Luận án Tiến sĩ: Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:93

Thêm vào BST

Báo xấu

119
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace; nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm cụ thể; xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng; ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ: Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO PGS. TS. TRỊNH TUÂN Hà Nội - 2016
MỤC LỤC MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . 5 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 1. TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 16 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace . . . . . . . . . . . 16 1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-Laplace và các tích chập khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.1 Định lý kiểu Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.2 Định lý kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Chương 2. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 46 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine- Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.1 Định lý kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm . 50 2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine- Fourier sine-Laplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Định lý kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1
2.2.2 Định lý kiểu Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 59 3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích phân . . . . . . . . 59 3.1.1 Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Giải phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp hai . . . . . . . . . 75 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . 77 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 91 2
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của các thầy PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS.TS. Trịnh Tuân. Tất cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào. Thay mặt tập thể hướng dẫn Tác giả PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo Lê Xuân Huy 3
LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm túc của các thầy PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS. TS. Trịnh Tuân. Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy. Những người đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành viên trong Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhất là TS. Nguyễn Thanh Hồng và TS. Nguyễn Minh Khoa. Những người luôn gần gũi, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên, và cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập. Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tác giả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô. Nhân dịp này, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, cùng các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Khoa Khoa học cơ bản đã quan tâm động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy và làm NCS. Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình bố mẹ, vợ con, các anh chị em cùng bạn bè. Niềm tin yêu và hi vọng của mọi người là nguồn động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả 4
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a. Một số phép biến đổi tích phân và tích chập • L là phép biến đổi tích phân Laplace Z ∞ f (x)e−yx dx, Re y > 0. Lf (y) = 0 • Fc là phép biến đổi tích phân Fourier cosine r Z ∞ 2 Fc f (y) = f (x) cos xydx, y > 0. π 0 • Fs là phép biến đổi tích phân Fourier sine r Z ∞ 2 Fs f (y) = f (x) sin xydx, y > 0. π 0 • (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace. 1 • (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace. 2 γ • (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = 1 e−µy (µ > 0). γ • (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trọng 2 γ(y) = e−µy (µ > 0). γ • (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm 3 trọng γ(y) = − sin y. 5
γ • (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm 4 trọng γ(y) = sin y. γ • (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm 5 trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0). γ • (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm 6 trọng γ(y) = e−µy sin y (µ > 0). b. Một số không gian hàm • R+ = {x ∈ R, x > 0}. • Lp (R+ ), 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho Z ∞ |f (x)|p dx < ∞, 0 trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi Z ∞ p1 p kf kLp (R+ ) = |f (x)| dx . 0 • Lp (R+ , ρ), ρ > 0, 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho Z ∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, 0 trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi Z ∞ p1 p kf kLp (R+ ρ) = |f (x)| ρ(x)dx . 0 Đặc biệt, khi ρ(x) = xα e−βx thì ta nhận được không gian hàm hai tham số α, β và kí hiệu Lα,β p (R+ ). 6
• L∞ (R+ ) là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho sup |f (x)| < ∞, x∈R+ trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi kf kL∞ (R+ ) = sup |f (x)|. x∈R+ • Ac là không gian ảnh của L1 (R+ ) qua phép biến đổi Fourier cosine Fc , với chuẩn kf kAc = kFc f kL1 (R+ ) . • C0 (R+ ) là không gian các hàm số liên tục trên R+ và triệt tiêu ở ∞. n o • H(R+ ) = f (x) : Lf (y) ∈ L2 (R+ ) . 7
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ rất sớm. Cho đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích toán học. Những phép biến đổi tích phân đầu tiên phải kể đến là phép biến đổi Fourier (xem [6, 24, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phép biến đổi Mellin (xem [22, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biến đổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]), ... Một trong những vấn đề được quan tâm của phép biến đổi tích phân là nghiên cứu các tích chập. Đó là một phép nhân đặc biệt được định nghĩa thông qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vào nghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không tồn tại. Giả sử U (X) là không gian tuyến tính, V (Y ) là đại số, ta xét phép biến đổi tích phân T : U (X) → V (Y ) xác định như sau Z e = T ϕ (t) = K(t, τ )ϕ(τ )dτ ∈ V (Y ). ϕ(t) (0.1) X Khi đó tích chập của hai hàm f và k đối với phép biến đổi tích phân T là toán tử ∗ : U (X) × U (X) → V (Y ) (f, k) 7→ f ∗ k sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa T (f ∗ k)(t) = (T f )(t)(T k)(t), ∀t ∈ X. (0.2) Những tích chập đầu tiên phải kể đến là tích chập Laplace và tích chập Fourier (xem [6, 33]). Năm 1951, Sneddon I.N. xây dựng tích chập đối với 8
