Luận văn Thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Chuỗi Laurent P-adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Nguyên Thanh Hà

CHUỖI LAURENT P-ADIC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

L(cid:212)(cid:216)I CA(cid:219)M (cid:212)N

Trong quaø tr(cid:236)nh th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n lua(cid:228)n vaŒn to(cid:226)i æaı gaºp kho(cid:226)ng (cid:237)t khoø khaŒn do th(cid:244)łi gian kho(cid:226)ng nhie(cid:224)u vał kieÆn th(cid:246)øc cołn ha(cid:239)n cheÆ, tuy nhie(cid:226)n to(cid:226)i luo(cid:226)n nha(cid:228)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c s(cid:246)(cid:239) quan ta(cid:226)m, giuøp æ(cid:244)ı vał æo(cid:228)ng vie(cid:226)n cußa caøc tha(cid:224)y co(cid:226), ba(cid:239)n beł vał gia æ(cid:236)nh.

Do va(cid:228)y to(cid:226)i xin g(cid:246)ßi l(cid:244)łi caßm (cid:244)n cha(cid:226)n thałnh æeÆn Phoø Giaøo s(cid:246) - TieÆn s(cid:243) M(cid:238) Vinh Quang, tha(cid:224)y æaı dałnh nhie(cid:224)u th(cid:244)łi gian vał co(cid:226)ng s(cid:246)øc æe(cid:229) tr(cid:246)(cid:239)c tieÆp h(cid:246)(cid:244)øng daªn to(cid:226)i kho(cid:226)ng ch(cid:230) ve(cid:224) no(cid:228)i dung mał cołn caß caøch tr(cid:236)nh bały lua(cid:228)n vaŒn.

To(cid:226)i cuıng xin g(cid:246)ßi l(cid:244)łi caßm (cid:244)n æeÆn Giaøo s(cid:246) William Cherry æaı nhie(cid:228)t t(cid:236)nh giuøp æ(cid:244)ı to(cid:226)i trong vie(cid:228)c t(cid:236)m ra caøch ch(cid:246)øng minh æ(cid:242)nh l(cid:237) ve(cid:224) soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p -adic.

To(cid:226)i xin g(cid:246)ßi l(cid:244)łi caßm (cid:244)n æeÆn tha(cid:224)y Tr(cid:242)nh Thanh (cid:209)eło æaı giuøp to(cid:226)i s(cid:246)ß du(cid:239)ng

Latex æe(cid:229) soa(cid:239)n thaßo lua(cid:228)n vaŒn mo(cid:228)t caøch roı rałng, saøng sußa.

To(cid:226)i xin cha(cid:226)n thałnh caßm (cid:244)n caøc tha(cid:224)y co(cid:226) trong khoa Toaøn - Tin, æaºc bie(cid:228)t lał caøc tha(cid:224)y co(cid:226) bo(cid:228) mo(cid:226)n (cid:209)a(cid:239)i soÆ æaı tr(cid:246)(cid:239)c tieÆp trang b(cid:242) cho to(cid:226)i kho(cid:226)ng ch(cid:230) nh(cid:246)ıng kieÆn th(cid:246)øc Toaøn mał caß ph(cid:246)(cid:244)ng phaøp t(cid:246)(cid:239) ho(cid:239)c vał nghie(cid:226)n c(cid:246)øu.

Ngoałi ra, æe(cid:229) s(cid:246)ß du(cid:239)ng cho lua(cid:228)n vaŒn, to(cid:226)i æaı tham khaßo mo(cid:228)t soÆ tałi lie(cid:228)u vał

bałi vieÆt, xin caßm (cid:244)n caøc taøc giaß.

CuoÆi cułng to(cid:226)i xin g(cid:246)ßi l(cid:244)łi caßm (cid:244)n æeÆn caøc tha(cid:224)y co(cid:226), anh ch(cid:242) (cid:244)ß phołng Khoa ho(cid:239)c co(cid:226)ng nghe(cid:228) sau æa(cid:239)i ho(cid:239)c, gia æ(cid:236)nh vał ba(cid:239)n beł æaı luo(cid:226)n æo(cid:228)ng vie(cid:226)n vał giuøp æ(cid:244)ı to(cid:226)i khi to(cid:226)i gaºp khoø khaŒn.

Tp.HCM, ngały 25 thaøng 5 naŒm 2010

Taøc giaß

Tra(cid:224)n Nguye(cid:226)n Thanh Hał

MO˜T SO` K˝ HIE˜U

∗ Qp: Tr(cid:246)(cid:244)łng caøc soÆ p-adic.

p: Bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa Q p.

∗ Qa

p - Tr(cid:246)(cid:244)łng caøc soÆ ph(cid:246)øc p-adic.

∗ Cp: Caøi æa(cid:224)y æuß cußa Qa

∗ Cp[z]: Vałnh caøc æa th(cid:246)øc tre(cid:226)n C p.

∗ Cp[[z]]: Vałnh caøc chuoªi luıy th(cid:246)ła h(cid:236)nh th(cid:246)øc tre(cid:226)n C p.

∗ A[r]: Vałnh caøc hałm giaßi t(cid:237)ch p−adic tre(cid:226)n A[r].

∗ A[r1, r2]: Vałnh caøc chuoªi Laurent p-adic tre(cid:226)n h(cid:236)nh vałnh khaŒn A[r 1, r2] (vałnh

caøc hałm giaßi t(cid:237)ch p−adic tre(cid:226)n A[r 1, r2]).

∗ |f |r: Chua(cid:229)n cußa f theo r.

∗ K(f, r): Ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i cußa f ( ta(cid:239)i r).

∗ k(f, r): Ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u cußa f ( ta(cid:239)i r).

∗ N (f, 0, r): Hałm æeÆm cußa f ta(cid:239)i r.

MUˇC LUˇC

MO˜T SO` K˝ HIE˜U 2

M(cid:212)(cid:219) (cid:209)A(cid:192)U 5

1 KIE`N TH(cid:214)(cid:217)C CHUA¯N B(cid:210) 7

1.1 (cid:209)(cid:242)nh ngh(cid:243)a chua(cid:229)n phi Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Mo(cid:228)t soÆ t(cid:237)nh chaÆt cußa chua(cid:229)n phi Archimede . . . . . . . . . . . 8

1.3 Nhoøm giaø tr(cid:242), tr(cid:246)(cid:244)łng thaºng d(cid:246) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 T(cid:237)nh chaÆt æaºc bie(cid:228)t cußa daıy trong tr(cid:246)(cid:244)łng v(cid:244)øi chua(cid:229)n phi Archimede 9

1.5 Caøi æa(cid:224)y æuß cußa mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

p : Bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa Q p . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Qp- Caøi æa(cid:224)y æuß cußa Q . . . 1.8 Qa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9 Cp: Caøi æa(cid:224)y æuß cußa Qa p

1.10 Mo(cid:228)t soÆ k(cid:237) hie(cid:228)u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 XA´Y D(cid:214)ˇNG CHUOˆI LAURENT P-ADIC 16

2.1 Mo(cid:228)t soÆ khaøi nie(cid:228)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

. . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Hałm giaßi t(cid:237)ch p− adic . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Chuoªi Laurent p− adic

. . . . . . . 19 2.1.3 Chua(cid:229)n cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p−adic . . .

2.1.4 Ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i K(f, r), ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u k(f, r) vał baøn k(cid:237)nh . . . t(cid:244)øi ha(cid:239)n (æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n) . . . . . . . . . . . . . . . . 23

. . . . . . 25 2.1.5 (cid:209)a th(cid:246)øc r−dominant vał æa th(cid:246)øc r−extremal

2.1.6 Hałm æeÆm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Mo(cid:228)t soÆ t(cid:237)nh chaÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass cho hałm giaßi t(cid:237)ch p - adic . . . . . . . . . . 46

3 CA(cid:217)C (cid:209)(cid:210)NH L˝ QUAN TROˇNG 47

3.1 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) chia Euclide cho hałm giaßi t(cid:237)ch p-adic . . . . . . . . . . 47

3.2 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) chia Euclide cho chuoªi Laurent p-adic: . . . . . . . . . . 51

3.3 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Mo(cid:228)t soÆ (cid:246)øng du(cid:239)ng cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 61

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Poisson−Jensen . . .

KE`T LUA˜N 69

TA(cid:216)I LIE˜U THAM KHA(cid:219)O 70

M(cid:212)(cid:219) (cid:209)A(cid:192)U

Giaßi t(cid:237)ch p-adic æ(cid:246)øng mo(cid:228)t cha(cid:226)n trong Giaßi t(cid:237)ch co(cid:229) æie(cid:229)n vał cha(cid:226)n cołn la(cid:239)i trong (cid:209)a(cid:239)i soÆ vał lyø thuyeÆt soÆ, do va(cid:228)y noø cho ta mo(cid:228)t caøi nh(cid:236)n thuø v(cid:242) ve(cid:224) s(cid:246)(cid:239) keÆt h(cid:244)(cid:239)p gi(cid:246)ıa hai l(cid:243)nh l(cid:246)(cid:239)c l(cid:244)øn nały cußa toaøn ho(cid:239)c.

H(cid:244)n theÆ, trong 40 naŒm tr(cid:244)ß la(cid:239)i æa(cid:226)y, nh(cid:244)ł vie(cid:228)c phaøt hie(cid:228)n nh(cid:246)ıng moÆi lie(cid:226)n quan sa(cid:226)u saØc v(cid:244)øi nh(cid:246)ıng vaÆn æe(cid:224) l(cid:244)øn cußa soÆ ho(cid:239)c vał h(cid:236)nh ho(cid:239)c æa(cid:239)i soÆ mał giaßi t(cid:237)ch p-adic æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c phaøt trie(cid:229)n ma(cid:239)nh meı vał tr(cid:244)ß thałnh mo(cid:228)t chuye(cid:226)n ngałnh æo(cid:228)c la(cid:228)p.

Trong giaßi t(cid:237)ch p-adi, caøc hałm giaßi t(cid:237)ch p-adic (t(cid:246)øc lał caøc hałm khai trie(cid:229)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c thałnh chuoªi luıy th(cid:246)ła trong mo(cid:228)t æ(cid:243)a) æaı æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c nghie(cid:226)n c(cid:246)øu raÆt nhie(cid:224)u vał thu æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c nhie(cid:224)u keÆt quaß æaøng ke(cid:229). Trong khi æoø, chuoªi Laurent p-adic t(cid:246)øc lał caøc hałm khai trie(cid:229)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c thałnh chuoªi luıy th(cid:246)ła tre(cid:226)n mo(cid:228)t h(cid:236)nh vałnh khaŒn) lał mo(cid:228)t m(cid:244)ß ro(cid:228)ng khaø thuø v(cid:242) cußa caøc hałm giaßi t(cid:237)ch p-adic la(cid:239)i ch(cid:246)a æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c nghie(cid:226)n c(cid:246)øu nhie(cid:224)u. V(cid:236) lał m(cid:244)ß ro(cid:228)ng cußa caøc hałm giaßi t(cid:237)ch p-adic ne(cid:226)n khi nghie(cid:226)n c(cid:246)øu ve(cid:224) chuoªi Laurent p-adic, mo(cid:228)t caøch t(cid:246)(cid:239) nhie(cid:226)n, ta seı æaºt ra caøc ca(cid:226)u hoßi: Noø coø nh(cid:246)ıng t(cid:237)nh chaÆt g(cid:236) vał lie(cid:228)u noø cołn gi(cid:246)ı la(cid:239)i nh(cid:246)ıng t(cid:237)nh chaÆt æaı bieÆt cußa hałm giaßi t(cid:237)ch p-adic hay kho(cid:226)ng? Kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic xaøc æ(cid:242)nh nh(cid:246) theÆ nało vał coø t(cid:237)nh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa noø hay kho(cid:226)ng? Coø the(cid:229) æem mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic chia cho mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc hay kho(cid:226)ng? NeÆu æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c th(cid:236) keÆt quaß seı nh(cid:246) theÆ nało vał noø coø cołn baßo toałn caøc t(cid:237)nh chaÆt trong pheøp chia æa th(cid:246)øc (nh(cid:246) lał: t(cid:237)nh duy nhaÆt cußa th(cid:246)(cid:244)ng vał d(cid:246), ba(cid:228)c cußa æa th(cid:246)øc d(cid:246) nhoß h(cid:244)n ba(cid:228)c cußa æa th(cid:246)øc th(cid:246)(cid:244)ng, ...) hay kho(cid:226)ng?

Trie(cid:229)n khai æe(cid:224) tałi: Chuoªi Laurent p-adic , lua(cid:228)n vaŒn nały seı la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lałm

saøng toß nh(cid:246)ıng vaÆn æe(cid:224) ne(cid:226)u tre(cid:226)n .

