Luận văn đề tài : Nhóm Lie phương trình vi phân

M(cid:244)c l(cid:244)c

M(cid:244)c l(cid:244)c 1

LŒi c¶m ‹n 3

LŒi mº fi˙u 4

6 1 Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

6 . 1.1 Nhªm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 . 1.2 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ . . . . . . . . .

9 . 1.2.1 Nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i . . . . . . . . . . . . . . .

10 . 1.2.2 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ . . . . .

15 . 1.2.3 Bi(cid:213)n fi(cid:230)i vi ph'n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 . 1.2.4 §(cid:222)nh l(cid:253) Lie c‹ b¶n thł nh˚t . . . . . . . . . . . . .

19 . 1.2.5 To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 . 1.2.6 H(cid:181)m b˚t bi(cid:213)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 . 1.3 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ . . . . . . . . . .

24 . 1.3.1 §(cid:222)nh ngh(cid:220)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 . 1.3.2 To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 . 1.3.3 §„i sŁ Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

35 . 1.3.4 §„i sŁ Lie gi¶i fi›(cid:238)c . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

M(cid:244)c l(cid:244)c

2 øng d(cid:244)ng t(cid:221)nh fiŁi xłng v(cid:181)o vi(cid:214)c gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n 37 2.1 łng d(cid:244)ng nhªm Lie mØt tham sŁ v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi

ph'n c˚p I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 H(cid:214) to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2 łng d(cid:244)ng nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I . . . . . . . . . . 40

2.2 łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao . 43

2.2.1 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ fiØc l¸p,

mØt tham sŁ ph(cid:244) thuØc . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2 V(cid:221) d(cid:244) łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi

ph'n b¸c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

K(cid:213)t lu¸n 53

2

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o 54

3

LŒi c¶m ‹n

LŒi c¶m ‹n

Trong suŁt thŒi gian l(cid:181)m khªa lu¸n, t«i fi• nh¸n fi›(cid:238)c sø h›(cid:237)ng d(cid:201)n

r˚t t¸n t(cid:215)nh, chu fi‚o cæa TS §˘ng Anh Tu˚n. M˘c d(cid:239) º xa nh›ng Th˙y

v(cid:201)n th›Œng xuy“n h›(cid:237)ng d(cid:201)n, fiØng vi“n t«i cŁ g(cid:190)ng ho(cid:181)n thi(cid:214)n fi›(cid:238)c kho‚

lu¸n n(cid:181)y. T«i xin fi›(cid:238)c b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng k(cid:221)nh tr(cid:228)ng v(cid:181) bi(cid:213)t ‹n s'u s(cid:190)c nh˚t t(cid:237)i

Th˙y.

T«i xin g(cid:246)i lŒi c¶m ‹n ch'n th(cid:181)nh t(cid:237)i PGS.TS §˘ng §(cid:215)nh Ch'u, Th˙y

fi• cho t«i nh(cid:247)ng lŒi khuy“n qu(cid:253) b‚u kh«ng ch(cid:216) v(cid:210) c‚c v˚n fi(cid:210) xoay quanh

khªa lu¸n m(cid:181) c(cid:223)n v(cid:210) ph›‹ng ph‚p h(cid:228)c t¸p v(cid:181) nghi“n cłu, t«i r˚t tr'n

tr(cid:228)ng nh(cid:247)ng gªp (cid:253) cæa Th˙y, fiª c(cid:242)ng l(cid:181) fiØng løc fi(cid:211) t«i ho(cid:181)n th(cid:181)nh khªa

lu¸n n(cid:181)y.

T«i c(cid:242)ng xin c¶m ‹n ThS Ninh V¤n Thu fi• gi¶i fi‚p th(cid:190)c m(cid:190)c, fiªng

gªp nh(cid:247)ng (cid:253) ki(cid:213)n gi(cid:243)p t«i ho(cid:181)n th(cid:181)nh kho‚ lu¸n n(cid:181)y; fi(cid:229)ng thŒi t«i xin

fi›(cid:238)c g(cid:246)i lŒi c¶m ‹n t(cid:237)i c‚c Th˙y, C« trong BØ m«n Gi¶i t(cid:221)ch; c‚c Th˙y,

C« trong Khoa To‚n - C‹ - Tin h(cid:228)c - tr›Œng §H Khoa H(cid:228)c Tø Nhi“n -

§HQGHN fi• gi¶ng d„y, d(cid:215)u d(cid:190)t t«i trong suŁt 4 n¤m qua. Khªa lu¸n c(cid:242)ng

fi›(cid:238)c ho(cid:181)n th(cid:181)nh v(cid:237)i sø fiØng vi“n tinh th˙n cæa gia fi(cid:215)nh v(cid:181) b„n b(cid:204).

T«i xin g(cid:246)i lŒi c¶m ‹n ch'n th(cid:181)nh v(cid:181) s'u s(cid:190)c nh˚t v(cid:210) t˚t c¶ sø gi(cid:243)p fi(cid:236)

qu(cid:253) b‚u fiª!

H(cid:181) NØi, ng(cid:181)y 21 th‚ng 5 n¤m 2009

3

Sinh vi“n: Nguy(cid:212)n Th(cid:222) H(cid:229)ng Xu'n

4

LŒi mº fi˙u

LŒi mº fi˙u

Trong to‚n h(cid:228)c, mØt nhªm Lie, fi›(cid:238)c fi˘t t“n theo nh(cid:181) to‚n h(cid:228)c ng›Œi

Na Uy l(cid:181) Sophus Lie, l(cid:181) mØt nhªm c(cid:242)ng l(cid:181) mØt fia t„p tr‹n (differentiable

manifold), v(cid:237)i t(cid:221)nh ch˚t l(cid:181) c‚c to‚n t(cid:246) nhªm t›‹ng th(cid:221)ch v(cid:237)i c˚u tr(cid:243)c tr‹n.

Nhªm Lie fi„i di(cid:214)n cho l(cid:253) thuy(cid:213)t ph‚t tri(cid:211)n cæa c‚c fiŁi xłng li“n t(cid:244)c cæa

c‚c c˚u tr(cid:243)c to‚n h(cid:228)c. §i(cid:210)u n(cid:181)y fi• l(cid:181)m nhªm Lie l(cid:181) c«ng c(cid:244) cho g˙n nh›

t˚t c¶ c‚c ng(cid:181)nh to‚n hi(cid:214)n fi„i, v(cid:181) v¸t l(cid:253) l(cid:253) thuy(cid:213)t hi(cid:214)n fi„i, fi˘c bi(cid:214)t l(cid:181)

trong v¸t l(cid:253) h„t.

Bºi v(cid:215) c‚c nhªm Lie l(cid:181) c‚c fia t„p, ch(cid:243)ng cª th(cid:211) fi›(cid:238)c nghi“n cłu s(cid:246)

d(cid:244)ng gi¶i t(cid:221)ch vi ph'n (differential calculus), t›‹ng ph¶n v(cid:237)i tr›Œng h(cid:238)p

c‚c nhªm t«p« t(cid:230)ng qu‚t h‹n. MØt trong nh(cid:247)ng (cid:253) t›ºng ch(cid:221)nh trong l(cid:253)

thuy(cid:213)t v(cid:210) nhªm Lie, fi(cid:210) ra bºi Sophus Lie l(cid:181) thay th(cid:213) c˚u tr(cid:243)c to(cid:181)n c(cid:244)c,

nhªm, v(cid:237)i phi“n b¶n mang t(cid:221)nh fi(cid:222)a ph›‹ng cæa nª hay c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) phi“n

b¶n fi• fi›(cid:238)c l(cid:181)m tuy(cid:213)n t(cid:221)nh ho‚, m(cid:181) Lie g(cid:228)i l(cid:181) mØt nhªm cøc nhÆ m(cid:181) b'y

giŒ fi›(cid:238)c bi(cid:213)t fi(cid:213)n nh› l(cid:181) fi„i sŁ Lie.

Nhªm Lie fi• cung c˚p mØt ph›‹ng ti(cid:214)n tø nhi“n fi(cid:211) ph'n t(cid:221)ch c‚c fiŁi

xłng li“n t(cid:244)c cæa c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (l(cid:253) thuy(cid:213)t Picard-Vessiot),

trong mØt c‚ch thłc nh› c‚c nhªm ho‚n v(cid:222) (permutation group) fi›(cid:238)c s(cid:246)

d(cid:244)ng trong l(cid:253) thuy(cid:213)t Galois fi(cid:211) ph'n t(cid:221)ch c‚c fiŁi xłng rŒi r„c cæa c‚c

ph›‹ng tr(cid:215)nh fi„i sŁ.

Trong b(cid:181)i kho‚ lu¸n n(cid:181)y, t‚c gi¶ xin tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt sŁ nghi“n cłu c‹ b¶n

v(cid:210) nhªm Lie mØt tham sŁ, nhªm Lie 2 tham sŁ v(cid:181) c‚c łng d(cid:244)ng cæa ch(cid:243)ng

trong vi(cid:214)c gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n. C‚c b(cid:181)i to‚n v(cid:181) v(cid:221) d(cid:244) fi›(cid:238)c tr(cid:215)nh

4

b(cid:181)y trong khªa lu¸n fi›(cid:238)c tr(cid:221)ch d(cid:201)n tı cuŁn Symmetry anh Integration

5

LŒi mº fi˙u

Methods for Differential Equations cæa George W.Bluman and Stephen C.

Anco. §'y l(cid:181) t(cid:181)i li(cid:214)u ch(cid:221)nh fi›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng trong kho‚ lu¸n n(cid:181)y. T‚c gi¶

xin fi›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y chi ti(cid:213)t c‚c chłng minh v(cid:181) c‚c v(cid:221) d(cid:244) c(cid:244) th(cid:211) fi(cid:211) fi›a ra

nh(cid:247)ng nguy“n l(cid:253) n(cid:210)n t¶ng nh›: c˚u t„o v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n cæa nhªm Lie,

c‚ch ‚p d(cid:244)ng l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm Lie trong gi¶i PTVP.

C˚u tr(cid:243)c cæa khªa lu¸n g(cid:229)m 2 ch›‹ng:

Ch›‹ng1: Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

1.1 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ.

Trong ph˙n n(cid:181)y, tr(cid:215)nh b(cid:181)y §(cid:222)nh ngh(cid:220)a nhªm, nhªm c‚c ph—p

bi(cid:213)n fi(cid:230)i, nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ; Bi(cid:213)n fi(cid:230)i vi

ph'n, To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n, §(cid:222)nh l(cid:253) c‹ b¶n Lie thł nh˚t.V(cid:221) d(cid:244).

1.2 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ.

Trong ph˙n n(cid:181)y, tr(cid:215)nh b(cid:181)y §(cid:222)nh ngh(cid:220)a nhªm Lie hai tham sŁ, §„i

sŁ Lie, t(cid:221)nh gi¶i fi›(cid:238)c. V(cid:221) d(cid:244) minh h(cid:228)a.

Ch›‹ng2: øng d(cid:244)ng cæa t(cid:221)nh fiŁi xłng v(cid:181)o vi(cid:214)c gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

1.1 øng d(cid:244)ng nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng

tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p 1.

1.2 øng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao.

M˘c d(cid:239) fi• r˚t cŁ g(cid:190)ng nh›ng do thŒi gian v(cid:181) tr(cid:215)nh fiØ c(cid:223)n h„n ch(cid:213) n“n

khªa lu¸n ch(cid:190)c ch(cid:190)n kh«ng tr‚nh khÆi nh(cid:247)ng thi(cid:213)u sªt. T‚c gi¶ r˚t mong

5

nh¸n fi›(cid:238)c nh(cid:247)ng (cid:253) ki(cid:213)n fiªng gªp qu(cid:253) b‚u cæa qu(cid:253) Th˙y, C« v(cid:181) c‚c b„n.

Ch›‹ng 1

Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

Ch(cid:243)ng ta b(cid:190)t fi˙u v(cid:237)i vi(cid:214)c fi(cid:222)nh ngh(cid:220)a nhªm, x—t fi(cid:213)n nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n

fi(cid:230)i v(cid:181) fi˘c bi(cid:214)t l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ. Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i fi(cid:210)u thøc hi(cid:214)n tr“n R2.

1.1 Nhªm

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.1.1. Cho t¸p h(cid:238)p G c(cid:239)ng v(cid:237)i ph—p to‚n φ : G × G → G. (G, φ) fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt nhªm n(cid:213)u tho¶ m•n c‚c ti“n fi(cid:210)

1) T(cid:221)nh fiªng: N(cid:213)u a, b ∈ G th(cid:215) φ(a, b) ∈ G.

2) T(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p: V(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) a, b, c ∈ G b˚t kœ th(cid:215)

φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c).

3) Ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222): T(cid:229)n t„i duy nh˚t ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e ∈ G sao cho v(cid:237)i

m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) a ∈ G: φ(a, e) = φ(e, a) = a.

4) Ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o: V(cid:237)i ph˙n t(cid:246) a b˚t kœ thuØc G, t(cid:229)n t„i duy nh˚t

6

ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o a−1 ∈ G sao cho φ(a, a−1) = φ(a−1, a) = e.

7

1.1. Nhªm

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.1.2. Nhªm (G, φ) fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nhªm Abel n(cid:213)u φ(a, b) = φ(b, a), v(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) a, b ∈ G.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.1.3. Cho (G, φ) l(cid:181) mØt nhªm v(cid:237)i ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e, A ⊂ G, khi fiª t¸p A c(cid:239)ng v(cid:237)i ph—p to‚n φ fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nhªm con cæa nhªm (G, .)

n(cid:213)u tho¶ m•n c‚c fii(cid:210)u ki(cid:214)n

1) V(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) a, b ∈ A th(cid:215) φ(a, b) ∈ A.

2) Ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e ∈ A.

3) V(cid:237)i ph˙n t(cid:246) a b˚t kœ thuØc A, t(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o a−1 ∈ A

sao cho φ(a, a−1) = φ(a−1, a) = e.

