
3

1. LÝ do chän ®Ò ti
Nghiªn cøu cÊu tróc vnh v module ®Ó ph©n líp chóng l mét trong
nh÷ng nhiÖm vô quan träng cña §¹i sè Giao ho¸n. KÕt qu¶ cña viÖc lm ny cho
ta c¸c th«ng tin cÇn thiÕt ®Ó nghiªn cøu c¸c ®a t¹p trong H×nh häc §¹i sè, bëi lÏ
mçi ®a t¹p l tËp c¸c kh«ng ®iÓm cña mét ideal vviÖc nghiªn cøu ®a t¹p t−¬ng
øng víi viÖc nghiªn cøu vnh th−¬ng theo ideal x¸c ®Þnh ®a t¹p ®ã, (®iÒu ny
còng cho thÊy §¹i sè Giao ho¸n cã quan hÖ mËt thiÕt, l mét c«ng cô chñ yÕu
cña H×nh häc §¹i sè). Cã nhiÒu lÝ thuyÕt cho phÐp ta ®Æc t¶ cÊu tróc vnh v
module, ch¼ng h¹n: LÝ thuyÕt ®ång ®iÒu, LÝ thuyÕt dKy phÇn tö, LÝ thuyÕt béi, ...
CÇn nhÊn m¹nh r»ng sè béi cã liªn quan chÆt chÏ ®Õn sè c¸c giao ®iÓm cña mét
®a t¹p ®¹i sè bÊt kh¶ quy khi c¾t nã bëi hÖ thèng c¸c siªu ph¼ng ®ñ tæng qu¸t.
Muèn tiÕp cËn theo h−íng ny, chóng ta cÇn ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc sè béi (kÌm
theo l chiÒu Krull) cña vnh hay module ®ang xÐt. §iÒu ny dÉn ®Õn b¾t buéc
ph¶i kh¶o s¸t hm v chuçi Hilbert cña c¸c líp vnh, module ph©n bËc hay ®a
ph©n bËc. Nh− vËy viÖc nghiªn cøu hai kh¸i niÖm ny l mét kh©u thiÕt yÕu ®Ó ta
cã thÓ tiÕp cËn gÇn h¬n víi cÊu tróc cña vnh v module. §ã l lÝ do chóng t«i
chän ®Ò ti: “ Hm v chuçi Hilbert ”.
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
HÖ thèng ho¸ v minh ho¹ chi tiÕt c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña hm vchuçi
Hilbert cña module. Ngoi ra, kho¸ luËn cßn tr×nh by mét sè kiÕn thøc vÒ hm
®a thøc, ®a thøc sè häc v cã liªn hÖ víi mét sè bi to¸n cña THPT.
3. §èi t−îng v ph¹m vi nghiªn cøu
§èi t−îng chÝnh m kho¸ luËn nghiªn cøu l hm v chuçi Hilbert, trong
®ã tËp trung nhiÒu h¬n vo kh¸i niÖm hm Hilbert. Bªn c¹nh ®ã, kho¸ luËn cßn
nghiªn cøu mét lo¹t c¸c kh¸i niÖm bæ trî cã thÓ coi nh− kiÕn thøc chuÈn bÞ phôc
vô cho viÖc kh¶o s¸t c¸c ®èi t−îng chÝnh nh−: Vnh v module ph©n bËc, ®é di
module, chiÒu Krull, hm ®a thøc v ®a thøc sè häc, ...

