Luận văn Thạc sĩ: Các bài toán tựa cân bằng tổng quát và ứng dụng

Luận văn này đề cập đến việc giúp học sinh phổ thông tìm hiểu các kết quả về bất đẳng thức cổ điển, nắm vững các kĩ thuật chứng minh và tiếp cận một hệ thống logic về các dạng bất đẳng thức cụ thể. Trọng tâm là các dạng bất đẳng thức về giá trị trung bình và các ứng dụng của chúng trong toán học.

Học sinh phổ thông, sinh viên, giáo viên toán học, và những người quan tâm đến các chuyên đề về bất đẳng thức và giá trị trung bình.

Luận văn thạc sĩ này trình bày một cách có hệ thống các tính chất và ứng dụng của các dạng bất đẳng thức về giá trị trung bình, đặc biệt chú trọng đến việc hỗ trợ học sinh phổ thông nắm bắt kiến thức chuyên sâu và kỹ thuật giải toán. Mục tiêu chính là cung cấp một cái nhìn toàn diện về bất đẳng thức cổ điển, các phương pháp chứng minh và hệ thống hóa chúng. Luận văn được cấu trúc thành ba chương chính: Chương 1 giới thiệu các giá trị trung bình cơ bản như trung bình cộng, trung bình nhân (AM-GM), các dạng trung bình đồng bậc khác và các định lý liên quan, làm nền tảng lý thuyết cho các ứng dụng. Chương 2 đi sâu vào các định lý liên quan đến biểu diễn giá trị trung bình, bao gồm hàm lồi, hàm lõm và hàm đơn điệu bậc cao, với sự liên hệ trực tiếp đến chương trình toán trung học phổ thông. Chương 3 là phần ứng dụng, vận dụng kiến thức từ hai chương đầu để giải quyết các bài toán cực trị trong đại số và lượng giác, cũng như giải và biện luận phương trình, bất phương trình, với nhiều ví dụ minh họa từ các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Tác giả cũng trình bày các phương pháp giải độc đáo, thể hiện sự sáng tạo và mong muốn tài liệu này sẽ hữu ích cho việc giảng dạy bất đẳng thức trong nhà trường.