Luận án Tiến sĩ ngành Toán học: Khai triển tiệm cận các tích phân kỳ dị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án nhằm nghiên cứu tổng quan dáng điệu tiệm cận của các tích phân kì dị dao động thông qua số hạng đầu tiên trong các công thức tiệm cận tương ứng của chúng và khảo sát các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận đó; mở rộng hàm gamma Euler và nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suy rộng đó; tìm công thức tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện MikhailovGindikin.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ ngành Toán học: Khai triển tiệm cận các tích phân kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT TRẦN GIA LỘC KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CÁC TÍCH PHÂN KỲ DỊ LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH TOÁN HỌC Đà Lạt – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT TRẦN GIA LỘC KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CÁC TÍCH PHÂN KỲ DỊ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62.46.01.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GS. TSKH. Lê Dũng Tráng 2. TS. Trịnh Đức Tài Đà Lạt - 2014
LỜI CAM ĐOAN Luận án này được viết bởi chính tôi, các kết quả liên quan đến luận án là của tôi hoặc của tôi làm việc chung với GS.TSKH. Lê Dũng Tráng, PGS.TSKH. Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài. Các kết quả khác được sử dụng để viết luận án đều được trích dẫn đầy đủ. Các kết quả của tôi hoặc của tôi làm việc chung với các nhà toán học trên là mới và chưa công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. PGS.TSKH. Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài đã đồng ý cho tôi sử dụng các kết quả nghiên cứu chung của tôi với họ để viết luận án này. Luận án này được viết và hoàn thành tại Viện Toán học và Trường Đại học Đà Lạt, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Tráng, PGS.TSKH. Hà Huy Vui và TS. Trịnh Đức Tài; đã được ba nhà Toán học trên đọc, góp ý và sửa chữa. Đà Lạt, ngày 01 tháng 08 năm 2014 Trần Gia Lộc i
LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi bày tỏ lòng biết ơn cố PGS.TSKH. Nguyễn Hữu Đức, người đã dạy và hướng dẫn tôi làm luận văn Thạc sĩ, đã dẫn dắt tôi đến với lý thuyết kỳ dị, đã khuyến khích động viên tôi tiếp tục làm nghiên cứu sinh và dành cho tôi sự quan tâm sâu sắc. Đặc biệt, ông đã giới thiệu tôi theo học và làm việc với GS.TSKH. Lê Dũng Tráng để hoàn thành luận án này. Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Tráng. Thầy đã đặt ra các bài toán một cách tường minh giúp tôi nhanh chóng định hướng nghiên cứu của mình. Dù bận rộn với công việc và gặp vấn đề về sức khỏe, nhưng Thầy vẫn kiên trì theo dõi và động viên tôi làm việc, đã dành cho tôi một sự quan tâm đặc biệt, đã đề xuất các hướng nghiên cứu và đưa ra các câu hỏi xác đáng, giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án. Qua kiến thức uyên bác và sự hướng dẫn của Thầy, tôi đã biết và hiểu rõ giá trị của một số lĩnh vực Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Trịnh Đức Tài đã dành cho tôi những buổi seminar và những lần trao đổi bổ ích, giúp tôi vượt qua sự bỡ ngỡ ban đầu để giải quyết bài toán của GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi, đã đọc và có những ý kiến xác đáng giúp tôi chỉnh sửa luận án này. Luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ và hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH. Hà Huy Vui. Từ cuối năm 2008, thầy đã quan tâm động viên, khuyến khích và nhẫn nại dành thời gian dạy và hướng dẫn tôi vượt qua những khó khăn ban đầu để đọc các công trình của B. Malgrange liên quan đến các bài toán mà GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi. Đặc biệt từ năm 2011, Thầy đã đặt ra bài toán tìm tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của một tập nửa đại số cho tôi, kiên trì hướng dẫn tôi giải quyết bài toán đó để hoàn thành luận án này. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy. Tôi trân trọng cảm ơn PGS.TS. Tạ Lê Lợi, PGS.TS. Phạm Tiến Sơn, TS. Đỗ Nguyên Sơn và nhóm seminar lý thuyết kì dị của Khoa Toán - Đại học Đà Lạt đã dành cho tôi những buổi seminar bổ ích, sẵn sàng chia sẽ kiến thức, đã quan tâm ii