V(cid:221) d(cid:244) 1.1.4. Cho G = Z - l(cid:181) t¸p c‚c sŁ nguy“n v(cid:237)i ph—p to‚n cØng φ(a, b) = a + b.

i) ¸nh x„ φ : Z × Z → Z v(cid:215) t(cid:230)ng a + b l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n khi a, b l(cid:181) c‚c sŁ

nguy“n.

ii) L˚y ph˙n t(cid:246) a, b, c ∈ Z ta cª a + (b + c) = (a + b) + c.

iii) Ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e = 0 ∈ Z tho¶ m•n a + 0 = 0 +a = a, a ∈ Z.

iv) V(cid:237)i m(cid:228)i a ∈ Z, t(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o a−1 = −a thÆa m•n

a + (−a) = (−a) +a = 0.

V¸y (Z, +) l(cid:181) mØt nhªm. V(cid:215) a + b = b + a v(cid:237)i m(cid:228)i a, b ∈ Z n“n (Z, +) l(cid:181) nhªm Abel.

V(cid:221) d(cid:244) 1.1.5. Cho G = R+ l(cid:181) t¸p c‚c sŁ thøc d›‹ng v(cid:237)i ph—p to‚n nh'n φ(a, b) = a.b

i) ¸nh x„ φ : R+ × R+ → R+ v(cid:215) t(cid:221)ch a.b l(cid:181) sŁ thøc d›‹ng khi a, b l(cid:181) c‚c

7

sŁ thøc d›‹ng.

8

1.1. Nhªm

ii) V(cid:237)i c‚c ph˙n t(cid:246) a, b, c ∈ R+ b˚t kœ, ta cª

φ(φ(a, b), c) = (a.b).c = a.(b.c) = φ(a, φ(b, c)).

iii) T(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e = 1 tho¶ m•n a.1 = 1.a = a, v(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n

t(cid:246) a ∈ R+.

iv) V(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) a ∈ R+ b˚t kœ, t(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o a−1 = 1 a

= .a = 1. tho¶ m•n a. 1 a 1 a

V¸y (R+, .) l(cid:181) mØt nhªm. V(cid:215) a.b = b.a v(cid:237)i m(cid:228)i a, b ∈ R+ n“n nhªm (R+, .) l(cid:181) nhªm Abel.

V(cid:221) d(cid:244) 1.1.6. Cho S = {ε : −1 < ε <+∞} v(cid:237)i ph—p to‚n gi(cid:247)a c‚c tham sŁ fi›(cid:238)c cho bºi φ(ε, δ) = ε + δ + εδ.

i) Ta sˇ chłng minh ‚nh x„ φ fii tı S × S v(cid:181)o S, ngh(cid:220)a l(cid:181) φ(ε, δ) ∈ S,

khi ε, δ ∈ S. L˚y ε, δ ∈ S = (−1, +∞). V(cid:215) ε ∈ (−1, +∞) n“n ε + 1 > 0. T›‹ng tø δ + 1 > 0 Suy ra (ε + 1)(δ + 1) > 0. V¸y ε + δ + εδ ∈ (−1, +∞).

ii) T(cid:221)nh k(cid:213)t h(cid:238)p: V(cid:237)i ε, δ, γ ∈ (−1, +∞) b˚t kœ,

φ(ε, φ(δ, γ)) = ε + (δ + γ + δγ) + ε(δ + γ + δγ)

= ε + δ + γ + δγ + εδ + εγ + εδγ

= ((ε + δ + εδ) + γ) + (ε + δ + εδ)γ

= φ(φ(ε, δ), γ).

iii) Ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e = 0 ∈ (−1, +∞) thÆa m•n

φ(ε, 0) = φ(0, ε) = 0 + ε + 0.ε = ε.

iv) Ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o: V(cid:237)i ph˙n t(cid:246) ε ∈ (−1, +∞) b˚t kœ t(cid:229)n t„i ε−1

8

sao cho: φ(ε, ε−1) = φ(ε−1, ε) = ε + ε−1 + εε−1 = 0.

9

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

∈ (−1, +∞). V¸y (S, φ) l(cid:181) mØt nhªm. ε 1 + ε Suy ra ε−1 = − V(cid:215) φ(δ, ε) = δ + ε + δε = ε + δ + εδ = φ(ε, δ) n“n (S, φ) l(cid:181) nhªm Abel.

V(cid:221) d(cid:244) 1.1.7. Cho G = R2 v(cid:237)i ph—p to‚n ϕ = (ε, δ) = (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2), ε = (ε1, ε2) ∈ R2; δ = (δ1, δ2) ∈ R2.

i) ¸nh x„ ϕ : R2 × R2 → R2 v(cid:215) (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2) ∈ R2 v(cid:215) ε, δ ∈ R2.

ii) V(cid:237)i c‚c ph˙n t(cid:246) α, β, γ b˚t kœ, ta cª

ϕ(ϕ(α, β), γ) = ϕ((α1 + β1, eβ1α2 + β2), γ)

= (α1 + β1 + γ1, eγ1(eβ1α2 + β2) +γ 2) = (α1 + (β1 + γ1), e(β1+γ1)α2 + eγ1β2 + γ2)

= ϕ(α, ϕ(β, γ)).

iii) Ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e = (0, 0) tho¶ m•n

ϕ(ε, e) = (ε1 + 0, e0ε2 + 0) = (ε1, ε2) = ε.

1 ε2 + ε−1

1 , eε−1

2 ) = (0, 0).

iv) V(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) ε ∈ R2, ta x‚c fi(cid:222)nh ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o ε−1

) ∈ R2. Ta cª: ϕ(ε, ε−1) = e n“n suy ra (ε1 + ε−1 Suy ra ε−1 = (−ε1, − ε2 eε1

V¸y (R2, ϕ) l(cid:181) mØt nhªm. V(cid:215) ϕ(δ, ε) = (δ1 + ε1, eε1δ2 + ε2) 6= (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2) = ϕ(ε, δ) n“n (R2, ϕ) kh«ng l(cid:181) nhªm Abel.

1.2 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

1.2.1 Nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

9

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.1. Cho D ⊂ R2, S ⊂ R, (S, φ) l(cid:181) mØt nhªm cª ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e ∈ S.

10

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

ε∈S

X—t ‚nh x„ X : D × S → D. T¸p h(cid:238)p nX(., ε)o l(cid:181) mØt nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ n(cid:213)u

tho¶ m•n c‚c fii(cid:210)u ki(cid:214)n

1) V(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) ε ∈ S th(cid:215) ‚nh x„ X : D × S → D l(cid:181) mØt song ‚nh.

2) V(cid:237)i ε = e, x ∈ D: X(x, e) = x.

3) X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)), v(cid:237)i m(cid:228)i ε, δ ∈ S.

1.2.2 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

Nh› ph˙n tr“n fi• x—t nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i cª c˚u tr(cid:243)c fi„i sŁ. N(cid:213)u ta

th“m c˚u tr(cid:243)c gi¶i t(cid:221)ch v(cid:181)o nhªm n(cid:181)y th(cid:215) nª trº th(cid:181)nh nhªm Lie c‚c ph—p

bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ. B'y giŒ ta x—t fi(cid:213)n nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

mØt tham sŁ. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ta fi(cid:222)nh ngh(cid:220)a

ε∈S

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.2. Cho D ⊂ R2 l(cid:181) mØt mi(cid:210)n mº v(cid:181) x = (x1, x2) ∈ D. S l(cid:181) mØt kho¶ng tr“n R, (S, φ) l(cid:181) nhªm cª ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) 0. Ph—p to‚n φ : S × S → S l(cid:181) h(cid:181)m gi¶i t(cid:221)ch. ¸nh x„ X : D × S → D cho ta t¸p h(cid:238)p c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) nX(., ε)o . T¸p c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i tr“n fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p

bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ n(cid:213)u tho¶ m•n c‚c fii(cid:210)u ki(cid:214)n

1) V(cid:237)i m(cid:228)i ε ∈ S, ‚nh x„ X(., ε) : D × S → D l(cid:181) mØt song ‚nh v(cid:181) kh¶

vi v« h„n. V(cid:237)i x cŁ fi(cid:222)nh ∈ D, ‚nh x„ X(x, .) :S → D l(cid:181) h(cid:181)m gi¶i t(cid:221)ch theo ε.

2) X(., 0) = IdD.

10

3) X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)), v(cid:237)i m(cid:228)i ε, δ ∈ S.

11

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

V(cid:221) d(cid:244) 1.2.3 (Nhªm c‚c ph—p t(cid:222)nh ti(cid:213)n tr“n m˘t ph…ng). Cho nhªm c‚c

ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

x∗ = x + ε,

y∗ = y, ε ∈ R.

v(cid:237)i ph—p to‚n φ(ε, δ) = ε + δ. Nh› v¸y, nhªm c‚c ph—p t(cid:222)nh ti(cid:213)n tr“n m˘t ph…ng fi›(cid:238)c cho bºi D = R2, (S, φ) l(cid:181) nhªm cØng v(cid:181) ‚nh x„

X : R2 × R → R2

((x, y), ε) 7→ (x∗, y∗) = (x + ε, y).

Ta chłng minh nhªm {X(., ε)}ε∈R c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i n(cid:181)y l(cid:181) nhªm Lie c‚c

ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

1) Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta c˙n ch(cid:216) ra v(cid:237)i m(cid:228)i ε ∈ S, ‚nh x„ X(., ε) : R2 → R2 l(cid:181)

mØt song ‚nh. V(cid:237)i m(cid:228)i sŁ thøc ε cŁ fi(cid:222)nh, l˚y (x, y) 6= (x0, y0). D(cid:212) th˚y, (x + ε, y) 6= (x0 + ε, y0) n“n ‚nh x„ X(., ε) : R2 → R2 l(cid:181) mØt

fi‹n ‚nh. Gi¶ s(cid:246) cª (x, y) b˚t kœ ∈ R2 ta t(cid:215)m fi›(cid:238)c (x1, y1) tho¶ m•n

x = x1 + ε,

y = y1.

Suy ra (x1, y1) = (x − ε, y) ∈ R2. Tłc l(cid:181) ImX ≡ R2. V¸y X : R2 → R2 l(cid:181) song ‚nh.

2) X((x, y), ε) = (x + ε, y) kh¶ vi v« h„n theo (x, y) do ta cª

= (1, 0), = (0, 1),

11

= = (0, 0). ∂X ∂x ∂2X ∂x2 = (0, 0), ∂X ∂y ∂2X ∂y2 = (0, 0), ∂2X ∂x∂y ∂2X ∂y∂x

12

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

3) V(cid:237)i (x, y) cŁ fi(cid:222)nh ∈ R2, ta cª bi(cid:211)u di(cid:212)n

x + ε = x + ε0 + (ε − ε0),

y = y.

V(cid:215) X((x, y), .) cª khai tri(cid:211)n Taylor t„i ε0 v(cid:181) hØi t(cid:244) t„i ε0 n“n nª gi¶i t(cid:221)ch theo ε.

4) Ta cª

= 1, = 1,

= 0. = ∂φ ∂δ ∂2φ ∂δ2 = 0, ∂2φ ∂δ∂ε ∂2φ ∂ε∂δ

∂φ ∂ε ∂2φ ∂ε2 = Suy ra ε + δ = ε0 + δ0 + (ε − ε0) + (δ − δ0). V(cid:215) h(cid:181)m φ(ε, δ) = ε + δ l(cid:181) h(cid:181)m khai tri(cid:211)n fi›(cid:238)c d›(cid:237)i d„ng khai tri(cid:211)n

Taylor v(cid:181) hØi t(cid:244) t„i fii(cid:211)m (ε0, δ0) n“n gi¶i t(cid:221)ch theo ε, δ.

5) X((x, y), 0) = (x + 0, y) = (x, y).

6) V(cid:237)i ε, δ b˚t kœ thuØc S, ta cª

X(X((x, y), ε), δ) = X((x + ε, y), δ)

= (x + ε + δ, y)

= (x + (ε + δ), y)

= X((x, y), φ(ε, δ)).

V¸y X((x, y); ε) l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ.

V(cid:221) d(cid:244) 1.2.4 (Nhªm Scalings). X—t nhªm

x∗ = αx,

12

y∗ = α2y, 0 < α < +∞.

13

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

V(cid:181) ph—p to‚n gi(cid:247)a c‚c tham sŁ φ(α, β) = αβ.

V(cid:215) ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) l(cid:181) α = 1 n“n nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i n(cid:181)y fi›(cid:238)c tham sŁ ho‚ l„i v(cid:237)i sŁ h„ng ε = α − 1 n“n α = 1 + ε. Khi fiª, x∗ = (1 + ε)x,

y∗ = (1 + ε)2y; −1 < ε <+ ∞.

Nhªm Scaling fi›(cid:238)c cho bºi D = R2, S = (−1, +∞) v(cid:237)i ph—p to‚n

φ : S × S → S

(ε, δ) 7→ ε + δ + εδ,

v(cid:181) ‚nh x„

X : R2 × S → R2

((x, y), (cid:15)) 7→ (x∗, y∗) = ((1 + ε)x, (1 + ε)2y).

Ta ch(cid:216) ra r»ng nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i X((x, y), .) tr“n l(cid:181) nhªm Lie c‚c

ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

1) Ta ch(cid:216) ra r»ng v(cid:237)i m(cid:228)i ε ∈ S ‚nh x„ X(., ε) : R2 → R2 l(cid:181) song ‚nh.

V(cid:237)i m(cid:228)i ε ∈ (−1, +∞), ta l˚y (x, y) 6= (x0, y0). D(cid:212) th˚y ((1 + ε)x, (1 + ε)2y) 6= ((1 + ε)x0, (1 + ε)2y0) n“n ‚nh x„ X : R2 → R2 l(cid:181) fi‹n ‚nh. Gi¶ s(cid:246) cª (x, y) b˚t kœ ∈ R2 ta lu«n t(cid:215)m fi›(cid:238)c (x1, y1) ∈ R2 tho¶ m•n

, (cid:17) ∈ R2. Tłc l(cid:181) ImX = R2. (1 + ε)x1 = x, (1 + ε)2y = y. 1 (1 + ε)2 1 1 + ε

Suy ra (x1, y1) = (cid:16) V¸y X : R2 → R2 l(cid:181) mØt song ‚nh.