Ngoałi pha(cid:224)n m(cid:244)ß æa(cid:224)u vał keÆt lua(cid:228)n, no(cid:228)i dung ch(cid:237)nh cußa lua(cid:228)n vaŒn go(cid:224)m 3

ch(cid:246)(cid:244)ng:

Ch(cid:246)(cid:244)ng 1: KieÆn th(cid:246)øc chua(cid:229)n b(cid:242) :

Tr(cid:236)nh bały caøc kieÆn th(cid:246)øc c(cid:244) baßn ca(cid:224)n cho caøc ch(cid:246)(cid:244)ng sau: Chua(cid:229)n phi Archimede, soÆ ph(cid:246)øc p-adic, tr(cid:246)(cid:244)łng soÆ ph(cid:246)øc p-adic C p,...

Ch(cid:246)(cid:244)ng 2: Xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng chuoªi Laurent p-adic :

Tr(cid:236)nh bały the(cid:226)m mo(cid:228)t soÆ khaøi nie(cid:228)m: Chuoªi Laurent p-adic, vałnh caøc chuoªi

Laurent p-adic, chua(cid:229)n cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic, ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i, ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u, æa th(cid:246)øc r − dominant, æa th(cid:246)øc r − extremal, ... sau æoø qua caøc me(cid:228)nh æe(cid:224) tr(cid:236)nh bały chi tieÆt h(cid:244)n ve(cid:224) chuoªi Laurent p-adic: (cid:209)ie(cid:224)u kie(cid:228)n khaß ngh(cid:242)ch, soÆ baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n,...

Ch(cid:246)(cid:244)ng 3: Caøc æ(cid:242)nh l(cid:237) quan tro(cid:239)ng :

Ch(cid:246)(cid:244)ng nały seı s(cid:246)ß du(cid:239)ng pha(cid:224)n kieÆn th(cid:246)øc chua(cid:229)n b(cid:242) (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 1 vał caøc t(cid:237)nh chaÆt (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 2 æe(cid:229) ch(cid:246)øng minh nh(cid:246)ıng æ(cid:242)nh l(cid:237) quan tro(cid:239)ng ve(cid:224) chuoªi Lau- rent p-adic: (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) ve(cid:224) pheøp chia Euclide, æ(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass. CuoÆi cułng lał mo(cid:228)t soÆ (cid:246)øng du(cid:239)ng cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass: (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) ve(cid:224) soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m vał mo(cid:228)t soÆ v(cid:237) du(cid:239) cu(cid:239) the(cid:229) æe(cid:229) t(cid:237)nh soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic, æ(cid:242)nh l(cid:237) Poisson - Jensen.

V(cid:236) th(cid:244)łi gian kho(cid:226)ng nhie(cid:224)u vał kieÆn th(cid:246)øc cołn ha(cid:239)n cheÆ ne(cid:226)n lua(cid:228)n vaŒn seı kho(cid:226)ng traønh khoßi nh(cid:246)ıng sai soøt. RaÆt mong nha(cid:228)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c nh(cid:246)ıng goøp yø cußa quyø tha(cid:224)y co(cid:226) æe(cid:229) lua(cid:228)n vaŒn hoałn ch(cid:230)nh h(cid:244)n.

Ch(cid:246)(cid:244)ng 1

KIE`N TH(cid:214)(cid:217)C CHUA¯N B(cid:210)

Ch(cid:246)(cid:244)ng nały seı tr(cid:236)nh bały nh(cid:246)ıng kieÆn th(cid:246)øc c(cid:244) baßn ca(cid:224)n cho caøc ch(cid:246)(cid:244)ng sau.

BaØt æa(cid:224)u t(cid:246)ł Q, nh(cid:246) æaı bieÆt lał kho(cid:226)ng æa(cid:224)y æuß vał kho(cid:226)ng æoøng æa(cid:239)i soÆ, æe(cid:229) thua(cid:228)n tie(cid:228)n nghie(cid:226)n c(cid:246)øu, ta seı xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng “æe(cid:239)p” h(cid:244)n - v(cid:246)ła æoøng æa(cid:239)i soÆ v(cid:246)ła æa(cid:224)y æuß. T(cid:246)ł Q xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng caøi æa(cid:224)y æuß cußa noø lał Q p nh(cid:246)ng Qp duł æa(cid:224)y æuß la(cid:239)i kho(cid:226)ng æoøng æa(cid:239)i soÆ, do va(cid:228)y tieÆp tu(cid:239)c xeøt bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa Q p lał Qa p, tuy nhie(cid:226)n noø la(cid:239)i kho(cid:226)ng æa(cid:224)y æuß, cuoÆi cułng phaßi xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng caøi æa(cid:224)y æuß cußa Q a p æe(cid:229) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c tr(cid:246)(cid:244)łng soÆ ph(cid:246)øc p-adic C p “æe(cid:239)p” nh(cid:246) mong muoÆn.

p → Cp

Q → Qp → Qa

Do va(cid:228)y, (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng nały, ngoałi caøc khaøi nie(cid:228)m c(cid:244) baßn nh(cid:246) chua(cid:229)n phi Archimede, nhoøm giaø tr(cid:242), tr(cid:246)(cid:244)łng thaºng d(cid:246) cußa mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng -æaı trang b(cid:242) tre(cid:226)n æoø mo(cid:228)t chua(cid:229)n phi Archimede- vał caøc t(cid:237)nh chaÆt cußa noø, ... ta seı æi xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng tr(cid:246)(cid:244)łng caøc soÆ p - adic Qp æe(cid:229) sau æoø xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng tr(cid:246)(cid:244)łng soÆ ph(cid:246)øc p-adic C p.

V(cid:236) pha(cid:224)n ch(cid:237)nh seı lał ch(cid:246)(cid:244)ng 2 vał æaºc bie(cid:228)t lał ch(cid:246)(cid:244)ng 3 ne(cid:226)n (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 1, nhie(cid:224)u keÆt quaß ch(cid:230) ne(cid:226)u ra ch(cid:246)ø kho(cid:226)ng ch(cid:246)øng minh hoaºc ch(cid:230) ne(cid:226)u toøm taØt ch(cid:246)ø kho(cid:226)ng æi vało chi tieÆt cu(cid:239) the(cid:229).

1.1 (cid:209)(cid:242)nh ngh(cid:243)a chua(cid:229)n phi Archimede

| : | Cho F lał mo(cid:228)t vałnh, mo(cid:228)t chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n F lał mo(cid:228)t aønh xa(cid:239): F → R+ thoßa caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n:

(i) (ii) (iii) |a| = 0 ⇔ a = 0. |a.b| = |a||b|, ∀a, b ∈ F . |a + b| ≤ max{|a|, |b|}, ∀a, b ∈ F .

NeÆu F lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng vał | | lał mo(cid:228)t chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n F th(cid:236) ta seı

1.2 Mo(cid:228)t soÆ t(cid:237)nh chaÆt cußa chua(cid:229)n phi Archimede

go(cid:239)i caºp (F, | |) lał tr(cid:246)(cid:244)łng phi Archimede.

. | − x| = |x|, |1| = 1, | = | Cho F lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng v(cid:244)øi chua(cid:229)n phi Archimede | Chua(cid:229)n phi Archimede coø caøc t(cid:237)nh chaÆt c(cid:244) baßn nh(cid:246) tr(cid:242) tuye(cid:228)t æoÆi tho(cid:226)ng th(cid:246)(cid:244)łng: 1 |x|

T(cid:237)nh chaÆt 1.2: NeÆu |x| 6= |y| th(cid:236) |x + y| = max{|x|, |y|}. T(cid:237)nh chaÆt nały coø the(cid:229) phaøt bie(cid:229)u thałnh l(cid:244)łi nh(cid:246) sau: Trong F mo(cid:239)i tam giaøc æe(cid:224)u ca(cid:226)n.

1 x Ngoałi ra chua(cid:229)n phi Archimede cołn coø caøc t(cid:237)nh chaÆt sau æa(cid:226)y:

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, giaß s(cid:246)ß max{|x|, |y|} = |x|, mał |x| 6= |y| ne(cid:226)n

|x| > |y| (1.1)

Theo t(cid:237)nh chaÆt cußa chua(cid:229)n phi Archimede vał (1.1): |x + y| ≤ max{|x|, |y|} = |x|

|x| = |(x + y) − y| ≤ max{|x + y|, |y|} = |x + y|

Suy ra: |x + y| = |x|.

1.3 Nhoøm giaø tr(cid:242), tr(cid:246)(cid:244)łng thaºng d(cid:246)

| lał mo(cid:228)t chua(cid:229)n tre(cid:226)n F , æaºt F ∗ = F \ {0}.

|) lał: |F ∗| = {|x| : x ∈ F ∗}

|x| ≤ 1} |x| < 1}

Cho F lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng, | Nhoøm giaø tr(cid:242) cußa (F, | (cid:209)aºt: A = {x ∈ F : Vał: M = {x ∈ F : Deª dałng ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c raŁng A lał mo(cid:228)t vałnh con cußa F vał M lał mo(cid:228)t ideal toÆi æa(cid:239)i cußa A. Do va(cid:228)y Ta go(cid:239)i F = A/M lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng. F lał tr(cid:246)(cid:244)łng thaºng d(cid:246) cußa F .

1.4 T(cid:237)nh chaÆt æaºc bie(cid:228)t cußa daıy trong tr(cid:246)(cid:244)łng v(cid:244)øi

chua(cid:229)n phi Archimede

e e

Cho F lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng v(cid:244)øi chua(cid:229)n phi Archimede | |. Ta coø:

a) (xn) lał daıy Cauchy khi vał ch(cid:230) khi (x n+1 − xn) → 0.

(1.2)

Chie(cid:224)u (⇐) lał hie(cid:229)n nhie(cid:226)n, ta seı ch(cid:246)øng minh chie(cid:224)u (⇒). Giaß s(cid:246)ß (xn+1 − xn) → 0, khi æoø: ∀ε > 0, ∃N : ∀n, n > N ⇒ |xn+1 − xn| < ε Do va(cid:228)y, ∀m, n, m > N, n > N , giaß s(cid:246)ß m ≥ n, m = n + k, ta coø: |xm − xn| = |xn+k − xn| = |(xn+k − xn+k−1) + (xn+k−1 − xn+k−2) + ... + (xn+1 − xn)| ≤ max{|xn+k − xn+k−1|, |xn+k−1 − xn+k−2|, ..., |xn+1 − xn|} < ε (Do (1.2))

Va(cid:228)y (xn) lał daıy Cauchy.

b) (xn) lał daıy Cauchy vał x n 9 0 th(cid:236) daıy |xn| lał daıy d(cid:246)łng,

ngh(cid:243)a lał to(cid:224)n ta(cid:239)i N sao cho: |x n| = |xN |, ∀n ≥ N V(cid:236) xn 9 0 ne(cid:226)n: ∃ε > 0 sao cho ∃(nk)k æe(cid:229) |xnk | ≥ ε (1.3) V(cid:236) (xn) lał daıy Cauchy ne(cid:226)n v(cid:244)øi ε (cid:244)ß tre(cid:226)n, ∃N : ∀m, n, n > N, m > N

⇒ |xm − xn| < ε

Cho(cid:239)n nK0 sao cho nK0 > N , khi æoø: (1.4) ∀m > N ⇒ |xm − xnK0 | < ε

Va(cid:228)y ∀m > N ⇒ |(xm − xnK0 ) + xnK0 | = max{|xm − xnK0 |, |xnK0 |} = |xnK0 |. (Do (1.3), (1.4))

c) Cho (F, | |) lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng phi Archimede, æoøng æa(cid:239)i soÆ vał æa(cid:224)y æuß.

+∞

Khi æoø, ta coø:

n=−∞ X

NeÆu |an| = 0 th(cid:236) an ho(cid:228)i tu(cid:239) trong F . lim |n|→+∞

+∞

Ch(cid:246)øng minh:

n=0 X n

? Tr(cid:246)(cid:244)øc heÆt ta ch(cid:246)øng minh: an ho(cid:228)i tu(cid:239) trong F khi vał ch(cid:230) khi |an| = 0 lim n→+∞

i=0 X

ai. Moªi n > 0, æaºt : sn =

Do F lał æa(cid:224)y æuß vał theo ne(cid:226)n:

(sn)n ho(cid:228)i tu(cid:239) ⇔ (sn)n lał daıy Cauchy ⇔ lim (theo b) |sn − sn−1| = 0

n→+∞ lim |n|→+∞

+∞

⇔ |an| = 0

n=−∞ X

−1

? TieÆp æoø, ta ch(cid:246)øng minh: NeÆu |an| = 0 th(cid:236) an ho(cid:228)i tu(cid:239) trong F lim |n|→+∞

+∞

Ta coø: +∞

n=−∞ X

n=−∞ X +∞

n=0 X +∞

an + an an =

m=1 X

n=0 X

= an + bm v(cid:244)øi m = −n, bm = a−m = an

Do va(cid:228)y:

|an| = 0 lim |n|→+∞

n→+∞

+∞

vał ⇔ lim |an| = 0 |bm| = 0 lim m→+∞

n=0 X

m=1 X

+∞

vał ⇔ ho(cid:228)i tu(cid:239) trong F an bm

n=−∞ X

⇒ an ho(cid:228)i tu(cid:239) trong F

1.5 Caøi æa(cid:224)y æuß cußa mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng

LaÆy (F, | |) lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng phi Archimede.