phép biến đổi Fourier cosine (xem [33]). Đến năm 1958, tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox lần đầu tiên được Vilenkin Y. Ya. đề cập và nghiên cứu (xem [50]). Sự ra đời của tích chập có hàm trọng đã mở ra triển vọng phát triển thêm hướng nghiên cứu về lý thuyết tích chập. Dẫu vậy, năm 1967 Kakichev V.A. mới đưa ra định nghĩa tích chập với hàm trọng γ(y) của hai hàm f và k đối với một phép biến đổi tích phân T bất kỳ dựa trên đẳng thức nhân tử hóa (xem [15]) γ T f ∗ k (y) = γ(y) T f (y) T k (y). (0.3) Nhờ vào ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp này mà nhiều tích chập có hàm trọng được tìm ra, tiêu biểu là tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y đối với phép biến đổi Fourier sine (xem [15]) Z∞ γ 1 f ∗ k (x) = √ f (y)[sign(x + y − 1)k(|x + y − 1|) Fs 2 2π 0 −k(x + y + 1) + sign(x − y + 1)k(|x − y + 1|) − sign(x − y − 1)k(|x − y − 1|)]dy, x > 0, (0.4) nếu f, k ∈ L1 (R+ ) thì tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ Fs f ∗ k (y) = sin y Fs f (y) Fs k (y), ∀y > 0. (0.5) Fs Năm 1951, lần đầu tiên Sneddon I.N. đã xây dựng được một tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân khác nhau tham gia. Đó là tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine (xem [33, 49]) Z∞ 1 f ∗ k (x) = √ f (y) k(|x − y|) − k(x + y) dy, x > 0, (0.6) Fs Fc 2π 0 nếu f, k ∈ Lp (R+ ) (p = 1, 2) thì tích chập này thỏa mãn Fs f ∗ k (y) = Fs f (y) Fc k (y), ∀y > 0. (0.7) Fs Fc 9
Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, Yakubovich S.B. cũng đã xây dựng được một vài tích chập suy rộng theo chỉ số đối với các phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H (xem [51, 55]). Năm 1998, Kakichev V.A. và N.X. Thảo đã đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ T1 , T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ T1 f ∗ k (y) = γ(y) T2 f (y) T3 k (y), (0.8) và cho điều kiện cần để xác định tích chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng (xem [17]). Kết quả này đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích chập cũng như phép biến đổi tích phân. Nhờ đó mà những năm về sau đã có nhiều tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin, Hartley, Kontorovich-Lebedev được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị (xem [15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54]). Mặc dù, có một số tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Laplace đã được đề xuất từ những năm 1998. Chẳng hạn tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Hankel và Laplace, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem [17]). Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố. Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập f ∗ k (x), bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập f 7→ g = f ∗ k . Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập 10
Mellin (xem [44]) Z∞ f (x) 7→ g(x) = k(xy)f (y)dy. (0.9) 0 Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng d2 f 7→ g = D f ∗k mà D là một toán tử nào đó. Trong trường hợp D = (1− dx 2) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K. Tuấn và Musallam thiết lập và nghiên cứu (xem [49]) d2 f (x) 7→ g(x) = (1 − ) f ∗ k (x) (0.10) dx2 Fc Z∞ d2 1 = (1 − 2 ) √ f (y) k(x + y) + k(|x − y|) dy, x > 0. dx 2π 0 Với kỹ thuật đó, các tác giả này tiếp tục xây dựng và nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine (xem [2]). Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặc tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên cứu (xem [14, 19, 20, 53, 55]). Nhưng tất cả các công trình này đều chỉ dừng lại nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích chập suy rộng không có hàm trọng. Với các tích chập và tích chập suy rộng có hàm trọng, việc xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng thường là vấn đề phức tạp hơn (xem [40, 41, 42]). Cho đến nay các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng vẫn chưa được nghiên cứu. Việc nghiên cứu các tích chập và các phép biến đổi tích phân có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhờ đó, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số. Vì vậy, nó đặc biệt hữu ích trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong lý thuyết 11
mạch, hệ cơ học, bài toán ngược, bài toán xử lý ảnh và xử lý tín hiệu (xem [3, 6, 9, 10, 8, 22, 30, 31, 33, 36, 46, 48, 52]). Trong nhiều trường hợp, nghiệm nhận được từ các bài toán trên có thể được biểu diễn qua các tích chập tương ứng. Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đến một công cụ, đó chính là bất đẳng thức đối với tích chập. Bất đẳng thức đối với các tích chập, ngoài ứng dụng để đánh giá nghiệm của phương trình, bản thân nó cũng đã là một vấn đề thú vị trong việc nghiên cứu tích chập. Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier (xem [1, 35]). Nếu p, q, r > 1 thỏa mãn p1 + 1q = 1+ 1r và f (x) ∈ Lp (R), k(x) ∈ Lq (R) thì ta có kf ∗ kkLr (R) ≤ kf kLp (R) kkkLq (R) . (0.11) F Bất đẳng thức này cho ta đánh giá chuẩn của tích chập Fourier trong không gian hàm Lr (R), tuy nhiên nó không còn đúng trong trường hợp f, k ∈ L2 (R). Năm 2000, trong một bài báo của Saitoh S. (xem [26]), bằng cách xét các không gian hàm Lp (R, |ρj |) có trọng ρj ∈ L1 (R) (j = 1, 2) là các hàm không triệt tiêu và Fj ∈ Lp (R, |ρj |) (p > 1), tác giả đã nhận được đánh giá sau, gọi là bất đẳng thức Saitoh cho tích chập Fourier 1 −1 k (F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 ) ρ1 ∗ ρ2 p kLp (R) ≤ kF1 kLp (R,|ρ1 |) kF2 kLp (R,|ρ2 |) . (0.12) F F Cũng trong năm đó, Saitoh S., V.K. Tuấn và Yamamoto M. đã thiết lập được bất đẳng thức ngược kiểu Saitoh cho tích chập Fourier (xem [27]). Khác với bất đẳng thức Young, bất đẳng thức Saitoh (0.12) còn đúng trong cả trường hợp p = 2. Do có nhiều ứng dụng thú vị, đặc biệt là trong việc đánh giá nghiệm của các phương trình toán-lý, bất đẳng thức Saitoh sau khi xuất hiện đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Về sau, bất đẳng thức này đã được các tác giả Đ.T. Đức và N.D.V. Nhân mở rộng cho không gian hàm trọng nhiều chiều Lp (Rn , |ρj |) (xem [7]). Năm 2002, Saitoh S., V.K. Tuấn và Yamamoto M. tiếp tục xây dựng bất đẳng thức ngược đối với tích chập Laplace và sử dụng vào việc giải bài toán 12
