VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
Phạm Thanh Tâm
VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI
TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH
LUẬN ÁN
TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2024
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
Phạm Thanh Tâm
VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI
TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04
LUẬN ÁN
TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tập thể hướng dẫn: GS. TSKH. Phùng Hồ Hải
GS. TSKH. João Pedro Dos Santos
Hà Nội - 2024
Mục lục
Lời cam đoan v
Lời cảm ơn vii
Danh mục công trình ix
Ký hiệu xi
Lời mở đầu xiii
1 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC\{0,∞}1
1.1 Liên thông trên một vành vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Liên thông và phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Vectơ cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Liên thông hình thức có kì dị lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Liên thông trên PC\{0,∞}.......................... 13
1.3.1 Liên thông trên PCcó kì dị lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC\{0,∞}. . . 15
1.4 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một vành 29
2.1 Liên thông kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Liên thông được tham số hóa bởi một đại số địa phương Noether đầy đủ . . 36
2.2.1 Tiêu chuẩn về tính phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Liên thông kì dị chính qui trên R((x)) . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Thác triển liên thông kì dị chính qui lên PR\{0,∞}......... 49
2.3 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel . . . . . 57
iv Mục lục
2.3.1
Liên thông hình thức kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại
số Hensel định giá rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2
Thác triển liên thông kì dị chính qui tham số hóa bởi đại số địa
phương Noether và Hensel lên PR\{0,∞}. . . . . . . . . . . . . . 62
3 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức 73
3.1 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức . . . . . . . . . . 73
3.1.1 Khai triển Turrittin-Levelt-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2 Khai triển lôgarit của liên thông hình thức . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Khai triển lôgarit của liên thông được tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.1 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin . . . . . . . . . . . 83
3.2.2
Khai triển lôgarit của một liên thông được tham số hóa bởi một đại
số định giá rời rạc đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Sơ lược về liên thông xác định trên trường đặc số dương 91
4.1 Kýhiệu .................................... 91
4.2 t-liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 Đa thức đặc trưng của p−độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Kết luận 99
Phụ lục A Cấu trúc của các tự đồng cấu tuyến tính 101
A.1 Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính trên vành Artin . . . . . . . . . . . . . 101
A.2 Cấu trúc của các tự đồng cấu trên vành địa phương Noether Hensel . . . . . 103
Phụ lục B Môđun trên một vành vi phân tổng quát 107
B.1 Vành vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.2.1 Liên thông trên vành vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.2.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.2.3 Chứng minh khác của định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Tài liệu tham khảo 115
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ trường hợp có tham chiếu cụ thể đến công trình của
người khác, nội dung của luận án này là bản gốc và chưa được nộp toàn bộ hoặc một
phần để xem xét cho bất kỳ bằng cấp nào khác trong bất cứ một cơ sở giáo dục nào
khác. Luận án này là công trình của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
GS. TSKH. Phùng Hồ Hải và GS. TSKH. João Pedro Dos Santos. Đối với các kết quả
viết chung với các tác giả khác, tôi đã nhận được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa
vào luận án.
Hà Nội, tháng 05 năm 2024
Tác giả
Phạm Thanh Tâm