2) X((x, y), ε) kh¶ vi v« h„n theo (x, y) v(cid:215) ta cª

= (1 + ε, 0), = (0, (1 + ε)2),

13

= = (0, 0). ∂X ∂x ∂2X ∂x2 = ∂2X ∂y2 = ∂2X ∂y∂x ∂X ∂y ∂2X ∂x∂y

14

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

3) V(cid:237)i (x, y) cŁ fi(cid:222)nh ∈ R2, ta cª bi(cid:211)u di(cid:212)n

(1 + ε)x = (1 + ε0)x + (ε − ε0)x, (1 + ε)2y = (1 + ε0)2y + 2(ε − ε0)y + 2(ε − ε0)ε0y + (ε − ε0)2y.

V(cid:215) X((x, y), ε) khai tri(cid:211)n fi›(cid:238)c d›(cid:237)i d„ng khai tri(cid:211)n Taylor t„i ε = ε0 n“n nª gi¶i t(cid:221)ch theo ε0.

4) Ta cª bi(cid:211)u di(cid:212)n

φ(ε, δ) = ε + δ + εδ

= ε0 + δ0 + ε0δ0 + ε + δ + εδ − ε0 − δ0 − ε0δ0

= ε0 + δ0 + ε0δ0 + (ε − ε0) + (δ − δ0)

+ (ε − ε0)(δ − δ0) +εδ 0 + ε0δ − ε0δ0 − ε0δ0

= ε0 + δ0 + ε0δ0 + (ε − ε0) + (δ − δ0)

+ (ε − ε0)(δ − δ0) +ε 0(δ − δ0) + δ0(ε − ε0).

Ta th˚y φ(ε, δ) khai tri(cid:211)n fi›(cid:238)c d›(cid:237)i d„ng khai tri(cid:211)n Taylor v(cid:181) hØi t(cid:244)

t„i fii(cid:211)m (ε0, δ0), do fiª φ(ε, δ) l(cid:181) h(cid:181)m gi¶i t(cid:221)ch theo ε, δ.

5) X((x, y), 0) = ((1 + 0)x, (1 + 0)2y) = (x, y).

6) CuŁi c(cid:239)ng ta chłng minh v(cid:237)i ε, δ b˚t kœ, ta cª

X(X(x, y), ε), δ) = (((1 + ε)x, (1 + ε)2y), δ)

= ((1 + ε)(1 + δ)x, (1 + ε)2(1 + δ)2y)

= ((1 + ε + δ + εδ)x, (1 + ε + δ + εδ)2y)

= X((x, y), φ(ε, δ)).

14

V¸y X((x, y), ε) l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ.

15

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

1.2.3 Bi(cid:213)n fi(cid:230)i vi ph'n

Cho nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

X ∗ = X(x, ε) (1.1)

v(cid:237)i ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) ε = 0 v(cid:181) ph—p to‚n φ. Khai tri(cid:211)n Taylor (1.1) t„i ε = 0

trong l'n c¸n cæa ε = 0, ta cª

ε2(cid:16) (cid:17) + (cid:17) + . . . x∗ = x + ε(cid:16) ∂2X(x, ε) ∂ε2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (1.2)

1 2 (cid:17) + O(ε2). = x + ε(cid:16) ∂X(x, ε) ∂ε ∂X(x, ε ∂ε (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0

§˘t

. ξ(x) = (1.3) ∂X(x; ε) ∂ε (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0

Ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i x + εξ(x) fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) bi(cid:213)n fi(cid:230)i vi ph'n cæa nhªm Lie c‚c

ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i (1.1). C‚c th(cid:181)nh ph˙n cæa ξ(x) fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) vi ph'n cæa ph—p

bi(cid:213)n fi(cid:230)i (1.1).

MØt v˚n fi(cid:210) fi˘t ra l(cid:181) n(cid:213)u ch(cid:216) cho bi(cid:213)t ξ(x) th(cid:215) li(cid:214)u r»ng ta cª th(cid:211) bi(cid:213)t fi›(cid:238)c

bi(cid:213)n fi(cid:230)i X(x; ε) hay kh«ng? Ch(cid:243)ng ta c(cid:239)ng t(cid:215)m hi(cid:211)u v(cid:210) §(cid:222)nh l(cid:253) Lie c‹

b¶n thł nh˚t fi(cid:211) gi¶i quy(cid:213)t v˚n fi(cid:210) n(cid:181)y.

1.2.4 §(cid:222)nh l(cid:253) Lie c‹ b¶n thł nh˚t

Tr›(cid:237)c ti“n ta x—t b(cid:230) fi(cid:210)

B(cid:230) fi(cid:210) 1.2.5. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ (1.1) thÆa m•n h(cid:214)

thłc

15

X(x; ε + ∆ε) = X(X(x; ε); φ(ε−1ε + ∆ε)). (1.4)

16

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

Chłng minh:

X(X(x; ε); φ(ε−1, ε + ∆ε)) = X(x; φ(ε, φ(ε−1, ε + ∆ε)))

= X(x; φ(φ(ε, ε−1), ε + ∆ε))

= X(x; φ(0, ε + ∆ε))

= X(x; ε + ∆ε).

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2.6 (§(cid:222)nh l(cid:253) Lie c‹ b¶n thł nh˚t). T(cid:229)n t„i mØt ph—p tham sŁ hªa τ (ε) sao cho Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i X ∗ = X(x; ε) t›‹ng łng v(cid:237)i

nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n gi‚ tr(cid:222) ban fi˙u cæa h(cid:214) ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I

= ξ(x∗), (1.5) dx∗ dτ

v(cid:237)i fii(cid:210)u ki(cid:214)n ban fi˙u

x∗ = x, khi τ = 0. (1.6)

Trong ޻:

ε

Ph—p tham sŁ ho‚

0

Z τ (ε) = Γ(ε0)dε0. (1.7)

V(cid:237)i

, Γ(ε) = (1.8) ∂φ(a, b) ∂b (cid:12) (cid:12) (cid:12)(a,b)=(ε−1,ε)

v(cid:181)

Γ(0) = 1. (1.9)

Chłng minh: Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta ch(cid:216) ra (1.1) d(cid:201)n fi(cid:213)n (1.5) - (1.6) v(cid:181) (1.7) - (1.8).

Khai tri(cid:211)n chu(cid:231)i lu(cid:252) thıa v(cid:213) tr‚i cæa (1.4) theo ∆ε t„i ∆(cid:15) = 0, ta fi›(cid:238)c

16

X(x; ε + ∆ε) = X(x; ε) + ∆ε + O((∆ε)2). (1.10) ∂X(x; ε) ∂ε

17

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

Khai tri(cid:211)n chu(cid:231)i lu(cid:252) thıa φ(ε−1, ε + ∆ε) theo ∆ε t„i ∆ε = 0, ta cª

∆ε + O((∆ε)2) ∂φ(ε−1, ε) ∂ε (1.11)

= (cid:16) (cid:17)∆ε + O((∆ε)2). φ(ε−1, ε + ∆ε) = φ(ε−1, ε) + ∂φ(ε−1, ε) ∂ε (cid:12) (cid:12) (cid:12)(ε−1,ε)

§˘t

= Γ(ε). ∂φ(ε−1; ε) ∂ε (cid:12) (cid:12) (cid:12)(ε−1,ε)

Ta d(cid:201)n fi(cid:213)n

φ(ε−1, ε + ∆ε) = Γ(ε)∆ε + O((∆ε)2). (1.12)

Sau fiª khai tri(cid:211)n chu(cid:231)i lu(cid:252) thıa theo ∆ε v(cid:213) ph¶i cæa (1.4) t„i∆ε = 0, ta

thu fi›(cid:238)c

X(x; ε + ∆ε) = X(X(x, ε), φ(ε−1, ε + ∆ε)) = X(X(x, ε), Γ(ε)∆ε + O((∆ε)2))

(cid:17) + O((∆ε)2) = X(X(x, ε), 0) + ∆εΓ(ε)(cid:16) ∂X(X(x, ε), δ) ∂δ (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0

= x∗ + Γ(ε)ξ(x∗)∆ε + O((∆ε)2).

(1.13)

Tı (1.11) v(cid:181) (1.13) ta th˚y x∗ = X(x, ε) tho¶ m•n b(cid:181)i to‚n gi‚ tr(cid:222) ban fi˙u

cæa h(cid:214) ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

= Γ(ε)ξ(x∗). (1.14) dx∗ dε

v(cid:181) gi‚ tr(cid:222) ban fi˙u

ε

x∗ = x, khi ε = 0. (1.15)

Tı (1.2) v(cid:181) Γ(0) = 1 ph—p tham sŁ ho‚ τ (ε) = R

0 Γ(ε0)dε0 ta suy ra fi›(cid:238)c li“n t(cid:244)c n“n theo fi(cid:222)nh l(cid:253) t(cid:229)n t„i v(cid:181) duy

, h(cid:214) (1.5) - (1.6). V(cid:215) ∂ξ(x) ∂x1 ∂ξ(x) ∂x2 nh˚t nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n Cauchy cho h(cid:214) ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (1.5) - (1.6),

do fiª h(cid:214) (1.14) - (1.15) t(cid:229)n t„i v(cid:181) duy nh˚t. Nghi(cid:214)m fiª ch(cid:221)nh l(cid:181) (1.1). §(cid:222)nh

17

l(cid:253) fi›(cid:238)c chłng minh.

18

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

V(cid:221) d(cid:244) 1.2.7 (Nhªm c‚c ph—p t(cid:222)nh ti(cid:213)n tr“n m˘t ph…ng). Cho nhªm c‚c

ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

x∗ = x + ε, (1.16) y∗ = y.

v(cid:237)i ph—p to‚n φ(a, b) = a + b, ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o ε−1 = −ε.

= 1 n“n Γ(ε) ≡ 1. Do ∂φ(a, b) ∂b Ta fi˘t x = (x, y) nhªm (1.16) trº th(cid:181)nh X(x; ε) = (x + ε, y).

= (1, 0) n“n ta cª V(cid:215) ∂X(x; ε) ∂ε

= (1, 0). ξ(x) = ∂X(x; ε) ∂ε (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0

B'y giŒ, gi¶ s(cid:246) ta ch(cid:216) cª ξ(x) = (1, 0). Khi fiª tı h(cid:214) (1.5) - (1.6) ta sˇ x'y

døng trº l„i nhªm c‚c ph—p t(cid:222)nh ti(cid:213)n tr“n m˘t ph…ng. Th¸t v¸y,

= 1, = 0, (1.17) dx∗ dε dy∗ dε

v(cid:181) fii(cid:210)u ki(cid:214)n ban fi˙u

x∗ = x, y∗ = y, khi ε = 0. (1.18)

Gi¶i h(cid:214) (1.17) - (1.18), ta cª

x∗ = ε + C1, y∗ = C2.

Khi ε = 0 th(cid:215) x∗ = x, y∗ = y n“n C1 = x, C2 = y. V¸y nghi(cid:214)m cæa h(cid:214) (1.17) - (1.18) l(cid:181)

x∗ = x + ε,

y∗ = y.

V(cid:221) d(cid:244) 1.2.8. X—t nhªm

18

x∗ = (1 + ε)x, (1.19) y∗ = (1 + ε)2y, −1 < ε <+ ∞.

19

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

= 1 + a. . Do fiª, v(cid:237)i ph—p to‚n gi(cid:247)a c‚c tham sŁ l(cid:181) φ(a, b) =a + b + ab, v(cid:181) cª ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o ε−1 = −

. ∂φ(a, b) ∂b = 1 + ε−1 = Suy ra Γ(ε) = 1 1 + ε ε 1 + ε (cid:12) (cid:12) (cid:12)(a,b)=(ε−1,ε) ∂φ(a, b) ∂b Cho x = (x, y). H(cid:214) (1.19) trº th(cid:181)nh

X = (x; ε) = ((1 + ε)x, (1 + ε)2y)

= (x, 2y). = (x, 2(1 + ε)y), v(cid:181) ξ(x) = n“n ta cª ∂ X(x; ε) ∂ε ∂X(x; ε) ∂ε (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 Gi¶ s(cid:246) ta ch(cid:216) cª ξ(x). Khi fiª tı k(cid:213)t qu¶ cæa h(cid:214) (1.14) - (1.15) ta sˇ x'y

døng l„i nhªm Scalings. Ta cª

= , = , x∗ 1 + ε dy∗ dε 2y∗ 1 + ε (1.20)

y∗ = y, khi (cid:15) = 0. dx∗ dε x∗ = x,

ε

ε

Gi¶i h(cid:214) (1.20) ta thu fi›(cid:238)c h(cid:214) (1.19) Thøc hi(cid:214)n ph—p tham sŁ ho‚

0

0

Γ(ε0)dε0 = Z τ = Z 1 1 + ε0 dε0 = ln |1 + ε|.

Nhªm (1.19) trº th(cid:181)nh

x∗ = eτ x, (1.21) y∗ = e2τ y, −∞ < τ < +∞.

v(cid:237)i ph—p to‚n gi(cid:247)a c‚c tham sŁ m(cid:237)i l(cid:181) φ(τ1, τ2) = τ1 + τ2.

1.2.5 To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n

Tı fi(cid:222)nh l(cid:253) Lie thł nh˚t, kh«ng m˚t t(cid:221)nh t(cid:230)ng qu‚t ta gi¶ s(cid:246) r»ng nhªm

19

= ξ(x∗), (1.22) Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ fi›(cid:238)c tham sŁ ho‚ l„i b»ng ph—p to‚n cho bºi φ(a, b) = a + b v(cid:237)i ε−1 = −ε v(cid:181) Γ(ε) ≡ 1. Do fiª, v(cid:237)i h(cid:181)m vi ph'n l(cid:181) ξ(x) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ ε sˇ trº th(cid:181)nh dx∗ dε

20

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

v(cid:237)i fii(cid:210)u ki(cid:214)n ban fi˙u

x∗ = x khi ε = 0. (1.23)

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.9. To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n cæa nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

mØt tham sŁ l(cid:181) to‚n t(cid:246)

. (1.24) X = X(x) = ξ(x).∇ = ξ1(x) + ξ2(x) ∂ ∂x1 ∂ ∂x2

v(cid:237)i ∇ l(cid:181) to‚n t(cid:246) gradient:

(cid:17) ∇ = (cid:16) , ∂ ∂x1 ∂ ∂x2

v(cid:237)i m(cid:228)i h(cid:181)m kh¶ vi F (x) = F (x1, x2), ta cª

. XF (x) = ξ(x).∇F (x) = ξ1(x) + ξ2(x) ∂F (x) ∂x1 ∂F (x) ∂x2

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng

(cid:17) Xx = X(x)x = (cid:16)ξ1(x) + ξ2(x) , ξ1(x) + ξ2(x) ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x2

∂x1 ∂x1 = (ξ(x1), ξ(x2))ξ(x).