truyền nhiệt ngược (xem [31]). Đến năm 2008, N.D.V. Nhân và Đ.T. Đức cũng đã thiết lập và nghiên cứu thành công bất đẳng thức kiểu Saitoh cho tích chập Laplace trong không gian nhiều chiều Lp (Rn+ , |ρj |) (xem [23]). Các bất đẳng thức dạng trên đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier cosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị (xem [7, 13, 23, 27, 28, 29, 31]). Tuy nhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu. Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng". 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Tức các tích chập suy rộng mà trong đẳng thức nhân tử hóa chứa phép biến đổi Laplace cùng với một hoặc hai phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine. Nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm cụ thể. Xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng. Nghiên cứu các tính chất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử ngược của phép biến đổi trong không gian L2 (R+ ). Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lý thuyết toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập. Chúng tôi ứng dụng bất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trong các không gian hàm cụ thể. Đặc biệt Định lý Wiener-Levy được sử dụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. 13
4. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm ba chương: Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier-Laplace. Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp (R+ ) và Lα,β p (R+ ). Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng mới với một số tích chập quan trọng đã biết. Hơn nữa, trong các không gian Lp (R+ ) và Lp (R+ , ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh. Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2 (R+ ), hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại các phép biến đổi ngược. Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân tương ứng cũng được chứng minh. Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier- Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace. Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phương trình trên đều được cho dưới dạng dóng. 5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu trong luận án. Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất đẳng thức đối với tích chập. Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các phương pháp 14
giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. Hơn nữa, một số ý tưởng và phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng để nghiên cứu các tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác. Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba công trình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trong danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia. Các kết quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại: + Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế. + Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại Nha Trang. + Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng (ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội. + Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và Trường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015. + Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. + Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội. 15
Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE Mục đích của Chương 1 là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác nhau. Thiết lập và chứng minh các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với các tích chập tương ứng. 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Trước hết ta nghiên cứu tích chập suy rộng liên quan đến hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace không có trọng. Định nghĩa 1.1.1. Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau Z∞ Z∞ 1 f ∗ k (x) = θ1 (x, u, v)f (u)k(v)dudv, (1.1) 1 π 0 0 trong đó v v θ1 (x, u, v) = + , x > 0. (1.2) v 2 + (x − u)2 v 2 + (x + u)2 Ta gọi Ac là không gian ảnh của L1 (R+ ) thông qua phép biến đổi Fourier cosine Fc . Với chuẩn kf kAc := kFc f kL1 (R+ ) thì không gian đó là một đại số Banach, nghĩa là nếu f (x), k(x) ∈ Ac , thì f (x)k(x) ∈ Ac và thỏa mãn kf kkAc ≤ kf kAc kkkAc . 16
Các định lý sau đây cho ta sự tồn tại của các tích chập (1.1) và đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này trong các không gian hàm tương ứng. Định lý 1.1.1. Giả sử các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L2 (R+ ). Khi đó ta có f ∗ k (x) ∈ Ac , và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval 1 f ∗ k (x) = Fc Fc f (y) Lk (y) (x), ∀x > 0. (1.3) 1 Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau Fc f ∗ k (y) = Fc f (y) Lk (y), ∀y > 0. (1.4) 1 Chứng minh. Từ giả thiết f (x), k(x) ∈ L2 (R+ ), ta có Fc f (y), Lk (y) ∈ L2 (R+ ), suy ra Fc f (y) Lk (y) ∈ L1 (R+ ) và Fc Fc f (y) Lk (y) (x) ∈ Ac . Mặt khác, ta bắt đầu với việc đặt f (x) ∈ L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ) và k (x) = k(x)χ[,∞) (x) ∈ L2 (R+ ), ở đó χE (x) là hàm đặc trưng của E, và > 0. Ta có đánh giá sau Z∞ Z∞ Z∞ −vy