(cid:209)aºt S lał ta(cid:228)p taÆt caß caøc daıy Cauchy trong F v(cid:244)øi chua(cid:229)n | Tre(cid:226)n S ta xeøt mo(cid:228)t quan he(cid:228) 2 ngo(cid:226)i ” ∼ ” nh(cid:246) sau:

⇔ (xn) ∼ (yn) (xn − yn) −→ 0 khi n −→ ∞.

Deª thaÆy raŁng quan he(cid:228) ” ∼ ” lał mo(cid:228)t quan he(cid:228) t(cid:246)(cid:244)ng æ(cid:246)(cid:244)ng (thoßa caøc t(cid:237)nh chaÆt phaßn xa(cid:239), æoÆi x(cid:246)øng vał baØc ca(cid:224)u). Quan he(cid:228) t(cid:246)(cid:244)ng æ(cid:246)(cid:244)ng nały chia S thałnh caøc l(cid:244)øp t(cid:246)(cid:244)ng æ(cid:246)(cid:244)ng. K(cid:237) hie(cid:228)u l(cid:244)øp t(cid:246)(cid:244)ng æ(cid:246)(cid:244)ng ch(cid:246)øa daıy (x n) lał (xn).

(cid:209)aºt: F = {(xn) : (xn) ∈ S} lał ta(cid:228)p taÆt caß caøc l(cid:244)øp t(cid:246)(cid:244)ng æ(cid:246)(cid:244)ng cußa S tre(cid:226)n quan he(cid:228) t(cid:246)(cid:244)ng æ(cid:246)(cid:244)ng ” ∼ ”. Nh(cid:246) va(cid:228)y:

n) −→ 0

n) ⇔ (xn − x0

n) ⇔ (xn) ∼ (x0 ⇔ |xn − x0

n| −→ 0 khi n → +∞.

(xn) = (x0

Tre(cid:226)n F ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a caøc pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n nh(cid:246) sau:

(i) (xn) + (yn) = (xn + yn)

(ii) (xn).(yn) = (xn.yn)

• Ta deª dałng ch(cid:246)øng minh pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a (cid:244)ß tre(cid:226)n lał h(cid:244)(cid:239)p l(cid:237).

• Pha(cid:224)n t(cid:246)ß 0 trong F lał l(cid:244)øp caøc daıy soÆ ho(cid:228)i tu(cid:239) æeÆn 0 trong F, k(cid:237) hie(cid:228)u 0.

• Mo(cid:239)i x ∈ F , x 6= 0, ta ch(cid:246)øng minh raŁng x coø ngh(cid:242)ch æaßo trong F .

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, giaß s(cid:246)ß x = (x n) 6= 0 ⇒ xn 9 0. Theo t(cid:237)nh chaÆt 1.3 b, ta coø: |x n| lał daıy d(cid:246)łng, t(cid:246)øc lał:

∃N : |xn| = a, ∀n > N

Suy ra: = = 1. xn lał daıy Cauchy vał (x n)

(cid:18) (cid:18) (cid:18) 1 xn (cid:19)n>N v(cid:244)øi a > 0. 1 xn (cid:19) 1 xn (cid:19) Do æoø:

lał ngh(cid:242)ch æaßo cußaxtrong F x−1 =

(cid:18) 1 xn (cid:19)n>N

Va(cid:228)y F v(cid:244)øi hai pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n tre(cid:226)n la(cid:228)p thałnh mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng.

• Chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n tr(cid:246)(cid:244)łng F :

|) lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng phi Archimede

∀x = (xn) ∈ F , ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a |x| = lim|x n|. Deª dałng ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c raŁng (F , | æa(cid:224)y æuß.

H(cid:244)n n(cid:246)ıa coø the(cid:229) xem F lał mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng con cußa F do pheøp nhuøng:

i : F −→ F

a 7−→ (an) v(cid:244)øi an = a, ∀n

Chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n F æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał m(cid:244)ß ro(cid:228)ng cußa chua(cid:229)n tre(cid:226)n F .

1.6 Bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa mo(cid:228)t tr(cid:246)(cid:244)łng

(cid:209)(cid:242)nh ngh(cid:243)a: Cho F lał tr(cid:246)(cid:244)łng con cußa tr(cid:246)(cid:244)łng K, ta go(cid:239)i tr(cid:246)(cid:244)łng æoøng æa(cid:239)i soÆ nhoß nhaÆt trong K cołn ch(cid:246)øa F lał bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa F , k(cid:237) hie(cid:228)u lał: F a.

Chua(cid:229)n tre(cid:226)n F a : LaÆy baÆt k(cid:236) α ∈ F a. Do F a lał bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa F ne(cid:226)n α lał nghie(cid:228)m cußa mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc nało æoø tre(cid:226)n F [z], ta go(cid:239)i æa th(cid:246)øc coø he(cid:228) soÆ cao nhaÆt baŁng 1 vał coø ba(cid:228)c nhoß nhaÆt trong caøc æa th(cid:246)øc tre(cid:226)n F [z] nha(cid:228)n α lałm nghie(cid:228)m lał æa th(cid:246)øc toÆi tie(cid:229)u cußa α tre(cid:226)n F . Giaß s(cid:246)ß æa th(cid:246)øc toÆi tie(cid:229)u cußa α tre(cid:226)n F lał f (z) = z n + an−1zn−1 + ... + a1z + a0 ba(cid:228)c n. Khi æoø ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a chua(cid:229)n cußa α tre(cid:226)n F a nh(cid:246) sau:

Ta go(cid:239)i F lał caøi æa(cid:224)y æuß cußa F .

|α| = |a0|1/n v(cid:244)øi |a0| lał chua(cid:229)n cußa a0 tre(cid:226)n F .

Ta ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c chua(cid:229)n æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a (cid:244)ß tre(cid:226)n lał mo(cid:228)t chua(cid:229)n tre(cid:226)n tr(cid:246)(cid:244)łng F a,

h(cid:244)n n(cid:246)ıa noø lał m(cid:244)ß ro(cid:228)ng cußa chua(cid:229)n tr(cid:246)(cid:244)łng tre(cid:226)n F .

1.7 Qp- Caøi æa(cid:224)y æuß cußa Q

• Chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n Q :

Cho p lał mo(cid:228)t soÆ nguye(cid:226)n toÆ. ? V(cid:244)øi n ∈ Z, n 6= 0 : n = pαk v(cid:244)øi (k, p) = 1, ta æaºt: ordp(n) = α.

Nh(cid:246) va(cid:228)y: ordp(n) = α ⇔ pα|n vał pα+1 - n. Deª thaÆy: ordp(m.n) = ordp(m) + ordp(n), ∀m, n ∈ Z. H(cid:244)n n(cid:246)ıa: ordp(m + n) ≥ min{ordp(m), ordp(n)} Tha(cid:228)t va(cid:228)y, giaß s(cid:246)ß: min{ord p(m), ordp(n)} = α ⇒ ordp(m) ≥ α vał ordp(n) ≥ α ⇒ pα|n vał pα|m ⇒ pα|(m + n)

⇒ α ≤ ordp(m + n).

? V(cid:244)øi n = 0, ta quy (cid:246)(cid:244)øc ordp(0) = +∞.

? V(cid:244)øi x ∈ Q, x 6= 0, giaß s(cid:246)ß x = m n v(cid:244)øi (m, n) = 1. Ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a: ord p(x) = ordp(m) − ordp(n).

T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) nh(cid:246) tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p soÆ nguye(cid:226)n, ta coø the(cid:229) ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

ordp(x.y) = ordp(x) + ordp(y), ∀x, y ∈ Q. vał ordp(x + y) ≥ min{ordp(x), ordp(y)}

? (cid:209)(cid:242)nh ngh(cid:243)a chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n Q:

| |p :

Q −→ R 0 7−→ |0|p = 0

x 6= 0, x 7−→ |x|p = p−ordp(x)

|p thoßa caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n (i), (ii) vał (iii) trong æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a cußa Deª thaÆy | chua(cid:229)n phi Archimede.

(V(cid:244)øi | | = | • Chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n tr(cid:246)(cid:244)łng Qp : ∀x = (xn) ∈ Qp, ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a |x| = lim|x n| |p)

| lał mo(cid:228)t chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n Q p. | tre(cid:226)n Q. (?) Deª thaÆy | (?) Chua(cid:229)n | | tre(cid:226)n Q p lał m(cid:244)ß ro(cid:228)ng cußa chua(cid:229)n |

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, v(cid:244)øi a ∈ Q, ta xem a = (a n) ∈ Qp, trong æoø an = a, ∀n. Mał: |a| = lim|an| = lim|a| = |a|.

• Me(cid:228)nh æe(cid:224): Mo(cid:226) taß Qp :

+∞

Moªi x ∈ Qp æe(cid:224)u coø khai trie(cid:229)n duy nhaÆt:

n=m X

x = bnpn, m ∈ Z v(cid:244)øi 0 ≤ bn < p, ∀n vał bm 6= 0

| |) :

Vał khi æoø: |x| = p−m.

• Nhoøm giaø tr(cid:242), tr(cid:246)(cid:244)łng thaºng d(cid:246) cußa (Qp,

p} = {pm : m ∈ Z}

p| = {|x| : x ∈ Q∗

|) lał: |Q∗

|x| ≤ 1} |x| < 1} = pZp

|) lał: Ta coø: Nhoøm giaø tr(cid:242) cußa (Q p, | (cid:209)aºt: Zp = {x ∈ Qp : Vał: M = {x ∈ Qp : Tr(cid:246)(cid:244)łng thaºng d(cid:246) cußa (Q p, | Qp = Zp/pZp.

1.8 Qa

• Me(cid:228)nh æe(cid:224): : Qp kho(cid:226)ng æoøng æa(cid:239)i soÆ. f Do va(cid:228)y, ta seı xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa Q p lał Qa p.

p : Bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa Qp

p)∗} = {pα : α ∈ Q}.

p)∗| = {|x| : |

p, |

|x ∈ (Qa |) lał: |(Qa

Nhoøm giaø tr(cid:242) cußa (Q a Tha(cid:228)t va(cid:228)y:

p, ta ch(cid:246)øng minh |x| ∈ {p α : α ∈ Q}.

p)∗ :

p| = {pm : m ∈ Z}.

? V(cid:244)øi mo(cid:239)i x ∈ Qa

Giaß s(cid:246)ß æa th(cid:246)øc toÆi tie(cid:229)u cußa x tre(cid:226)n Q p lał f (z) = zn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0 . Khi æoø chua(cid:229)n cußa x tre(cid:226)n (Q a |x| = |a0|1/n v(cid:244)øi |a0| lał chua(cid:229)n cußa a0 tre(cid:226)n Qp. V(cid:236) a0 ∈ Qp ne(cid:226)n |a0| ∈ |Q∗ Suy ra: |x| ∈ {pα : α ∈ Q}

p)∗|.

? Ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c la(cid:239)i, laÆy pα, α ∈ Q, ta ch(cid:246)øng minh p α ∈ |(Qa

v(cid:244)øi m, n ∈ Z, n > 0, (m, n) = 1.

p lał bao æoøng æa(cid:239)i soÆ cußa Q p ne(cid:226)n g(z)

m n p| = {pm : m ∈ Z} ne(cid:226)n ∃b ∈ Qp æe(cid:229) |b| = pm.

Ta coø α ∈ Q, do va(cid:228)y α = V(cid:236) |Q∗ Xeøt g(z) = zn − b ∈ Qp[z], do Qa coø mo(cid:228)t nghie(cid:228)m thuo(cid:228)c Q a p, giaß s(cid:246)ß lał y. Khi æoø: y n − b = 0 ⇒ |y|n = |b| = pm

Suy ra: pα = |y| ∈ |(Qa ⇒ |y| = pm/n = pα p)∗|

p kho(cid:226)ng æa(cid:224)y æuß.

Me(cid:228)nh æe(cid:224): Qa Do va(cid:228)y, ta seı æi xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng caøi æa(cid:224)y æuß cußa Q a p.

1.9 Cp: Caøi æa(cid:224)y æuß cußa Qa p

p t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) nh(cid:246) xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng Q p lał caøi æa(cid:224)y

Me(cid:228)nh æe(cid:224): Cp v(cid:246)ła æoøng æa(cid:239)i soÆ v(cid:246)ła æa(cid:224)y æuß.

Nhoøm giaø tr(cid:242), tr(cid:246)(cid:244)łng thaºng d(cid:246) cußa Cp :

p)∗| = {pα : α ∈ Q}

Vie(cid:228)c xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng C p lał caøi æa(cid:224)y æuß cußa Qa æuß cußa Q.

|) lał: p } = |(Qa |x| ≤ 1} |x| < 1}

|) lał: Deª thaÆy: Nhoøm giaø tr(cid:242) cußa (C p, | p | = {|x| : x ∈ C ∗ |C ∗ (cid:209)aºt: O = {x ∈ Cp : Vał: M = {x ∈ Cp : Tr(cid:246)(cid:244)łng thaºng d(cid:246) cußa (C p, | Cp = O/M.