Theo fi(cid:222)nh l(cid:253) Lie thł nh˚t tı nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ ta

x‚c fi(cid:222)nh fi›(cid:238)c to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n. §(cid:222)nh l(cid:253) d›(cid:237)i fi'y ch(cid:216) ra r»ng b»ng

vi(cid:214)c s(cid:246) d(cid:244)ng to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n (1.23) ta d(cid:201)n fi(cid:213)n thu¸t to‚n t(cid:215)m nghi(cid:214)m

t›Œng minh cæa b(cid:181)i to‚n Cauchy.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2.10. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ t›‹ng fi›‹ng v(cid:237)i

∞ X k=0

ε2X 2x+· · · = [1+εX+ ε2X 2+. . .]x = .X kx. x = eεX x = x+εXx+ 1 2 εk k! 1 2

(1.25)

v(cid:237)i to‚n t(cid:246)

. X = X(x) = ξ(x) ∂ ∂xi

20

v(cid:181) to‚n t(cid:246) X k = X k(x) k = 1, 2, . . . . Trong fiª to‚n t(cid:246) X kF (x) fi›(cid:238)c tı to‚n t(cid:246) X trong X k−1F (x), k = 1, 2, . . . , v(cid:237)i X 0F (x) ≡ F (x).

21

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

Chłng minh: Cho

, X = X(x) = ξ1(x) + ξ2(x)

(1.26)

, X(x∗) = ξ1(x∗) + ξ2(x∗) ∂ ∂x1 ∂ ∂x∗ 1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x∗ 2

(1.27) x∗ = X(x; ε),

l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ.

∞ X k=0

(cid:16) (cid:16) (cid:17) = (cid:17). x∗ = (1.28) ∂X(x; ε) ∂εk εk k! εk k! dkx∗ dεk (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 Khai tri(cid:211)n Taylor (1.27) t„i ε = 0, ta cª ∞ X k=0

+ F (x∗) = d dε (1.29)

= X(x∗)F (X∗). v(cid:237)i m(cid:228)i h(cid:181)m kh¶ vi F (x), ta thu fi›(cid:238)c ∂F (x∗) ∂F (x∗) ∂x∗ ∂x∗ 2 1 + ξ2(x∗) = ξ1(x∗) dx∗ 1 dε ∂F (x∗) ∂x∗ 1 dx∗ 2 dε ∂F (x∗) ∂x∗ 2

Do v¸y,

(1.30) (cid:16) (cid:17) = X(x∗)x∗ dx∗ dε d2x∗ dε2 = = ξ(x∗) = X(x∗)x∗ dx∗ dε d dε

d dε = X(x∗)X(x∗)x∗ = X 2(x∗)x∗.

T(cid:230)ng qu‚t

(1.31) dkx∗ dεk = X k(x∗)x∗, k = 1, 2, . . .

Do ޻,

= X k(X∗)x∗ = X k(x)x. dkx∗ dkε (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 v(cid:215) khi ε = 0 th(cid:215) x∗ = X(x; ε) = X(x; 0) = x n“n ta suy ra

2 X k=1

21

X kx. x∗ = εk k!

22

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

+ H(cid:214) qu¶ 1.2.11. N(cid:213)u F (x) l(cid:181) h(cid:181)m kh¶ vi v« h„n th(cid:215) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ x∗ = X(x; ε) v(cid:237)i to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n (cid:17), ta cª X(x) = ξ(x)(cid:16) ∂ ∂x1

∂ ∂x2 F (x∗) = F (eεX .x) = eεX .F (x). (1.32)

Chłng minh:

∞ X k=0

(cid:16) (cid:17). F (eεX ) = F (x∗) = εk k! dkF (x∗) dεk (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0

d2F (x∗)

dε2 = X 2(x∗)F (x∗), do fiª Tı (1.29) ta th˚y dkF (x∗)

V(cid:215) = X k(x)F (x), n“n ta cª dεk = X k(x∗)F (x∗). dkF (x∗) (cid:12) (cid:12) dεk (cid:12)ε=0

∞ X k=0

X k(x)(cid:17)F (x) = eεX F (x). F (x∗) = F (eεX x) = (cid:16) εk k!

V(cid:221) d(cid:244) 1.2.12. Ta x—t v(cid:221) d(cid:244) cho nhªm ph—p quay

(1.33) x∗ = x cos ε + y sin ε, y∗ = −x sin ε + y cos ε.

Ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i vi ph'n cæa h(cid:214) (1.33)

, (cid:17) = (y, −x). ξ(x∗) = (ξ1(x, y); ξ2(x, y)) = (cid:16) dx∗ dε dy∗ dε (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0

To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n cæa h(cid:214) (1.33)

= y − x . (1.34) X = ξ1(x, y) + ξ2(x, y) ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂x

Chu(cid:231)i Lie t›‹ng łng v(cid:237)i h(cid:214) (1.34) l(cid:181) (x∗, y∗) = (eεX x, eεY y). Khi fiª,

22

Xx = y − x = y, Xy = y − x = −x. ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y

23

1.2. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

Ta t(cid:221)nh c‚c X kx; X ky v(cid:237)i k = 1, 2, . . .

X 3x = X 2Xx = X 2y = XXy = −Xx = −y, X 2x = XXx = Xy = −x,

X 4x = X 3Xx = X 3y = X 2Xy = −X 2x = x.

X 2y = XXy = −Xx = −y, X 3y = X 2Xy = −X 2x = x,

X 4y = X 3Xy = −X 3x = −X 2Xx = −X 2y = y.

Do ޻,

X 4nx = x; X 4n−1x = −y; X 4n−2x = −x; X 4n−3x = y; n = 1, 2, . . . ,

X 4ny = y; X 4n−1y = x; X 4n−2y = −y; X 4n−3y = −x; n = 1, 2, . . . .

∞ X k=0

+ + . . . (cid:17)x + (cid:16)ε − + + ...(cid:17)y X kx = (cid:16)1 − x∗ = eεX x = Bºi v¸y (x∗, y∗) fi›(cid:238)c vi(cid:213)t l„i d›(cid:237)i d„ng ε4 4! ε2 2! ε3 3! ε5 5!

= x cos ε + y sin ε.

T›‹ng tø: y∗ = eεX y = −x sin ε + y cos ε.

1.2.6 H(cid:181)m b˚t bi(cid:213)n

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.13. Cho F : D → D v(cid:181) F (x) l(cid:181) h(cid:181)m kh¶ vi v« h„n. Khi fiª F fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) b˚t bi(cid:213)n qua nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i (1.1) n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216)

n(cid:213)u

F (X(x, ε)) = F (x). (1.35)

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2.14. F(x) l(cid:181) b˚t bi(cid:213)n qua nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i (1.1) n(cid:213)u

v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u

XF (x) ≡ 0.

Chłng minh:

∞ X k=0

X kF (x) ≡ F (x) + εXF (x) + ε2X 2F (x) + . . . . F (x∗) ≡ eεX F (x) ≡ 1 2 εk k!

23

(1.36)

24

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

V(cid:215) F (x) l(cid:181) h(cid:181)m b˚t bi(cid:213)n n“n F (x∗) = F (x). V¸y tı (1.36) ta suy ra XF (x) ≡ 0.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2.15. Cho nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i (1.1), fi(cid:229)ng nh˚t thłc

F (x∗) ≡ F (x) +ε, (1.37)

ch(cid:216) x¶y ra khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

XF (x) ≡ 1. (1.38)

F (x) +ε ≡ F (x) + εXF (x) + ε2X 2F (x) +. . . . Chłng minh: Cho F (x) tho¶ m•n (1.37) th(cid:215) 1 2

Do fiª, XF (x) ≡ 1. Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u ta cho F (x) tho¶ m•n XF (x) ≡ 1. Khi fiª X nF (x) ≡ 0, v(cid:237)i n = 2, 3, . . . . Do v¸y,

F (x∗) ≡ eεX F (x) ≡ F (x) +εXF (x) ≡ F (x) +ε.

1.3 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

1.3.1 §(cid:222)nh ngh(cid:220)a

ε∈S

. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.1. Cho D ⊂ R2, x = (x1, x2) ∈ D, S = (S1, S2), v(cid:181) ph˙n t(cid:246) ε = (ε1, ε2) ∈ S. (S, φ) l(cid:181) nhªm cª ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) e = (0, 0). Ph—p to‚n φi : Si × Si → Si l(cid:181) h(cid:181)m gi¶i t(cid:221)ch. X = (X1, X2) : D × S → D cho ta t¸p c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) nX(., ε)o

T¸p c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i tr“n fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham

24

sŁ n(cid:213)u tho¶ m•n c‚c fii(cid:210)u ki(cid:214)n

25

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

1) V(cid:237)i ph˙n t(cid:246) ε cŁ fi(cid:222)nh ∈ S : X(., ε) : D × S → D l(cid:181) mØt song ‚nh

v(cid:181) kh¶ vi v« h„n. V(cid:181) v(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) x cŁ fi(cid:222)nh ∈ D : X(x, .) : S → D l(cid:181) h(cid:181)m gi¶i t(cid:221)ch

theo x.

2) X(., 0) = IdD.

3) V(cid:237)i m(cid:228)i ph˙n t(cid:246) ε, δ ∈ S, ta cª

X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)).

Ma tr¸n vi ph'n Ξ(x) c˚p 2 × 2

  # Ξ(x) = = (1.39) " ξ11(x) ξ12(x) ξ21(x) ξ22(x)     ∂X1(x; ε) ∂ε1 ∂X1(x; ε) ∂ε2 ∂X2(x; ε) ∂ε1 ∂X2(x; ε) ∂ε2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0

Cho Θ(x) l(cid:181) ma tr¸n c˚p 2 × 2

 

Θ(x) = (1.40)     ∂φ1(ε, δ) ∂δ1 ∂φ1(ε, δ) ∂δ2 ∂φ2(ε, δ) ∂δ1 ∂φ2(ε, δ) ∂δ2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0

v(cid:181) ma tr¸n ngh(cid:222)ch fi¶o cæa Θ(ε)

Ψ(ε) = Θ−1(ε). (1.41)

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.3.2 (§(cid:222)nh l(cid:253) Lie c‹ b¶n thł nh˚t). Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ t„i l'n c¸n cæa ε = 0 t›‹ng łng v(cid:237)i nghi(cid:214)m b(cid:181)i to‚n gi‚ tr(cid:222)

ban fi˙u cæa h(cid:214) ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I

 

= Ψ(ε)Ξ(x∗). (1.42)     ∂X1 ∂ε1 ∂X1 ∂ε2 ∂X2 ∂ε1 ∂X2 ∂ε2

v(cid:237)i fii(cid:210)u ki(cid:214)n ban fi˙u

25

x∗ = x khi ε = 0. (1.43)

26

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

Chłng minh: Ta chłng minh

    (x, ε) (x, ε) (ε, 0) (ε, 0)

=         (x, ε) (x, ε) (ε, 0) (ε, 0) ∂X1 ∂ε1 ∂X1 ∂ε2 ∂X2 ∂ε1 ∂X2 ∂ε2 ∂φ2 ∂δ1 ∂φ2 ∂δ2

  (X(x, ε), 0) (X(x, ε), 0) ×

    (X(x, ε), 0) (X(x, ε), 0) ∂φ1 ∂δ1 ∂φ1 ∂δ2 ∂X1 ∂ε1 ∂X1 ∂ε2 ∂X2 ∂ε1 ∂X2 ∂ε2

Ta ch(cid:216) c˙n chłng minh

(x, ε) = (ε, 0) (X(x, ε), 0) + (ε, 0) (X(x, ε), 0). (1.44) ∂X1 ∂ε1 ∂φ1 ∂δ1 ∂X1 ∂ε1 ∂φ2 ∂δ1 ∂X1 ∂ε2

C‚c tr›Œng h(cid:238)p kh‚c t›‹ng tø. V(cid:215) nhªm (S, ϕ) v(cid:237)i S = S1 × S2 v(cid:181) ph—p to‚n ϕ(ε) = (φ1(ε), φ2(ε)) cª ph˙n t(cid:246) fi‹n v(cid:222) 0. Ph˙n t(cid:246) ngh(cid:222)ch fi¶o cæa ε ∈ S k(cid:221) hi(cid:214)u ε−1. §(cid:211) ki(cid:211)m tra

(1.44) ta c(cid:242)ng l(cid:181)m nh› ph˙n mØt tham bi(cid:213)n. §˙u ti“n ta c(cid:242)ng cª fi…ng

thłc

(1.45) X1(x, ε + h1) = X1(X(x, ε), ϕ(ε−1, ε + h1)).

v(cid:237)i h1 = (∆ε1, 0). §…ng thłc (1.45) chłng minh giŁng fi…ng thłc (1.4) v(cid:237)i ch(cid:243) (cid:253) (S, ϕ) l(cid:181) nhªm!

Tı fi…ng thłc (1.45) vi(cid:213)t khai tri(cid:211)n Taylor

X1(x, ε + h1) = X1(x, ε) + ∆ε1 (x, ε) +O (|h1|2),

φ1(ε−1, ε + h1) = φ1(ε−1, ε) + ∆ε1 (ε−1, ε) +O (|h1|2),

φ2(ε−1, ε + h1) = φ2(ε−1, ε) + ∆ε1 (ε−1, ε) +O (|h1|2). ∂X1 ∂ε1 ∂φ1 ∂ε1 ∂φ2 ∂ε1

26

Ch(cid:243) (cid:253): 0 =ϕ(ε −1, ε) = (φ1(ε−1, ε), φ2(ε−1, ε)). Sau fiª l„i khai tri(cid:211)n

27

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

Taylor theo bi(cid:213)n thł hai

X1(X(x, ε), (∆ε1 (ε−1, ε) +O (|h1|2), ∆ε1 (ε−1, ε) +O (|h1|2))) ∂φ1 ∂ε1

= X1(X(x, ε), 0) + (X(x, ε), 0)(cid:0)∆ε1 ∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) +O (|h1|2)(cid:1) ∂X1 ∂ε1

+ (X(x, ε), 0)(cid:0)∆ε1 ∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) +O (|h1|2)(cid:1) + O(|h1|2). ∂X1 ∂ε2 ∂φ2 ∂ε1

m(cid:181) X1(X(x, ε), 0) = X1(x, ε) n“n ta cª (1.45).

