BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỔ CHÍ MINH
TRẦN MINH THUYẾT
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
: 1.01.01
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. TRẦN VÃN TÂN
Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh
2. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh
TP.HỔ CHÍ MINH 2001
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU...................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN HYPERBOLIC PHI TUYẾN CÓ SỐ HẠNG PHI TUYẾN CHỨA ................................................................................................. 11
1.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 11
1.2. Các ký hiệu và giả thiết ............................................................................................ 12
1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 14
1.4. Nới rộng bài toán ..................................................................................................... 26
CHƢƠNG 2: KHẢO SÁT MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG Á TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN CHỨA GIÁ TRỊ BIÊN ............. 32
2.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 32
2.2.Định lý tồn tại và duy nhất ........................................................................................ 33
2.3.Tính ổn định nghiệm ................................................................................................. 50
CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG LƢỢNG ............................................................................................................... 56
3.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 56
3.2. Các không gian hàm Sobolev có trọng ..................................................................... 56
3.3. Định lý tồn tại và duy nhất ....................................................................................... 63
CHƢƠNG 4: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG ............................................... 77
4.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 77
4.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 78
4.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h → 0+ ............................................................. 82
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................................ 85
CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ......................... 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 88
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là chƣơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong
luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ một chƣơng trình nào khác.
Tác giả luận án
Trần Minh Thuyết
1 Tổng quan
PHẦN MỞ ĐẦU
Trong luận án nay chúng tôi muốn sử dụng các phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến
nhƣ : phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu và toán tử đơn điệu, phƣơng pháp
tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bất động, phƣơng pháp tiệm cận... nhằm khảo sát
một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Cơ học. Chẳng hạn nhƣ các phƣơng
trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán
mô tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự
va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng; Các phƣơng trình
elliptic mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến đƣợc nhúng trong một chất lỏng,...
Bản luận án ngoài chƣơng mở đầu ra sẽ đƣợc chia thành 4 chƣơng. Trong chƣơng 1 - 2
chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và các công cụ hỗ trợ để khảo sát các bài toán liên
quan đến phƣơng trình sóng và cũng với các công cụ trên ở các chƣơng 3-4 dành cho việc
khảo sát bài toán biên phi tuyến có số hạng kỳ dị.
■ Trong chƣơng 1, chúng tôi khảo sát bài toán
trong đó R n là một tập mở bị chận có biên đủ trơn, là pháp tuyến đơn vị hƣớng
ra ngoài biên là hằng số cho trƣớc, B,f,F,u0 , u 1 là các hàm cho trƣớc. Các giả thiết
đặt ra cho các hàm nay sẽ
2 Tổng quan
đƣợc chỉ ra sau. Trong phƣơng trình (0.1) số hạng phi tuyến B(‖ ‖)2 phụ thuộc vào
và thỏa điều kiện
B là hàm liên tục xác định trên R + = [0,+∞); (0.6)
Trong trƣờng hợp một chiều n = 1, Ω = (0, L), phƣơng trình (0.1) đƣợc tổng
quát hóa từ phƣơng trình sau đây mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi
(xem Caƣier [9] ).
ở đây u là độ võng, là khối lƣợng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài của sợi dây ở trạng
thái ban đầu, E là môđun Young và P0 là lực căng lúc ban đầu. Khi f = 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phƣơng trình (0.1) đã đƣợc nghiên cứu bởi nhiều tác giả ; Xem : Aassila [4, 5, 6], Ebihara, Medeiros và Miranda [15], Pohozaev [36], Yamada [38] và các tài liệu tham khảo ở đó. Bài toán (0.1),(0.2), (0.4) với = 0, số hạng f = f(u,ut) (tuyến tính hay phi tuyến) cũng đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng cụ thể khác nhau. Chẳng hạn nhƣ: K. Nishihara [31], [32], [33] với f = f(ut) = ut , 0 là hằng số cho trƣớc; Medeiros [28] đã nghiên cứu
3 Tổng quan
bài toán (0.1), (0.2), (0.4) với f = f(u) = u2 , Ω là một tập mở bị chận của R3. Hosoya & Yamada đã xét trong [16] với f = f(u) = | | u, và trong [17] với f = f( u , u t ) = δ | | trong đó δ > 0, α ≥ 0 l à các hằng số cho trƣớc. Trong [14], Dmitriyeva đã xét bài toán 2 chiều ( n = 2 ) , (0.1), (0.2), (0.4) và
Trong đó
t r o n g đ ó
ε > 0 là hằng số. Trong trƣờng hợp nay, bài toán (0.1),(0.2), (0.3') ,(0.4) mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh. Trong [36], Pohozaev đã xét phƣơng trình hyperbolic á tuyến tính sau đây:
t r o n g đó hà trong đó hàm số B thỏa điều kiện sau đây mạnh hơn (0.6), (0.7):
Trong [26] Long và các tác giả khác đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình sau
trong đó λ > 0, s > 0, 0 < α < 1 là các hằng số cho trƣớc. Bằng sự tổng quát hóa của [14], [26], chúng tôi đã xét trong {1} phƣơng trình sau:
4 Tổng quan
Trong chƣơng nay chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và phƣơng pháp compact
yếu kết hợp với phƣơng pháp toán tử đơn điệu để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của bài toán (0.1) - (0.4) đối với điều kiện (0.6), (0.7). Sau đó một số dạng cụ thể cho số hạng
phi tuyến f(u,ut)cũng đƣợc xem xét. Kết quả này đã tổng quát hóa tƣơng đối kết quả tƣơng tự
trong [14], [26],[36] và đƣợc công bô"trong {1}.
Phần cuối của chƣơng nẩy, chúng tôi khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu sau
Ta chú ý rằng bài toán (0.1) - (0.4) là trƣờng hợp riêng của bài toán trong (0.14) - (0.19) khi
trong đó
lấy p = 2.
vẫn với phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự cùng với sự điều chỉnh thích hợp trong bƣớc
đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi thu đƣợc kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
kiện (0.6), (0.7). Kết quả nay đã tổng quát hóa tƣơng đối kết quả tƣơng tự trong {1},
toán (0.14) - (0.19) đối với các điều
[14], [26], [36]. ■ Trong chƣơng 2, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm (u,P) thỏa
trong đó u0,u1, f là các hàm cho trƣớc thỏa một số điều kiện nào đó sẽ đƣợc chỉ ra sau đó, ẩn hàm u(x,t)
và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa phƣơng trình tích phân phi tuyến sau đây:
trong đó g, H, k là các hàm cho trƣớc.
5 Tổng quan
Trong [3], Áng và Alain Phạm đã thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài
toán (0.20) - (0.23) với u 0 , u 1 ,P là các hàm cho trƣớc và
mà số hạng phi tuyến f(u,ut)chứa trƣờng hợp (0.25) nhƣ là một trƣờng hợp riêng. Chẳng hạn bài toán (0.20), (0.22), (0.23) và (0.26) đã đƣợc nghiên
Tổng quát hóa kết quả trong [3], Long và Alain Phạm [12], [13], [18], [19] đã xét bài toán (0.20), (0.22), (0.23) liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại x= 0 có dạng sau đây
cứu ứng với các trƣờng hợp k 0, H(s) = hs, với h > 0 [18]; k 0 [12], [13]; H(s) = hs, với h > 0 [17].
Trong trƣờng hợp H(s) = hs, với h > 0 , b à i toán (0.20) - (0.24) đƣợc thành lập từ bài toán (0.20) - (0.23) ở đó, ẩn hàm u(x,t)và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân thƣờng nhƣ sau
trong đó ω > 0, h ≥ 0,P0 ,P1 là các hằng số cho trƣớc ( [1], [19] ). Trong [1], N.T.An and N.D.Triều đã nghiên cứu một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán (0.20)-(0.23), (0.27) và (0.28) với u 0 = u1 = P0 = 0 và với f ( u , u t ) tuyến tính, nghĩa là, f ( u . u t ) = Ku + λ u t trong đó K,λ. là các hằng số dƣơng cho trƣớc. Trong trƣờng hợp sau nay, bài toán (0.20) -(0.23),(0.27) và (028) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng.
Trong trƣờng hợp f ( u , u t ) = | | bài toán (0.20) - (0.23), (0.27) và (0.28) mô tả
sự va chạm giữa một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề
mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt.
Từ (0.27), (0.28) ta biểu diễn P(t) theo Po,P1,ω,h,utt(0,t) và sau khi tích phân từng phần, ta đƣợc
trong đó
6 Tổng quan
Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (0.21) bởi
Khi đó, ta đƣa bài toán (0.20) - (0.23), (0.27) và (0.28) về bài toán (0.20) -(0.23),
(0.29) - (0.31) hay (0.20), (0.22), (0.23), (0.30) - (0.32).
Trong [8], Bergounioux, Long, Alain đã nghiên cứu bài toán (0.20), (0.21),
(0.23), (0.24), với giả thiết
trong đó K,λ,K1,λ1 là các hằng số không âm cho trƣớc. Bài toán (0.20), (0.21), (0.23), (0.24), (0.22'),(0.33) mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính ở bề mặt, các ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt.
Chƣơng nay đƣợc chia thành hai phần.
7 Tổng quan
Trong phần 1, chúng tôi chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán (0.20) - (0.24). Chứng minh dựa vào phƣơng pháp Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm, các kỹ thuật về tính compact và sự hội tụ yếu. Khó khăn chính gặp phải trong bài toán nay là điều kiện biên tại x = 0. Ta chú ý rằng phƣơng pháp tuyến tính hóa đã sử dụng trong các bài báo [11],[20],[35] không dùng đƣợc trong [3], [8], [10], [12], [13], [18].
