Môc lôc
Môc lôc 1
Lêi c¶m ¬n 3
Lêi më ®Çu 4
1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 6
1.1 Nhãm............................... 6
1.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Nhãm c¸c phÐp biÕn ®æi . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè . . . . . . 10
1.2.3 BiÕn ®æi vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 §Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 To¸n tö sinh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.6 HµmbÊtbiÕn ...................... 23
1.3 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 §ÞnhnghÜa........................ 24
1.3.2 To¸n tö sinh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 §¹isèLie ........................ 32
1.3.4 §¹i sè Lie gi¶i ®-îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
www.VNMATH.com
Môc lôc 2
2øng dông tÝnh ®èi xøng vµo viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n 37
2.1 øng dông nhãm Lie mét tham sè vµo gi¶i ph-¬ng tr×nh vi
ph©ncÊpI............................. 37
2.1.1 HÖ to¹ ®é chÝnh t¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 øng dông nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè
vµo gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I . . . . . . . . . . 40
2.2 øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao . 43
2.2.1 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ®éc lËp,
mét tham sè phô thuéc . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 VÝ dô øng dông §¹i sè Lie vµo gi¶i ph-¬ng tr×nh vi
ph©nbËccao....................... 49
KÕt luËn 53
Tµi liÖu tham kh¶o 54
2
www.VNMATH.com
Lêi c¶m ¬n 3
Lêi c¶m ¬n
Trong suèt thêi gian lµm khãa luËn, t«i ®· nhËn ®-îc sù h-íng dÉn
rÊt tËn t×nh, chu ®¸o cña TS §Æng Anh TuÊn. MÆc dï ë xa nh-ng ThÇy
vÉn th-êng xuyªn h-íng dÉn, ®éng viªn t«i cè g¾ng hoµn thiÖn ®-îc kho¸
luËn nµy. T«i xin ®-îc bµy tá lßng kÝnh träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt tíi
ThÇy.
T«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh tíi PGS.TS §Æng §×nh Ch©u, ThÇy
®· cho t«i nh÷ng lêi khuyªn quý b¸u kh«ng chØ vÒ c¸c vÊn ®Ò xoay quanh
khãa luËn mµ cßn vÒ ph-¬ng ph¸p häc tËp vµ nghiªn cøu, t«i rÊt tr©n
träng nh÷ng gãp ý cña ThÇy, ®ã còng lµ ®éng lùc ®Ó t«i hoµn thµnh khãa
luËn nµy.
T«i còng xin c¶m ¬n ThS Ninh V¨n Thu ®· gi¶i ®¸p th¾c m¾c, ®ãng
gãp nh÷ng ý kiÕn gióp t«i hoµn thµnh kho¸ luËn nµy; ®ång thêi t«i xin
®-îc göi lêi c¶m ¬n tíi c¸c ThÇy, C« trong Bé m«n Gi¶i tÝch; c¸c ThÇy,
C« trong Khoa To¸n - C¬ - Tin häc - tr-êng §H Khoa Häc Tù Nhiªn -
§HQGHN ®· gi¶ng d¹y, d×u d¾t t«i trong suèt 4 n¨m qua. Khãa luËn còng
®-îc hoµn thµnh víi sù ®éng viªn tinh thÇn cña gia ®×nh vµ b¹n bÌ.
T«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt vÒ tÊt c¶ sù gióp ®ì
quý b¸u ®ã!
Hµ Néi, ngµy 21 th¸ng 5 n¨m 2009
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hång Xu©n
3
www.VNMATH.com
Lêi më ®Çu 4
Lêi më ®Çu
Trong to¸n häc, mét nhãm Lie, ®-îc ®Æt tªn theo nhµ to¸n häc ng-êi
Na Uy lµ Sophus Lie, lµ mét nhãm còng lµ mét ®a t¹p tr¬n (differentiable
manifold), víi tÝnh chÊt lµ c¸c to¸n tö nhãm t-¬ng thÝch víi cÊu tróc tr¬n.