1.3.2 To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.3. To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n Xα łng v(cid:237)i tham sŁ εα cæa nhªm

Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ

. (1.46) X1 = ξ11 + ξ12 , X1 = ξ11 + ξ12 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2

C‚ch kh‚c fi(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ l(cid:181)

x∗ = eµ1X1eµ2X2, (1.47)

trong fiª, µ1, µ2 l(cid:181) nh(cid:247)ng h»ng sŁ thøc.

B¸c cæa nh(cid:247)ng sŁ h„ng trong c«ng thłc tr“n cª th(cid:211) fi›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p l„i

b»ng c‚ch fi‚nh sŁ l„i c‚c to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n, cª th(cid:211) kh«ng c˙n ph¶i thł

tø ch(cid:221)nh x‚c v(cid:215) ta cª

eµ1X1eµ2X2 = eµ2X2eµ1X1,.

MØt thł tø m(cid:237)i cæa c‚c sŁ h„ng sˇ t›‹ng łng v(cid:237)i mØt ph—p tham sŁ

ho‚ kh‚c, v(cid:221) d(cid:244) Ψ(ε) sˇ thay fi(cid:230)i. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ t›‹ng łng v(cid:237)i x∗ = X(x, ε) n(cid:213)u nª cª th(cid:211) fi›(cid:238)c bi(cid:211)u di(cid:212)n d›(cid:237)i d„ng h(cid:214) (1.42) - (1.43) v(cid:237)i c(cid:239)ng mØt Ξ(x).

Ta c(cid:242)ng ch(cid:216) ra fi›(cid:238)c r»ng nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ cæa

ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

27

x∗ = eεX x = eε(σ1X1+σ2X2x. (1.48)

28

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

thu fi›(cid:238)c nhŒ sø m(cid:242) ho‚ to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n

, (1.49) X = σ1X1 + σ2X2 = ζ1(x) + ζ2(x) ∂ ∂x1 ∂ ∂x2

trong ޻

(1.50) ζ1(x) = σ1ξ11(x) +σ 2ξ21(x), ζ2(x) = σ1ξ12(x) +σ 2ξ22(x).

SŁ h„ng cæa h»ng sŁ thøc cŁ fi(cid:222)nh b˚t kœ σ1, σ2 x‚c fi(cid:222)nh mØt nhªm Lie

c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ l(cid:181) nhªm con cæa nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n

fi(cid:230)i 2 tham sŁ.

(1.51) V(cid:221) d(cid:244) 1.3.4. Cho v(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ [ε = (ε1, ε2)] trong R2 v(cid:237)i [(x1, x2) = (x, y)] fi›(cid:238)c cho bºi x∗ = eε1x + ε2, y∗ = e2ε1y.

Khi ޻,

x∗∗ = eδ1x∗ + δ2 = eφ1(ε,δ)x + φ2(ε, δ), y∗∗ = e2δ1y∗ = e2φ1(ε,δ)y.

v(cid:237)i ph—p to‚n gi(cid:247)a c‚c tham sŁ

(1.52) ϕ(ε, δ) = (φ1(ε, δ), φ2(ε, δ)) = (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2).

Ta cª khai tri(cid:211)n Taylor t„i (ε0, δ0) cæa ϕ vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng

ϕ(ε, δ) = (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2) = (ε0 + δ0 + ε1 − ε0 + δ1 − δ0, eδ0eδ1−δ0ε0 + δ0 + eδ0eδ−δ0(ε2 − ε0) + (δ2 − δ0). Suy ra ϕ : R2 × R2 → R2 l(cid:181) h(cid:181)m gi¶i t(cid:221)ch.

Ta sˇ ki(cid:211)m tra h(cid:228) 2 tham sŁ cæa ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i (1.51) v(cid:237)i ph—p to‚n (1.52)

x‚c fi(cid:222)nh mØt nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ ë fi'y, S = (R2, R2); (S, ϕ) l(cid:181) nhªm cª fi‹n v(cid:222) 0, v(cid:181) ‚nh x„

X : R2 × R2 → R2

28

(x, y) × (ε1, ε2) 7→ (eε1x + ε2, e2ε1y).

29

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

Tr›(cid:237)c ti“n ta chłng minh r»ng v(cid:237)i m(cid:228)i ε ∈ S th(cid:215) ‚nh x„ X(., ε) : R2 → R2 l(cid:181) mØt song ‚nh. Th¸t v¸y, n(cid:213)u l˚y (x, y) 6= (x0, y0) th(cid:215) (eε1x + ε2, e2ε1y) 6= (eε1x0 +ε2, e2ε1y0). H‹n n(cid:247)a, gi¶ s(cid:246) cª (x, y) ∈ R2 b˚t kœ ta t(cid:215)m fi›(cid:238)c (x1, y1) tho¶ m•n

x = eε1x1 + ε2, y = e2ε1y1.

Suy ra: (x1, y1) = (e−ε1(x − ε2), e−2ε1y) ∈ R2. Tłc l(cid:181), ImX ≡ R2. V¸y ‚nh x„ X : R2 → R2 l(cid:181) mØt song ‚nh. ¸nh x„ X((x, y), ε) l(cid:181) h(cid:181)m kh¶ vi v« h„n v(cid:215)

= (eε1, 0), = (0, e2ε1);

= = (0, 0). ∂X ∂x ∂2X ∂x2 = ∂X ∂y ∂2X ∂x∂y ∂2X ∂y∂x

∂2X ∂y2 = V(cid:237)i m(cid:231)i (x, y) cŁ fi(cid:222)nh ∈ R2, ta cª

eε1x + ε2 = eε0x + ε0 + e(ε1−ε0)x + (ε2 − ε0),

e2ε1y = e2ε0y + e2(ε1−ε0)y.

V(cid:215) X((x, y), .) khai tri(cid:211)n fi›(cid:238)c d›(cid:237)i d„ng khai tri(cid:211)n Taylor t„i ε = ε0 n“n

nª l(cid:181) h(cid:181)m gi¶i t(cid:221)ch theo ε0. Ta cª: X(., (0, 0)) = (e0x + 0, e2.0y) = (x, y).

CuŁi c(cid:239)ng ta chłng minh fi›(cid:238)c

X(X(., ε), δ) = X((eε1x + ε2, e2ε1y), δ)

= (eε1eδ1x + ε2 + δ2, e2ε1e2δ1y) = (eε1+δ1x + (ε2 + δ2), e2(ε1+δ1)y) = (eφ1(ε,δ) + φ2(ε, δ), e2φ1(ε,δ))

= X(., ϕ(ε, δ)).

Ta th˚y r»ng h(cid:214) ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (1.42) - (1.43) sˇ trº th(cid:181)nh

29

= 2e2ε1y = 2y∗, = 1, = 0. = eε1x = x∗ − ε2, ∂x∗ ∂ε1 ∂x∗ ∂ε2 ∂y∗ ∂ε2 ∂y∗ ∂ε1

30

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

Do v¸y,

  # = (1.53) " x∗ − (cid:15)2 2y∗ 0 1     ∂x∗ ∂ε1 ∂x∗ ∂ε2 ∂y∗ ∂ε1 ∂y∗ ∂ε2

Do ޻,

= 2y; ξ11(x) = = x; ξ12(x) =

= 0. ξ21(x) = = 1; ξ22(x) = ∂x∗ ∂ε1 ∂x∗ ∂ε2 ∂y∗ ∂ε1 ∂y∗ ∂ε2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)ε=0

Bºi v¸y ma tr¸n vi ph'n l(cid:181):

# "x 2y Ξ(x) = (1.54) 1 0

§(cid:211) x‚c fi(cid:222)nh Ψ(ε), ta cª:

= 1, = 0, = 1. = eδ1ε2, ∂φ1 ∂δ1 ∂φ2 ∂δ1 ∂φ1 ∂δ2 ∂φ2 ∂δ2

Do ޻

Θ11 = = 1, Θ12 = = ε2,

= 1. Θ21 = = 0, Θ22 = ∂φ1 ∂δ1 ∂φ1 ∂δ2 ∂φ2 ∂δ1 ∂φ2 ∂δ2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)δ=0

V¸y ta cª:

# , Θ(ε) = (1.55) "1 ε2 0 1

v(cid:181)

# . Ψ(ε) = Θ−1(ε) = (1.56) "1 −ε2 1 0

D(cid:212) th˚y,

30

# , Ψ(ε)Ξ(x∗) = (1.57) "x∗ − ε2 2y∗ 0 1

31

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

l(cid:181) ma tr¸n (1.53). Ki(cid:211)m tra l„i h(cid:214) (1.42) - (1.43).

= x∗ − (cid:15)2,

= 2y∗,

(1.58)

= 1,

= 0, Gi¶i b(cid:181)i to‚n gi‚ tr(cid:222) ban fi˙u cæa h(cid:214) ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I ∂x∗ ∂ε1 ∂y∗ ∂ε1 ∂x∗ ∂ε2 ∂y∗ ∂ε2

v(cid:237)i x∗ = y, y∗ = y khi ε1 = 0, ε2 = 0, d(cid:201)n fi(cid:213)n h(cid:214) (1.51) To‚n t(cid:246) sinh vi ph'n t›‹ng łng v(cid:237)i h(cid:214) (1.51)

+ 2y , X1 = x ∂ ∂y (1.59)

. X2 = ∂ ∂x ∂ ∂x

V(cid:237)i m(cid:228)i h(cid:181)m F (x, y) kh¶ vi v« h„n, ta cª

eεX1F (x, y) = F (eεx, e2εy), (1.60) eεX2F (x, y) = F (x + ε, y).

Ta ki(cid:211)m tra bi(cid:211)u di(cid:212)n d›(cid:237)i d„ng (1.47) v(cid:181) (1.48) d(cid:201)n fi(cid:213)n h(cid:214) (1.51) Tı (1.58)

cho m(cid:228)i h»ng sŁ thøc µ1, µ2, ta cª

(1.61) eµ1X1eµ2X2(x, y) = eµ1X1(x + µ2, y) = (eµ1x + µ2, e2µ1y),

v(cid:181)

(1.62) eµ2X2eµ1X1(x, y) = eµ2X2(eµ1x, e2µ1y) = (eµ1(x + µ2), e2µ1y).

∂x+2ελ1y ∂

∂y (cid:16)

§˘t: ˜x = λ1x + λ2 th(cid:215)

, e2ελ1y(cid:17) (cid:17) = (cid:16) eε(λ1X1+λ2X2)(x, y) = eελ1 ˜x ∂ ˜x − λ2 λ1 eελ1 ˜x − λ2 λ1 (1.63)

31

(cid:16)eελ1 − 1(cid:17), e2ελ1y(cid:17). = (cid:16)eελ1 ˜x + λ2 λ1

32

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

Do v¸y (1.61) fi(cid:229)ng nh˚t v(cid:237)i h(cid:214) (1.42) - (1.43) v(cid:237)i c(cid:239)ng ph—p to‚n (1.52);

(1.62) t›‹ng fi›‹ng v(cid:237)i h(cid:214) (1.42) - (1.43) v(cid:237)i ph—p to‚n gi(cid:247)a c‚c tham sŁ ϕ(ε, δ) = ((cid:15)1 + δ1, ε2 + e−δ1δ2); (1.63) t›‹ng fi›‹ng v(cid:237)i h(cid:214) (1.42) - (1.43) v(cid:237)i ph—p to‚n

(cid:17) − (cid:16)eδ1(cid:16) (eε1 − 1) + (cid:17)(cid:17). ϕ(ε, δ) = (cid:16)ε1 + δ1, ε1 + δ1 eε1+δ1 − 1 ε2 ε1 δ2 δ1 δ2 δ1

1.3.3 §„i sŁ Lie

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.5. X—t nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ v(cid:237)i c‚c to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n X1, X2 fi›(cid:238)c x‚c fi(cid:222)nh bºi (1.39) v(cid:181) (1.46). T(cid:221)ch Lie cæa X1 v(cid:181) X2 l(cid:181) to‚n t(cid:246) c˚p I

[X1, X2] = X1X2 − X2X1

) = (ξ11(x) )(ξ21(x) ) − (ξ21(x) )(ξ11(x)

) + (ξ11(x) )(ξ22(x) ) − (ξ21(x) )(ξ12(x)

) + ξ12(x) )(ξ21(x) ) − (ξ22(x) )(ξ11(x)

(1.64) ) + (ξ12(x) )(ξ22(x) ) − (ξ22(x) )(ξ12(x)

) = (ξ11(x) )(ξ22(x) ) − (ξ21(x) )(ξ12(x)

) + ξ12(x) )(ξ21(x) ) − (ξ22(x) )(ξ11(x) ∂ ∂x1 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1

. = η1(x) + η2(x) ∂ ∂x1 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2

Khi ޻,

2 X i=1

(cid:17). (1.65) ηj(x) = (cid:16)ξ1i(x) − ξ2i(x) ∂ξ2j(x) ∂xi ∂ξ1j(x) ∂xi

D(cid:212) d(cid:181)ng th˚y r»ng

32

(1.66) [Xα, Xβ] = −[Xβ , Xα].

33

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.3.6 (§(cid:222)nh l(cid:253) Lie c‹ b¶n thł hai). Ho‚n t(cid:246) cæa 2 to‚n t(cid:246) sinh

vi ph'n cæa nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ c(cid:242)ng l(cid:181) mØt to‚n t(cid:246) sinh

vi ph'n. §˘c bi(cid:214)t,

(1.67) [X1, X2] = aX1 + bX2,

trong fiª, h(cid:214) sŁ a, b l(cid:181) nh(cid:247)ng h»ng sŁ thøc.