Trong phần 2, chúng tôi chứng minh nghiệm (u,P) của bài toán ổn định đối với
các hàm g, H và k .Các kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả
trong [1], [3], [8], [12], [13], [18], [19], [27] và đƣợc công bố trong {4}.
■ Trong chƣơng 3, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến sau :
trong đó γ > 0, p ≥ 2 là các hằng số cho trƣớc, f,F,h là các hàm số cho trƣớc và M :
(0,1] x R → R thỏa điều kiện Caratheodory và đơn điệu tăng theo biến thứ hai.
Trong trƣờng hợp γ = 0, bài toán (0.34),(0.36) và
u(0) = 0, (0.37)
liên hệ với bài toán uốn một thanh đàn hồi phi tuyến có khối lƣợng riêng đƣợc
nhúng trong một chất lỏng khối lƣợng riêng γ1 mà Tucsnak [37] đã thiết lập trong
trƣờng hợp f(x,u) - F(x) = [ ]sinu, trong đó là một hằng
số dƣơng, g(x), G(x) là các hàm cho trƣớc có ý nghĩa cơ học nào đó, u(x) là góc giữa
tiếp tuyến với thanh ở trạng thái bị uốn tại điểm của thanh có hoành độ cong x và trục
thẳng đứng Oy. Trong trƣờng hợp g(x) là hằng số,M(x,u') = M(u')chỉ phụ thuộc vào
u ', đơn điệu tăng và đủ trơn, Tucsnak [37] đã nghiên cứu sự phân nhánh của các
8 Tổng quan
Phƣơng trình tích phân tƣơng đƣơng với (0.34), (0.36),(0.37) phụ thuộc vào tham số λ .
9 Tổng quan
Trong [23], [24], Long, Ortiz, Alain đã nghiên cứu phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến sau
Trong [23] các tác giả đã chứng minh phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến (0.39) liên kết với điều
kiện biên u(0) = 1, u(+∞ ) = 0 có vô số nghiệm. Ngoài ra bằng kỹ thuật điểm bất động các tác giả
trong [24] đã chứng minh rằng phƣơng trình (0.39) liên kết với điều kiện Cauchy: u(0) = 1, u'(0) =
có duy nhất nghiệm ] [ ] [ sao cho nghiệm u và các đạo hàm cấp một và cấp
hai của nó tiến về zêrô khi x .
Trong phần nay, chúng tôi dùng phƣơng pháp Galerkin và compact trong các không gian hàm
Sobolev có trọng thích hợp để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.Kết quả thu đƣợc ở đây
đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [22],[23],[24],[29],[37] và đƣợc công bố trong {2}, {5},
{6}.
trong đo' h1 > 0, h 2 là các hằng số cho trƣớc.
■ Trong chƣơng 4, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến (0.34),(0.35) và
10 Tổng quan
trong đó các hằng s ố γ > 0 , p > 2 , h > 0 , g và các hàm số f, F đƣợc cho trƣớc.
Ở chƣơng nầy, bài toán biên phi tuyến ở chƣơng III đƣợc xét với các hàm M(x,u') và h(u) đặc biệt. Bài toán (0.34), (0.35), (0.40), (0.41) tƣơng ứng với p = 2 đã đƣợc nghiên cứu bởi Nghĩa, Long [29]. Trong phần nay, tƣơng tự nhƣ trong chƣơng III, chúng tôi thiết lập các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong các không gian hàm Sobolev có trọng. Tuy nhiên, các giả thiết trên bài toán lần nay nằm ngoài lớp các giả thiết đã đƣợc đƣa vào chƣơng trƣớc và trong bài báo {2}. Điều nay cho phép chúng ta nới rộng lớp các bài toán đƣợc xét thuộc dạng (0.34)-(0.36). Chúng tôi cũng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm u h phụ thuộc vào h khi h → 0 + . Chúng tôi đã chứng tỏ rằng hàm số h h → |uh(l)| liên tục và không tăng trên (0,+∞).Kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong {2}, [22], [23], [24], [29] và đƣợc công bố trong {3}.
11
Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến CHƯƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN HYPERBOLIC PHI TUYẾN CÓ SỐ HẠNG PHI TUYẾN CHỨA ‖ ‖
1.1. Giới thiệu
trong đó R n là một tập mở bị chận có biên Γ = đủ trơn, V là pháp tuyến đơn vị hƣớng ra
ngoài biên ∂Ω.; T,γ là các hằng số dƣơng cho trƣớc; B,f,F,u0,u1 là các hàm cho trƣớc. Các giả
thiết đặt ra cho các hàm nay sẽ
đƣợc chỉ ra sau. Trong phƣơng trình (1.1), số hạng phi tuyến B ‖ ‖2) phụ thuộc vào
và thỏa điều kiện
B là hàm liên tục xác định trên R + = [0,+∞);
Trong chƣơng nay chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và phƣơng pháp compact yếu kết hợp với một toán tử đơn điệu để nghiên cứu sự tồn
Trong chƣơng nầy, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và điều kiện đầu nhƣ sau
12
Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến
tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1) - (1.4) với các giả thiết (1.6), (1.7). Sau đó xét một số dạng cụ thể của số hạng phi tuyến f(u,ut). Kết quả chƣơng nay tổng quát hóa tƣơng đối kết quả trong [14], [26], [36] và đƣợc công bố trong {1}.
Phần cuối của chƣơng đề cập đến việc mở rộng bài toán mà bài toán (1.1) - (1.4) là một
trƣờng hợp riêng ứng với p = 2.
1.2. Các ký hiệu và giả thiết
Chúng ta sử dụng các ký hiệu sau :
Ta ký hiệu <.,. > để chỉ tích vô hƣớng trong L2 hay cặp tích đối ngẫu giữa một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm. Ký hiệu || . || để chỉ chuẩn trong L2 và ký hiệu || . || X để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X. Ta gọi X' là không gian đối ngẫu của X.
Ta ký hiệu bởi Lp(0,T;X), 1 ≤ p ≤ ∞, là không gian Banach các hàm u : (0,T) → X đo đƣợc,
sao cho
và
13
(H3) B : R + = [0,+∞ ) → R thỏa các điều kiện sau: (i) B liên tục,
(ii) tồn tại hai hằng số dƣơng λQ và D0 sao cho
(H4) f: R 2 → R thỏa các điều kiện sau: (i) f liên tục,
(ii) f không giảm đối với biến thứ hai, nghĩa là,
Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến
(iii) tồn tại hai hằng số dƣơng λ1 và D1 sao cho
(4i) f(u,v) bị chận bởi đa thức:
xL2 tồn tại hằng số kM > 0 sao cho:
(H5) Với mỗi tập con bị chận M của
trong đó C là hằng số dƣơng và các hằng số còn lại thỏa các điều kiện sau đây phụ thuộc vào n.
14 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
(H6) với mỗi r > 0 tồn tại hằng số Dr > 0 sao cho:
Ta cũng dùng các ký hiệu u(t), ut(t)=u'(t), utt(t) = u''(t) để lần lƣợt chỉ u(x,t),
1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng γ = 1.
Giả sử có các giả thiết ( H 1 ) - ( H 4 ) . Khi đó bài toán (1.1)—(1.4) có ít nhất một
nghiệm u sao cho
Định lý 1.1
Hơn nữa, nếu có các giả thiết (H5 ), (H6 ), thì nghiệm u duy nhất. Chú thích 1.1 Bài báo [26] đã khảo sát bài toán (1.1) - (1.4) trong trƣờng hợp f(u,ut) = | | , 0 < β < 1 và hàm B xác định liên tục không âm trên [0,+ ∞). Ta cũng chú ý rằng điều kiện (H3 ,(ii)) không đòi hỏi hàm B không âm trên [0,+∞). Nhƣ vậy kết quả thu đƣợc trong [26] là một trƣờng hợp riêng của định lý 1.1.
Một số tác giả khác nhƣ Nishihara trong [31] - [33], Medeiros trong [28], Hosoya & Yamada
trong [17] đã xét B là hàm thuộc lớp C1(R+) và B ≥ Bo > 0 với lớp hàm f kém tổng quát hơn.
15 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
) Tồn tại các hằng số dƣơng 0, D0 và r, 0 < r < 1 sao cho
Chú thích 1.2.
Chú ý rằng định lý 1.1 vẫn còn đúng nếu thay thế giả thiết (H3, ii) bởi: (
Chứng minh định lý 1.1.
Chứng minh bao gồm nhiều bƣớc.
Giả sử {wj} là một cơ sở đếm đƣợc của
Bước 1. xấp xỉ Galerkin
Trong đó cmj(t) thỏa hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến
Trong đó
16 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Từ giả thiết của định lý, hệ (1.10), (1.11) có nghiệm um(t) trên khoảng 0 ≤ t ≤ Tm với Tm (0,T) nào đó. Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy Tm = T với mọi m. Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm
(t) sau đó lấy tổng theo j, ta đƣợc Nhân mỗi phƣơng trình trong (1.10) với
Lấy tích phân (1.14) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có
Trong đó
Sử dụng giả thiết về tính đơn điệu (H4,(ii)) của f đối với biến thứ hai, ta có
Trong đó
Khi đó ta suy ra, từ (1.17), (1.18), rằng
Tƣơng tự, từ (H3,(ii)) ta cũng thu đƣợc
17 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Ta suy ra từ (1.15), (1.19) và (1.20) rằng
chúng ta cần đến bổ đề sau Để đánh giá số hạng ∫ ̂( )
Bổ đề 1.1.
biến mọi
ds, ta có toán tử Nemytsky ̂
Với giả thiết (H4,(4i)), đặt ̂ ∫ tập bị chận của Hq thành tập bị chận của L1.