hỗ trợ vật chất và tinh thần cho tôi trong quá trình nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào Tạo Đại học và Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa Toán Tin học của trường Đại học Đà Lạt; Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Đà Lạt đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Đà Lạt. Tôi trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Phòng Hình học và Tôpô, nhóm seminar kỳ dị của Viện Toán học đã hỗ trợ vật chất và điều kiện làm việc thuận lợi cho tôi trong những lần tôi đến Viện Toán học để học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH. Hà Huy Vui. Tất nhiên luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự hậu thuẫn, cảm thông, chia sẽ và động viên của gia đình tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu sinh. Lời cảm ơn cuối cùng này tôi xin dành cho gia đình thân yêu của tôi. Đà Lạt, 09 tháng 08 năm 2014 Trần Gia Lộc iii
Mục lục LỜI CAM ĐOAN i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Danh sách hình vẽ vii Danh sách các ký hiệu viii Tóm tắt xii Mở đầu 1 Các Hội nghị và Seminar có báo cáo kết quả của luận án 5 Các công trình của tác giả liện quan đến luận án 6 1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 7 1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Phương pháp pha dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Trường hợp hàm pha không có điểm kỳ dị trong supp(f ) . . . 10 1.2.2 Trường hợp hàm pha có kỳ dị không suy biến . . . . . . . . . 11 1.3 Tích phân dao động trong trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Đánh giá tích phân dao động một chiều . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Tích phân dao động trong trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . 18 1.5 Trường hợp hàm pha là đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Đa diện Newton và tích phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.2 Đa diện Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.3 Đa diện Newton và đánh giá tích phân dao động . . . . . . . . 28 1.7 Tích phân dao động phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iv
MỤC LỤC 1.8 Tiệm cận thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8.1 Dạng Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8.2 Thể tích của tập dưới mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8.3 Tích phân kiểu Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng 33 2.1 Đơn đạo của một kì dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Đa thức Bernstein-Sato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Đa thức Bernstein-Sato và thác triển giải tích của hàm f s . . . . . . 40 2.4 Hàm gamma suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.1 Khảo sát giả thuyết 2.4.1 bằng cách sử dụng tính chất của hàm gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2 Một điều kiện đủ cho phương trình hàm (2.3) . . . . . . . . . 45 2.5 Hàm gamma ứng với f (t) = tk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.1 Tính chất của Γtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.2 Khai triển tiệm cận của Γtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.3 Quan hệ giữa Γtk và Γk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.6 Hàm zeta và hàm beta suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.1 Hàm f −beta và hàm f −zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.2 Các hàm tk − beta và tk − zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Phương trình hàm của Γf với f là đa thức bậc hai . . . . . . . . . . 