Chłng minh: Chłng minh cho fi(cid:222)nh l(cid:253) n(cid:181)y chæ y(cid:213)u døa v(cid:181)o fii(cid:210)u ki(cid:214)n kh¶

t(cid:221)ch

= , i = 1, 2, α, β = 1, 2. (1.68) ∂2x∗ i ∂εα∂εβ ∂2x∗ i ∂εβ ∂εα

fi›(cid:238)c ‚p d(cid:244)ng tı (1.42). Chłng minh chi ti(cid:213)t fi(cid:222)nh l(cid:253) n(cid:181)y fi›(cid:238)c fi(cid:210) c¸p

trong STK [5]

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.7. Ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.67) fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) quan h(cid:214) giao ho‚n t(cid:246) cæa nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ x∗ = X(x, (cid:15)) v(cid:237)i to‚n t(cid:246) sinh

vi ph'n (1.46).

Cho 3 to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n Xα, Xβ, Xγ b˚t kœ, ta cª fi…ng thłc Jacobi

(1.69) [Xα, [Xβ, Xγ]] + [Xβ, [Xγ, Xα]] + [Xγ, [Xα, Xβ]] = 0.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.8. MØt fi„i sŁ Lie L l(cid:181) mØt kh«ng gian v—c t‹ tr“n R v(cid:237)i d˚u ngo˘c to‚n t(cid:246) song tuy(cid:213)n t(cid:221)nh (giao ho‚n t(cid:246)) tho¶ m•n c‚c t(cid:221)nh ch˚t

(1.66), (1.69), v(cid:181) (1.67). §˘c bi(cid:214)t, c‚c to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n X1, X2 cæa nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ x∗ = X(x, (cid:15)) l¸p th(cid:181)nh mØt fi„i sŁ Lie 2 chi(cid:210)u tr“n R.

+ 2y . , X2 = V(cid:221) d(cid:244) 1.3.9. ë v(cid:221) d(cid:244) (1.3.4), trong R2 v(cid:237)i X1 = x ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x

Ta t(cid:221)nh t(cid:221)ch Lie gi(cid:247)a to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n X1, X2

) − (x )( ) + 2y + 2y = (x [X1, X2] = X1X2 − X2X1 = X1X2(f ) − X2X1(f ) ∂f ∂y ∂f ∂x ∂ ∂x

33

= x − ( + x ) = −X2. ∂ ∂x ∂2f ∂x2 + 2y ∂ ∂y ∂2f ∂x∂y ∂f ∂x ∂2f ∂x2 + 2y ∂f ∂x ∂2f ∂x∂y

34

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

V(cid:237)i a, b, c, d ∈ R2 t(cid:221)ch Lie cæa c‚c to‚n t(cid:246) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh trong kh«ng gian R2

[aX1 + bX2, cX1 + dX2] = (aX1 + bX2)(cX1 + dX2) − (cX1 + dX2)(aX1 + bX2)

= acX1X1 + adX1X2 + bcX2X1 + bdX2X2

− acX1X1 − bcX1X2 − daX2X1 − dbX2X2

= adX1X2 + bcX2X1 − cbX1X2 − daX2X1

(cid:17)(cid:16) (cid:17) (cid:17) + bc (cid:16)x + 2y + 2y = ad(cid:16)x

(cid:17)(cid:16) (cid:17) − cb(cid:16)x (cid:17) − da (cid:16)x + 2y + 2y ∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂y ∂f ∂y ∂f ∂y

(cid:17) (cid:17) + bc(cid:16) + x = ad(cid:16)x

(cid:17) − bc(cid:16)x (cid:17) + bc(cid:16) + x − ad ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂x∂y ∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x2 ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂x∂y

= bc ∂f ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x2 + 2y ∂f − ad ∂x

= (bc − ad) = (bc − ad)X2.

∂f ∂x Do v¸y fi„i sŁ Lie L fi›(cid:238)c x‚c fi(cid:222)nh bºi t(cid:221)ch Lie [X1, X2] v(cid:181) t(cid:221)ch Lie [aX1 + bX2, cX1 + dX2] tr“n kh«ng gian R2.

Trong tr›Œng h(cid:238)p t(cid:230)ng qu‚t, ta cª th(cid:211) x'y døng giao ho‚n t(cid:246) [X1, X2]

b»ng fiŁi sŁ d›(cid:237)i fi'y:

aX1 + bX2 ∈ L2 t›‹ng

§˘t G2 = X(x, ε) l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ. Nhªm Lie mØt tham sŁ (ε) b˚t kœ l(cid:181) nhªm con cæa G2 cª to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n t›‹ng łng trong L2. V(cid:221) d(cid:244) cho X1 ∈ L2 t›‹ng łng v(cid:237)i eεX1x ∈ G2, łng v(cid:237)i c¶ eε(aX1+bX2)x ∈ G2, v(cid:181) eεaX1eεbX2x ∈ G2.

N(cid:213)u X1, X2 ∈ L2, th(cid:215) c¶ eεX1x v(cid:181) eεbX2x thuØc G2 v(cid:237)i sŁ thøc ε b˚t kœ.

X—t nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ (ε) giao ho‚n t(cid:246)

34

e−εX1e−εX2eεX1eεX2x = [eεX1]−1[eεX2]−1eεX1eεX2x ∈ G2.

35

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

Khi ޻,

e−εX1e−εX2eεX1eεX2 = (1 − εX1 + ε2(X2)2) ε2(X1)2)(1 − εX2 +

× (1 + εX1 +

1 2 1 ε2(X2)2) +O (ε3) 2 (X1)2 + (X2)2) = (1 − ε(X1 + X2) +ε 2(X1X2 +

× (1 + ε(X1 + X2) +ε 2(X1X2 + 1 2 1 ε2(X1)2)(1 + εX2 + 2 1 2 1 (X1)2 + 2 1 2 1 (X2)2) + O(ε3) 2

= 1 + ε2(2X1X2 + (X1)2 + (X2)2 − (X1 − X2)2) + O(ε3) = 1 + ε2(X1X2 − X2X1) +O (ε3) = 1 + ε2[X1, X2] + O(ε3).

Do v¸y, [X1, X2] ∈ L2. Ta th˚y r»ng eεX1eδX2 = eδX2eεX1 = eεX1+δX2 n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u [X1, X2] = 0.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.10. MØt kh«ng gian con J ⊂ L fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt fi„i sŁ con cæa fi„i sŁ Lie n(cid:213)u [X1, X2] ∈ J v(cid:237)i m(cid:228)i X1, X2 ∈ J .

1.3.4 §„i sŁ Lie gi¶i fi›(cid:238)c

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.11. MØt fi„i sŁ con J ⊂ L fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt ifi“an hay mØt fi„i sŁ con chu¨n t(cid:190)c cæa L n(cid:213)u [X, Y ] ∈ J v(cid:237)i m(cid:228)i X ∈ J , Y ∈ L.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.12. L2 l(cid:181) mØt fi„i sŁ Lie gi¶i fi›(cid:238)c 2 chi(cid:210)u n(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt chu(cid:231)i c‚c fi„i sŁ con

L(1) ⊂ L(2) = L2, (1.70)

l(cid:181) mØt fi„i sŁ Lie k chi(cid:210)u v(cid:181) L(k−1)

sao cho L(k) l(cid:181) mØt ifi“an cæa L(k), k = 1, 2. C˙n ch(cid:243) (cid:253) r»ng L(0) l(cid:181) mØt ifi“an kh«ng ch(cid:216) chła v—c

35

t‹ kh«ng.

36

1.3. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i hai tham sŁ

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.13. L fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) fi„i sŁ Lie Abel n(cid:213)u [X1, X2] = 0, v(cid:237)i X1, X2 ∈ L.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.3.14. M(cid:228)i fi„i sŁ Lie Abel fi(cid:210)u gi¶i fi›(cid:238)c.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.3.15. M(cid:228)i fi„i sŁ Lie hai chi(cid:210)u fi(cid:210)u gi¶i fi›(cid:238)c.

Chłng minh: Cho L l(cid:181) mØt fi„i sŁ Lie 2 chi(cid:210)u v(cid:237)i to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n X1 v(cid:181) X2 l(cid:181) v—c t‹ c‹ b¶n. Gi¶ s(cid:246) [X1, X2] = aX1 + bX2 = Y . N(cid:213)u c1X1 + c2X2 ∈ L, v(cid:237)i m(cid:228)i h»ng sŁ c1, c2 tuœ (cid:253) th(cid:215)

[Y, c1X1 + c2X2] = c1[Y, X1] +c 2[Y, X2]

= c1b[X2, X1] + c2a[X1, X2]

= (c2a − c1b)Y.

Do v¸y, Y l(cid:181) mØt ifi“an mØt chi(cid:210)u cæa L. [N(cid:213)u a = b = 0, th(cid:215) L l(cid:181) mØt

36

fi„i sŁ Lie Abel.]

Ch›‹ng 2

øng d(cid:244)ng t(cid:221)nh fiŁi xłng v(cid:181)o vi(cid:214)c gi¶i

ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

2.1 łng d(cid:244)ng nhªm Lie mØt tham sŁ v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng

tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I.

2.1.1 H(cid:214) to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c

Gi¶ s(cid:246) ta thøc hi(cid:214)n fi(cid:230)i h(cid:214) to„ fiØ (x—t trong tr›Œng h(cid:238)p fi‹n ‚nh v(cid:181) kh¶

vi li“n t(cid:244)c trong mØt mi(cid:210)n th(cid:221)ch h(cid:238)p)

(2.1) y∗ = Y (x) = (y1(x), y2(x)).

Cho nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ (1.1), v(cid:237)i to‚n t(cid:246) sinh vi

ph'n X = ξ1(x) + ξ2(x) , tr“n h(cid:214) to„ fiØ x = (x1, x2), bi(cid:211)u di(cid:212)n to‚n ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 t(cid:246) sinh vi ph'n tr“n b»ng h(cid:214) to„ fiØ y = (y1, y2), x‚c fi(cid:222)nh bºi (2.1). To‚n

t(cid:246) sinh vi ph'n sˇ trº th(cid:181)nh

. (2.2) Y = η1(y) + η2(y) ∂ ∂y2

∂ ∂y1 Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y ta c˙n Y = X c(cid:239)ng b¸c cª t‚c fiØng nhªm t›‹ng

tø. Ph—p vi ph'n tr“n h(cid:214) to„ fiØ y

37

(2.3) η(y) = (η1(y), η2(y)) = Y y.

38

2.1. łng d(cid:244)ng nhªm Lie mØt tham sŁ v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I.

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng, b»ng vi(cid:214)c s(cid:246) d(cid:244)ng quy lu¸t chu(cid:231)i, ta cª

X = ξ1(x) + ξ2(x) ∂ ∂x2

= ξ1(x) + ξ1(x) + ξ2(x) + ξ2(x) ∂ ∂y1 ∂y2(x) ∂x1 ∂ ∂y2 ∂y1(x) ∂x2 ∂ ∂y1 ∂y2(x) ∂x2 ∂ ∂y2

= Y. = η1(y) + η2(y) ∂ ∂x1 ∂y1(x) ∂x1 ∂ ∂y1 ∂ ∂y2

V(cid:215) v¸y, fi(cid:211) Y = X c(cid:239)ng b¸c c˙n cª

j = 1, 2. (2.4) ηj(y) = ξ1(x) + ξ2(x) = Xyj, ∂yj(x) ∂x1 ∂yj(x) ∂x2

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.1.1. V(cid:237)i h(cid:214) to„ fiØ y cho bºi (2.1) th(cid:215) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

mØt tham sŁ (1.1) trº th(cid:181)nh

y∗ = eεY y. (2.5)

Chłng minh: Tı (1.32) v(cid:181) (2.1), ta thu fi›(cid:238)c

y∗ = Y (x∗) = eεX Y (x) = eεX Y = eεY y.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1.2. Ph—p fi(cid:230)i to„ fiØ (2.1) x‚c fi(cid:222)nh mØt t¸p c‚c h(cid:214) to„ fiØ

ch(cid:221)nh t(cid:190)c cho nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ (1.1) n(cid:213)u trong h(cid:214)

to„ fiØ m(cid:237)i fiª nhªm (1.1) cª d„ng sau:

(2.6)

y∗ 1 = y1, y∗ 2 = y2 + ε.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.1.3. Cho nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i (1.1) b˚t k(cid:215), khi fiª t(cid:229)n t„i mØt t¸p c‚c to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c y = (y1, y2) sao cho (1.1) t›‹ng fi›‹ng v(cid:237)i h(cid:214)

(2.6).

1 = y1(x∗) = y1(x), y∗

38

Chłng minh: Tı §(cid:222)nh l(cid:253) (1.2.14), ta cª

39

2.1. łng d(cid:244)ng nhªm Lie mØt tham sŁ v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I.

n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u

(2.7) Xy1(x) ≡ 0.

Ph›‹ng tr(cid:215)nh fi„o h(cid:181)m ri“ng tuy(cid:213)n t(cid:221)nh thu˙n nh˚t c˚p I

= 0, (2.8) Xu(x) = ξ1(x) + ξ2(x) ∂u ∂x1 ∂u ∂x2

cª 1 nghi(cid:214)m fiØc l¸p u(x), ch(cid:221)nh l(cid:181) nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t cæa h(cid:214) ph›‹ng tr(cid:215)nh

vi ph'n c˚p I

= ξ(x), (2.9)

dx dt k(cid:213)t qu¶ tı ph›‹ng tr(cid:215)nh fi˘c tr›ng

= . dx1 ξ1(x) dx2 ξ2(x)

H(cid:214) to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c n(cid:181)y tho¶ m•n ph›‹ng tr(cid:215)nh fi˙u cæa (2.6).

2 = y2(x∗) = y2(x) +ε, y∗

Tı fi(cid:222)nh l(cid:253) (1.2.15), ta cª

n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u

(2.10) Xy2(x) ≡ 1.