Từ giả thiết (H4 ,(4i)), ta có
Chứng minh bổ đề 1.1.
18 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Suy ra
thành tập bị chận trong L1.
Từ (1.23) suy ra
biến mọi tập bị chận trong
Do đó ̂
thành tập bị
biến mọi tập bị chận trong
Từ đây kết hợp với (1.23) ta có ̂ chận trong L1 Bổ đề 1.1 đƣợc chứng minh hoàn tất. Từ (1.12), (1.13), sử dụng giả thiết (H3, (i)) và bổ đề 1.1, ta thu đƣợc
Từ giả thiết (H4,(4i)), suy ra
Do đó, từ (1.21), (1.24) ta thu đƣợc
19 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
và MT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T.
trong đó
Do bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc từ (1.25) rằng
Vậy ta có thể lấy Tm = T với mọi m và do đó
Sử dụng (1.28), (1.29) và (H4,(4i)) ta đƣợc
ta có
do đó
Mặt khác, từ bất đẳng thức
Bước 3. Qua giới hạn. Từ (1.28), (1.29) và (1.30), ta suy ra rằng tồn tại một dãy con {um } ,vẫn ký hiệu là {um}, sao cho
Dùng bổ đề về tính compact của Lions (xem [27], định lý 5.1, trang 58), ta có
thể suy từ (1.34), (1.35) rằng tồn tại một dãy con, vẫn ký hiệu là {um}, sao cho:
Do định lý Riesz-Fischer, từ (1.37) ta có thể lấy ra một dãy con, vẫn ký hiệu là {um}, sao cho
Vì B liên tục, ta có
20 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
rong đó
Kết hợp (1.33) và (1.40) với bổ đề 1.3 trong [27] (trang 12 ), ta có
Qua giới hạn trong (1.10) nhờ vào (1.34)- (1.36) và (1.41) ta có
21 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Vậy u(0) = uo
u’(0) = u1
Khi đó, để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) – (1.4), ta chỉ cần chứng minh χ = f(u,u’) B â y g i ờ t a x é t bổ đ ề s a u đ â y
Bổ đề 1.2.
Khỉ đó ta có
Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau:
Hơn nữa, nếu u0 =u1 = 0 thì (1.46) xảy ra đằng thức.
Ta suy từ (1.10), (1.11) rằng Chứng minh của bổ đề 1.2 có thể tìm trong [26]. Bây giờ ta trở lại việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán ( 1 . 1 ) -(1.4).
22 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Qua giới hạn khi m →∞ , bằng cách sử dụng (1.12), (L13), (1.35) -(1.36), (1.38) và
bổ đề 1.2 với | |2 ) ta thu đƣợc
(1.49) Từ giả thiết (H4,(i)), ta suy ra từ (1.37) rằng f(um,v) → f(u,v) a.e. trong QT, L2(QT).
Sử dụng giả thiết (H4,(4i)) và định lý hội tụ bị chận Lebesgue, ta thu đƣợc từ (1.49)
rằng
Từ (1.35) và (1.50), ta suy ra
Tiếp theo, ta xét
23 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Từ (1.36), (1.48), (1.51) và (1.52), ta suy ra rằng Trong (1.53) ta lấy v = u ' - ε w , ε > 0 , w L2(QT), khi đó ta thu đƣợc
Vậy do (1.55) ta có: χ = f(u,u') a.e.trong QT.
Cho ε → 0+, ta suy ra từ (1 .54) rằng
Sử dụng bổ đề 1.2 với u0 = u1 = 0 ta có đẳng thức
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) - (1.4) đã đƣợc chứng minh. Bước 4. Tính duy nhất nghiệm. Giả sử u và v là hai nghiệm yếu của bài toán (1.1) - (1.4). Khi đó w = u - v thỏa mãn bài toán sau:
trong đó C0 là một hằng số nhƣ ở (1.31). Chú ý rằng hàm số f không giảm đối với biến thứ hai, ta có từ (1.57) rằng
Sử dụng giả thiết (H5) và (H6) ta suy ra từ (1.58) rằng
từ đây ta suy ra X(t) = 0 nhờ bổ đề Gronwall. Định lý 1.1 đƣợc chứng minh đầy đủ.
Chúng ta xét một số dạng cụ thể của hàm f ( u , u t ) .
24 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
25 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Định lý 1.2.
trong đó a , β, λ , θ là các hằng số cho trƣớc thỏa điều kiện sau:
Giả sử ( H 1 ) - ( H 3 ) là đúng, khi đó bài toán (1.1)—(1.4) có ít nhất một nghiệm u thỏa
mãn (1.8).
Hơn nữa, nếu a ≥ 1 và B thỏa (H6 ), thì nghiệm duy nhất.
Chú thích 1.3.
Chú ý rằng f(u,u t) thỏa các giả thiết của định lý 1.1 .
Sau đây ta xét số hạng phi tuyến f(u,u t) có dạng f (u, u t)=g(u) + | | u t, trong đó β là
(H4) Hàm số g:R→R thỏa mãn
hằng số dƣơng. Ta thiết lập các giả thiết về hàm số g nhƣ sau:
(i) g liên tục
(ii) Tồn tại các hằng số D2 > 0, λ2> 0 sao cho
26 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
n,p như sau:
, tồn tại một hằng số kM > 0 sao cho
)Với mỗi tập con bị chận M của
(
Khi đó ta có:
Định lý 1.3 Giả sử (H1) – (H3), (H’4) đúng, khi đó bài toán (1.1) – (1-4) với
(1.60)
) và
| | có ít nhất một nghiệm u thỏa mãn.
( Hơn nữa, nếu g, B thỏa (H’5), (H6), lần lƣợt, thì nghiệm u duy nhất. Chú thích 1.4. Định lý 1.3 áp dụng cho trƣờng hợp
Cho kết quả mở rộng hơn so với kết quả trong bài báo [26] ứng với 0 < < 1.
1.4. Nới rộng bài toán
Trong phần nầy, chúng tôi tổng quát hóa bài toán (1.1) – (1.4) bằng cách khảo sát bài
toán giá trị biện và điều kiện đầu sau:
trong đó
27 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Vẫn với phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự cùng với sự điều chỉnh trong bƣớc đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi thu đƣợc kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.61) - (1.66) đối với các điều kiện (1.6), (1.7). Kết quả nay tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả tƣơng ứng trong {1}, [14], [26], [36].
Ngoài các không gian hàm đã sử dụng, chúng ta xét thêm các không gian hàm
sau đây và ký hiệu gọn lại nhƣ sau:
Ta chú ý rằng bài toán (1.1) - (1.4) là trƣờng hợp riêng của bài toán trong (1.61)- (1.66) ứng với p = 2 .
Ta thành lập thêm giả thiết về p nhƣ sau (H’1) p > 1 nếu n = 1,2; 1< p< Khi đó ta có định lý
28 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Giả sử (H'1) , ( H 1 ) - ( H 4 ) là đúng. Khi đó bài toán (1.61) - (1.66) có ít nhất một nghiệm u sao cho
Định lý 1.4.
Hơn nữa, nếu f,B thỏa (H5 ),(H6 ), lần lượt, thì nghiệm duy nhất. Chứng minh định lý 1.4.
. Trƣớc hết, giả sử { } là một cơ sở đếm đƣợc của Đặt
Tƣơng tự với chứng minh của định lý 1.1, ta điều chỉnh trong bƣớc đánh giá tiên nghiệm nhƣ sau.
trong đó
trong đó cmj(t) thỏa hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến
Từ giả thiết của định lý, hệ (1.69),(1.70) có nghiệm u m ( t ) trên khoảng (0, T). Nhân mỗi phƣơng trình trong (1.69) với 2c'mj(t), sau đó lấy tổng theo j, ta đƣợc
Lấy tích phân (1.73) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có
trong đó
Sử dụng giả thiết (H4 ,(ii)) về tính đơn điệu của f đối với biến thứ hai,
ta có
29 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Chú ý rằng từ (H4,(iii)) và (H3,(ii)) ta thu đƣợc các bất đẳng thức sau.
Ta suy ra từ (1.74) – (1.78) rằng
Mặt khác, từ (1.71), (1.72), sử dụng các giả thiết (H3, (i)), (H4,(4i)), và bổ đề
(1.1) ta thu đƣợc
30 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Do đó, từ (1.79), (1.80) ta thu đƣợc
trong đó MT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Từ đánh giá (1.81), ta suy ra tồn tại một dãy con của {um},vẫn ký hiệu là {um},
sao cho
Điều nay cho phép chúng ta qua giới hạn cho số hạng phi tuyến
Lặp lại các bƣớc lý luận 3 và 4 nhƣ trong chứng minh định lý 1.1, ta thu đƣợc
chứng minh định lý 1 .4.
31 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
32 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
CHƯƠNG 2: KHẢO SÁT MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG Á TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN CHỨA GIÁ TRỊ BIÊN
2.1. Giới thiệu
Chúng tôi xét trong chƣơng nay, bài toán sau đây: Tìm một cặp hàm (u,P) thỏa mãn:
trong đó u0,u1,f là các hàm cho trƣớc thỏa mãn một số điều kiện nào đó; ẩn hàm u(x,t) và giá
trị biên chƣa biết P(t) thỏa mãn phƣơng trình tích phân phi tuyến sau đây:
trong đó g,H,k là các hàm cho trƣớc.
