thì < - a ��(cid:0) a 1 ( loai ) (cid:0)
> )+(cid:0) Vì b a> > thì 0 , (vì tăng trên (0, . Suy ra 1>1 ( Đi uề ( ) f b b ( ) f a a ( ) f x x
61
nay vô lý )
2
+ - < < < b a 0 b a< thì , hay 1 suy ra - N u ế a < a a 2 - < < a 1 0 �
> )+(cid:0) ( vì tăng trên (0; . Do v y ậ 1 1< ( vô lý )) ( ) f b b ( ) f a a ( ) f x x
V y n u ế ậ
(cid:0) (cid:0) a S (cid:0) a = 0 thì . = f a ( ) a (cid:0)
Trong (1.9) cho y
cượ + + x= , ta đ + f x ( f x ( ) xf x ( )) = + x f x ( ) xf x ( ).
- + + = x f x ( ) xf x ( ) 0 f x ( ) . Suy ra = , hay x + x 1
+
+
- = f x ( ) Th l i ta th y ử ạ ầ ệ ề ỏ x + th a mãn các đi u ki n bài ra. x 1
+
(cid:0) ﾥ ﾥ 3.3.5. Bài toán. Tìm t t c các hàm s th a mãn đi u ki n ấ ả ố :f ệ ề ỏ
= " (cid:0) ﾥ xf xf y ( ( )) f ( f y ( )), x y , . (1.11)
= f (1) f (1) f ( f y ( )), Gi ta có hay i.ả Đ t ặ a= , thay x b i ở 1 f y ( ) 1 f y ( )
= f ( f y ( )) . a f y ( )
= f f ( f y ( )) ta đ , suy ra Thay x b i ở c ượ 1 f x ( ) 1 f x ( ) a f y ( ) � �= f y ( ) � � f x ( ) � �
f a . (1.12) f x ( ) f y ( ) � �= f y ( ) � � f x ( ) � �
= x . Vi i d ng t l ế ạ i đi u ki n bài ra d ệ ề ướ ạ f y f f xf y ( )) ( )) ( (
= = f x ( ) f a . c Theo công th c (1.12) ta đ ứ ượ ( )) ( )) ( ( f xf y f y f ( )) ( )) ( ( a x � f f y � f xf y � � = � �
62
D dàng ki m tra hàm s này th a mã các đi u ki n bài ra. ể ề ệ ễ ố ỏ
= f x ( ) " > x , 0. V y hàm s c n tìm là v i a là h ng s d ng ố ầ ậ ố ươ ằ ớ a x
K t lu n
ế
ậ
ộ ố ế ạ ả
Lu n văn đã đ t m t s k t qu sau: ậ • Xây d ng vành đa th c K[X] ứ ự
• Xây d ng tr ng các phân th c h u t ự ườ ứ ữ ỷ ộ ố ế và h th ng hóa m t s ki n ệ ố
th c c b n v phân th c h u t ề ứ ơ ả . ứ ữ ỷ
• Phân tích phân th c h u t ữ ỷ ứ thánh phân th c đ n gi n và th c hành ơ ự ứ ả
phân tích phân th c h u t trong đó có ph ng pháp đ c bi ữ ỷ ứ ươ ặ ệ ử t s
d ng công th c n i suy Lagrange đ phân tích phân th c h u t ụ . ứ ữ ỷ ứ ộ ể
• Đ a ra m t l p các bài toán liên quan đ n phân th c h u t ộ ớ ữ ỷ ứ ư ế ứ , ch ng
63
minh đ ng th c, ph ng trình, h ph ng trình, ph ng trình hàm. ứ ẳ ươ ệ ươ ươ
Tài li u tham kh o ả
ệ
[1] Jean – Marie Monier, Đ i S 1 – Giáo trình và 600 bài t p có l i gi ạ ố ậ ờ ả , i
NXB Giáo D c, 1999. ụ
[2] Nguy n Văn M u, ậ Đa th c đ i s và phân th c h u t ứ ạ ố ứ ữ ỷ, NXB Giáo D c,ụ ễ
2004.
[3] Nguy n Văn M u, ậ Các bài toán n i suy và áp d ng ộ ụ , NXB Giáo D c,ụ ễ
2008.
[4] T p chí toán h c và tu i tr , , NXB Giáo D c, 2003. ổ ẻ Tuy n t p 5 năm ể ậ ạ ọ ụ
64
[5] Tài li u t Internet. ệ ừ