1.10 Mo(cid:228)t soÆ k(cid:237) hie(cid:228)u

Cho caøc soÆ th(cid:246)(cid:239)c r > 0, r 1 ≥ 0, r2 ≥ r1

|z| ≤ r} A[r] = {z ∈ Cp :

|z| < r} A(r) = {z ∈ Cp :

A[r1, r2] = {z ∈ Cp : r1 ≤ |z| ≤ r2}

A(r1, r2] = {z ∈ Cp : r1 < |z| ≤ r2}

A[r1, r2) = {z ∈ Cp : r1 ≤ |z| < r2}

Ch(cid:246)(cid:244)ng 2

XA´Y D(cid:214)ˇNG CHUOˆI LAURENT P-ADIC

2.1 Mo(cid:228)t soÆ khaøi nie(cid:228)m

2.1.1 Hałm giaßi t(cid:237)ch p− adic

T(cid:246)ł nh(cid:246)ıng kieÆn th(cid:246)øc chua(cid:229)n b(cid:242) (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 1, ch(cid:246)(cid:244)ng nały tieÆp tu(cid:239)c tr(cid:236)nh bały the(cid:226)m mo(cid:228)t soÆ khaøi nie(cid:228)m: Hałm giaßi t(cid:237)ch p-adic, chuoªi Laurent p-adic, vałnh caøc chuoªi Laurent p-adic, chua(cid:229)n cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic, ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i, ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u, æa th(cid:246)øc r − dominant, æa th(cid:246)øc r − extremal, ... sau æoø tr(cid:236)nh bały chi tieÆt h(cid:244)n ve(cid:224) chuoªi Laurent p-adic. T(cid:246)ł me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.1 æeÆn me(cid:228)nh æe(cid:224) t(cid:246)ł 2.2.9 seı mo(cid:226) taß caøc t(cid:237)nh chaÆt c(cid:244) baßn cußa chuoªi Laurent p-adic vał caøc t(cid:237)nh chaÆt nały seı æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c s(cid:246)ß du(cid:239)ng raÆt nhie(cid:224)u (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 3. Do va(cid:228)y, caøc me(cid:228)nh æe(cid:224) nały seı æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ch(cid:246)øng minh raÆt roı rałng, chi tieÆt.

n=+∞

(cid:209)aºt:

n=0 X

f = Cp[[z]] = cnzn | cn ∈ Cp ) (

n=+∞

Tre(cid:226)n Cp[[z]] ta trang b(cid:242) pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n nh(cid:246) sau: V(cid:244)øi:

n=0 X

f = , g = cnzn bnzn

n=+∞

th(cid:236):

n=0 X

f + g = (cn + bn)zn

n=+∞

vał:

i+j=n X

n=0 X

trong æoø f.g = anzn an = cibj

n=+∞

Deª thaÆy Cp[[z]] v(cid:244)øi caøc pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n (cid:244)ß tre(cid:226)n la(cid:228)p thałnh mo(cid:228)t vałnh, ta th(cid:246)(cid:244)łng go(cid:239)i lał vałnh caøc chuoªi luıy th(cid:246)ła h(cid:236)nh th(cid:246)øc tre(cid:226)n C p. Cho r lał mo(cid:228)t soÆ th(cid:246)(cid:239)c d(cid:246)(cid:244)ng, ta æaºt:

n=0 X

A[r] = f = cnzn | cn ∈ Cp, |cn|rn = 0 lim n→+∞ ( )

n=+∞

Khi æoø, A[r] cułng v(cid:244)øi caøc pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n (cid:244)ß tre(cid:226)n la(cid:228)p thałnh mo(cid:228)t vałnh con cußa vałnh caøc chuoªi luıy th(cid:246)ła h(cid:236)nh th(cid:246)øc C p[[z]], vał æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał vałnh caøc hałm giaßi t(cid:237)ch p−adic tre(cid:226)n h(cid:236)nh ca(cid:224)u A[r].

n=0 X

Moªi f = cnzn ∈ A[r] æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał mo(cid:228)t hałm giaßi t(cid:237)ch p− adic tre(cid:226)n

n=+∞

A[r]. T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239), ta ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

n=0 X

A(r) = f = cnzn | cn ∈ Cp, |cn|rn = 0, ∀r < r lim n→+∞ ( )

2.1.2 Chuoªi Laurent p− adic

V(cid:244)øi caøc pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n (cid:244)ß tre(cid:226)n la(cid:228)p thałnh mo(cid:228)t vałnh con cußa vałnh Cp[[z]].

n=+∞

(cid:209)aºt:

n=−∞ X

A[r1, r2] = cnzn | cn ∈ Cp, |cn|rn = 0, ∀r : r1 ≤ r ≤ r2 lim |n|→+∞ ( )

n=+∞

Tre(cid:226)n A[r1, r2] ta trang b(cid:242) pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n nh(cid:246) sau: V(cid:244)øi:

n=−∞ X

, g = f = cnzn bnzn

n=+∞

Ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a:

n=−∞ X

f + g = (cn + bn)zn

n=+∞

vał:

i+j=n X

n=−∞ X

f.g = anzn v(cid:244)øi: an = cibj

Deª dałng ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c raŁng A[r 1, r2] cułng v(cid:244)øi pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n tre(cid:226)n la(cid:228)p thałnh mo(cid:228)t vałnh.

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, v(cid:244)øi caøc k(cid:237) hie(cid:228)u (cid:244)ß tre(cid:226)n, coø the(cid:229) thaÆy f + g ∈ A[r 1, r2] do baÆt æaœng th(cid:246)øc tam giaøc cußa chua(cid:229)n phi Archimede.

Ba(cid:226)y gi(cid:244)ł ta seı ch(cid:246)øng minh raŁng f.g ∈ A[r1, r2]

? Tha(cid:228)t va(cid:228)y, moªi n ∈ Z coÆ æ(cid:242)nh, ta seı ch(cid:246)øng minh a n æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a nh(cid:246) tre(cid:226)n lał

i+j=n X

+∞

h(cid:244)(cid:239)p l(cid:237) hay cibj ho(cid:228)i tu(cid:239).

i+j=n X

i=−∞ X Mał |i| → +∞ th(cid:236) |n − i| → +∞ do n lał soÆ coÆ æ(cid:242)nh.

cibn−i cibj = Cho(cid:239)n r > 0, r1 ≤ r ≤ r2 , ta coø:

Do æoø: Khi |i| → +∞ th(cid:236) |cibn−i| = (|ci|ri)(|bn−i|rn−i)r−n → 0

Hay: (V(cid:236) f, g ∈ A[r1, r2]) |cibn−i| = 0 khi |i| → +∞ lim |i|→+∞

i+j=n X

(theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 1.4). ⇒ cibj ho(cid:228)i tu(cid:239)

? TieÆp æoø ta seı ch(cid:246)øng minh: anrn = 0

lim |n|→+∞ V(cid:244)øi mo(cid:239)i r : r1 ≤ r ≤ r2, ta coø:

i+j=n X

anrn = (ciri)(bjrj)

Xeøt i, j mał i + j = n, neÆu |n| → +∞ th(cid:236) |i| → +∞ hoaºc |j| → +∞. Giaß s(cid:246)ß |i| → +∞, ta coø:

|ci|ri|bj |rj ≤ |ci|ri|g|r → 0, do f ∈ A[r1, r2].

Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p |j| → +∞ ta cuıng coø keÆt quaß nh(cid:246) tre(cid:226)n. Do æoø:

n=+∞

|n| → +∞ {|ci|ri|bj|rj} → 0 khi |an|rn = ≤ max i+j=n

(ciri)(bjrj) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) i+j=n X (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Pha(cid:224)n t(cid:246)ß kho(cid:226)ng lał: 0.zn, vieÆt go(cid:239)n lał 0.

n=−∞ X Pha(cid:224)n t(cid:246)ß æ(cid:244)n v(cid:242) lał: 1 +

0.zn, vieÆt go(cid:239)n lał 1.

Xn∈Z,n6=0

A[r1, r2] æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał vałnh caøc chuoªi Laurent p- adic tre(cid:226)n A[r1, r2].

Moªi f ∈ A[r1, r2] æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał mo(cid:228)t chuoªi Laurent p - adic tre(cid:226)n A[r1, r2]

hay f lał giaßi t(cid:237)ch tre(cid:226)n A[r 1, r2] .

n=+∞

T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239), ta cuıng ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

n=−∞ X n=+∞

A(r1, r2] = cnzn | cn ∈ Cp, |cn|rn = 0, ∀r : r1 < r ≤ r2 lim |n|→+∞ ( )

n=−∞ X

A[r1, r2) = cnzn | cn ∈ Cp, |cn|rn = 0, ∀r : r1 ≤ r < r2 lim |n|→+∞ ( )

2.1.3 Chua(cid:229)n cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p−adic

v(cid:244)øi pheøp toaøn co(cid:228)ng vał nha(cid:226)n tre(cid:226)n lał caøc vałnh .

n=+∞

Cho vałnh A[r 1, r2] vał soÆ r : r1 ≤ r ≤ r2. Khi æoø: V(cid:244)øi mo(cid:239)i

n=−∞ X

f = cnzn ∈ A[r1, r2]

ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a:

|cn|rn |f |r = max n∈Z

|cn|rn = 0 Ta seı ch(cid:246)øng minh æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a tre(cid:226)n lał h(cid:244)(cid:239)p l(cid:237), v(cid:236) neÆu r = 0 th(cid:236) max n∈Z

|cn|rn to(cid:224)n ta(cid:239)i v(cid:244)øi r > 0. ne(cid:226)n ch(cid:230) ca(cid:224)n ch(cid:246)øng minh max n∈Z

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, xeøt 2 tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p:

|cn|rn = 0. ? Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 1: c k = 0, ∀k th(cid:236) max n∈Z

? Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 2 : Giaß s(cid:246)ß to(cid:224)n ta(cid:239)i k sao cho c k 6= 0 .

|n|→∞

Khi æoø, do lim |cn| = 0 ne(cid:226)n ∃N > 0 : ∀n, |n| > N ⇒ |cn|rn < |ck|rk

Suy ra:

−N≤n≤N

|cn|rn = sup |cn|rn = max |cn|rn |cn|rn = max n∈Z sup n∈Z

|cn|rn to(cid:224)n ta(cid:239)i. Nh(cid:246) va(cid:228)y, trong caß 2 tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p, ta æe(cid:224)u ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c max n∈Z

Ngoałi ra, t(cid:246)ł ch(cid:246)øng minh tre(cid:226)n ta cuıng suy ra raŁng: Trong tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p f 6= 0 vał mo(cid:228)t trong 2 æie(cid:224)u kie(cid:228)n hoaºc r > 0 hoaºc f (0) 6= 0 th(cid:236) ta(cid:228)p {n ∈ Z : |cn|rn = |f |r} ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n pha(cid:224)n t(cid:246)ß.

H(cid:244)n theÆ, ta cołn coø :

Me(cid:228)nh æe(cid:224): moªi r : r1 ≤ r ≤ r2 th(cid:236):

NeÆu f vał g lał caøc chuoªi Laurent p-adic tre(cid:226)n A[r1, r2] vał v(cid:244)øi

|f + g|r ≤ max{|f |r, |g|r}

|f g|r = |f |r|g|r

H(cid:244)n n(cid:246)ıa: NeÆu r > 0 th(cid:236) | |r lał mo(cid:228)t chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n A[r1, r2]

Ch(cid:246)øng minh:

n=+∞

Giaß s(cid:246)ß

n=−∞ X

vał f (z) = g(z) = anzn bnzn

n=+∞

? Ch(cid:246)øng minh |f + g|r ≤ max{|f |r, |g|r}

f (z) + g(z) = (an + bn)zn

n=−∞ X |an + bn|rn ≤ max n ≤ max

Va(cid:228)y: |f + g|r = max

≤ max{max {max{|an|, |bn|}rn} {max{|an|rn, |bn|rn}} |an|rn, max |bn|rn}

≤ max{|f |r, |g|r}

n=+∞

? Ch(cid:246)øng minh |f g|r = |f |r|g|r

i+j=n X

v(cid:244)øi (f.g)(z) = cnzn cn = aibj

n=−∞ X K2 = K(g, r)

(2.1)

(cid:209)aºt: K1 = K(f, r), NeÆu f = 0 hoaºc g = 0 th(cid:236) hie(cid:229)n nhie(cid:226)n ta coø t(cid:237)nh chaÆt tre(cid:226)n, ta xeøt tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p f 6= 0 vał g 6= 0, khi æoø: K1, K2 lał h(cid:246)ıu ha(cid:239)n. Xeøt cK1+K2 = aibj

Xi+j=K1+K2 Trong caøc soÆ ha(cid:239)ng cußa c K1+K2 , coø aK1 bK2 . NeÆu i > K1 th(cid:236) |ai|ri < |aK1 |rK1 (do (2.1))

vał v(cid:236): |bj|rj ≤ |bK2 |rK2, ∀j ∈ Z Ne(cid:226)n:

|aK1 bK2|rK1+K2 = |aK1|rK1|bK2 |rK2 > |ai|ri|bj|rj

i+j=K1+K2

|ai|ri|bj|rj = |aK1||bK2 |rK1+K2 ⇒ |cK1+K2 |rK1+K2 = max

(T(cid:237)nh chaÆt cußa chua(cid:229)n phi Archimede).