Bằng cách khử bớt một ẩn hàm P(t) trong bài toán (2.1) - (2.5) ta thu đƣợc bài toán biên
(2.1),(2.3),(2.4) và với điều kiện biên tại x = 0 nhƣ sau:
Bài toán nêu trên có nhiều ý nghĩa về mặt cơ học nhƣ đã đƣợc đề cập đến trong chƣơng mở đầu.
Chƣơng nay đƣợc chia thành hai phần. Trong phần 1, chúng tôi chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm yếu cho bài toán (2.1) - (2.5). Việc chứng minh dựa vào phƣơng pháp Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên
33 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
nghiệm, các kỹ thuật về tính compact và sự hội tụ yếu. Khó khăn chính gặp phải trong bài nay là điều kiện biên tại x = 0. Chúng ta chú ý rằng phƣơng pháp tuyến tính hóa đã sử dụng trong các bài báo [ 1 1 ] , [20], [35] không dùng đƣợc trong [3], [8], [10], [12], [13], [18], [19]. Trong phần 2 chúng tôi chứng minh tính ổn định của (u,P) đối với các hàm g, H và k. Các kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [1], [3], [8], [12], [13], [18], [19], [27] và đƣợc công bố trong {4}.
2.2.Định lý tồn tại và duy nhất
Đặt
V là không gian con đóng của H1 và trên V, ‖ ‖ ||v||v = √ là hai chuẩn tƣơng đƣơng
Khi đó ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.1
Chứng minh bổ đề 2.1 không phức tạp và ta bỏ qua. Ta thành lập các giả thiết sau:
34 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
(A4) Hàm số H C1 ® và tồn tại một hằng số h0 > 0
Hàm số f : R2 liên tục, f(0,0) = 0 và có các điều kiện sau:
Tồn tại hai hằng số α,β (0,1] và hai hàm số B1, B2 : R+ R+ liên tục sao cho:
Khi đó ta có định lý sau
Ta cũng dung các ký hiệu u(t), ut(t) = u’(t), utt(t) = u’’(t)
Định lý 2.1. Giả sử (A1) - (A4 ) và (F1 ) - (F3 ) đúng. Khi đó, với mỗi T > 0, bài toán tồn tại
nghiệm (u,P)sao cho
Hơn nữa, nếu β = 1 và các hàm H, B2 thỏa mãn thêm điều kiện,
Khi đó, bài toán (2.1) – (2.5) có nghiệm (u, P) duy nhất
35 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Chú thích 2.1.
Kết quả này mạnh hơn kết qua thu đƣợc trong [18]. Thật vậy, tƣơng ứng với cùng bài toán (2.1) – (2.5) với k(t) ≡ 0 và H(s) = hs, h > 0, trong [18]ƣ còn giả thiết thêm:
(2.13) B1, B2 là các hàm không giảm
Chứng minh của định lý 2.1.
Chứng minh bao gồm nhiều bƣớc.
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin.
Xét cơ sở trực chuẩn đặc biệt trên V
⁄ ) Đƣợc thành lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace –(
Đặt
Trong đó cmj(t) thỏa mãn hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến sau đây
Cố định T > 0, từ các giả thiết của định lý 2.1, hệ (2.15) - (2.17) có nghiệm (u m
(t), Pm (t)) trên một khoảng [0, Tm ], với 0 < Tm < T nào đó. Nhờ vào các đánh giá sau
đây ta có thể lấy Tm = T với mọi m.
36 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
Thay (2.16) vào (2.15), và nhân phƣơng trình thứ j của hệ (2.15) với 2c'mj(t) và
lấy tổng theo j, ta có:
Trong đó
Sử dụng bổ đề 2.1, (2.17), (2.19), ta có
Tích phân từng phần (2.18) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có
37 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
trong đó C 1 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào u0,u1, H , h 0 và g . Sử dụng một lần nữa bổ đề 2. 1 và bất đẳng thức
Chú ý rằng từ giả thiết (F1), (F3) và vẫn sử dụng bổ đề 2.1, ta có
Chú ý rằng tích phân cuối cùng trong (2.20) viết lại sau khi tích phân từng phần nhƣ sau:
Ta thu đƣợc
Do đó
Số hạng đầu tiên trong vế phải của (2.26) đƣợc đánh giá nhờ vào bất đẳng thức
(2.22).
Tƣơng tự, số hạng thứ hai trong vế phải của (2.26) đƣợc đánh giá nhờ vào (2.22) và bất đẳng thức Cauchy-Schwartz
Từ (2.26) - (2.28) ta thu đƣợc
Ta suy ra từ (2.20), (2.21), (2.23) - (2.25) và (2.29) rằng
38 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
trong đó
39 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
trong đó ỜJ là hằng số chỉ phụ thuộc vào T.
là hằng số chỉ phụ thuộc vào T
Trong đó
Do bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc từ (2.30), (2.33) rằng
2ds.
|
Bây giờ chúng ta cần một đánh giá của số hạng ∫ |
Đặt
Khi đó um(0,t) đƣợc viết lại là
40 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Bổ đề 2.2.
Tồn tại một hằng số C2 > 0 và một hàm liên tục, D ( t ) > 0 sao cho:
Chứng minh bổ đề 2.2 có thể đƣợc tìm thấy trong [3]. Bổ đề 2.3.
chỉ phụ thuộc vào T sao cho
và
Tồn tại hai hằng số dƣơng
Áp dụng công thức tích phân từng phần , ta có
Chú ý rằng từ (2.16) ta có
Chứng minh của bổ đề 2.3.
Khi đó
41 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Sử dụng bất đẳng thức (a + b + c)2 ≤ 3 ( a 2 + b 2 + c2), Va, b,c e R, ta suy ra từ (2.34), (2.42) và ( A 4 ) rằng
chỉ phụ thuộc vào T sao cho
Ta suy từ (2.41) - (2.43) rằng
và
Tồn tại hai hằng số dương
Chú ý rằng với mọi T > 0, Km → K mạnh trong L2(0,T) khi m → +∞, ta thu đƣợc (2.39). Bổ đề 2.3 đƣợc chứng minh đầy đủ Bổ đề 2.4
42 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Chứng minh của bổ đề 2.4.
Vì (2.46) là hệ quả của (2.34), (2.43), và (2.45), nên chúng ta chỉ cần
chứng minh (2.45).
Từ (2.37), sử dụng bổ đề 2.2 và bổ đề 2.3, ta thu đƣợc
Mặt khác, từ (2.34) và các giả thiết (F2),(F3) với chú ý 0 < α ≤ 1 ta thu đƣợc
Do đó, sử dụng (2.34) và (2.48) ta có Sau cùng, từ (2.47) và (2.49) ta thu đƣợc bất đẳng thức do bổ đề Gronwall suy ra (2.45). Bổ đề 2.4 đƣợc chứng minh đầy đủ. Bước 3. Qua giới hạn. Từ (2.16), (2.19), (2.34), (2.45),(2.46), và (2.49) , ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của dãy {um, Pm }, vẫn ký hiệu là {um, Pm}, sao cho
Áp dụng bổ đề về tính compact của Lions (xem [27], định lý 5.1, trang 58), ta suy ra
từ (2.53), (2.54), (2.51) và (2.52) tồn tại một dãy con vẫn ký hiệu là {um} , sao cho
43 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Từ (2.56) và (2.59) ta có
P ≡ ̂ a.e. trong [0,T]
Do H liên tục, từ (2.16), (2.57) ta có
Qua giới hạn trong (2.15) nhờ vào (2.51), (2.52), (2.55), (2.59) và (2.60) ta có
Ta có thể chứng minh theo một cách tƣơng tự nhƣ trong [18] rằng
u(0) = u0, u'(0) = u1. (2.62)
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm u, ta chỉ cần chứng tỏ rằng χ = f(u,u'). Khi đó ta cần
dùng bổ đề sau đây.
(2.60)
44 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Bổ đề 2.5.
Khi đó ta có Hơn nữa, nếu u0 =u1 = 0 thì trong (2.67) xảy ra đẳng thức. Chứng minh của bổ đề 2.5 có thể tìm thấy trong [3]. Bây giờ, từ (2.15)-(2.17) ta có
Sử dụng bổ đề 2.5, ta suy ra từ (2.17), (2.51), (2.52), (2.54), (2.59), (2.67) và (2.68), rằng
Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau đây
Từ giả thiết liên tục của hàm f ta suy ra từ (2.58) rằng
45 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Theo định lý hội tụ bị chận Lebesgue và các giả thiết (F2) - (F3), ta thu đƣợc
Tiếp đến, ta xét
Trong (2.74) ta lấy ϕ = u ' - λ w , λ>0 , w e L2(QT), khi đó ta thu đƣợc
Mặt khác ta suy từ giả thiết (F2) rằng f(u,u'- λw) → f(u,u') trong L2(QT) mạnh, khi λ → 0+. (2.76) Do đó, từ (2.75) và (2.76) ta suy ra
Từ (2.52) và (2.71), ta suy ra
Suy ra χ= f (u,u') a.e. trong QT.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) - (2.5) đã đƣợc chứng minh.
46 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Bây giờ giả sử rằng β= l trong (F3) và H thỏa(A5).
Giả sử (u1,P1),(u2,P2) là hai nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.5). Khi đó u = u1 - u2, P = P1 - P2 thỏa mãn bài toán sau đây :
Bước 4. Tính duy nhất nghiệm .