Nhãm Lie ®¹i diÖn cho lý thuyÕt ph¸t triÓn cña c¸c ®èi xøng liªn tôc cña
c¸c cÊu tróc to¸n häc. §iÒu nµy ®· lµm nhãm Lie lµ c«ng cô cho gÇn nh-
tÊt c¶ c¸c ngµnh to¸n hiÖn ®¹i, vµ vËt lý lý thuyÕt hiÖn ®¹i, ®Æc biÖt lµ
trong vËt lý h¹t.
Bëi v× c¸c nhãm Lie lµ c¸c ®a t¹p, chóng cã thÓ ®-îc nghiªn cøu sö
dông gi¶i tÝch vi ph©n (differential calculus), t-¬ng ph¶n víi tr-êng hîp
c¸c nhãm t«p« tæng qu¸t h¬n. Mét trong nh÷ng ý t-ëng chÝnh trong lý
thuyÕt vÒ nhãm Lie, ®Ò ra bëi Sophus Lie lµ thay thÕ cÊu tróc toµn côc,
nhãm, víi phiªn b¶n mang tÝnh ®Þa ph-¬ng cña nã hay cßn gäi lµ phiªn
b¶n ®· ®-îc lµm tuyÕn tÝnh ho¸, mµ Lie gäi lµ mét nhãm cùc nhá mµ b©y
giê ®-îc biÕt ®Õn nh- lµ ®¹i sè Lie.
Nhãm Lie ®· cung cÊp mét ph-¬ng tiÖn tù nhiªn ®Ó ph©n tÝch c¸c ®èi
xøng liªn tôc cña c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n (lý thuyÕt Picard-Vessiot),
trong mét c¸ch thøc nh- c¸c nhãm ho¸n vÞ (permutation group) ®-îc sö
dông trong lý thuyÕt Galois ®Ó ph©n tÝch c¸c ®èi xøng rêi r¹c cña c¸c
ph-¬ng tr×nh ®¹i sè.
Trong bµi kho¸ luËn nµy, t¸c gi¶ xin tr×nh bµy mét sè nghiªn cøu c¬ b¶n
vÒ nhãm Lie mét tham sè, nhãm Lie 2 tham sè vµ c¸c øng dông cña chóng
trong viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n. C¸c bµi to¸n vµ vÝ dô ®-îc tr×nh
bµy trong khãa luËn ®-îc trÝch dÉn tõ cuèn Symmetry anh Integration
4
www.VNMATH.com
Lêi më ®Çu 5
Methods for Differential Equations cña George W.Bluman and Stephen C.
Anco. §©y lµ tµi liÖu chÝnh ®-îc sö dông trong kho¸ luËn nµy. T¸c gi¶
xin ®-îc tr×nh bµy chi tiÕt c¸c chøng minh vµ c¸c vÝ dô cô thÓ ®Ó ®-a ra
nh÷ng nguyªn lý nÒn t¶ng nh-: cÊu t¹o vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña nhãm Lie,
c¸ch ¸p dông lý thuyÕt nhãm Lie trong gi¶i PTVP.
CÊu tróc cña khãa luËn gåm 2 ch-¬ng:
Ch-¬ng1: KiÕn thøc chuÈn bÞ
1.1 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè.
Trong phÇn nµy, tr×nh bµy §Þnh nghÜa nhãm, nhãm c¸c phÐp
biÕn ®æi, nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè; BiÕn ®æi vi
ph©n, To¸n tö sinh vi ph©n, §Þnh lý c¬ b¶n Lie thø nhÊt.VÝ dô.
1.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè.
Trong phÇn nµy, tr×nh bµy §Þnh nghÜa nhãm Lie hai tham sè, §¹i
sè Lie, tÝnh gi¶i ®-îc. VÝ dô minh häa.
Ch-¬ng2: øng dông cña tÝnh ®èi xøng vµo viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n
1.1 øng dông nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè ®Ó gi¶i ph-¬ng
tr×nh vi ph©n cÊp 1.
1.2 øng dông §¹i sè Lie ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao.
MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng nh-ng do thêi gian vµ tr×nh ®é cßn h¹n chÕ nªn
khãa luËn ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T¸c gi¶ rÊt mong
nhËn ®-îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña quý ThÇy, C« vµ c¸c b¹n.
5
www.VNMATH.com