T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239), neÆu i < K 1 th(cid:236) j > K2 vał ch(cid:246)øng minh nh(cid:246) tre(cid:226)n ta cuıng coø:

|cK1+K2 |rK1+K2 = |aK1||bK2 |rK1+K2

Va(cid:228)y:

(2.2) |f g|r ≥ |cK1+K2 |rK1+K2 = |aK1 ||bK2 |rK1+K2 = |f |r|g|r

i+j=n X

H(cid:244)n n(cid:246)ıa, ∀n ∈ Z, c n = cnzn, ta coø:

|ai|ri|bj|rj aibjrn |cn|rn = ≤ max i+j=n |ai||bj |rn ≤ max i+j=n

≤ |aK1|rK1|bK2 |rK2 = |cK1+K2 |rK1+K2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) i+j=n X (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(2.3) ⇒ |f g|r ≤ |cK1+K2|rK1+K2 = |f |r|g|r

T(cid:246)ł (2.2) vał (2.3) suy ra: |f g| r = |f |r|g|r

Trong tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p r > 0 ta thaÆy ngay: |f |r = 0 ⇔ f = 0. Do va(cid:228)y, | |r lał mo(cid:228)t chua(cid:229)n phi Archimede tre(cid:226)n A[r 1, r2].

Nha(cid:228)n xeøt: Moªi f coÆ æ(cid:242)nh, | |r lał hałm lie(cid:226)n tu(cid:239)c theo r, |f |r kho(cid:226)ng giaßm theo r.

2.1.4 Ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i K(f, r), ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u k(f, r) vał baøn k(cid:237)nh

t(cid:244)øi ha(cid:239)n (æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n)

n=+∞

Cho:

n=−∞ X

f = cnzn ∈ A[r1, r2]

V(cid:244)øi moªi r : r1 ≤ r ≤ r2 NeÆu f = 0, ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a: Ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i K(f, r) = +∞ vał ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u: k(f, r) = −∞ NeÆu f 6= 0 vał mo(cid:228)t trong 2 æie(cid:224)u kie(cid:228)n hoaºc r > 0 hoaºc f (0) 6= 0 khi æ(cid:242)nh |r ta æaı ch(cid:246)øng minh ta(cid:228)p {n ∈ Z : |c n|rn = |f |r} ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n ngh(cid:243)a | pha(cid:224)n t(cid:246)ß, do æoø:

min{n ∈ Z : |cn|rn = |f |r} vał max{n ∈ Z : |cn|rn = |f |r} to(cid:224)n ta(cid:239)i.

Khi r 6= 0 hoaºc f (0) 6= 0, ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a:

Ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i:

K(f, r) = max{n ∈ Z : |cn|rn = |f |r}

Ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u:

k(f, r) = min{n ∈ Z : |cn|rn = |f |r}

Khi r = 0 vał f (0) = 0, ta quy (cid:246)(cid:244)øc:

K(f, r) = min{n ∈ Z : |cn| 6= 0} vał k(f, r) = 0

Mo(cid:228)t baøn k(cid:237)nh r mał K(f, r) > k(f, r) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał mo(cid:228)t baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n (æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n).

Nha(cid:228)n xeøt:

n=+∞

Cho tr(cid:246)(cid:244)øc

n=−∞ X

f = cnzn ∈ A[r1, r2]

khi æoø: K(f, r) kho(cid:226)ng giaßm theo r, ∀r ∈ [r 1, r2].

Ch(cid:246)øng minh:

Giaß s(cid:246)ß r1, r2 ∈ [r1, r2] vał r1 < r2, ta seı ch(cid:246)øng minh: K(f, r 1) ≤ K(f, r2). Tha(cid:228)t va(cid:228)y, giaß s(cid:246)ß ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c la(cid:239)i K(f, r 1) > K(f, r2). (cid:209)aºt K1 = K(f, r1), K2 = K(f, r2), ta coø: K1 > K2 vał:

1 ≥ |aK2|rK2

2 < |aK2|rK2

vał |aK1|rK1 |aK1 |rK1

Do æoø:

2 = |aK1 |rK1

|aK1|rK1

(cid:18)

≥ |aK2|rK2

K1−K2

(cid:18) r2 r1 (cid:19) r2 r1 (cid:19)

2 rK2−K1 1

= |aK2|rK2 = |aK2 |rK1

K1−K2

(cid:18) r2 r1 (cid:19)

> |aK1 |rK1 > |aK1|rK1

(cid:18) r2 r1 (cid:19) (Do r2 > r1 vał K1 > K2)

2 > |aK1|rK1

- vo(cid:226) l(cid:237). T(cid:246)øc lał: |aK1 |rK1

Va(cid:228)y ta phaßi coø: K1 ≤ K2 hay K(f, r1) ≤ K(f, r2)

2.1.5 (cid:209)a th(cid:246)øc r−dominant vał æa th(cid:246)øc r−extremal

(cid:209)(cid:242)nh ngh(cid:243)a: (cid:209)a th(cid:246)øc P æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał r−dominant neÆu K(P, r) = deg(P ) vał æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał r−extremal neÆu P lał r−dominant vał k(P, r) = 0.

Me(cid:228)nh æe(cid:224): Mo(cid:228)t soÆ t(cid:237)nh chaÆt: a) V(cid:244)øi f (z) ∈ A[r1, r2] vał mo(cid:239)i r : r1 ≤ r ≤ r2, ta coø: |f (z)|r = |f (z−1)|r−1 . b) NeÆu P (z) lał æa th(cid:246)øc r − extremal th(cid:236) zdeg(P )P (z−1) lał æa th(cid:246)øc r−1 − extremal. c) NeÆu r2 ≥ r vał P (z) lał æa th(cid:246)øc r − dominant th(cid:236) P (z) lał æa th(cid:246)øc r2 − dominant.

Cho r lał mo(cid:228)t soÆ th(cid:246)(cid:239)c d(cid:246)(cid:244)ng.

Ch(cid:246)øng minh:

a) V(cid:244)øi f (z) ∈ A[r1, r2] vał mo(cid:239)i r : r1 ≤ r ≤ r2, ta coø: |f (z)|r = |f (z−1)|r−1 .

Tha(cid:228)t va(cid:228)y: Giaß s(cid:246)ß f (z) = anzn.

Khi æoø: f (z−1) = Xn∈Z anz−n

⇒ |f (z−1)|−1 |an|rn = |f (z)|r. Xn∈Z r = max n∈Z |an|(r−1)−n = max n∈Z

b) NeÆu P (z) lał æa th(cid:246)øc r − extremal th(cid:236) z deg(P )P (z−1) lał æa th(cid:246)øc r −1 −

n=m

extremal.

n=0 X

n=m

V(cid:236): NeÆu P (z) = anzn, t(cid:246)øc lał: P (z) = a0 + a1z + ... + amzm

n=0 X

th(cid:236) zdeg(P )P (z−1) = a0zm + ... + am−1z + am = bnzn = Q(z)

( v(cid:244)øi bn = am−n) cuıng lał mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c m.

r = max 0≤n≤m

H(cid:244)n n(cid:246)ıa: |Q(z)|−1 |am−n|r−n |bn|r−n = max 0≤n≤m

|an|rn. = r−m max 0≤n≤m |am−n|rm−n = r−m max 0≤n≤m

0≤n≤m

r = |b0| = |bm|(r−1)m) Do æoø: |Q(z)|−1 hay K(Q, r −1) = m vał k(Q, r−1) = 0.

Nh(cid:246)ng v(cid:236) P (z) lał r − extremal ne(cid:226)n max |an|rn = |amrm = |a0|.

Va(cid:228)y: Q(z) lał r −1 − extremal.

n=m

c) NeÆu r2 ≥ r vał P (z) lał æa th(cid:246)øc r − dominant th(cid:236) P (z) lał æa th(cid:246)øc r 2 − dominant.

n=0 X

V(cid:236) P (z) = anzn lał æa th(cid:246)øc r − dominant ne(cid:226)n K(P, r) = m.

Mał v(cid:244)øi P coÆ æ(cid:242)nh th(cid:236) K(P, s) kho(cid:226)ng giaßm theo s ne(cid:226)n K(P, r 2) ≥ K(P, r) .

2.1.6 Hałm æeÆm

Do æoø: m ≥ K(P, r2) ≥ K(P, r) = m ne(cid:226)n K(P, r2) = m. Va(cid:228)y P (z) lał æa th(cid:246)øc r2 − dominant.

(cid:209)(cid:242)nh ngh(cid:243)a: Ta æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a hałm æeÆm N (f, 0, r) nh(cid:246) sau:

Cho f ∈ A[r1, r2], f 6= 0 vał soÆ r : r1 ≤ r ≤ r2.

NeÆu r1 = 0 th(cid:236) N (f, 0, r) = K(f, 0)logr.

. log NeÆu r1 > 0 th(cid:236) N (f, 0, r) = r |z| X06=z∈A[r1,r]:f(z)=0

2.2 Mo(cid:228)t soÆ t(cid:237)nh chaÆt

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.1: Vałnh caøc chuoªi Laurent p-adic A[r1, r2] lał æa(cid:224)y æuß v(cid:244)øi chua(cid:229)n:

r1≤r≤r2

|f |sup = sup |f |r

Ch(cid:246)øng minh:

m=+∞

LaÆy (fn)n lał mo(cid:228)t chuoªi Cauchy trong A[r 1, r2], giaß s(cid:246)ß:

m=−∞ X

fn(z) = an,mzm

Khi æoø, v(cid:244)øi n, n0 æuß l(cid:244)øn, ta coø:

r1≤r≤r2 (cid:18)

(2.4) |an,m − an0,m|rm ε > |fn − fn0|sup = sup sup m (cid:19)

+∞

(cid:209)ie(cid:224)u nały suy ra raŁng v(cid:244)øi moªi m coÆ æ(cid:242)nh th(cid:236) daıy (a n,m)n lał mo(cid:228)t daıy Cauchy, do æoø noø ho(cid:228)i tu(cid:239) t(cid:244)øi bm nało æoø. (cid:209)aºt:

m=−∞ X

f (z) = bmzm

Ta coø: an,m → bm khi |n| → +∞ ne(cid:226)n |an,m| = |bm| v(cid:244)øi n æuß l(cid:244)øn. Suy ra |bm|rm = |an,m|rm → 0 khi |n| → +∞ hay f ∈ A[r1, r2]

Ngoałi ra, cho |n 0| → +∞ (cid:244)ß (2.4), ta coø:

r (cid:18)

ε > |fn − f |sup = sup |an,m − bm|rm sup m (cid:19)

v(cid:244)øi n æuß l(cid:244)øn, t(cid:246)øc lał fn → f v(cid:244)øi chua(cid:229)n sup (cid:244)ß tre(cid:226)n.

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.2: p-adic lał r(cid:244)łi ra(cid:239)c.

Ta(cid:228)p taÆt caß caøc baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent

Ch(cid:246)øng minh:

Giaß s(cid:246)ß f = anzn lał mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic v(cid:244)øi baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n r 0, ta

n∈Z X coø: K(f, r0) > k(f, r0). (cid:209)aºt K = K(f, r0), NeÆu n > k th(cid:236) hoaºc an = 0 hoaºc |an|(r0)n ≤ |ak|(r0)k.

k = k(f, r0).

n−k

? NeÆu r < r0 th(cid:236):

|an|(r0)n ≤ |ak|(r0)k = |ak|rk < |ak|rk |an|rn = r r0 r r0 r r0 (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:16) (cid:17) V(cid:236) va(cid:228)y: K(f, r) ≤ k. (2.5)

Ta xeøt hai tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p:

Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 1: an = 0, ∀n < k th(cid:236) K(f, r) = k(f, r) = k v(cid:244)øi mo(cid:239)i r < r 0. Do æoø kho(cid:226)ng coø baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n nało nhoß h(cid:244)n r 0.

Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 2: To(cid:224)n ta(cid:239)i soÆ n < k thoßa æie(cid:224)u kie(cid:228)n a n 6= 0, ta cho(cid:239)n m lał soÆ

nguye(cid:226)n l(cid:244)øn nhaÆt cołn nhoß h(cid:244)n k sao cho a m 6= 0..

k−m

xaøc æ(cid:242)nh, ne(cid:226)n ta cho(cid:239)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c: Do am 6= 0 ne(cid:226)n |ak| 6= 0 vał th(cid:246)(cid:244)ng |am| |ak|

r00 = |am| |ak| (cid:19)

Khi æoø: (2.6) (cid:18) |am|(r00)m = |ak|(r00)k

Mał (2.7) |am|(r0)m < |ak|(r0)k

r0 r00 )k−m vał v(cid:236) LaÆy (2.7) chia (2.6) theo veÆ ro(cid:224)i ruøt go(cid:239)n ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c: 1 < ( k > m ne(cid:226)n r 00 < r0.