4
4. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu
+ Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ luËn: Tr−íc hÕt l ®äc c¸c ti liÖu liªn quan
®Õn líp vnh v module ph©n bËc, ®é di module, ®a thøc sè häc v hm ®a thøc
®Ó t×m hiÓu c¬ së lÝ luËn lm tiÒn ®Ò cho viÖc nghiªn cøu ®èi t−îng chÝnh. TiÕp
®ã vËn dông c¸c kiÕn thøc c¬ së trªn ®Ó ®äc, hiÓu vÒ ®Þnh nghÜa v c¸c tÝnh chÊt
cña hm v chuçi Hilbert qua c¸c ti liÖu liªn quan.
+ Ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm: Tæng hîp vhÖ thèng ho¸ c¸c kiÕn
thøc vÒ vÊn ®Ò nghiªn cøu ®Çy ®ñ v khoa häc, kÕt hîp víi ®−a vo c¸c vÝ dô
minh ho¹ chi tiÕt.
+ Ph−¬ng ph¸p lÊy ý kiÕn chuyªn gia: LÊy ý kiÕn cña gi¶ng viªn trùc tiÕp
h−íng dÉn vc¸c gi¶ng viªn kh¸c ®Ó hon thiÖn vÒ mÆt néi dung còng nh− h×nh
thøc cña kho¸ luËn.
5. nghÜa khoa häc v thùc tiÔn
Kho¸ luËn cã thÓ l ti liÖu tham kh¶o cho nh÷ng sinh viªn chuyªn ngnh
To¸n cã mong muèn t×m hiÓu s©u h¬n vÒ cÊu tróc cña module m cô thÓ lvÒ
hm v chuçi Hilbert. §ång thêi, sö dông c¸c kiÕn thøc vÒ ®a thøc sè häc gióp
gi¶i quyÕt mét sè bi to¸n THPT ®¬n gi¶n h¬n. Víi b¶n th©n, nghiªn cøu vÒ hm
v chuçi Hilbert gióp t«i hiÓu râ h¬n vÒ cÊu tróc cña vnh v module, thÊy ®−îc
sù liªn hÖ chÆt chÏ gi÷a §¹i sè Giao ho¸n v H×nh häc §¹i sè.
6. Bè côc cña kho¸ luËn
Ngoi c¸c phÇn Më ®Çu, KÕt luËn v Ti liÖu tham kh¶o, néi dung cña
kho¸ luËn gåm ba ch−¬ng.
Ch−¬ng 1 gåm ba phÇn. PhÇn thø nhÊt tr×nh by c¸c kiÕn thøc c¬ së vÒ
vnh ph©n bËc, ch¼ng h¹n: PhÇn tö thuÇn nhÊt, ideal thuÇn nhÊt, thnh phÇn ph©n
bËc, ... PhÇn thø hai nghiªn c−ó vÒ module ph©n bËc trªn vnh ph©n bËc víi c¸c
kh¸i niÖm liªn quan v mét vi tÝnh chÊt c¬ b¶n cña chóng. PhÇn ba t×m hiÓu vÒ
vnh v module Rees.
Ch−¬ng 2 nghiªn cøu vÒ ®é di module. Ch−¬ng ny gåm hai phÇn tr×nh
by vÒ kh¸i niÖm ®é di module v mét vi ®Æc tr−ng cña module cã ®é di h÷u
h¹n. §©y l mét trong nh÷ng ®Æc tr−ng quan träng khi nghiªn cøu vÒ cÊu tróc
cña module.

5
Ch−¬ng 3 gåm ba phÇn. §©y l ch−¬ng chøa ®ùng néi dung chÝnh cña
kho¸ luËn. Trong ®ã phÇn ®Çu cña ch−¬ng l nh÷ng kiÕn thøc vÒ ®a thøc sè häc
v hm ®a thøc. PhÇn thø hai kh¶o s¸t vÒ hm v chuçi Hilbert. PhÇn cuèi cña
ch−¬ng l ®a thøc Hilbert g Samuel cïng víi ®Þnh lÝ c¬ b¶n cña LÝ thuyÕt chiÒu.
Trong ton bé kho¸ luËn, kh¸i niÖm vnh lu«n ®−îc githiÕt l vnh giao
ho¸n cã ®¬n vÞ
1 0
≠
.

6
Ch−¬ng 1
Néi dung cña ch−¬ng ny gåm c¸c vÊn ®Ò sau: Kh¸i niÖm v mét sè tÝnh
chÊt c¬ b¶n cña vnh ph©n bËc, module ph©n bËc trªn vnh ph©n bËc, vnh v
module Rees.
1.1.
Vnh ph©n bËc
§©y l néi dung c¬ së cña kho¸ luËn, lm nÒn cho viÖc x©y dùng kh¸i
niÖm hm v chuçi Hilbert cña module. §ång thêi ®©y còng l líp vnh ®ãng vai
trß quan träng khi nghiªn cøu vÒ LÝ thuyÕt chiÒu.
 Vnh ph©n bËc v c¸c ®èi t−îng thuÇn nhÊt cña nã
§Þnh nghÜa 1.1.1.1. Cho
( , )
G
+
l mét vÞ nhãm céng giao ho¸n víi phÇn tö
trung ho 0. Mét vnh
R
®−îc gäi l vnh
G
ph©n bËc nÕu tån t¹i mét hä c¸c
nhãm con céng giao ho¸n
G
R
α α
∈
cña
R
tho¶ mKn c¸c ®iÒu kiÖn sau:
( )
i
G
R R
α
α
∈
=
⊕
( )
ii
R R R
α β α β
+
⊂
, mäi
,
G
α β
∈
.
Ng−êi ta gäi
R
α
l thnh phÇn ph©n bËc
α
cña
R
, kÝ hiÖu:
[
]
R
α
VÝ dô.
( )
i
Cho
A
l vnh giao ho¸n, cã ®¬n vÞ. Khi ®ã:
G
A R R
α
α
∈
= =
⊕
víi
khi = 0
0 khi 0
A
R
α
α
α
=
≠
l mét vnh
G
g ph©n bËc.
( )
ii
Cho
K
l mét tr−êng, ta cã vnh ®a thøc
1 2
[ , ,..., ]
d
R K x x x
=
. Khi ®ã cã thÓ
ph©n bËc vnh ny nh− sau:
1. Gäi
n
R
l tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt bËc
n
, tÝnh c¶ ®a thøc kh«ng. Ta cã
0
n
n
R R
≥
=
⊕
l mét vnh
ℕ
g ph©n bËc. Khi ®ã
R
®−îc gäi l cã ph©n bËc chuÈn
hay ph©n bËc tù nhiªn.