56 3 Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tập nửa đại số 58 3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Phát biểu các kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Các chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 Chứng minh Định lý 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.2 Chứng minh Định lý 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3 Chứng minh Định lý 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 KẾT LUẬN 85 A Các khái niệm cơ bản 87 A.1 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.2 Không gian L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A.3 Các ký hiệu ∼ , , o , và O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 v
MỤC LỤC A.4 Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A.5 Đa thức monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị 90 B.1 Nhóm đồng điều đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 B.1.1 Đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 B.1.2 Phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B.1.3 Hướng của phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 B.1.4 Nhóm các dây chuyền p chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 B.1.5 Các số Betti và đặc trưng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B.2 Đồng điều kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B.2.1 Quan hệ giữa đồng điều đơn hình và đồng điều kì dị . . . . . . 98 Các thuật ngữ 99 Tài liệu tham khảo 101 vi
Danh sách hình vẽ 1.1 Đa diện Newton của K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2 (a) Đa diện Newton của φ, (b) Lược đồ Newton của φ . . . . . 27 2.1 Phân thớ Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1 (a) - đa diện Newton của f (b) - đa diện Newton của f tại vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 (a) - đa diện Newton của g (b) - đa diện Newton của g tại vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B.1 Các đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B.2 Các phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B.3 Không là phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B.4 Tam giác phân của băng M¨ obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 B.5 Đơn hình 2 chiều định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 B.6 Đơn hình 3 chiều định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 B.7 Các đơn hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 B.8 Các đơn hình kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 vii
Danh sách các ký hiệu Các chuẩn và không gian k . kLp chuẩn Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 R p1 k f kLp Rd | f (x) |p dx - chuẩn Lp của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 k . kL∞ chuẩn L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 k f kL∞ chuẩn L∞ của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 | Dα f (x) | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 P k f kC N (Ω) max x∈Ω |α|≤N aα xα . . . . . . . . . . . . . . 22 P P kP k | aα |, chuẩn của đa thức P (x) = 0 0 - phép biến đổi Laplace của f . . . . . . . . 47 R f+s , ϕ Rn ϕ(x)f+s dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 R Rn eiλφ(x) f (x)dx tích phân dao động loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 viii
Danh sách các ký hiệu Các số và hằng số đặc biệt = limn→∞ 1 + 21 + · · · + n1 − log n , hằng số Euler . . . . . . . . . . . . . . . 49 γ µ = dimC OX,0 / ∂x ∂f 1 , ..., ∂f ∂xn , số Milnor của f tại điểm kỳ dị 0 . . . . 34 Các hàm đặc biệt và các hàm suy rộng R +∞ Γ(s) = 0 e−t ts−1 dt, hàm gamma Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 R∞ Γf (s) = 0 f (t)s−1 e−t dt - hàm gamma ứng với f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 R∞ Γtk (s) = 0 tk(s−1) e−t dt , Re(s) > 1 − 1 k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 R∞ tk Γk (s) = 0 ts−1 e− k dt, hàm k-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 R1 B(p, q) = 0 tp−1 (1 − t)q−1 dt, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm beta . . . . . . . . . . 