V(cid:244)øi mo(cid:239)i r : r 00 < r < r0, do (2.5) ta coø: K(f, r) ≤ k. (2.8)

Maºt khaøc: = (r00)k−m < rk−m (Do r 00 < r ). |am| |ak|

⇒ |am|rm < |ak|rk ⇒ |an|rn < |ak|rk, ∀n < k (Do caøch cho(cid:239)n m).

⇒ k(f, r) ≥ k. (2.9)

T(cid:246)ł (2.8), (2.9) suy ra: K(f, r) = k(f, r) = k. ( Do k ≤ k(f, r) ≤ K(f, r) ≤ k ).

T(cid:246)øc lał kho(cid:226)ng coø baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n nało naŁm gi(cid:246)ıa r 00 vał r0.

? La(cid:228)p lua(cid:228)n t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) v(cid:244)øi r > r0:

Ta coø k(f, r) ≤ K. Vał neÆu go(cid:239)i M lał soÆ nguye(cid:226)n nhoß nhaÆt cołn l(cid:244)øn h(cid:244)n K sao cho a M 6= 0 th(cid:236) ta cuıng coø: K(f, r) = k(f, r) = K vał |aM |sM = |aK |sK v(cid:244)øi mo(cid:239)i soÆ r : r0 < r < s v(cid:244)øi s > r0 .

Ngh(cid:243)a lał cuıng kho(cid:226)ng coø baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n nało naŁm gi(cid:246)ıa r 0 vał s.

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.2: Cho f ∈ A[r1, r2], f 6= 0. Khi æoø: f ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n.

Ch(cid:246)øng minh:

? LaÆy r lał mo(cid:228)t baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n baÆt k(cid:236) cußa f trong æoa(cid:239)n [r 1, r2].

V(cid:236) f 6= 0 ne(cid:226)n k = k(f, r1) vał K = K(f, r2) æe(cid:224)u h(cid:246)ıu ha(cid:239)n. Mał K(f, r), k(f, r) kho(cid:226)ng giaßm theo r ne(cid:226)n: k = k(f, r1) ≤ k(f, r) < K(f, r) ≤ K(f, r2) = K. Do æoø: (k(f, r), K(f, r)) ∈ {(i, j) : k ≤ i < j ≤ K} = I - lał ta(cid:228)p h(cid:246)ıu ha(cid:239)n

(2.10)

? Giaß s(cid:246)ß r, r 0 lał 2 baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa f , r < r 0 vał giaß s(cid:246)ß: f = anzn.

n−k

Xn∈Z Khi æoø, neÆu æaºt k = k(f, r 0) th(cid:236) v(cid:244)øi mo(cid:239)i n : n > k, ta coø:

|an|(r0)n ≤ |ak|(r0)k = |ak|rk < |ak|rk |an|rn = r r0 r r0 r r0 (cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:16) (2.11) V(cid:236) va(cid:228)y: K(f, r) ≤ k hay K(f, r) ≤ k(f, r 0)

? Ba(cid:226)y gi(cid:244)ł ta seı ch(cid:246)øng minh ta(cid:228)p caøc baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa f ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n

pha(cid:224)n t(cid:246)ß. Giaß s(cid:246)ß ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c la(cid:239)i, coø vo(cid:226) ha(cid:239)n baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n, do (2.10) ne(cid:226)n phaßi to(cid:224)n ta(cid:239)i hai baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n r, r 0, r 6= r0 sao cho:

(k(f, r), K(f, r)) = (k(f, r0), K(f, r0)) ∈ I.

(2.12) Suy ra: k(f, r) = k(f, r 0) < K(f, r0) = K(f, r)

V(cid:236) r 6= r0 ne(cid:226)n coø the(cid:229) giaß s(cid:246)ß r < r 0, tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p cołn la(cid:239)i ta ch(cid:246)øng minh t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239). Theo ch(cid:246)øng minh (cid:244)ß (2.11), ta coø: K(f, r) ≤ k(f, r 0) - æie(cid:224)u nały ma(cid:226)u thuaªn v(cid:244)øi (2.12). Va(cid:228)y f ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n trong [r 1, r2].

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.4: Cho r : r1 ≤ r ≤ r2 vał f, g ∈ A[r1, r2] . Khi æoø :

K(f g, r) = K(f, r) + K(g, r)

k(f g, r) = k(f, r) + k(g, r)

Ch(cid:246)øng minh:

Deª thaÆy me(cid:228)nh æe(cid:224) æuøng cho tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p f = 0 hoaºc g = 0, ta ch(cid:230) ca(cid:224)n ch(cid:246)øng minh cho tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p f 6= 0 vał g 6= 0, khi æoø K(f, r) vał K(g, r) æe(cid:224)u h(cid:246)ıu ha(cid:239)n. Tr(cid:246)(cid:244)øc tie(cid:226)n ta ch(cid:246)øng minh æ(cid:242)nh l(cid:237) æuøng v(cid:244)øi K, t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239), baŁng caøch thay z b(cid:244)ßi z−1, ta ch(cid:246)øng minh æ(cid:242)nh l(cid:237) cuıng æuøng cho k. Giaß s(cid:246)ß:

f (z) = g(z) = anzn, cnzn

Xn∈Z Xn∈Z vał

i+j=n X

f g(z) = aibj, ∀n ∈ Z cnzn, cn =

Xn∈Z

LaÆy m = K(f, r) + K(g, r) th(cid:236) :

i+j=m X

aibj cm =

Mo(cid:228)t trong nh(cid:246)ıng soÆ ha(cid:239)ng cußa to(cid:229)ng nały lał a sbt v(cid:244)øi s = K(f, r), t = K(g, r). Ta coø:

|f |r|g|r = (2.13) |asbt| = rm = |f g|r rm |as|rs|bt|rt rs+t ? Xeøt caøc soÆ ha(cid:239)ng khaøc trong to(cid:229)ng c m, neÆu i < s th(cid:236) j > t ne(cid:226)n:

vał|bj| < |ai| ≤ |f |r ri |g|r rj

do æoø: |f |r|g|r |aibj| < rm = |f g|r rm

T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239):

|f |r|g|r neÆu i > s |aibj| < rm = |f g|r rm

T(cid:246)øc lał:

(2.14) |aibj| < |f g|r rm , ∀i 6= s

T(cid:246)ł (2.13), (2.14) vał t(cid:237)nh chaÆt cußa chua(cid:229)n phi Archimede, ta coø:

hay|cm|rm = |f g|r |cm| = |f g|r rm

(2.15)

i+j=n X

Do va(cid:228)y: K(f g, r) ≥ m. ? Nh(cid:246)ng neÆu la(cid:239)i xeøt caøc soÆ ha(cid:239)ng khaøc c n = aibj mał n > m

th(cid:236) i + j > m ne(cid:226)n i > s hoaºc j > t.

. vał |bj | ≤ , do æoø: |aibj | < NeÆu i > s th(cid:236) |ai| < |f |r ri |f g|r rn |g|r rj

T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) trong tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p j > s ta cuıng coø: |a ibj| < |f g|r rn

. |f g|r rn

⇒ |cn| ≤ max{|aibj| : i + j = n} < T(cid:246)øc lał: |cn|rn < |f g|r∀n > m. Do va(cid:228)y: K(f g, r) ≤ m. (2.16)

T(cid:246)ł (2.15) vał (2.16) suy ra: K(f g, r) = m, ngh(cid:243)a lał:

K(f g, r) = K(f, r) + K(g, r).

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.1: Khi æoø: NeÆu K(f, r) = k(f, r) th(cid:236) f khaß ngh(cid:242)ch trong A[r, r]

Cho f ∈ A[r1, r2] vał soÆ th(cid:246)(cid:239)c r : r1 ≤ r ≤ r2

Ch(cid:246)øng minh:

Deª thaÆy: K(f zm, r) = K(f, r)+m, vał t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) k(f z m, r) = k(f, r)+m. Do va(cid:226)y, neÆu æaºt g = f z −k(f,r) th(cid:236) K(g, r) = k(g, r) = 0. (2.17) Giaß s(cid:246)ß:

g(z) = cnzn th(cid:236): g − c0 = cnzn

Xn∈Z Xn∈Z,n6=0

T(cid:246)ł (2.17) suy ra: |c n|rn < |c0|, ∀n 6= 0.

Mał |cn|rn → 0 khi |n| → +∞ ne(cid:226)n:

|g − c0|r = sup{|cn|rn : |n| ≤ N, n 6= 0} v(cid:244)øi N æuß l(cid:244)øn.

< 1. Va(cid:228)y: |g − c0|r < |c0| hay:

0 g − 1|r < 1.

|co| |g − c0|r ⇒ |c−1

0 (1 − (1 − c−1

0 g))−1

Nh(cid:246) va(cid:228)y: g −1 = (c0 − (c0 − g))−1 = c−1

0 [1 + (1 − c−1

0 g) + (1 − c−1

0 g)2 + ... + (1 − c−1

0 g)n + ...].

= c−1

Nh(cid:246) va(cid:228)y, g khaß ngh(cid:242)ch trong A[r, r], mał z −k(f,r) cuıng khaß ngh(cid:242)ch trong g = f z−k(f,r) do æoø f khaß ngh(cid:242)ch trong A[r, r]. A[r, r] vał

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.6: caß bo(cid:228)i) v(cid:244)øi chua(cid:229)n baŁng r.

(cid:209)a th(cid:246)øc P ∈ Cp[z] coø K(P, r) − k(P, r) kho(cid:226)ng æie(cid:229)m (t(cid:237)nh

Ch(cid:246)øng minh:

(cid:209)aºt K = K(P, r), k = k(P, r) Kho(cid:226)ng maÆt to(cid:229)ng quaøt, ta coø the(cid:229) giaß s(cid:246)ß P lał æa th(cid:246)øc æ(cid:244)n kh(cid:244)ßi. Ta seı æi ch(cid:246)øng minh me(cid:228)nh æe(cid:224) baŁng quy na(cid:239)p theo ba(cid:228)c cußa P .

• Xeøt n = 1 : P (z) = z + b0

|b0| = r ⇒ |P |r = |b0| = r ⇒ K = 1, k = 0

⇒ P coø 1 nghie(cid:228)m lał −b0 coø chua(cid:229)n baŁng r. Va(cid:228)y K − k = SoÆ nghie(cid:228)m cußa P coø chua(cid:229)n baŁng r.

|b0| > r hoaºc |b0| < r ⇒ K = k = 0 vał P kho(cid:226)ng coø nghie(cid:228)m mał chua(cid:229)n baŁng r.

⇒ K − k = SoÆ nghie(cid:228)m cußa P coø chua(cid:229)n baŁng r.

• Giaß s(cid:246)ß me(cid:228)nh æe(cid:224) æuøng v(cid:244)øi mo(cid:239)i æa th(cid:246)øc coø ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n n, ta seı ch(cid:246)øng

minh me(cid:228)nh æe(cid:224) cuıng æuøng v(cid:244)øi æa th(cid:246)øc P ba(cid:228)c n. Giaß s(cid:246)ß: P (z) = zn + bn−1zn−1 + ... + b1z + b0 vał z1 lał mo(cid:228)t nghie(cid:228)m cußa P (z). Ta coø:

P (z) = zn+bn−1zn−1+...+b1z+b0

= (z − z1)(zn + an−1zn−2 + ... + a1z + a0) = (z − z1)Q(z)

V(cid:244)øi Q(z) = zn + an−1zn−2 + ... + a1z + a0 (cid:209)aºt K1 = K(Q, r), k1 = k(Q, r). Theo giaß thieÆt quy na(cid:239)p, Q(z) coø æuøng K 1 − k1 kho(cid:226)ng æie(cid:229)m (t(cid:237)nh caß bo(cid:228)i) coø chua(cid:229)n lał r.