7
2. V×
1 2
{( , ,..., ), , i = 1, }
dd i
d
α α α α
= ∈
ℕ ℕ
lmét vÞ nhãm céng giao ho¸n nªn
víi mçi
1 2
( , ,..., )
d
d
α α α α
= ∈
ℕ
®Æt
1 2
1 2
...
d
d
x x
R Kx
α
α α
α
=
th×
d
R R
α
α
∈
=
⊕
ℕ
l mét vnh
d
ℕ
g ph©n bËc.
NhËn xÐt 1.1.1.2. Nh− vËy, mçi vnh giao ho¸n ®Òu cã thÓ coi l mét vnh
G
g ph©n bËc v trªn cïng mét vnh cã thÓ cã nhiÒu c¸ch ph©n bËc kh¸c nhau.
§Þnh nghÜa 1.1.1.3. (C¸c ®èi t−îng thuÇn nhÊt cña vnh ph©n bËc)
Cho vnh
G
g ph©n bËc
G
R R
α
α
∈
=
⊕
. Khi ®ã:
( )
i
Mçi phÇn tö
x R
α
∈
®−îc gäi l mét phÇn tö thuÇn nhÊt bËc
α
v kÝ hiÖu:
deg
x
α
=
.
Quy −íc: PhÇn tö 0 l phÇn tö thuÇn nhÊt bËc tïy ý.
( )
ii
Vnh con
S
cña
R
®−îc gäi lmét vnh con ph©n bËc hay vnh con thuÇn
nhÊt nÕu
( )
G
S S R
α
α
∈
= ∩
⊕
.
( )
iii
Mét ideal
I
cña
R
®−îc gäi l ideal ph©n bËc hay ideal thuÇn nhÊt nÕu
( )
G
I I R
α
α
∈
= ∩
⊕
.
( )
iv
Mét ideal
I
cña
R
®−îc gäi lthõa nhËn ®−îc nÕu víi mçi tËp con h÷u h¹n
J
cña
G
, th× tõ
J
x I
α
α
∈
∈
∑
víi
x R
α α
∈
sÏ kÐo theo
x I
α
∈
víi
J
α
∀ ∈
.
VÝ dô. Cho
1 2
[ , ,..., ]
d
R K x x x
=
l vnh ®a thøc
d
biÕn trªn tr−êng
K
cã ph©n
bËc
0
n
n
R R
≥
=
⊕
víi
n
R
l tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt bËc
n
. Khi ®ã,
I
l
ideal thuÇn nhÊt cña
R
nÕu nã sinh bëi c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt.
1.1.2. Mét sè tÝnh chÊt cña vnh ph©n bËc
MÖnh ®Ò 1.1.2.1. NÕu
G
R R
α
α
∈
=
⊕
l mét vnh
G
ph©n bËc th×
0
R
l mét vnh
con cña
R
chøa ®¬n vÞ 1. §ång thêi
R
α
l c¸c
0
R
 module víi
G
α
∀ ∈
.
Chøng minh. Theo ®Þnh nghÜa ta cã ngay
0 0 0
R R R
⊂
, suy ra
0
R
l mét nhãm
céng giao ho¸n ®ãng víi phÐp nh©n trong
R
, do ®ã nã l mét vnh con cña
R
.
MÆt kh¸c, do
1
G
R R
α
α
∈
∈ =
⊕
nªn 1 ®−îc viÕt duy nhÊt d−íi d¹ng
1
G
x
α
α
∈
=
∑
víi