Sử dụng bổ đề 2.5 với u0 = u1 = 0, ta thu đƣợc
47 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Thay P(t),x vào (2.78) và chú ý rằng hàm f là không giảm đối với biến thứ hai, ta có
Sử dụng giả thiết (F3), ta có
Dùng tích phân từng phần cho tích phân cuối cùng trong vế phải của (2.80), ta đƣợc Ta suy ra từ (2.79) và (2.82) rằng Đặt
Từ giả thiết (A5) ta có m1 > -1. Mặt khác, bằng cách dùng tích phân từng phần, ta suy ra từ (2.84) rằng
Từ (2.80) - (2.82) và (2.85), ta thu đƣợc
48 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Chú ý rằng từ (2.84) ta có
Ta suy từ (2.83), (2.86) và (2.87) rằng
49
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Chương 2 : Khảo sát phương trình sóng á tuyến tính
, (1 + β2) β1 ≤ Chọn β1 > 0, β2 > 0 sao cho m1 + β2(1 + m1) ≥ và ta đặt
Khi đó từ (2.88) và (2.89) ta thu đƣợc
Định lý 2.1 đƣợc chứng minh hoàn tất. ■
Chú thích 2.2.
Điều kiện k(0) = 0 trong giả thiết (A3) chỉ là kỹ thuật, có thể bỏ qua.
Trong trƣờng hợp riêng của hàm H với H(s) = hs, h > 0, chúng ta có định lý sau đây:
Giả sử (A1) - (A3) và ( F 1 ) - ( F 3 ) là đúng. Khi đó, với mọi T > 0 , bài toán
Định lý 2.2.
Hơn nữa, nếu β= 1 trong ( F 3 ) và hàm B2 thỏa (F4 ), khỉ đó nghiệm ( u , P )
duy nhất.
(2.1) - (2.5) có ít nhất một nghiệm ( u , P ) thỏa (2.10),(2.11).
Chú thích 2.3.
không giảm" .
Định lý 2.2 cho cùng kết quả nhƣ trong [19] nhƣng không sử dụng giả thiết : "B1
Trong trƣờng hợp riêng với k(t) = 0, chúng ta có định lý sau đây.
50 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Định lý 2.3.
Giả sử (A1) , ( A2),(A4) và ( F 1 ) - ( F 3 ) là đúng. Khi đó, với mọi T > 0 , bài toán (2.1) - (2.5) có ít nhất một nghiệm u thỏa (2.10).
Hơn nữa, nếu β = 1 trong ( F 3 ) và nếu các hàm H và B2 thỏa các giả thiết ( A 5 ) v à
( F 4 ) , lần lƣợt, khi đó nghiệm u duy nhất.
Chú thích 2.4.
Định lý 2.3 cho cùng kết quả nhƣ trong [13] nhƣng không sử dụng giả thiết: "B1 không
giảm", sH(s) > 0 s ≠ 0.
2.3.Tính ổn định nghiệm
Trong phần nay, chúng ta giả sử rằng β = l trong (F3) và các hàm H,B2 thỏa (A5),(F4), lần lƣợt. Do định lý 2.1 bài toán (2.1) - (2.5) có nghiệm (u, P) duy nhất phụ thuộc vào g, k, H.
u = u(g,k,H) , P = P(g,k,H). (2.91) trong đó g, k, H thỏa mãn các giả thiết (A2)-(A5) và
u0,u1,f là các hàm cố định cho trƣớc thỏa mãn (A1) , ( F1)-(F4).
Ta đặt
trong đó h0 > 0 là một hằng số cho trƣớc và H0 :R+ → R+ là hàm cũng cho trƣớc.
Khi đó ta có định lý sau.
51 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Định lý 2.4.
Giả sử β = 1, khi đó, với mọi T > 0 , nghiệm của bài toán (2.1) - (2.5) ổn định đối với các
dữ kiện g, k, H.
Chính xác hơn ta có :
Khi đó (uj, u’j. uj (0, t) Pj (u, u’, u (0,t)P)
k ( 0 ) = k j ( 0 ) = O , s a o cho
trong
khi đó, các đánh giá tiên nghiệm của các dãy xấp xỉ {um} và {Pm} trong chứng minh của định lý 2.1 thỏa
Chứng minh của định lý 2.4 Trƣớc tiên, chúng ta chú ý rằng, nếu các dữ kiện (g,k,H) thỏa
52 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
trong đó CT là một hằng số độc lập với g, k, H.
Đặt
Khi đó, vj = uj - u và Qj = Pj - P thỏa mãn bài toán sau :
Do đó, giới hạn (u,P) trong các không gian hàm thích hợp của dãy (um,pm) đƣợc xác định bởi (2.15) - (2.17) là nghiệm của bài toán (2.1) -(2.5) thỏa mãn các đánh giá tiên nghiệm (2.95) - (2.97). Bây giờ, do (2.92) ta có thể giả sử rằng, tồn tại các hằng số G0 > 0,K0 > 0 sao cho các dữ kiện (gj,kj,Hj) thỏa
Khi đó, do chú ý ở trên, ta có các nghiệm (uj,Pj) của bài toán (2.1) -(2.5) tƣơng ứng với (gj,kj,Hj) thỏa mãn các đánh giá
(2.107) | | (2.108)
‖ ‖ ‖ | |
53 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Đặt Sj(t) = ‖ m1 = | | Khi đó, ta có thể chứng minh theo một cách tƣơng tự nhƣ ở phần trên bất đẳng thức sau đây:
54 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Nhân hai vế của (2.110) bởi một số δ > 0 và sau đó cộng với (2.109), ta có
là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Do bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc từ (2.113) rằng
trong đó
Mặt khác, từ (2.100),(2.104) và (2.112) lần lƣợt suy ra
55 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Cuối cùng, ta chỉ cần chứng minh rằng
Thật vậy, từ (2.105) và kết hợp với (2.100), ta suy ra bất đẳng thức sau đây
Định lý 2.4 đƣợc chứng minh đầy đủ. ■
Chú thích 2.5.
Kết quả về tính ổn định trong [19] là một trƣờng hợp riêng của tính ổn định trong định
lý 2.4.
56 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG LƯỢNG
3.1. Giới thiệu
Trong chƣơng này, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến sau :
trong đó γ > 0, p ≥ 2 là các hằng số cho trƣớc; f, F, h là các hàm số cho trƣớc thỏa mãn một số điều kiện nào đó mà chúng ta sẽ chỉ ra sau; M : (0,1] x R → R là hàm thỏa mãn điều kiện Caratheodory và đơn điệu tăng theo biến thứ hai.
Trong chƣơng này, trƣớc tiên chúng tôi thiết lập một số không gian Sobolev có trọng cụ thể cùng với các tính chất của chúng để sử dụng trong chƣơng III và chƣơng IV. Ở mục 3.3 chúng tôi dùng phƣơng pháp Galerkin và toán tử compact trên các không gián hàm Sobolev có trọng nói đến ở mục 3.2 để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán. Kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [22], [23], [24], [29], [37] và đƣợc công bố trong {2}, {5}, {6}. 3.2. Các không gian hàm Sobolev có trọng Đặt Ω = (0,1), chúng ta bỏ qua các định nghĩa về các không gian hàm thông dụng nhƣ : ̅
là tập hợp tất cả các hàm u xác định và đo đƣợc trên
57 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Ta ký hiệu bởi
trong đó
các hàm bằng nhau hầu hết trên Ω . Các phần tử của
là các lớp tƣơng đƣơng các hàm đo đƣợc thỏa mãn (3.4), hai hàm là tƣơng đƣơng nếu chúng bằng nhau là không gian Banach đối với chuẩn ‖ ‖ hầu hết trên Ω. Khi đó
là không gian Hilbert đối với tích vô hƣớng và chuẩn
Ta đồng nhất trên
Trong trƣờng hợp riêng , tƣơng ứng nhƣ sau
Ta ký hiệu bởi
nhƣ là sự đầy đủ hóa của khổng gian hàm S1 sau đây
Ta có
với đạo hàm đƣợc hiểu theo nghĩa phân bố. Chúng ta có thể định nghĩa
Đối với chuẩn ‖ ‖ Các bất đẳng thức về phép nhúng sau đây sẽ đƣợc sử dụng trong các phần sau.
58 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Bổ đề 3.1.
trong đó
Chứng minh của bổ đề 3.1.
Sử dụng tích phân từng phần cho tích phân trên đây, ta đƣợc
(i) Ta có
59 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Do bất đẳng thức Holder ta có
Dùng bất đẳng thức Holder sau đây
Ta suy ra từ (3.11),(3.12) rằng
Trong đó
Do đó, (i) đƣợc suy ra từ (3.13), (3.14).
ii) Một cách tƣơng tự, ta suy ra từ (3.9), (3.10) và (3.12) với ε= i, rằng
Do đó, (ii) đƣợc suy ra từ (3.15). (iii) Ta có , với mọi x G [0,1],
Ta suy ra từ (3.9),(3.10) rằng
60 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
(3.16)
Sử dụng bất đẳng thức Holder, tích phân cuối cùng trong vế phải của (3.16) đƣợc
đánh giá
Ta suy ra từ (3.16), (3.17) rằng
Ta sử dụng một lần nữa bất đẳng thức (3.12) với ε = 1. Khi đó ta suy ra từ (3.15),
Do đó (iii) đƣợc chứng minh.
(3.18) rằng
và p > 1 là đúng. (4i) Giả sử p ≥ 2 -
Ta có từ (iii) rằng
Mặt khác, dùng bất đẳng thức Holder ta thu đƣợc các bất đẳng thức sau
61
Do đó, ta suy ra từ (3.21), (3.22) rằng
Đổi thứ tự biến lấy tích phân x và y trong tích phân cuối cùng của (3.23), ta đánh giá tích phân đó nhƣ sau
Ta chú ý rằng
Khi đó, (iv) đƣợc suy từ (3.20), (3.23) - (3.25).
Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Các bất đẳng thức (i), (ii) chứng tỏ rằng
và
là hai chuẩn tƣơng đƣơng trên
Chú thích 3.1.
62 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Bổ đề 3.2
Chứng minh của bổ đề 3.2.
suy từ (iv) và từ chú thích 3.1. ii) p ≥ 2. Ta có
Chú thích 3.2. Ta chú ý rằng
()
(xem [2] , Bổ đề 5.40 , p.128 ).
(3.29)
ta suy ra rằng
63 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
(3.30)
Từ (3.28), (3.30) ta suy ra
Từ kết quả của bổ đề 3.2, với p ≥ 2 - ⁄ , V đƣợc nhúng liên tục trong H. Hơn nữa V trù mật trong H, vì C1 ( ̅) trù mật trong H; đồng nhất H với H’ ( đối ngẫu của H), ta có . Mặt khác, ks hiệu 〈 〉 đƣợc dùng để chỉ cặp đối ngẫu giữa V và V’.
3.3. Định lý tồn tại và duy nhất Ta giả sử rằng p ≥ 2. Ta thành lập các giả thiết sau (M1) M: (0,1] x R R thỏa mãn điều kiện Caratheodory, nghĩa là, M(.,y) đo đƣợc trên (0,1] với mọi y R, M(x,.) liên tục trên R với hầu hết x (0,1]. (M2) Tồn tại một hằng số dƣơng C1 và một hàm q1 L1(Ω) sao cho
(M3) Tồn tại một hằng số dƣơng C2 và một hàm q2, với
64 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
( Ω) sao cho
( M 4 ) M là đơn điệu tăng đối với biến thứ hai, nghĩa là,
(Ω) sao cho
(F1 ) f : Ω x R → R thỏa điều kiện Caratheodory. (F2) Tồn tại các hằng số dƣơng C3 , 1 < r < p và một hàm q3
(F3) Tồn tại một hằng số dƣơng C4 và một hàm q4
sao cho (H1) h C0 (R; R) thỏa điều kiện sau: tồn tại hai hằng số dƣơng C5,
(3.32)
Giả sử rằng F V’. Chú thích 3.3. Trong giả thiết (F2), r = p vẫn đúng nếu C3 > 0 đủ nhỏ. ( xem chú thích 3.6 ). Nghiệm của bài toán (3.1) - (3.3) đƣợc thành lập từ bài toán biến phân sau đây. Tìm u V sao cho
65 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Chú thích 3.4. Do (3.31), các số hạng u(1) và v(1) xuất hiện trong (3.33) đƣợc xác định với mọi u , v V . Ta nhận đƣợc (3.33) bằng cách nhân hình thức hai vế của (3.1) với xγ v và sau đó lấy tích phân từng phần, kết hợp với việc sử dụng các điều kiện (3.2),(3.28) và giả thiết (M3) . Khi đó ta có định lý sau. Định lý 3.1. Cho F V’ và giả sử (M1) – (M4), (F1) – (F3), (H1)là đúng. Khi đó bài toán biến phân (3.33) có nghiệm Hơn nữa, nếu M(x,y), f(x,y), h(y) là không giảm đối với biến y, nghĩa là
Với mọi y, ỹ R, a.e., x Ω, trong đó, hai trong ba bất đẳng thức trên là nặt trong trường hợp y ≠ ỹ, khi đó nghiệm bài toán duy nhất. Mặt khác, tính duy nhất của nghiệm vẫn còn đúng nếu điều kiện (3.34) được tahy thế bởi giả thiết
66 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Chứng minh. a) Xấp xỉ Galerkin. Do V là không gian Banach khả ly nên tồn tại một cơ sở đếm đƣợc w1 , w 2 ..trong V . Ta tìm u m dƣới dạng
và thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến sau đây:
Nhƣ vậy các hệ số cmj của u m thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến :
Trong đó
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của hệ (3.36), chúng ta nhờ đến bổ đề sau đây Bổ đề 3.3. Cho p: Rm → Rm là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại hằng số ρ > 0, sao cho
67 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
với
Bổ đề này đƣợc chứng minh nhờ vào định lý điểm bất động Brouwer (xem [27] bổ đề 4.3, trang 53). Ta nghiệm lại ánh xạ P thỏa các giả thiết của bổ đề 3.3. j) Ta chứng minh dễ dàng rằng p : R m → R m là ánh xạ liên tục. jj) Ta nghiệm lại điều kiện (3.39) đúng với một số dƣơng ρ nào đó. Ta có
Từ các giả thiết (M1 ) - (M3), (F1) - (F3), (H1) ta có các đánh giá sau
Trong đó
68 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Từ (3.40) – (3.44) ta suy ra:
(3.47)
ta thu đƣợc bất đẳng thức sau
{ } Dùng bất đẳng thức Holder sau :
Ta cũng chú ý rằng
Do đó ta có
Kết hợp (3.45), (3.46),(3.49) và (3.51) ta suy ra
| ‖ ‖ || ||
trong đó C' là một hằng số dƣơng phụ thuộc vào p,r,γ,C0,C3,C'5,|| | Mặt khác trong R m hai chuẩn | c m | và || || tƣơng đƣơng, do đó tồn tạiád hai hằng số
69 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
dƣơng Clm,C2m sao cho Từ (3.52), (3.53) ta suy ra điều kiện (3.39) nghiệm đúng nếu chọn Áp dụng bổ đề 3.3 sự tồn tại của nghiệm của hệ (3.36) đƣợc chứng minh. b) Đánh giá tiên nghiệm. - Nhân phƣơng trình thứ j của hệ (3.36) với cmj, sau đó lấy tổng theo j, ta có
Ta suy ra từ (3.40), (3.52) và (3.54) rằng
70 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Từ đây ta có đánh giá sau
trong đó C là một hằng số độc lập với m . Từ giả thiết (M3) và (3.56), ta suy ra rằng
Mặt khác, ta suy từ giả thiết (F3) và (3.56) rằng
trong đó C là một hằng số độc lập với m . c ) Qua giới hạn - Nhờ vào (3.56) , (3.57) và bổ đề 3.2, {um} có một dãy con vẫn ký hiệu là {um} sao cho
khi đó do (3.29), (3.30), {um} có một dãy con vẫn ký hiệu là {um} sao cho
Do đó
Mặt khác, ta suy từ giả thiết (F1) và (3.60) rằng
71 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Ta suy ra từ giả thiết (F3), (3.65) và bổ đề 3.1 (iii) rằng
Không khó khăn trong việc qua giới hạn trong phƣơng trình (3.36) ta suy từ (3.61), (3.64),(3.66) rằng u thỏa mãn phƣơng trình:
Nhƣ vậy để chứng minh phƣơng trình biến phân (3.33) tồn tại nghiệm chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng
Từ (3.36) ta suy ra đƣợc
Sử dụng (3.59),(3.60),(3.63),(3.64),(3.66),(3.67) và qua giới hạn trong (3.68) khi m → +∞ ta có
Ta suy từ (3.59),(3.61),(3.69) rằng
Dùng tính chất đơn điệu của M, ta thu đƣợc
( ))
72 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
∫ (
L và cho λ → 0+, ta suy ra dễ dàng
Với mọi
Nếu ta chọn trong (3.71) ϕ = u'- λw với λ > 0 và w rằng
Sự tồn tại nghiệm đã đƣợc chứng minh. d) Tính duy nhất nghiệm Giả sử u và v là hai nghiệm của bài toán biến phân (3.33). Khi đó w = u - V thỏa đẳng thức sau :
Nếu (3.34) đúng, thì hiển nhiên từ (3.72) ta có u = v . Nếu (A 1 ) đúng, ta suy từ (3.72) rằng
Nhờ vào bất đẳng thức (i) của bổ đề 3.1 , ta có
73 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Vậy định lý 3.1 đƣợc chứng minh hoàn tất. Chú thích 3.5. Tƣơng ứng với p = 2, = 1, các tác giả Long, Ortiz, Alain trong [23] đã chứng minh phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến sau :
liên kết với điều kiện biên u(0) = 1, u(+∞) = 0 có nghiệm. Ở đây số hạng phi tuyến u 2 - u không đơn điệu.Một trong số các nghiệm của phƣơng trình trên đƣợc thiết lập trong khoảng a < x < b liên kết với điều kiện biên u(a) = 1, u(b) = 0, trong đó , xi < a < b < x i + 1 và x1,xi+1 là hai zéro liên tiếp của hàm Bessel J0(x). Sự thành lập một phản ví dụ cho hàm f(x,u) không thỏa giả thiết về tính đơn điệu tăng đối với u sao cho nghiệm của (3.33) không duy nhất là một bài toán mở Chú thích 3.6. Định lý 3.1 vẫn còn đúng nếu giả thiết (F2) đƣợc thay thế bởi giả thiết sau :
Thật vậy, từ (M2),(FÍ),(H1),(3.32) và (3.54) ta thu đƣợc bất đẳng thức sau đây :
sao cho
74 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Chọn hằng số
Ta suy ra từ bất đẳng thức (i) của bổ đề 3.1, (3.26), (3.76) và (3.77)
(3.78) Do đó, từ (3.78) ta thu đƣợc (3.56). Chú thích 3.7. Trong định lý 3.1 các giả thiết (M2),(M4),(F2),(H1) đƣợc suy ra từ giả thiết(A1). trong đó
Thật vậy, ta suy từ (A1) rằng :
Khi đó ta có định lý sau.