Do v¸y, y2(x) fi›(cid:238)c t(cid:215)m ra tı nghi(cid:214)m ri“ng ν(x) cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh fi„o h(cid:181)m

ri“ng tuy(cid:213)n t(cid:221)nh kh«ng thu˙n nh˚t c˚p I b˚t k(cid:215)

= 1, (2.11) Xν(x) = ξ1(x) + ξ2(x) ∂ν ∂x1 ∂ν ∂x2

fi›(cid:238)c gi¶i b»ng vi(cid:214)c x‚c fi(cid:222)nh mØt nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t t›‹ng łng v(cid:237)i ph›‹ng

tr(cid:215)nh fi˘c tr›ng cæa h(cid:214) ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I

= 1,

(2.12)

39

= ξ(x). dν dt dx dt

40

2.1. łng d(cid:244)ng nhªm Lie mØt tham sŁ v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.1.4. Trong c‚c th(cid:181)nh ph˙n cæa t¸p h(cid:238)p h(cid:214) to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c b˚t k(cid:215) y = (y1(x), y2(x)), to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n cæa nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

mØt tham sŁ (1.1) trº th(cid:181)nh

Y = . (2.13) ∂ ∂y2

Chłng minh: Ta cª

Y = η1(y) + η2(y) ∂ ∂y1 ∂ ∂y2

Tı (2.7) v(cid:181) (2.10) ta suy ra c‚c th(cid:181)nh ph˙n cæa h(cid:214) to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c

η1(y) = Xy1 = 0,

η2(y) = Xy2 = 1.

2.1.2 łng d(cid:244)ng nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ v(cid:181)o gi¶i

®(cid:211) gi¶i fi›(cid:238)c mØt ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I b»ng vi(cid:214)c s(cid:246) d(cid:244)ng nhªm Lie

ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I

c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta c˙n bi(cid:213)t fi›(cid:238)c th(cid:213) n(cid:181)o l(cid:181)

nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi

ph'n. Ta cª fi(cid:222)nh ngh(cid:220)a

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1.5. Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ {X(., ε)} fi›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n y0 = f (x, y), n(cid:213)u

y∗ = X(y, ε),

x∗ = X(x, ε),

th(cid:215)

40

y∗ x∗ = f (x∗, y∗).

41

2.1. łng d(cid:244)ng nhªm Lie mØt tham sŁ v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I.

V(cid:221) d(cid:244) 2.1.6. Cho ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n sau:

(cid:17), y0 = f (cid:16) y x

trong fiª, f l(cid:181) h(cid:181)m thu˙n nh˚t. Trong R2, ta l˚y x1 = x, x2 = y, v(cid:181) cho h(cid:214) to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c fi›(cid:238)c k(cid:221) hi(cid:214)u b»ng y1 = r, y2 = s, Cho nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ

x∗ = X((x, y), ε) = eεx, (2.14) y∗ = Y ((x, y), ε) = eεy,

+ y v(cid:237)i to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n X = x . ∂ ∂x

= ∂ ∂y = f (cid:16) (cid:17) = f (cid:16) (cid:17). To„ fiØ r(x, y) dY = eεdy, dX = eεdx suy ra dY dX dy dx y x Y X tho¶ m•n

Xr = x + y = 0. (2.15) ∂r ∂x ∂r ∂y

Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n fi˘c tr›ng t›‹ng łng fi›(cid:238)c quy v(cid:210)

= . (2.16) dy dx y x

v(cid:237)i nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t l(cid:181)

r(x, y) = = const. (2.17) y x

To„ fiØ s(x, y) tho¶ m•n

Xs = x + y = 1. (2.18) ∂s ∂x ∂s ∂y

Nghi(cid:214)m ri“ng cæa (2.18) l(cid:181) s(x, y) tho¶ m•n

= . (2.19) ds dy 1 y

Do v¸y,

41

s(x, y) = ln |y|. (2.20)

42

2.1. łng d(cid:244)ng nhªm Lie mØt tham sŁ v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I.

, ln |y|(cid:17). Ta cª v(cid:181) do fiª, h(cid:214) (2.14) cª h(cid:214) to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c l(cid:181) (r, s) = (cid:16) y x

= hay = C, n“n ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n d„ng t‚ch bi(cid:213)n: y dy y x

(cid:17)i = dy = h − f (cid:16) (−r + f (r))dx. x dx 1 x y x2 + 1 x y x 1 x

ds = y x2 + dy. dr = − 1 y

= dr. Do v¸y . Suy ra s = R ds dr 1 f (r) − r 1 f (r) − r

Nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng tham sŁ cæa b(cid:181)i to‚n ph›‹ng tr(cid:215)nh vi

ph'n ban fi˙u

, x =

es r y = es.

V(cid:221) d(cid:244) 2.1.7. Gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

− y0 = xy2 − 2 y x 1 x3 .

T›‹ng tø v(cid:221) d(cid:244) tr“n ta x—t nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

x∗ = X((x, y), ε) = eεx,

y∗ = Y ((x, y), ε) = e−2εy.

ξ(X, Y ) = (X, −2Y ), dY = e−2εdy, dX = eεdx.

− − = e−3ε(xy2 − Suy ra dY dX = e−3ε dy dx 2y x 1 x3 ) = XY 2 − 2 Y X 1 X 3 . To„ fiØ r(x, y) tho¶ m•n

Xr = x − 2y = 0. ∂r ∂y ∂r ∂x

Suy ra r(x, y) = x2y. To„ fiØ s(x, y) tho¶ m•n

42

Xs = x − 2y = 1. ∂s ∂y ∂s ∂x

43

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

Suy ra s(x, y) = ln |x|. V¸y h(cid:214) to„ fiØ ch(cid:221)nh t(cid:190)c l(cid:181) (r, s) = (x2y, ln |x|).

= − hay x2y = C, n“n 2y dy

x Ta cª ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n d„ng t‚ch bi(cid:213)n: dx dr = 2xydx + x2dy = (2xy + x3y2 − 2xy − x)dx, ds =

= = . V¸y s = + C. 1 x Suy ra 1 x4y3 − 1 1 r2 − 1 1 2 r − 1 r + 1 dx. ds dr (cid:12) (cid:12) (cid:12) ln (cid:12) (cid:12) (cid:12) Do fiª nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng tham sŁ cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

ban fi˙u

y = x = es, r e2s .

2.2 łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

c˚p cao

2.2.1 Nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ fiØc l¸p, mØt tham

sŁ ph(cid:244) thuØc

Nghi“n cłu t(cid:221)nh b˚t bi(cid:213)n cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p k v(cid:237)i bi(cid:213)n fiØc l¸p

x v(cid:181) bi(cid:213)n ph(cid:244) thuØc y nh»m m(cid:244)c fi(cid:221)ch l(cid:181) t(cid:215)m ra nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n

fi(cid:230)i mØt tham sŁ nh¸n fi›(cid:238)c tı bi(cid:213)n fi(cid:230)i fii(cid:211)m

x∗ = X(x, y; ε), (2.21) y∗ = Y (x, y; ε).

v(cid:237)i y = y(x).

§˘t

(2.22) yk = y(k) = dky dxk , k ≥ 1.

43

Khai tri(cid:211)n (2.21) trong kh«ng gian (x, y, y0, . . . , y(k)), k ≥ 1 fi(cid:223)i hÆi (2.21) ph¶i fi¶m b¶o fii(cid:210)u ki(cid:214)n ti(cid:213)p x(cid:243)c li“n k(cid:213)t c‚c vi ph'n dx, dy, dy1, . . . , dyk.

44

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

Khi fiª, ta cª

(2.23) dy = y1dx,

v(cid:181)

(2.24) dyk = yk+1dx, k ≥ 1.

i , k ≥ 1 fi›(cid:238)c bi(cid:213)n fi(cid:230)i 1dx∗,

§˘c bi(cid:214)t, d›(cid:237)i t‚c fiØng cæa nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i (2.21), c‚c fi„o h(cid:181)m x‚c fi(cid:222)nh li“n t(cid:244)c y∗

(2.25)

k+1dx∗, V(cid:237)i x∗ v(cid:181) y∗ fi›(cid:238)c x‚c fi(cid:222)nh bºi (2.21), ta cª

dy∗ = y∗ ... k = y∗ dy∗

dx + dy, dy∗ = dY (x, y; ε) =

(2.26)

1 tho¶ m•n

dx + dy. dx∗ = dX(x, y; ε) = ∂Y (x, y; ε) ∂x ∂X(x, y; ε) ∂x ∂Y (x, y; ε) ∂y ∂X(x, y; ε) ∂y

h dx+ dx+ dyi. (2.27) dy = y∗ 1 Bºi v¸y, tı (2.21) v(cid:181) (2.26), y∗ ∂Y (x, y; ε) ∂x ∂Y (x, y; ε) ∂y ∂X(x, y; ε) ∂x ∂X(x, y; ε) ∂y

Thay th(cid:213) (2.25) v(cid:181)o (2.26), ta th˚y

+ y1

. (2.28) y∗ 1 = Y1(x, y, y1; ε) =

+ y1 ∂Y (x, y; ε) ∂x ∂X(x, y; ε) ∂x ∂Y (x, y; ε) ∂y ∂X(x, y; ε) ∂y

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.1. Nhªm Lie mØt tham sŁ mº rØng thł 2 cæa ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i fii(cid:211)m (2.21) tr“n kh«ng gian to„ fiØ (x, y) khai tri(cid:211)n tı nhªm Lie c‚c ph—p

bi(cid:213)n fi(cid:230)i tr“n kh«ng gian (x, y, y1)

x∗ = X(x, y; ε),

(2.29) y∗ = Y (x, y; ε),

44

y∗ 1 = Y1(x, y, y1; ε),

45

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

v(cid:237)i Y1(x, y, y1; ε) fi›(cid:238)c cho bºi c«ng thłc (2.28)

Chłng minh: §(cid:222)nh l(cid:253) ho(cid:181)n to(cid:181)n chłng minh fi›(cid:238)c b»ng vi(cid:214)c ch(cid:216) ra r»ng

t(cid:221)nh fiªng fi›(cid:238)c b¶o fi¶m trong khai tri(cid:211)n fi˙u ti“n cæa (2.21) v(cid:237)i kh«ng

gian (x, y, y1). Nh(cid:247)ng t(cid:221)nh ch˚t kh‚c cæa nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt

tham sŁ th(cid:215) cª trøc ti(cid:213)p trong khai tri(cid:211)n fi˙u ti“n n(cid:181)y.

Cho φ(ε, δ) x‚c fi(cid:222)nh ph—p to‚n gi(cid:247)a tham sŁ ε v(cid:181) δ. §˘t

(x∗∗, y∗∗) = (X(x∗, y∗; δ), Y (x, y; δ)). (2.30)

T(cid:221)nh fiªng cæa nhªm (2.21) tho¶ m•n h(cid:214) thłc

(x∗∗, y∗∗) = (X(x∗, y∗; φ(ε, δ)), Y (x, y; φ(ε, δ))).

1 dx∗∗. Do fiª,

tho¶ m•n dy∗∗ = y∗∗ Nh›ng y∗∗ 1

+ y1

. y∗∗ 1 = Y1(x, y, y1; φ(ε, δ)) =

+ y1 ∂Y (x, y; φ(ε, δ)) ∂x ∂X(x, y; φ(ε, δ)) ∂x Y (x, y; φ(ε, δ)) ∂y ∂X(x, y; φ(ε, δ)) ∂y

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.2. Nhªm Lie mØt tham sŁ cæa ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i fii(cid:211)m (2.21) l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ tr“n kh«ng gian (x, y, y1, y2)

x∗ = X(x, y; ε),

y∗ = Y (x, y; ε), y∗ 1 = Y1(x, y, y1; ε), (2.31)

+ y1 + y2 ∂Y1 ∂y , y∗ 2 = Y2(x, y, y1, y2; ε) =

+ y1 ∂Y1 ∂x ∂X(x, y; ε) ∂x ∂Y1 ∂y1 ∂X(x, y; ε) ∂y

45

v(cid:237)i Y1 = Y1(x, y, y1; ε) fi›(cid:238)c cho bºi c«ng thłc (2.28).

46

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.3. Nhªm Lie mØt tham sŁ mº rØng thł k cæa ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i

fii(cid:211)m (2.21) l(cid:181) nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ tr“n kh«ng gian

(x, y, y1, . . . , yk)

x∗ = X(x, y; ε),

y∗ = Y (x, y; ε),

(2.32) y∗ 1 = Y1(x, y, y1; ε), ...

+ y1 + · · · + yk ∂Yk−1 ∂x ∂Yk−1 ∂yk−1 , y∗ k = Yk(x, y, y1, . . . , yk; ε) =

+ y1 ∂Yk−1 ∂y ∂X(x, y; ε) ∂x ∂X(x, y; ε) ∂y

v(cid:237)i Y1 = Y1(x, y, y1; ε) fi›(cid:238)c x‚c fi(cid:222)nh bºi (2.28), v(cid:181) Yi = Yi(x, y, y1, . . . , yi; ε), i = 1, 2, . . . , k.

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng ta cª th(cid:211) khai tri(cid:211)n t¸p h(cid:238)p b˚t kœ c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 1 - 1

(kh«ng nh˚t thi(cid:213)t ph¶i l(cid:181) mØt nhªm c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i)

x† = X(x, y), (2.33) y† = Y (x, y),

tı mi(cid:210)n D trong kh«ng gian (x, y) v(cid:181)o mi(cid:210)n D† kh‚c trong kh«ng gian (x†, y†), v(cid:181) h(cid:181)m X(x, y), Y (x, y) l(cid:181) fi„o h(cid:181)m k l˙n trong D. Ta c(cid:242)ng cª th(cid:211) khai tri(cid:211)n tø nhi“n c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i (2.33) º kh«ng gian (x, y, y1, . . . , yk)

fi(cid:211) fii(cid:210)u ki(cid:214)n ti(cid:213)p x(cid:243)c (2.25) fi›(cid:238)c b¶o fi¶m

(2.34)

1dx†, k+1dx†, k ≥ 1.

ë fi'y, ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mº rØng thł k tı kh«ng gian (x, y, y1, . . . , yk) v(cid:181)o

46

dy† = y† k = d† dy†

47

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

1, . . . , y†

k) fi›(cid:238)c cho bºi

kh«ng gian (x†, y†, y†

x† = X(x, y),

(2.35) y† = Y (x, y), y† 1 = Y1(x, y, y1), ...

+ · · · + + y1 ∂Yk−1 ∂x ∂Yk−1 ∂y ∂Yk−1 ∂yk−1 . y† k = Yk(x, y, y1, . . . , yk) =

+ y1 ∂X(x, y) ∂x ∂X(x, y) ∂y

v(cid:237)i

+ y1

, Y1 = Y1(x, y, y1) =

+ y1 ∂Y (x, y) ∂x ∂X(x, y) ∂x ∂Y (x, y) ∂y ∂X(x, y) ∂y

v(cid:181) Yi = Yi(x, y, y1, . . . , yi), i = 1, 2, . . . , k − 1.