54 Γf (p)Γf (q) Bf (p, q) = , Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm f -beta . . . . . . . . . . . . . . . 54 Γf (p + q) Γtk (p)Γtk (q) Btk (p, q) = , Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm tk − beta . . . . . . . . . . . . 55 Γtk (p + q) P∞ 1 ζ(s) = n=1 , Re(s) > 1, hàm zeta Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ns P∞ 1 ζH (s, a) = n=0 , Re(s) > 1, a 6= 0, −1, −2, . . ., hàm zeta Hurwitz (n + a)s 54 1 R ∞ s−1 ζf (s) = f (1 − e−t )−1 e−t dt, Re(s) > 1, hàm f -zeta . . . . . . . . 54 Γf (s) 0 1 R ∞ k(s−1) ζtk (s) = t (1 − e−t )−1 e−t dt, Re(s) > 1, hàm tk − zeta . . . 55 Γtk (s) 0 Các ký hiệu khác bf (s) hoặc b(s), đa thức Bernstein-Sato của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 K(x, t) hạt nhân Calderon-Zygmund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 coneΓ(f ) nón sinh bởi Γ(f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 ∆+ (d) = {(d1 , . . . , dn ) ∈ Rn+ : d1 = . . . = dn } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Eα {x ∈ [a, b] :| φ(x) |≤ α}, tập dưới mức của φ trên [a, b] . . . . . . . . . . . 15 ix
Danh sách các ký hiệu Gf (r) = {x ∈ Rn : | fi (x) |≤ r, i = 1, . . . , m}, tập dưới mức của ánh xạ đa thức f = (f1 , . . . , fm ) : Rn −→ Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 | Gf (r) | hoặc V olume Gf (r), thể tích của tập Gf (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 D∞ Γ(f ) điểm xa nhất, tính từ gốc tọa độ, trong các giao điểm của Γ(f ) với đường chéo ∆+ (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Hp (Xt , C) nhóm đồng điều thứ p của thớ Xt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 R J(t) φ=t f dx1 ∧ . . . ∧ dxn /dφ, hàm Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 ∂ φ (x0 ) ma trận Hessian của φ tại x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ∂xi ∂xj Λ∞ mặt có số chiều nhỏ nhất của Γ(f ) cắt ∆+ (d) tại D∞ Γ(f ) . . . . . . . 62 H ma trận của đơn đạo của f đối với một cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Γ+ (K) đa diện Newton của tập K ⊂ Nk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Γ+ (K) lược đồ Newton của tập K ⊂ Nk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 m Γ(f ) = conv ∪ supp(fi ) , đa diện Newton của ánh xạ đa thức f = i=1 (f1 , . . . , fm ) : Rn −→ Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 m Γ∞ (f ) = conv ∪ supp(fi ) ∪ {0} , đa diện Newton của ánh xạ đa thức i=1 f = (f1 , . . . , fm ) : Rn −→ Rm tại vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Γ(f e ) đa diện đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 o Rn {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : xj 6= 0, j = 1, . . . , n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ∂φ ∂φ ∇φ(x0 ) (x0 ), . . . , (x0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ∂x1 ∂xn sgn φ00 (x0 ) dấu của φ00 (x0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 supp(f ) {x ∈ Ω : f (x) 6= 0}, giá của hàm f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 {n ∈ Nk : an 6= 0}, giá của chuỗi φ = an xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 P supp φ n∈K ∂ P (x, s, ) toán tử đạo hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 ∂x |β| ∂ β P (s)∗ P = β (−1) ∂x aβ (x, s), toán tử liên hợp của toán tử vi phân ∂ β P P (s) = β aβ (x, s) ∂x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 x
Danh sách các ký hiệu ∧ tích wedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 o Zn {κ = (κ1 , · · · , κn ) ∈ Zn : κj 6= 0, j = 1, · · · , n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 o Zf (r) = Gf (r) ∩ Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 o f n Card G (r) ∩ Z số điểm nguyên của Gf (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 xi
