Khóa luận tốt nghiệp: Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng

Phân thức hữu tỷ là một khái niệm cơ bản trong chương trình Toán học phổ thông và đại học. Luận văn này được thực hiện nhằm mục đích phục vụ công tác giảng dạy và làm tiền đề cho việc nghiên cứu sâu hơn về vành phân thức hữu tỷ và các ứng dụng của chúng.

Tài liệu này hướng đến sinh viên, giáo viên và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là đại số và giải tích, nhằm cung cấp kiến thức nền tảng và các ứng dụng thực tiễn của vành phân thức hữu tỷ.

Luận văn này tập trung nghiên cứu về vành phân thức hữu tỷ và các ứng dụng của chúng, được cấu trúc thành ba chương chính. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về vành đa thức K[X], bao gồm cách xây dựng vành đa thức, hàm đa thức, số học trong vành K[X], không điểm của đa thức, và đa thức với hệ số phức và thực. Đặc biệt, chương này giới thiệu chứng minh Định lý cơ bản Đại số (Định lý d'Alambert) và thuật toán chia theo lũy thừa tăng. Chương 2 đi sâu vào phân thức hữu tỷ, trình bày cách xây dựng trường các phân thức hữu tỷ, phương pháp phân tích thành các phân thức đơn giản, thực hành phép phân tích này, cùng với Định lý Lagrange và ứng dụng của nó trong phân tích phân thức hữu tỷ. Cuối cùng, Chương 3 đề cập đến một số bài toán liên quan đến phân thức hữu tỷ, bao gồm các phương trình và hệ phương trình với hàm phân thức hữu tỷ, và phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ. Các kết quả chính đạt được bao gồm việc xây dựng vành đa thức, trường các phân thức hữu tỷ, hệ thống hóa kiến thức cơ bản, phân tích phân thức hữu tỷ bằng công thức nội suy Lagrange, và giải quyết các bài toán liên quan.