Cho nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i mØt tham sŁ cæa bi(cid:213)n fi(cid:230)i fii(cid:211)m

x∗ = X(x, y; ε) = x + εξ(x, y) +O (ε2), (2.36) y∗ = Y (x, y; ε) = y + εη(x, y) + O(ε2),

t‚c fiØng tr“n kh«ng gian (x, y) cª vi ph'n

ξ(x, y); η(x, y),

v(cid:237)i to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n t›‹ng łng

47

X = ξ(x, y) + η(x, y) . ∂ ∂x ∂ ∂y

48

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

Khai tri(cid:211)n thł k cæa (2.36)

x∗ = X(x, y; ε) = x + εξ(x, y) +O (ε2),

y∗ = Y (x, y; ε) = y + εη(x, y) + O(ε2), y∗ 1 = Y1(x, y, y1, ε) = y1 + εη(1)(x, y, y1) + O(ε2), ...

y∗ k = Yk(x, y, y1, . . . , yk; ε) = yk + εη(k)(x, y, y1, . . . , yk) +O (ε2).

(2.37)

Vi ph'n mº rØng thł k

ξ(x, y), η(x, y), η(1)(x, y, y1), . . . , η(k)(x, y, y1, . . . , yk),

v(cid:237)i to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n mº rØng thł k t›‹ng łng

+η(x, y) X (k) = ξ(x, y) , +η(1)(x, y, y1) +· · ·+η(k)(x, y, y1, . . . , yk) ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂y1 ∂ ∂yk (2.38)

v(cid:237)i k = 1, 2, . . . . C«ng thłc cho vi ph'n mº rØng η(k) l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ cæa fi(cid:222)nh l(cid:253)

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.4. Vi ph'n mº rØng η(k) tho¶ m•n h(cid:214) thłc fi(cid:214) quy

η(k)(x, y, y1, . . . , yk) = Dη(k−1)(x, y, y1, . . . , yk−1) − ykDξ, k = 1, 2, . . . ,

(2.39)

trong fiª, η0 = η(x, y).

§˘c bi(cid:214)t,

k X j=1

. η(k) = Dkη − k! (k − j)!j!

48

Chłng minh: Ph˙n chłng minh ta cª th(cid:211) tham kh¶o º trang 60 - STK[5].

49

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

Vi ph'n mº rØng η(k) cª c‚c t(cid:221)nh ch˚t

i) η(k) l(cid:181) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh cæa yk, k ≥ 2.

ii) η(k) l(cid:181) mØt h(cid:181)m fia thłc cæa y1, y2, . . . , yk m(cid:181) h(cid:214) sŁ cæa nª l(cid:181) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh thu˙n nh˚t ξ(x, y), η(x, y) v(cid:181) fi„o h(cid:181)m ri“ng cæa ch(cid:243)ng l“n fi(cid:213)n

b¸c k.

V(cid:221) d(cid:244) 2.2.5. Nhªm c‚c ph—p t(cid:222)nh ti(cid:213)n

η(k) = 0, k ≥ 1.

V(cid:221) d(cid:244) 2.2.6. Nhªm Scalings

α , X (k) β

α , X (k)

α , Xβ(k)] = X (k)

γ , k ≥ 1.

η(k) = (2 − k)yk, k ≥ 1.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.7. Cho X (k) l(cid:181) to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n mº rØng thł k cæa to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n Xα, Xβ, v(cid:181) [Xα, Xβ](k) l(cid:181) to‚n t(cid:246) sinh vi ph'n mº rØng thł k cæa giao ho‚n t(cid:246) [Xα, Xβ]. Khi fiª, [Xα, Xβ](k) = [X (k) β ], k ≥ 1. Do v¸y, n(cid:213)u [Xα, Xβ] = Xγ, th(cid:215) [X (k)

2.2.2 V(cid:221) d(cid:244) łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie v(cid:181)o gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n b¸c

cao

V(cid:221) d(cid:244) 2.2.8. Ta x—t ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (ph›‹ng tr(cid:215)nh Blasius)

yy00 = 0. y000 + (2.40) 1 2

nh¸n fi›(cid:238)c tı nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ v(cid:237)i to‚n t(cid:246) sinh vi

ph'n

− y . X1 = , X2 = x ∂ ∂x ∂ ∂x ∂ ∂y

1 fi›(cid:238)c cho d›(cid:237)i d„ng

Khi fiª, [X1, X2] = X1. H(cid:181)m b˚t bi(cid:213)n cæa X (2)

49

= . u = y, v = y0 = y1, v1 = dv du y2 y1

50

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

2 = x

− y , T›‹ng tø, X (2) ∂ ∂y ∂ ∂y1

2 U (u, v) = 0, X (2)

2 V (u, v, v1) = 0;

= −v1. ∂ ∂y2 2 v1 = − y2 y1

∂ − 2y1 − 3y2 ∂x 2 v = −2y1 = −2v, X (2) X2u = −y = −u, X (1) th(cid:215) X (1) ta d(cid:201)n fi(cid:213)n

U = . u v2 , V = v1 u

Do fiª ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n b¸c 3 (PT Blasius) fi›(cid:238)c fi›a v(cid:210) d„ng

1

= = dV dU d((yy1)−1)y2 d(y−2y1) y2y1y3 − y2(y2)2 − y(y1)2y2 y(y1)2y2 − 2(y1)4

2y3y1y2 + y2(y2)2 + y(y1)2y2 2(y1)4 − y(y1)2y2

= .

Bi(cid:213)n fi(cid:230)i theo u v(cid:181) v ph›‹ng tr(cid:215)nh trº th(cid:181)nh ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I

1 2 + V + U 2U − V

h = i. (2.41) dV dU V U

N(cid:213)u V = φ(U; C1) l(cid:181) nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t cæa (2.41) th(cid:215) ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

c˚p I

= uφ( (2.42) v1 = v u2 ; C1),

− 2v . Bi(cid:213)n fi(cid:230)i t›‹ng fi›‹ng b»ng h(cid:214) to„ fiØ dv du ∂ ∂v ∂ ∂u

ch(cid:221)nh t(cid:190)c r =

= . (2.43) ds dr nh¸n fi›(cid:238)c X (1) 2 = −u v u2 , s = ln |v|, ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (2.42) trº th(cid:181)nh φ(r; C1) r(φ(r; c1) − 2r

r

§i(cid:210)u n(cid:181)y d(cid:201)n fi(cid:213)n ph—p c˙u ph›‹ng

dρo, (2.44) v = C2expn Z φ(ρ; C1) ρ(φ(ρ; C1) = 2ρ)

khi v = y1, r = y1/y2. Theo nguy“n t(cid:190)c, (2.44) cª th(cid:211) khai tri(cid:211)n d›(cid:237)i d„ng nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t

50

y0 = Ψ(y; C1, C2).

51

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

v(cid:181) sau fiª fi›a fi›(cid:238)c v(cid:210) d„ng ph—p c˙u ph›‹ng Ta nh¸n fi›(cid:238)c X1 = ∂ ∂x sau:

Z (2.45) = x + C3. dy Ψ(y; C1, C2)

Ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.45) bi(cid:211)u di(cid:212)n nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh Blasius.

00

V(cid:221) d(cid:244) 2.2.9. V(cid:221) d(cid:244) ti(cid:213)p theo ch(cid:243)ng ta x—t ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n b¸c 3

(cid:17) yy0(cid:16) = ±1. (2.46) y y0

Ph›‹ng tr(cid:215)nh n(cid:181)y cª fi›(cid:238)c khi nghi“n cłu v(cid:210) t(cid:221)nh ch˚t cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh

sªng v(cid:237)i v¸n tŁc sªng y(x). Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (2.46) hi(cid:211)n nhi“n nh¸n

fi›(cid:238)c nhªm Lie c‚c ph—p bi(cid:213)n fi(cid:230)i 2 tham sŁ

x∗ = ax + b,

y∗ = ay.

Ta d(cid:212) d(cid:181)ng th˚y r»ng h(cid:181)m vi ph'n b˚t bi(cid:213)n t›‹ng łng v(cid:237)i nhªm tr“n l(cid:181)

U = y0, V = yy00.

Do fiª, ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (2.46) fi›a v(cid:210) d„ng

∓ = 2 . (2.47) dV dU V U U V

Ng(cid:201)u nhi“n, ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I (2.47) nh¸n fi›(cid:238)c nhªm Scalings

U ∗ = λU, V ∗ = λV.

2

Cho n“n, nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t cæa PTVP (2.47) t(cid:215)m fi›(cid:238)c mØt c‚ch d(cid:212) d(cid:181)ng

(cid:17) U −2h(cid:16) ∓ 1i = const. (2.48) V U

51

Cª 2 tr›Œng h(cid:238)p x¶y ra ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o k(cid:221) hi(cid:214)u h»ng sŁ º (2.48). Ta sˇ x—t tr›Œng h(cid:238)p khi h»ng sŁ fi›(cid:238)c cho bºi ω2 ≥ 0, ω = const. Trong tr›Œng

52

2.2. łng d(cid:244)ng §„i sŁ Lie fi(cid:211) gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p cao

h(cid:238)p n(cid:181)y, fi(cid:211) thu¸n ti(cid:214)n ta ch(cid:228)n h(cid:181)m vi ph'n b˚t bi(cid:213)n c˚p I t›‹ng łng v(cid:237)i

h(cid:181)m b˚t bi(cid:213)n d›(cid:237)i c‚c bi(cid:213)n fi(cid:230)i cæa x nh› mØt bi(cid:213)n m(cid:237)i:

u = y; v = y0 = U.

Khi fiª, (2.48) trº th(cid:181)nh ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I

√

= . (2.49) dv du ω2v ± 1 u

Nghi(cid:214)m t(cid:230)ng qu‚t cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (2.49)

v = [(ρu)ω ∓ (ρu)−ω], (2.50) 1 2ω

trong fiª, ρ l(cid:181) mØt h»ng sŁ tuœ (cid:253). Kh«ng m˚t t(cid:221)nh t(cid:230)ng qu‚t trong c«ng

thłc bi(cid:213)n fi(cid:230)i nhªm Scalings cæa x v(cid:181) y ta cho ρ = 1. Khi fiª ph›‹ng tr(cid:215)nh

vi ph'n c˚p I (2.46) fi›(cid:238)c fi›a v(cid:210) d„ng

[yω ∓ y−ω]. y0 = 1 ω

Chuy(cid:211)n sang d„ng to„ fiØ ta cª:

sinh(ω ln |y|), y0 = (2.51) 1 2ω

ho˘c

cosh(ω ln |y|). y0 = (2.52) 1 2ω

N(cid:213)u h»ng sŁ trong (2.48) fi›(cid:238)c cho bºi −ω2 ≤ 0, th(cid:215) v(cid:237)i ti(cid:213)n tr(cid:215)nh t›‹ng

tø ta thu fi›(cid:238)c d„ng to„ fiØ g(cid:228)n h‹n cho ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (2.46)

sin(ω ln |y|). y0 = − (2.53) 1 ω

52

T(cid:221)nh ch˚t nghi(cid:214)m cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n (2.53) r˚t th(cid:243) v(cid:222).

53

K(cid:213)t lu¸n

K(cid:213)t Lu¸n

M(cid:244)c fi(cid:221)ch ch(cid:221)nh cæa khªa lu¸n l(cid:181) fi›a ra t(cid:221)nh ch˚t fiŁi xłng cæa nghi(cid:214)m

cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n, tı fiª fi›a ra łng d(cid:244)ng cæa t(cid:221)nh ch˚t fiª trong

nhªm Lie v(cid:181) fi„i sŁ Lie nh»m bi(cid:213)n fi(cid:230)i fi(cid:211) gi¶i nh(cid:247)ng ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

kh«ng gi¶i fi›(cid:238)c b»ng c‚c ph›‹ng ph‚p th«ng th›Œng. C‚c k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh

cæa khªa lu¸n l(cid:181):

• T(cid:230)ng h(cid:238)p l„i mØt sŁ ki(cid:213)n thłc v(cid:210) l(cid:253) thuy(cid:213)t nhªm Lie, §„i sŁ Lie.

• Tr(cid:215)nh b(cid:181)y, ph'n t(cid:221)ch v(cid:181) b(cid:215)nh lu¸n c‚c b(cid:181)i to‚n Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

gi¶i fi›(cid:238)c nhŒ vi(cid:214)c fi›a ra t(cid:221)nh fiŁi xłng cæa nghi(cid:214)m v(cid:181) nhªm Lie,

fi„i sŁ Lie; n“u l“n (cid:253) ngh(cid:220)a c‹ b¶n cæa nª trong gi¶i Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi

ph'n.

• S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ph›‹ng ph‚p fi• nghi“n cłu fi(cid:211) łng d(cid:244)ng gi¶i mØt sŁ v(cid:221)

d(cid:244) c(cid:244) th(cid:211) c‚c Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p I, c‚c Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n

c˚p cao; l(cid:181)m s‚ng tÆ mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ to‚n h(cid:228)c v(cid:210) łng d(cid:244)ng t(cid:221)nh fiŁi

53

xłng cæa nghi(cid:214)m trong gi¶i Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n.

54

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

[1]. P.Eisenhart (1961), Continuous groups of transformations, Dover, New

York.

[2]. Gilmore (1974), Lie groups, Lie algebras and some of their applications,

Wiley, New York.

[3]. N.H. Ibragimov (1985), Transformation groups applied to mathematical

physics, Reidel, Boston.

[4]. Hans Stephani (1989), Differential equation - Their solution using sym-

metries, University Press, Cambridge, UK.

[5]. George W.Bluman and Stephen C. Anco (2002), Symmetry anh Inte-

gration Methods for Differential Equations, Springer - Vertal NeW York,

Inc.

[6]. Nguy(cid:212)n Th(cid:213) Ho(cid:181)n, Ph„m Phu (2003), C‹ sº ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n v(cid:181)

l(cid:221) thuy(cid:213)t (cid:230)n fi(cid:222)nh, NXB Gi‚o D(cid:244)c.

[7]. Tr˙n V¤n Tr¶n, Ph›‹ng ph‚p sŁ thøc h(cid:181)nh - t¸p I, II, NXB §„i h(cid:228)c

54

QuŁc gia H(cid:181) NØi.