TÓM TẮT Trong phạm vi của luận án này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiên cứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng Z I(λ) = eiλφ(x) f (x)dx Rn và các bài toán liên quan đến nó; trong đó λ là một số dương đủ lớn, φ là hàm trơn có giá trị thực được gọi là hàm pha, f là hàm trơn có giá trị phức gọi là hàm biên độ. Theo Elias M. Stein, có ba vấn đề cơ bản khi xét dáng điệu của I(λ), khi λ → +∞, là địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận. Có nhiều phương pháp và công cụ để khảo sát dáng điệu của tích phân dao động I(λ), trong đó việc sử dụng các tính chất của đa diện Newton của hàm pha φ là một trong những công cụ hữu hiệu. Luận án này gồm có 3 chương. Trong chương một chúng tôi nghiên cứu tổng quan về tích phân kỳ dị dao động. Trước tiên chúng tôi nghiên cứu phương pháp pha dừng, tiếp theo là nghiên cứu tích phân dao động theo ba vấn đề cơ bản của Elias M. Stein và các học trò. Sau cùng chúng tôi nghiên cứu những kết quả gần đây của E.M. Stein, D.H. Phong, J.A. Sturm, B. Malgrange, V.I. Arnold, A.N. Varchenko, M. Greenblatt, I. Parissis,... trong trường hợp hàm pha là đa thức, hoặc là hàm giải tích. Đặc biệt chú ý đến các số mũ trong công thức tiệm cận của tích phân dao động, mối liên hệ giữa chúng với các tính chất của đa diện Newton của hàm pha φ. Những kết quả đó cũng là động cơ và là khởi nguồn của những kết quả của chúng tôi. Trong chương hai, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức Bern- stein và hàm gamma Euler, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa nghiệm của đa thức Bernstein và giá trị riêng của ma trận monodromy của một hàm giải tích thông qua các ví dụ, ban đầu đã nhận được hàm gamma suy rộng Γf từ hàm gamma Euler ứng với f là một đơn thức, và nhận xii
được nhiều tính chất tương tự như các tính chất của hàm gamma Euler ([Loc11], [LT12]). Trong chương ba, chúng tôi nghiên cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận mà chúng tôi thu được, được biểu diễn một cách tường minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó ([VL14]). xiii
MỞ ĐẦU Tổng quan những vấn đề liên quan đến luận án Tích phân dao động đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và các nhà Vật lý từ khi xuất hiện công trình Théorie Analytique de la Chaleur của Joseph Fourier vào năm 1822. Nhiều bài toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; các bài toán về quang học, âm học, cơ học lượng tử,... đều có thể đưa về việc nghiên cứu các tích phân dao động. Mặc dù bài toán này đã có từ lâu, nhưng do phạm vi ứng dụng rộng lớn của nó, nên đến nay vẫn có nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nó và đã thu được nhiều kết quả quan trọng. Trong khoảng 40 năm gần đây, lý thuyết kỳ dị cũng đã có quan hệ chặt chẽ với việc nghiên cứu các tích phân tiệm cận. Nhiều bài toán nghiên cứu các điểm tới hạn đã chỉ ra các ứng dụng trực tiếp khi nghiên cứu các tính chất của tích phân tiệm cận. Theo [AGZV88], một trong những bài toán cổ điển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là bài toán xây dựng nghiệm tiệm cận theo một tham số của bài toán Cauchy với các điều kiện ban đầu dao động nhanh. Sử dụng các phương pháp tiệm cận để giải bài toán trên, người ta đã suy ra kết quả sau (xem [Mas72; Mas76; MF81]): Với mọi số tự nhiên N , trong một lân cận của điểm y0 nào đó, nghiệm của bài toán Cauchy có thể biểu diễn dưới dạng một tổng hữu hạn các tích phân dao động Z eiτ F (y,x) ϕ y, x, (iτ )−1 dx và một số dư có cấp o(τ −N ), khi τ → ∞; trong đó F là một hàm nhận giá trị thực, τ là tham số lớn của bài toán, x là tham số thực, hàm ϕ có giá compact theo x và là một đa thức theo (iτ )−1 . Vậy việc tính toán tiệm cận nghiệm của bài toán Cauchy được đưa về việc tính tiệm cận các tích phân dao động. Trong các công trình của J.F. Nye và M.V. Berry ta có thể tìm thấy nhiều ví dụ của các bài toán Vật lý được đưa về nghiên cứu tích phân kỳ dị dao động. Nhìn chung, cho đến năm 1950 người ta mới biết một ít về bài toán đánh giá tích 1