(2.18)

? Ba(cid:226)y gi(cid:244)ł ta seı æi xeøt t(cid:246)łng tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p cu(cid:239) the(cid:229):

b0 = −z1a0 ⇒ |b0| = |a0||z1|

NeÆu k1 > 0 th(cid:236) |a0| < |aK1 |rK1

⇒ |a0||z1| < |z1||aK1|rK1 ne(cid:226)n |b0| < |aK1|rK1+1 |z1| r (2.19)

NeÆu k1 = 0 th(cid:236) |a0| = |aK1 |rK1

⇒ |a0||z1| = |z1||aK1|rK1 ne(cid:226)n |b0| = |aK1|rK1+1 |z1| r (2.20)

V(cid:244)øi j : 0 < j < k1 hoaºc K1 + 1 < j ≤ n:

|bj |rj = |aj−1 − z1aj|rj ( do |bj| = |aj−1 − z1aj|)

r }|aK1|rK1+1 &

|aj|rj}r |z1| r (2.21) ≤ max{|aj−1|rj−1, < max{1, |z1|

|aj|rj < |aK1|rK1 (do : |aj−1|rj−1 < |aK1|rK1

v(cid:244)øi mo(cid:239)i j : 0 < j < k1 hoaºc K1 + 1 < j ≤ n)

V(cid:244)øi j = k1 > 0 vał |z1| < r th(cid:236): |bk1 |rk1 = |ak1−1 − z1ak1 |rk1 ≤ max{|ak1−1|rk1−1, |ak1 |rk1}r |z1| r

(2.22) < (|ak1 |rk1)r = |aK1|rK1+1

V(cid:244)øi j = k1 > 0 vał |z1| > r th(cid:236):

|bk1 |rk1 = |ak1−1 − z1ak1 |rk1 = max{|ak1−1|rk1−1, |ak1 |rk1}r |z1| r

= (2.23) |aK1|rK1+1 |z1| r (V(cid:236): |ak1|rk1 ≥ |ak1−1|rk1−1 vał |z1| < r

r |ak1|rk1 > |ak1−1|rk1−1)

⇒ |z1|

V(cid:244)øi j : k1 + 1 ≤ j ≤ K1 th(cid:236):

|bj|rj = |aj−1 − z1aj|rj ≤ max{|aj−1|rj−1, |aj|rj}r |z1| r

≤ max{1, (2.24) }|aK1 |rK1+1 |z1| r

V(cid:244)øi j = k1 + 1 vał |z1| < r th(cid:236):

|bk1+1|rk1+1 = |ak1 − z1ak1+1|rk1+1

= max{|ak1 |rk1, |ak1+1|rk1+1}r = |aK1|rK1+1 |z1| r (2.25)

(V(cid:236): |ak1|rk1 ≥ |ak1+1|rk1+1 vał |z1| < r

⇒ |ak1 |rk1 > |ak1+1|rk1+1) |z1| r

V(cid:244)øi j = K1 vał |z1| > r th(cid:236):

|bK1 |rK1 = |aK1−1 − z1aK1 |rK1

|aK1|rK1}r = |aK1 |rK1+1 = max{|aK1−1|rK1−1, |z1| r |z1| r

(2.26)

(V(cid:236): |aK1|rK1 ≥ |aK1−1|rK1−1 vał |z1| > r

⇒ |aK1 |rK1 > |aK1−1|rK1−1) |z1| r

V(cid:244)øi j = K1 + 1 < n vał |z1| > r th(cid:236):

|bK1+1|rK1+1 = |aK1 − z1aK1+1|rK1+1

≤ max{|aK1|rK1, |aK1+1|rK1+1}r |z1| r

r |aK1|rK1+1

(2.27) < |z1|

⇒ (V(cid:236): |aK1 |rK1 > |aK1+1|rK1+1 vał |z1| > r |aK1|rK1 > |aK1+1|rK1+1) |z1| r

V(cid:244)øi j = K1 + 1 < n vał |z1| ≤ r th(cid:236):

|bK1+1|rK1+1 = |aK1 − z1aK1+1|rK1+1

|aK1+1|rK1+1}r |z1| r (2.28)

= max{|aK1|rK1, = |aK1|rK1+1 (V(cid:236): |aK1+1|rK1+1 < |aK1|rK1 vał |z1| ≤ r

⇒ |aK1+1|rK1+1 < |aK1 |rK1) |z1| r

V(cid:244)øi K1 = n − 1 th(cid:236): (2.29) |bn|rn = rn = |aK1|rK1+1

(V(cid:236): bn = 1, aK1 = an−1 = 1)

? T(cid:246)ł caøc keÆt quaß (cid:244)ß tre(cid:226)n, ta xeøt 3 tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p:

Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 1: |z1| = r:

Luøc nały, P coø the(cid:226)m mo(cid:228)t nghie(cid:228)m lał z 1 so v(cid:244)øi Q vał |z1| = r, do va(cid:228)y soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r cußa P = SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r cußa Q + 1 = K1 − k1 + 1.

Do (2.19), (2.21):

|bj|rj < |aK1|rK1+1, ∀j : 0 ≤ j < k1 hoaºc K1 + 1 < j ≤ n.

Do (2.20), (2.23), (2.28), (2.29):

|bk1 |rk1 = |bK1+1|rK1+1 = |aK1 |rK1+1.

Do (2.24):

|bj|rj ≤ |aK1|rK1+1 = |bK1+1|rK1+1, ∀j : k1 + 1 ≤ j ≤ K1 .

Va(cid:228)y K = K1 + 1 vał k = k1

⇒ K − k = K1 + 1 − k1 = K1 − k1 + 1 = SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa P coø chua(cid:229)n baŁng r.

Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 2: |z1| < r:

Luøc nały soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r cußa P = SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r cußa Q lał K 1 − k1. Do (2.19), (2.21):

|bj |rj < |aK1 |rK1+1, ∀j : 0 ≤ j < k1 hoaºc K1 + 1 < j ≤ n.

Do (2.20), (2.22):

|bk1 |rk1 < |aK1 |rK1+1.

Do (2.28), (2.29), (2.25):

|bK1+1|rK1+1 = |aK1|rK1+1 = |bk1+1|rk1+1.

Do (2.24) :

|bj |rj ≤ |aK1 |rK1+1 = |bK1+1|rK1+1, ∀j : k1 + 1 ≤ j ≤ K1 .

Va(cid:228)y K = K1 + 1 vał k = k1 + 1

⇒ K − k = K1 + 1 − (k1 + 1) = K1 − k1 = SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa P coø chua(cid:229)n baŁng r.

Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 3: |z1| < r:

Luøc nały soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r cußa P = SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r cußa Q lał K 1 − k1.

Do (2.19), (2.21), (2.27), (2.29):

|bj |rj < |aK1 |rK1+1, ∀j : 0 ≤ j < k1 hoaºc K1 + 1 < j ≤ n. |z1| r

Do (2.24): |bj |rj ≤ |aK1 |rK1+1, ∀j : k1 + 1 ≤ j ≤ K1 − 1 . |z1| r

Do (2.20), (2.23, (2.26):

|aK1|rK1+1. |bk1 |rk1 = |bK1 |rK1 = |z1| r

Va(cid:228)y K = K1 vał k = k1

⇒ K − k = K1 − k1 = SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa P coø chua(cid:229)n baŁng r.

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.7: æa th(cid:246)øc r − extremal ba(cid:228)c d vał æa th(cid:246)øc kho(cid:226)ng lał ta(cid:228)p æoøng trong Cp[z].

Cho r lał mo(cid:228)t soÆ th(cid:246)(cid:239)c d(cid:246)(cid:244)ng. Khi æoø, ta(cid:228)p go(cid:224)m taÆt caß caøc

Ch(cid:246)øng minh:

Giaß s(cid:246)ß (Pn) lał mo(cid:228)t daıy caøc æa th(cid:246)øc r − extremal ba(cid:228)c d,

Pn(z) = ankzk, and 6= 0

Xk=0

akzk, am 6= 0 vał giaß s(cid:246)ß Pn → P trong Cp[z], P (z) =

Xk=0

NeÆu P 6= 0, ta seı ch(cid:246)øng minh P lał æa th(cid:246)øc r − extremal ba(cid:228)c d. Tha(cid:228)t va(cid:228)y, xeøt daıy caøc he(cid:228) soÆ t(cid:246)(cid:239) do cußa daıy æa th(cid:246)øc (P n)n lał (an0)n, v(cid:236) Pn → P ne(cid:226)n Pn(0) → P (0) hay an0 → a0.. TieÆp æoø, ta xeøt daıy caøc he(cid:228) soÆ ba(cid:228)c nhaÆt cußa daıy æa th(cid:246)øc (P n)lał (an1)n, ta coø:

→ Pn − an0 z P − a0 z

Hay: akzk−1 = g1(z) ankzk−1 → a1+ f1(z) = an1+

Xk=1 Xk=2 hay an1 → a1. Do æoø: f1(0) → g1(0) T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239), ta coø:

→ f2(z) = = g2(z) f1 − an1 z g1 − a1 z

Suy ra f2(0) → g2(0) ne(cid:226)n an2 → a2. ... ... ...

Maºt khaøc, neÆu m > d, th(cid:236) tieÆp tu(cid:239)c la(cid:228)p lua(cid:228)n nh(cid:246) tre(cid:226)n ta coø: a nm → am, v(cid:236) (Pn) lał daıy caøc æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c d ne(cid:226)n a nm = 0, ∀n, do va(cid:228)y: am = 0 - Traøi giaß thieÆt.

Nh(cid:246)ng neÆu m < d th(cid:236) tieÆp tu(cid:239)c la(cid:228)p lua(cid:228)n nh(cid:246) tre(cid:226)n, ta coø:

anm → am vał and → 0 ⇒ |Pn|r = |and|rd → 0 (Pn lał æa th(cid:246)øc r − extremal ba(cid:228)c d). Mał Pn → P ne(cid:226)n |P |r = lim|Pn|r = 0 ⇒ P = 0 - Vo(cid:226) l(cid:237).

(2.30) Va(cid:228)y m = d ne(cid:226)n P lał æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c d, theo la(cid:228)p lua(cid:228)n tre(cid:226)n, ta coø: ank → ak, ∀k, 0 ≤ k ≤ d, æaºc bie(cid:228)t and → ad vał an0 → a0

Ngoałi ra, la(cid:239)i do P n lał æa th(cid:246)øc r − extremal ba(cid:228)c d ne(cid:226)n:

|Pn|r = |and|rd = |an0|.

(2.31) ⇒ |P |r = lim|Pn|r = lim|and|rd = lim|an0|

T(cid:246)ł (2.30), (2.31) suy ra:

|P |r = |ad|rd = |a0|, hay P lał æa th(cid:246)øc r − extremal ba(cid:228)c d.

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.8: Khi æoø, to(cid:224)n ta(cid:239)i ε > 0 sao cho: K(f, s) = K(f, r), ∀s ∈ [r, r + ε) vał to(cid:224)n ta(cid:239)i δ > 0 sao cho: k(f, s) = k(f, r), ∀s ∈ (r − δ, r]. Do va(cid:228)y, neÆu r kho(cid:226)ng lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa f th(cid:236) to(cid:224)n ta(cid:239)i ξ > 0 sao cho: K(f, s) = k(f, s) = K(f, r) = k(f, r), ∀s ∈ (r − ξ, r + ξ).

Cho f ∈ A[r1, r2] vał r ∈ [r1, r2].

Ch(cid:246)øng minh:

Trong me(cid:228)nh æe(cid:224) nały ta seı s(cid:246)ß du(cid:239)ng keÆt quaß sau:

NeÆu r < s th(cid:236) K(f, r) ≤ k(f, s) ( Ch(cid:246)øng minh t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.2 (2.5)).

4 (cid:209)aºt: K = K(f, r), giaß s(cid:246)ß: f = anzn.

Xn∈Z V(cid:244)øi mo(cid:239)i j > K, ta coø: |aj|rj < |aK |rK.

• NeÆu aj = 0, ∀j > k th(cid:236) v(cid:236) ∀s ≥ r, K(f, s) ≤ K(f, r) = K ne(cid:226)n : K(f, s) = K, t(cid:246)øc lał ta coø æie(cid:224)u ca(cid:224)n ch(cid:246)øng minh.

• NeÆu to(cid:224)n ta(cid:239)i l > K : al 6= 0, th(cid:236) do f giaßi t(cid:237)ch ta(cid:239)i r ne(cid:226)n coø mo(cid:228)t ch(cid:230) soÆ i > K

sao cho: |ai|ri ≥ |aj|rj, ∀j > K. Tha(cid:228)t va(cid:228)y: Do f giaßi t(cid:237)ch ta(cid:239)i r, t(cid:246)øc lał |an|rn = 0, ne(cid:226)n: lim |n|→+∞

∃N > 0 : ∀n, |n| > N, |an|rn < |al|rl

⇒ ∀j > N, |aj|rj < |al|rl. Do æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a cußa K, ta phaßi coø: K ≤ N

∗ Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p K < N :

|aj|rj, |al|rl}. (cid:209)aºt: |ai|ri = max{ max K

∗ Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p K = N , æaºt: i = l, ta coø:

∀j > K ⇒ j > N ne(cid:226)n : |aj|rj ≤ |al|rl = |ai|ri.

Nh(cid:246) va(cid:228)y trong caß hai tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p ta æe(cid:224)u ch(cid:230) ra æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c mo(cid:228)t ch(cid:230) soÆ i > K sao cho:

(2.32) |ai|ri ≥ |aj|rj, ∀j > K

(2.33) ? To(cid:224)n ta(cid:239)i sr > r thoßa: ∀s ∈ [r, sr) th(cid:236) : |ai|si < |aK |sK Tha(cid:228)t va(cid:228)y, ta æaı bieÆt:

1 i−K

( v(cid:236) i > K). |ai|ri < |aK |rK ⇒ r < |aK |ai|

(cid:19) 1 i−K

1 i−K

Cho(cid:239)n sr : r < sr < th(cid:236): ∀s ∈ [r, sr) ta coø: (cid:18) |aK |ai|

(cid:18) s < sr < ⇒ |ai|si < |aK|sK . (cid:19) |aK |ai|

(cid:17) (cid:16)

r < |aK|sK r

(2.34) H(cid:244)n n(cid:246)ıa: |ai|si

r ≥ |ai|si r

? V(cid:236) f cuıng giaßi t(cid:237)ch ta(cid:239)i sr ne(cid:226)n ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n ch(cid:230) soÆ j > K sao cho: (2.35) |aj|sj

r = 0.