75 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Định lý 3.2. Giả sử F và các giả thiết (M 1 ),(M3),(F 1 ),(F3),(A1) là đúng. Khi đó, bài toán (3.33) có nghiệm duy nhất. Chú thích 3.8. Định lý 3.2 vẫn còn đúng nếu giả thiết ( A 1 ) đƣợc thay thế bởi giả thiết sau
sao cho
trong đó
Thật vậy, từ(3.32), (3.54), (A2),(M1),(M3),(F1),(F3),ta thu đƣợc
76 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến
Do đó, ta thu đƣợc từ (3.79), (3.81) rằng
) , ( M 1 ) , ( M 3 ) , ( F 1 ) v à ( F 3 ) là đúng. Khi đó, bài toán (3.33) có nghiệm duy nhất.
trong đó C là một hằng số độc lập với m. Khi đó ta có định lý sau. Định lý 3.3. Giả sử ( 3 . 3 2 ) , ( A 2
77 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm
CHƯƠNG 4: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG
4.1. Giới thiệu
trong đó các hằng số > 0 , p ≥ 2 , h > 0 , g và các hàm sô f, F cho trƣớc thỏa các điều kiện nào đó mà chúng ta sẽ chỉ rõ ở phần sau. Bài toán (4.1) - (4.3) là bài toán đƣợc xét ở chƣơng III với các hàm M(x,u') và h(u) cụ thể.
Trong chƣơng nay, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến sau :
Trong chƣơng này, dựa vào kỹ thuật chứng minh tƣơng tự nhƣ ở chƣơng III, chúng tôi thiết lập các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trong các không gian hàm Sobolev có trọng đƣợc giới thiệu trong mục 3.2, chƣơng III. Tuy nhiên, các giả thiết đặt ra trên bài toán nay không nằm hoàn toàn trong lớp các giả thiết đƣợc đƣa vào ở chƣơng III ,đó là điều kiện về hàm h. Chúng tôi cũng đã nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm u h phụ thuộc vào h khi h → 0 + . Chúng tôi đã thu đƣợc rằng hàm số h |uh(1)| không tăng trên (0,+∞). Kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong {2}, [22], [23], [24], [29] và đƣợc công bố trong {3}.
78 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm
Chúng ta sử dụng các ký hiệu tƣơng tự nhƣ trong chƣơng trƣớc ,chẳng hạn V =
4.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Ta thành lập các giả thiết sau:
Tìm u V sao cho
Nghiệm yếu của bài toán (4.1) - (4.3) đƣợc thành lập từ phƣơng trình biến phân sau đây.
trong đó
Chú thích 4.1. Do (3.31) , các số hạng u(l),v(l) xuất hiện trong (4.4) đƣợc xác định với mọi u, V V .Ta nhận đƣợc (4.4) bằng cách nhân hình thức hai vế của
79 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm
(4.1) với xᵞ v , sau đó lấy tích phân từng phần và sử dụng các điều kiện
(4.2) và (3.28).
Khi đó ta có định lý sau đây.
Định lý 4.1.
Giả sử h > 0, g R và ( H 1 ) - ( H 4 ) được thỏa .Khi đó bài toán biến phân (4.4) có nghiệm u V . Hơn nữa, giả sử f(x,y) là không giảm đối với biến y , i.e.,
Khi đó nghiệm u duy nhất. Chú thích 4.2.
Số hạng h(u(l)) = hu(l) - g không thỏa mãn điều kiện (H1) trong chƣơng III khi p > 2.
Chứng minh của định lý 4.1.
Tƣơng tự nhƣ chứng minh trong định lý 3.1, chƣơng III, ta gọi {wj} là cơ sở đếm đƣợc trong đó
Sử dụng bổ đề 3.3, chƣơng III (hoặc xem [27], bổ đề 4.3 , trang 53), từ các giả thiết (Hi) - (H4) ta có thể chứng minh rằng hệ (4.6) có nghiệm u m .
của V. Khi đó ta tìm một nghiệm xấp xỉ Galerkin {um} theo dạng um = ∑ cmj thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến sau
80 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm
- Nhân phƣơng trình thứ j của hệ (4.6) với cmj, sau đó lấy tổng theo j = l,...,m, ta đƣợc
Từ các giả thiết (H2), (H4) và từ bất đẳng thức (ii) trong bổ đề 3.1, chƣơng III, ta thu
đƣợc
trong đó C là hằng số độc lập với m .
Từ (4.8) ta suy ra
Ta suy ra từ (4.9) rằng
Mặt khác, ta suy ra từ (H3) (4.9), rằng
trong đó C là một hằng số độc lập với m. - Nhờ (4.9), (4.10) và bổ đề 3.2 (trong chƣơng III ), ta suy ra rằng, dãy {um} có một dãy con vẫn ký hiệu là {um} sao cho
81 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm
Do (3.29), (4.9) {um} có một dãy con vẫn ký hiệu là {um} sao cho
(15) Um |[, ] u |[, 1] trong Co ([,1]), mạnh.
Mặt khác, ta suy ra từ (H1), (4.13), rằng:
Qua giới hạn trong (4.6), từ (4.14)(4.15), và (4.170 ta chứng minh không khó
khăn rằng u thỏa mãn phƣơng trình
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân (4.4) chúng ta chỉ cần chứng
Từ (4.160, giả thiết (H3) và bổ đề 3.1 (iii) suy ra:
minh
Thật vậy, từ (4.17),(4.18), ta suy ra
Sử dụng tính chất đơn điệu của A và các lý luận quen thuộc chúng tachứng minh
⁄ Sự tồn tại nghiệm đã đƣợc chứng minh.
đƣợc rằng :
82 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm
Giả sử f thỏa giả thiết (H5), chúng ta chứng minh nghiệm của bài toán biến phân (4.4) là duy nhất. Thật vậy, giả sử u và v là hai nghiệm của bài toán biến phân (4.4), khi đó w = u - v thỏa đẳng thức sau
Từ đây ta suy ra w = 0. Định lý 4. 1 đƣợc chứng minh đầy đủ.
4.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h → 0+
Trong phần nay, ta giả sử rằng (H1) - (H5) đúng. Do định lý 4.1 bài toán biến phân (4.4) tƣơng ứng với mỗi h > 0, có một nghiệm duy nhất u = uh . Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm uh khi h 0+.
Chúng ta xét thêm các giả thiết phụ sau đây về hàm f.
(H6) Tồn tại một hằng số c3 > 0 sao cho
Định lý sau đây tổng quát một kết quả tƣơng tự trong [29].
trong đó C là một hằng số độc lập với h chỉ phụ thuộc vào , p, C 1 , C 2 , C 3 , g , q I , q 2 , | | F | | V ’ .
Định lý 4.2. Giả sử có các giả thiết ( H 1 ) - ( H ’ 5 ). Khỉ đó i ) ii) Bài toán ( 4 . 4 ) tương ứng với h = 0 có nghiêm duy nhất u0 e V . Hơn nữa, nếu f thỏa ( H 6 ) , khi đó chúng ta có đánh giá tiệm cận
83 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm
ii) Trƣớc hết, ta chú ý rằng hằng số C trong đánh giá (4.9) không những độc
lập với m mà còn độc lập với h > 0. Thật vậy từ (4.8) ta suy ra rằng
Từ đây ta có thể chọn hằng số C cụ
thể nhƣ sau
Chứng minh của định lý 4.2.
Vậy nghiệm duy nhất uh của bài toán (4.4) thỏa mãn:
Trong đó C là một hằng số độc lập với mọi h > 0. Bây giờ, giả sử u h ( tƣơng ứng uh' là nghiệm duy nhất của bài toán (4.4), với tham s ố (tƣơng ứng h ') .
Lấy w = v trong (4.25), khi đó từ (H6), (4.24) và bất đẳng thức sau
ta thu đƣợc
Do đó, ta suy từ (4.27) rằng
84 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm
Coi {hm} là một dãy số thực sao cho h m > 0,hm → 0+ khi m → +∞. Ta suy từ (4.28) rằng {uhm } là dãy Cauchy trong V. Do đó, tồn tại w 0 € Vsao cho
Bằng cách qua giới hạn nhƣ trong chứng minh của định lý 4.1, ta suy ra rằng w 0 là nghiệm
của bài toán biến phân (4.4) tƣơng ứng với h = 0.
Do đó, w0 = u0, suy ra
uh u0 mạnh trong V khi h → 0+ .
Cho h' → 0+ trong (4.28), ta có
Định lý 4.2 đƣợc chứng minh đầy đủ
Định lý 4.3. Giả sử có các giả thiết (H1) – (H4), (H6). Khi đó ta có
(i)Hàm số | | liên tục, không tăng trên [0,1) (ii) | |
| |. Chứng minh của định lý 4.3. Coi 0 < h < h ' , h = h-h'<0.Khi đó v = uh- u h ' thỏa (4.27), ta thu đƣợc ̂n.uh,(l)(uh(l)-uh,(l))≥0.
Suy ra hàm không tăng trên (0, ∞+). Do hàm φ liên tục trên [0, +∞) nên chúng ta suy ra đpcm.
85 Phần kết luận
PHẦN KẾT LUẬN
Trong luận án nầy chúng tôi sử dụng các phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến nhƣ: phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu và phƣơng pháp toán tử đơn điệu, phƣơng pháp tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bất động (Bổ đề Brouwer), phƣơng pháp tiệm cận... nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Cơ học. Chẳng hạn nhƣ các phƣơng trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng; Các phƣơng trình elliptic mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến đƣợc nhúng trong một chất lỏng,..., Trong luận án, ngoài chƣơng đầu trình bày tổng quan về các vấn đề xuất xứ và các vấn đề đã đƣợc giải quyết, các chƣơng còn lại trình bày các kết quả mới. Bằng phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến, luận án đã thu đƣợc một số kết quả
nhƣ sau: 1. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng tình sóng phi tuyến có số hạng
phi tuyến chứa ‖ ‖ với số hạng phi tuyến tổng quát thuộc dạng f( u , u t ) .