phân kỳ dị dao động, chỉ có một vài kết quả về phương pháp pha dừng trong trường hợp hàm pha có các điểm kỳ dị cô lập không suy biến. Việc nghiên cứu bài toán này đã có sự tiến bộ quan trọng từ khi xuất hiện các công trình của I. Gelfand và các học trò, J. Bernstein và M. Fedoryuk. Các nhà Toán học này đã đưa ra phương pháp nghiên cứu mối liên hệ giữa đơn đạo của hàm pha và khai triển tiệm cận của các tích phân dao động. Từ đó đã đưa đến sự ra đời của đa thức Bernstein nổi tiếng, đa thức này thỏa mãn mối liên hệ ∂ s P (x, s, )f = bf (s)f s−1 , ∂x trong đó P là một toán tử vi phân, f là đa thức, bf (s) cũng là đa thức và được gọi là đa thức Bernstein ứng với f . Sau đó, J.E. Bj¨ork đã mở rộng đa thức Bernstein cho trường hợp f là một mầm hàm giải tích. Năm 1973, B. Malgrange đã thiết lập mối quan hệ giữa đơn đạo và khai triển tiệm cận các tích phân dao động một cách tường minh. Cũng trong thập niên 1970, V.I. Arnold và A.N. Varchenko đã đưa ra các kết quả lý thú về tốc độ tắt dần (the decay rate) của tích phân dao động thông qua giao điểm của lược đồ Newton của hàm pha với đường phân giác của góc tọa độ dương và chỉ số của tất cả các số hạng của khai triển tiệm cận của tích phân dao động đó chỉ phụ thuộc vào lược đồ Newton của hàm pha. Tiếp theo đó, E.M. Stein, Duong Hong Phong, M. Greenblatt dựa trên định lý Varchenko đã đánh giá tích phân dao động và thể tích của tập dưới mức của hàm pha thông qua các yếu tố của lược đồ Newton của hàm pha và họ đã thu được những kết quả quan trọng. Lý do chọn đề tài Bài toán tìm tiệm cận các tích phân kỳ dị cho đến nay vẫn là bài toán mở, hấp dẫn nhiều nhà Toán học. Do số hạng đầu trong công thức khai triển tiệm cận quyết định dáng điệu tiệm cận của tích phân kỳ dị nên việc nghiên cứu các số mũ xuất hiện trong số hạng đầu tiên đó là một việc rất có ý nghĩa. Hàm gamma Euler có một vị trí rất quan trọng trong Toán học, Vật Lý và Kỹ thuật, do đó việc mở rộng hàm gamma là một việc cần thiết được nhiều nhà Toán học quan tâm như E.L. Post [Pos19], E.W. Barnes [Bar99; Bar04], Díaz và Pariguan [DP07], M.Mansour [Man09], ... Trong luận án này chúng tôi sử dụng đa thức Bernstein-Sato để mở rộng hàm gamma Euler và hy vọng thông qua sự mở rộng đó sẽ tìm được một số tính chất của tích phân kỳ dị. Mặt khác, bài toán tìm tiệm cận số điểm nguyên trong một tập là một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số. 2
Mục đích, phương pháp và đối tượng nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi tập trung giải quyết các bài toán sau: • Nghiên cứu tổng quan dáng điệu tiệm cận của các tích phân kì dị dao động thông qua số hạng đầu tiên trong các công thức tiệm cận tương ứng của chúng và khảo sát các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận đó. • Mở rộng hàm gamma Euler và nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suy rộng đó. • Tìm công thức tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov- Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận được tính một cách tường minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó. Để giải các bài toán đó, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau: • Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận thường được dùng trong lý thuyết tích phân kỳ dị. • Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận của tích phân dao động, tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số. • Mở rộng hàm gamma Euler và sử dụng đa thức Bernstein-Sato để nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suy rộng. Phương pháp này hoàn toàn khác với các phương pháp mà các nhà Toán học khác đã sử dụng trước đây. • Các phương pháp tính toán trong Giải tích tiệm cận, Hình học đại số, Tôpô đại số, Lý thuyết kỳ dị, Giải tích số và Đại số tuyến tính. Những đóng góp mới của luận án Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1. Dựa trên kết quả của B. Malgrange (xem [Mal74a]), chúng tôi đã làm rõ mối liên hệ giữa các nghiệm của đa thức Bernstein-Sato và các giá trị riêng của ma trận đơn đạo của một hàm giải tích thông qua các ví dụ một cách tường minh. 2. Chúng tôi đã mở rộng hàm gamma Euler bởi định nghĩa sau Z ∞ Γf (s) := f (t)s−1 e−t dt, 0 3
