BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………..
LUẬN VĂN
Một số vấn đề về modun
extending và modun lifting
trong phạm trù M
1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục ........................................................... 1
Mở đầu ............................................................2
Chương I. Kiến thức chuẩn bị ...................................4
1.1 Phạm trù σ[M]..................................................4
1.2 Môđun Noether và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow)
và chiều hollow ..................................................... 5
1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh ................................. 6
1.5 Bù giao và bù cộng .............................................10
1.6 Căn và đế ......................................................11
Chương II. Một số tính chất của môđun extending
và môđun lifting . . . . . . . . .........................................12
2.1 Môđun extending .............................................. 12
2.2 Môđun lifting .................................................. 17
Chương III. Khảo sát môđun Mcó mọi môđun hữu hạn
sinh trong phạm trù σ[M]là extending hoặc lifting ..........28
3.1 Môđun Mcó mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M]
là extending ....................................................... 28
3.2 Môđun tựa xạ ảnh Mcó mọi môđun hữu hạn sinh trong
phạm trù σ[M]là lifting ...........................................32
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................37
Tài liệu tham khảo . .. .. .. .. .. .. .. .. ...................... .. .. .. . 39
2
MỞ ĐẦU
Môđun extending (hay còn được gọi là CS-môđun) là một dạng tổng
quát hóa của môđun nội xạ được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục
năm trở lại đây. Cùng với môđun extending, người ta còn nghiên cứu
môđun lifting, một tính chất đối ngẫu của extending và là một tính chất
có quan hệ gần với tính chất xạ ảnh. Tuy nhiên trong khi mọi môđun
Mđều có bao nội xạ thì chưa chắc phủ xạ ảnh của nó đã tồn tại. Xét
một khía cạnh khác, đối với môđun con Ncủa một môđun M, bù giao
của Ntrong Mluôn tồn tại theo Bổ đề Zorn nhưng chưa chắc đã tồn
tại bù cộng của Ntrong M. Điều này chắc chắn sẽ tạo ra sự không đối
xứng trong quan hệ đối ngẫu giữa môđun extending và môđun lifting.
Các kết quả liên quan đến môđun lifting được các nhóm nhà toán học
ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu. Các tính chất extending
và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một số
lớp vành gần với các lớp vành Noether hoặc Artin. Quan tâm đến lớp
các môđun này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề về
môđun extending và môđun lifting trong phạm trù σ(M)".
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương
Chương I. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức cơ sở
liên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các tính chất...
Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun
extending và môđun lifting. Trên cơ sở các tính chất của môđun extend-
ing, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối
ngẫu tương ứng.
Chương III. Khảo sát môđun Mcó mọi môđun hữu hạn sinh trong
phạm trù σ[M]là extending hoặc lifting.
3
Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun Mcó tính chất mọi
môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M]là extending và khảo sát
môđun tựa xạ ảnh Mmà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M]là lifting.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu khoa học
cũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều hạn chế về thời
gian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo
của quý thầy cô và những đóng góp của bạn đọc để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Quy Nhơn, 3-2008
4
Chương I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong suốt luận văn này, các vành được xét là vành kết hợp có đơn
vị, thường kí hiệu bởi R. Các môđun là R-môđun phải Unita, được gọi
đơn giản là R-môđun.
1.1 Phạm trù σ[M]
1.1.1 Định nghĩa. Một R-môđun Nđược gọi là M-sinh nếu nó là
ảnh đồng cấu của một tổng trực tiếp các bản sao của M.
1.1.2 Định nghĩa. Phạm trù σ[M]là phạm trù con đầy của phạm
trù các R-môđun mà các vật của nó là các R-môđun đẳng cấu với môđun
con của môđun M-sinh.
1.2 Môđun Noether và môđun Artin
1.2.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun Mđược gọi là Noether nếu mỗi
tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại.
(ii) Một R-môđun Mđược gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng
các môđun con của nó đều có phần tử tối tiểu.
1.2.2 Định lý. [1, tr 99-100] (i) Giả sử Alà môđun con của M.
Các điều sau là tương đương:
(1) MNoether;
(2) A và M/A Noether;
(3) Mọi chuỗi tăng A1⊂A2⊂A3⊂... những môđun con của Mđều
dừng.
(ii) Giả sử Alà môđun con của M, các điều sau là tương đương:
(1) M Artin;
(2) A và M/A Artin;