2 . Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình sóng phi tuyến có số hạng
phi tuyến chứa ‖ ‖ với số hạng phi tuyến tổng quát thuộc dạng f( u , u t ) .
86 Phần kết luận
3. Chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính ổn định nghiệm của phƣơng trình sóng phi tuyến một chiều liến kết với số hạng phi tuyến thuộc dạng f ( u , u t ) và một phƣơng trình tích phân phi tuyến chứa giá trị biên.
4. Thiết lập một số bất đẳng thức về phép nhúng giữa các không gian hàm có trọng. 5. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên phi tuyến có chứa số hạng kỳ dị trong không gian hàm Sobolev có trọng.
6. Khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm của bài toán biên phi tuyến có chứa số hạng kỳ dị phụ thuộc tham số h > 0 khi h → 0+ đối với điều kiện biên |u'(1)|p-2 u'(1)+hu(1)=g . 7. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số h → I uh(1)I trong đó uh là nghiệm của một bài toán biên phi tuyến có chứa số hạng kỳ dị phụ thuộc tham s ố h > 0 .
Các kết quả thu đƣợc của luận á n đã đƣợc trình bày và thảo luận tại bộ môn Giải tích của Khoa Toán thuộc cơ sở đào tạo; đồng thời cũng đƣợc báo cáo tại các Hội Nghị khoa học của Khoa Toán Đại Học KHTN Tp HCM tháng 4/2000 , Khoa Toán Đại Học Sƣ Phạm Tp HCM tháng 12/2000; tại các Hội Nghị ứng dụng Toán học toàn quốc ( HN ) năm 1999, Hội Nghị về phƣơng trình đạo hàm riêng và ứng dụng ( HN ) năm 1999.
87
CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN
1. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết, On the existence, uniqueness
of solution of the nonlinear vibrations equation, Demonstratio Math.32 (1999), 749-
758.
2. Nguyễn Thành Long,Bùi Tiến Dũng, Trần Minh Thuyết, A nonlinear
boundary value problem for a nonlinear ordinary differential operator in
weighted Sobolev spaces , J. for Analysis and its Applications.19 (2000) , 1035-
1046. (Bài nhận đăng).
3. Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng, Nguyễn Hội Nghĩa, Trần Minh
Thuyết On a nonlinear boundary value with a mixed nonhomogeneous
condition: Asymptotic behavior of a solution, Demonstratio Math. 34 (2001) ,(Bài nhận
đăng).
4. Nguyễn Thành Long,Trần Minh Thuyết, A semilinear wave equation
associated with a nonlinear integral equation. (Submitted).
5. Bùi Tiến Dũng, Trần Minh Thuyết, Về một bài toán biên phi tuyến trong không gian
Sobolev có trọng lƣợng. Kỷ yếu Hội nghị Khoa học lần II, ĐHKHTự nhiên Tp.HCM,
tiểu ban Tóan-Tin học ,5-2000, p. 113-117.
6. Bùi Tiến Dũng, Trần Minh Thuyết ,Về một bài tóan biên phi tuyến trong các không
gian Sobolev có trọng lƣợng, Hội Nghị Ứng Dụng Tóan học Toàn Quốc lần I ,Hà Nội,
23-25/12/1999.
88
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyen Thuc An, Nguyen Dinh Trieu, Shock between absolutely solid body and
elastic Bar with the elastic viscous factional resistance at the side, J. Mech.NCSR.
Vietnam Tom XIII (2) (1991), 1-7.
2. Adams .R.A. , Sobolev Spaces , Academic press, NewYork, 1975.
3. Dang Dinh Ang, Alain Pham Ngoc Dinh, Mixed problem for some semilinear wave
equation with a nonhomogeneous condition,Nonlinear Anal. 12 (1988), 581-592.
4. Aassila.M., On a quasilinear wave equation with strong damping, Funkcial Ekvac,
41 (1998), 67-78.
5. Aassila.M Global existence and energy decay for a damped quasilinear wave
equation, Math. Meth.in the AppL Sci., 21 (1998), 1185-1194.
6. Aassila.M., On local solutions of a mildly degenerate hyperbolic equation, J. Math.
Anal. Appl, 238 (1999), 418- 428.
7. Brezis.H., Analyse Fonctionnelle. Theorie et applications, Masson, Paris, 1983.
8. Bergounioux.M, Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Mathematical
model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar , Nonlinear Anal.
(2001), (to appear).
9. Carrier CF.,0n the vibration problem of elastic string, Q.J.Appl.Math. 3 ( 1 9 4 5 ) ,
151-165.
10. 10Alain Pham Ngoc Dinh, Sur un probleme hyperbolique faiblement nonlineaire en
dimension 1, Demonstratio Math. 16 (1983), 269-289.
89
11. Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen Thanh Long,Linear approximation and asymptotic
expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio
Math. 19 (1986), 45-63.
12. Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen Thanh Long, On the quasilinear wave equation
with a mixed nonhomogeneous condition, SEA.Bull. Math. 19 (1995), 127-130.
13. Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen Thanh Long, The semilinear wave equation
associated with a nonlinear boundary, Demonstratio Math.30 (1997), 557-572.
14. Dmitriyeva.Zh.N., On stable solutions in nonlinear oscillations of rectangular plates
under random loads, Prikl. Mat Mekh. L. 4 (1979), 189-197.
15. Ebihara.Y., Medeiros.LA.,Minranda Milla M., Local solutions for a nonlinear
degenerate hyperbolic equation, Nonlinear Anal. 10 (1986), 27 - 40 .
16. .Hosoya.M. , Yamada.Y. , On some nonlinear wave equation I : local existence and
regularity of solutions , J.Fac.ScLUniv.Tokyo.Sect. IA , Math. 38 (1991), 225-238.
17. 1Hosoya.M.,Yamada.Y. , On some nonlinear wave equation II : global existence and
energy decay of solutions , J.Fac.ScLUniv.Tokyo.Sect. IA, Math. 38 (1991), 239-
250.
18. Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, On the quasilinear wave equation : utt
- u+ f( u , u t ) = 0 associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear
Anal. 19 (1992), 613-623.
90
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26. Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal. 24 (1995),1261-1279. Nguyen Thanh Long, Tran Ngoc Diem, On the nonlinear wave equation utt -uxx = f(x,t,u , u x , u t ) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 29 (1997), 1217-1230. Nguyen Thanh Long, Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. (2000)(to appear). .Nguyen Thanh Long, Tran Van Lang ,The problem of buckling of a nonlinearly elastic bar immersed in a fluid, Vietnam J Math. 24 (1996), 131-142. Nguyen Thanh Long , E.L.Ortiz , Alain Pham Ngoc Dinh , On the existence of a solution of a boundary value problem for a nonlinear Bessel equation on an unbounded interval, Proc. Royal Irish Acad. 95A (1995), 237-247. Nguyen Thanh Long, E.L.Ortiz , Alain Pham Ngoc Dinh, A nonlinear Bessel differential equation associated with Cauchy condition, Computers Math.Appl. 31 (1996), 131-139. Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Periodic solutions for a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a magnetic field into a substance, Computers Math.Appl. 30 (1995),63-78. Nguyen Thanh Long et all,On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral, Comp.Maths.Math.Phys. 33 (1993), 1171-1178.
91
27. Lions J.L., Quelques méthodes de résolution des problemes aux limites non-linéaires , Dunod, Gauthier-Villars , Paris , 1969. 28. MedeirosL.A.,On some nonlinear perturbation of Kirchoff-Carrier operator, Comp. Appl. Math.Xb (1994), 225-233.
29. Nguyen Hoi Nghia , Nguyen Thanh Long , On a nonlinear boundary value problem with a mixed nonhomogeneous condition , Vietnam J Math. 26 (1998), 301-309. 30. Nishihara K., Degenerate quasilinear hyperbolic equation with strong damping, Funkcial Ekvac, 27 (1984), 125-145.
31. Nishihara K.,Global existence and asymptotic behavior of the solution of some quasilinear hyperbolic equation with linear damping, Funkcial Ekvac.,32(1989), 343- 355.
32. Nishihara K., Yamada K., On global solutions of some degenerate quasilinear hyperbolic equations with dissipative terms , Funkcial Ekvac.,33(1990), 151-159. 33. Nishihara.k.,Exponential decay of solutions of some quasilinear hyperbolic equations with linear damping, Nonlinear Anal, 8 (1984), 623-636.
34. 3A.Nishihara K., Ono K.yAsymptotic behaviors of some nonlinear oscillation equations with strong damping, Adv. Math. Sci. Appl Gakkotosho, Tokyo., 4 (1994), 285-295.
35. 35.Ortiz E.L.y Alain Pham Ngoc Dinh, Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method, SIAM J.Math.Anal.18 (1987),452-464.
92
36.
37.
38. Pohozaev S.I., On a class of quasilinear hyperbolic equation, Math. USSR.Sb.25 (1975) ,145-158. Tucsnak M., Buckling of nonlinearly elastic rods immersed in a fluid, BullMath. Soc. Sci.Math.R.S.Roumanie. 33 (1989) ,173-181. Yamada Y., Some nonlinear degenerate wave equation, Nonlinear Anal. 11 (1987), 1155-1168.