trong đó f là đa thức một biến không âm. Γf (s) được gọi là hàm gamma suy rộng hay "hàm gamma ứng với f". Chúng tôi đã thu được một số kết quả bước đầu về phương trình hàm kiểu gamma Γf (s + 1) = B(s)Γf (s), trong đó B(s) là đa thức Bernstein-Sato của f , như xây dựng được điều kiện đủ để một đa thức f thỏa phương trình hàm trên. Trong trường hợp f (t) = tk , chúng tôi chứng minh được hàm gamma ứng với tk thỏa mãn phương trình hàm nói trên và có hầu hết các tính chất của hàm gamma Euler. Các tính chất đó đều có sự tham gia của đa thức Bernstein-Sato của tk và cách mở rộng của chúng tôi hoàn toàn tương thích với cách mở rộng của các nhà Toán học trước đây. 3. Từ những kết quả của GS.TSKH. Đinh Dũng về tiệm cận thể tích của đa diện lôgarit trong lý thuyết xấp xỉ, chúng tôi đã mở rộng các kết đó và nhận được tiệm cận thể tích của các tập dưới mức của lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ phát biểu trong Định lý 3.2.1 được tính một cách tường minh thông qua đa diện Newton của các ánh xạ đa thức tương ứng và chúng hoàn toàn phù hợp với các kết quả của V.A. Vasilev, E.V. Sinitskaya, A.I. Karol’, M. Greenblatt (xem [Vas77], [Sin04], [Kar09], [Gre10]). 4. Cũng từ kết quả của GS. Đinh Dũng về tiệm cận số điểm nguyên của đa diện lôgarit, chúng tôi đã tìm được công thức tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov- Gindikin theo các yếu tố của đa diện Newton của lớp các ánh xạ đa thức đó. Để nhận được kết quả đó, chúng tôi đã sử dụng đa diện đầy đủ của chính đa diện Newton của ánh xạ đa thức đó và các số mũ nhận được trong công thức tiệm cận của Định lý 3.2.2 tương tự như trong công thức tiệm cận thể tích của các tập dưới mức. 5. Bên cạnh đó chúng tôi chỉ ra được lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin là một tập con mở của tập các ánh xạ đa thức có cùng một đa diện Newton. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Thông qua luận án này, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới có thể được áp dụng trong một số lĩnh vực như Giải tích tiệm cận, Tích phân dao động, Giải tích số, Lý thuyết tối ưu, ... 4
CÁC HỘI NGHỊ VÀ SEMINAR CÓ BÁO CÁO KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại các Hội nghị và các Seminar sau: • Seminar ngành Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt. • Hội nghị Khoa học Khoa Sau Đại học, Đại học Đà Lạt - 2009. • Hội nghị Khoa học Trường Đại học Tây Nguyên - 12/2009. • International Conference on Topology of singularities and related topics, I, JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Hanoi, Vietnam, March 03/2010. • Hội nghị Tin học và Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang 17/6/2011. • Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học - Tô pô (DAHITO), Đại học Thái Nguyên 3-5/11/2011. • International Conference in Mathematics and Applications (ICMA - MU 2011), Mahidol University, Thailand, December 17-19, 2011. • Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học. • Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học cao cấp (VIASM - 2012). • International Conference on Topology of singularities and related topics, III, JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Dalat, Vietnam, March 26-30, 2012. • Hội nghị khoa học, Viện Toán học - 12/2012 (PGS.TSKH. Hà Huy Vui báo cáo). • Đại hội Toán Học Toàn Quốc Lần thứ 8, Nha Trang 10-14/08/2013. • Trường CIMPA và Hội nghị quốc tế Hình học và Tô pô của các đa tạp kỳ dị. Hà Nội, 02 - 14/12/2013 (PGS.TSKH. Hà Huy Vui báo cáo). 5