Luận án Tiến sĩ: Chặn trên cho một số bất biến của vành và Iđêan phân bậc

Luận án này tập trung nghiên cứu các chặn trên cho một số bất biến quan trọng của vành và iđêan phân bậc trong đại số giao hoán. Các bất biến được xem xét bao gồm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, hàm Hilbert-Samuel và các hệ số Hilbert.

Luận án này hướng đến các nhà nghiên cứu, giảng viên, và nghiên cứu sinh trong lĩnh vực đại số giao hoán, hình học đại số, lý thuyết số và các ngành toán học liên quan. Nó cung cấp những kết quả chuyên sâu và phương pháp nghiên cứu tiên tiến trong việc xác định các chặn trên cho các bất biến của vành và iđêan.

Luận án tiến sĩ này trình bày các kết quả nghiên cứu về chặn trên cho các bất biến của vành và iđêan phân bậc, đóng góp vào lĩnh vực đại số giao hoán. Nội dung chính được chia thành ba hướng. Thứ nhất, luận án đi sâu vào việc thiết lập các chặn cho các hệ số Hilbert. Cụ thể, nghiên cứu tính không dương của các hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên sơ dưới các điều kiện nhất định về độ sâu của vành phân bậc liên kết và số mũ rút gọn. Đồng thời, luận án cũng thiết lập các chặn cho các hệ số Hilbert của iđêan tham số dựa trên hệ số Chern, mở rộng các kết quả đã biết trong lý thuyết. Thứ hai, luận án khảo sát bài toán nhiễu của iđêan trong vành Noether địa phương. Khái niệm chỉ số nhiễu Hilbert N(I, J) được giới thiệu và một chặn tuyến tính cho chỉ số này được thiết lập dựa trên bậc mở rộng. Nghiên cứu cũng chứng minh sự bảo toàn của hàm Hilbert-Samuel đối ngẫu liên kết với môđun Artin qua nhiễu, giải quyết một số câu hỏi mở trong lĩnh vực này. Thứ ba, luận án tập trung vào chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của các iđêan khử liên kết với đồ thị. Bằng cách sử dụng các khái niệm và phương pháp từ lý thuyết đồ thị, luận án tính toán chỉ số ổn định bậc và thiết lập các chặn trên cho chỉ số chính quy của iđêan khử liên kết cho một số lớp đồ thị cụ thể như đồ thị nòng nọc, đồ thị cối xay gió Hà Lan và đồ thị n-tạ. Các phương pháp được sử dụng trong luận án liên quan đến đại số Rees, vành phân bậc liên kết, và đối đồng điều địa phương, mang lại những đóng góp mới và quan trọng cho lý thuyết đại số giao hoán.