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, v(cid:236) f giaßi t(cid:237)ch ta(cid:239)i s r, t(cid:246)øc lał: |an|sn lim |n|→+∞

r < |ai|si r

⇒ ∃N : ∀n, |n| > N, |an|sn

r < |ai|si r.

r th(cid:236) −N ≤ j ≤ N , t(cid:246)øc lał ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n ch(cid:230)

r ≥ |ai|si

⇒ ∀j, |j| > N, |aj|sj

r ≥ |ai|si r.

Do va(cid:228)y, neÆu |a j|sj soÆ j thoßa maın |a j|sj

r ≥ |ai|si

r} = {j1, j2, ..., jm}. V(cid:244)øi moªi jn (n = 1, 2, ..., m), ch(cid:246)øng minh t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) (2.33), ta coø: s n > r thoßa maın:

? Do (2.35) ne(cid:226)n coø the(cid:229) giaß s(cid:246)ß: {j > K : |a j|sj

|ajn |sjn < |aK |sK , ∀s ∈ [r, sn)

1≤n≤m \

[r, sr). [r, sn) V(cid:236) ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n jn ne(cid:226)n coø the(cid:229) æaºt: [r, r+ε) =  

\ (2.36)   Khi æoø, |ajn |sjn < |aK |sK , ∀s ∈ [r, r + ε), ∀jn

r < |aK |sK r

? V(cid:244)øi j > K, j /∈ {j1, j2, ..., jm} th(cid:236) la(cid:239)i do (2.34) : |ai|si

r ≥ |ai|si r

1 j−K

Mał: (Do (2.35)) |aj|sj

r ⇒ sr <

r < |aK |sK

1 j−K

. ⇒ |aj|sj |aK |aj| (cid:18) (cid:19)

Do va(cid:228)y: ∀s ∈ [r, r + ε) ⇒ s < sr < ⇒ |ai|sj < |aK |sK . |aK |aj| (cid:18) (cid:19)

T(cid:246)ł keÆt quaß nały vał (2.36), ta coø: ∀s ∈ [r, r + ε), ∀j > K : |a j|sj < |aK|sK .

Suy ra: K(f, s) ≤ K.

Mał: K(f, s) ≥ K(f, r) = K, do s ≤ r.

Nh(cid:246) va(cid:228)y: K(f, s) = K, ∀s ∈ [r, r + ε).

4 Ch(cid:246)øng minh t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) cho: k(f, r), ta cuıng coø:

To(cid:224)n ta(cid:239)i δ > 0 sao cho: k(f, s) = k(f, r), ∀s ∈ (r − δ, r].

4 Do va(cid:228)y, neÆu r kho(cid:226)ng lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa f th(cid:236):

(2.37)

K(f, r) = k(f, r) Maºt khaøc, theo ch(cid:246)øng minh (cid:244)ß tre(cid:226)n: To(cid:224)n ta(cid:239)i ε > 0 sao cho: K(f, s) = K(f, r), ∀s ∈ [r, r + ε) vał to(cid:224)n ta(cid:239)i δ > 0 sao cho: k(f, s) = k(f, r), ∀s ∈ (r − δ, r]. (cid:209)aºt: ξ = min{ε, δ}, ta coø: ∀s ∈ [r, r + ξ), K(f, s) = K(f, r) mał K(f, r) ≤ k(f, s) ≤ K(f, s) (do s ≥ r) ne(cid:226)n:

K(f, r) = k(f, s) = K(f, s) (2.38)

vał: ∀s ∈ (r − ξ, r], k(f, s) = k(f, r) mał k(f, r) ≥ K(f, s) ≥ k(f, s) (do s ≤ r) ne(cid:226)n:

k(f, r) = K(f, s) = k(f, s) (2.39)

T(cid:246)ł (2.37), (2.38) vał (2.39), ta coø:

K(f, s) = k(f, s) = K(f, r) = k(f, r), ∀s ∈ (r − ξ, r + ξ)

T(cid:246)łł me(cid:228)nh æe(cid:224) nały, ta seı ch(cid:246)øng minh mo(cid:228)t me(cid:228)nh æe(cid:224) raÆt quan tro(cid:239)ng cho vie(cid:228)c ch(cid:246)øng minh caøc æ(cid:242)nh l(cid:237) (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 3 - me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9. Nh(cid:244)ł noø mał ta coø the(cid:229) thaÆy roı s(cid:246)(cid:239) noÆi tieÆp cußa caøc ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i vał ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic: NeÆu laÆy 2 æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n lie(cid:226)n tieÆp nhau th(cid:236) ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i ta(cid:239)i baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n nhoß h(cid:244)n seı baŁng v(cid:244)øi ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u ta(cid:239)i baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n l(cid:244)øn h(cid:244)n.

Me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9: nhoß nhaÆt trong [r1, r2] cołn l(cid:244)øn h(cid:244)n r. Khi æoø: k(f, s) = K(f, r). T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239), neÆu t lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n l(cid:244)øn nhaÆt trong [r1, r2] cołn nhoß h(cid:244)n r th(cid:236): K(f, t) = k(f, r).

Cho f ∈ A[r1, r2] , r ∈ [r1, r2] vał s lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n

Ch(cid:246)øng minh:

(cid:209)aºt: K = K(f, r) vał k = k(f, s).

V(cid:236) s > r ne(cid:226)n theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.8, ta coø: K(f, r) ≤ k(f, s) hay K ≤ k. Ta seı

ch(cid:246)øng minh: K = k. Giaß s(cid:246)ß ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c la(cid:239)i K < k.

• V(cid:236) ∀t ∈ [r, s) th(cid:236) theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.8 K ≤ K(f, t) ≤ k ne(cid:226)n ta(cid:228)p h(cid:244)(cid:239)p:

A = {K(f, t) : t ∈ [r, s)} ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n pha(cid:224)n t(cid:246)ß. Giaß s(cid:246)ß A = {m1, m2, ..., ml} v(cid:244)øi K ≤ mi ≤ mi+1 ≤ k, ∀i = 1, 2, ..., l.

• Ta ch(cid:246)øng minh l = 1, tha(cid:228)t va(cid:228)y v(cid:236) neÆu l ≥ 2 th(cid:236) moªi i = 1, 2, ..., l, ta æaºt:

Ii = {t ∈ [r, s) : K(f, t) = mi}

(2.40) Ii Th(cid:236) Ii ∩ Ij = ∅, ∀i, j : i 6= j vał [r, s) =

[i=1,l

? V(cid:236) ∀ti ∈ Ii vał ∀ti+1 ∈ Ii+1 th(cid:236): K(f, ti) = mi < mi+1 = K(f, ti+1)

(2.41) Mał K(f, t) kho(cid:226)ng giaßm theo t ne(cid:226)n: t i < ti+1. Suy ra: sup Ii ≤ inf Ii+1 vał do æoø: sup Ii ≤ inf Ij, ∀i < j

? (cid:209)aºt t1 = sup I1 vał t2 = inf I2 th(cid:236) theo (2.40), (2.41) ta coø:

(2.42)

r ≤ t1 ≤ t2 ≤ s. Ta la(cid:239)i coø: t1 = t2 v(cid:236) neÆu t1 < t2 th(cid:236) to(cid:224)n ta(cid:239)i t : t1 < t < t2 T(cid:246)øc lał: t ∈ [r, s) mał t /∈ I1 vał t /∈ I2. Theo (2.40), to(cid:224)n ta(cid:239)i j > 2 æe(cid:229): t ∈ Ij nh(cid:246)ng t(cid:246)ł æie(cid:224)u nały ta la(cid:239)i coø: t 2 ≤ t ( theo (2.41)) - ma(cid:226)u thuaªn v(cid:244)øi (2.42). Nh(cid:246) va(cid:228)y: sup I1 = t1 = t2 = inf I2 = t0.

? NeÆu t0 lał mo(cid:228)t baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa f th(cid:236) t 0 = s v(cid:236) r ≤ t0 ≤ s vał s lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n nhoß nhaÆt cußa f cołn l(cid:244)øn h(cid:244)n r.

? NeÆu t0 kho(cid:226)ng lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa f th(cid:236) theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.8:

To(cid:224)n ta(cid:239)i ξ > 0 sao cho: K(f, t) = k(f, t) = K(f, t0) = k(f, t0), ∀t ∈ (t0 − ξ, t0 + ξ) (2.43) V(cid:236) sup I1 = t1 = t0 ne(cid:226)n v(cid:244)øi ξ > 0, to(cid:224)n ta(cid:239)i s1 ∈ I1 sao cho: s1 ∈ (t0−ξ, t0].

(Do (2.43)).

(2.44) K(f, t0) = m1

(Do (2.43)).

K(f, t0) = m2

Do s1 ∈ I1 ne(cid:226)n K(f, s1) = m1 vał s1 ∈ (t0 − ξ, t0] ne(cid:226)n K(f, s1) = K(f, t0) Va(cid:228)y ne(cid:226)n: V(cid:236) inf I2 = t2 = t0 ne(cid:226)n v(cid:244)øi ξ > 0, to(cid:224)n ta(cid:239)i s2 ∈ I2 : s2 ∈ [t0, t0 + ξ). Do s2 ∈ I2 ne(cid:226)n K(f, s2) = m2 vał s2 ∈ [t0, t0 + ξ) ne(cid:226)n K(f, s2) = K(f, t0) Va(cid:228)y ne(cid:226)n: (2.45) T(cid:246)ł (2.44), (2.45) suy ra: m1 = m2 - Ma(cid:226)u thuaªn v(cid:244)øi giaß thieÆt m 1 < m2.

Nh(cid:246) va(cid:228)y: l = 1 hay {K(f, t) : t ∈ [r, s)} = K (2.46)

• La(cid:239)i do me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.8, to(cid:224)n ta(cid:239)i ε > 0 sao cho:

k(f, t) = k(f, s) = k, ∀t ∈ (s − ε, s]. (2.47)

LaÆy t = s − ε/2, ta coø: k(f, t) = k (Do (2.47)). Nh(cid:246)ng khi æoø, do r ≤ t < s hay t ∈ [r, s) ne(cid:226)n K(f, t) = K. Va(cid:228)y: K = k.

T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239), neÆu t lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n l(cid:244)øn nhaÆt trong [r 1, r2] cołn nhoß h(cid:244)n r th(cid:236): K(f, t) = k(f, r).

2.3 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass cho hałm giaßi t(cid:237)ch p - adic

(cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass cho hałm giaßi t(cid:237)ch p - adic : Cho r > 0 vał f ∈ A[r], f 6= 0 vał d = K(f, r). Khi æoø, to(cid:224)n ta(cid:239)i mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc r − dominant ba(cid:228)c d lał P ∈ Cp[z] vał mo(cid:228)t hałm giaßi t(cid:237)ch

+∞

n=1 X

h(z) = 1 + anzn ∈ A[r]

hay K(h, r) = k(h, r) = 0.

thoßa maın: (i) (ii) (iii) f = P.h. |h − 1|r < 1 |f − P |r < |f |r.

Ch(cid:246)(cid:244)ng 3

CA(cid:217)C (cid:209)(cid:210)NH L˝ QUAN TROˇNG

3.1 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) chia Euclide cho hałm giaßi t(cid:237)ch p-adic

(cid:209)(cid:242)nh l(cid:237): :Cho mo(cid:228)t soÆ th(cid:246)(cid:239)c r > 0 , hałm f giaßi t(cid:237)ch tre(cid:226)n A[r] vał P lał mo(cid:228)t æa

Ch(cid:246)(cid:244)ng nały seı s(cid:246)ß du(cid:239)ng pha(cid:224)n kieÆn th(cid:246)øc chua(cid:229)n b(cid:242) (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 1 vał caøc t(cid:237)nh chaÆt (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 2, æaºc bie(cid:228)t lał me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.3 vał caøc me(cid:228)nh æe(cid:224) t(cid:246)ł 2.2.5 æeÆn me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9 æe(cid:229) ch(cid:246)øng minh nh(cid:246)ıng æ(cid:242)nh l(cid:237) quan tro(cid:239)ng ve(cid:224) chuoªi Laurent p-adic: (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) ve(cid:224) pheøp chia Euclide, æ(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass. CuoÆi cułng lał mo(cid:228)t soÆ (cid:246)øng du(cid:239)ng cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass: (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) ve(cid:224) soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic vał æ(cid:242)nh l(cid:237) Poisson - Jensen.

th(cid:246)øc trong Cp[z] v(cid:244)øi P 6= 0 vał lał r − dominant. Khi æoø, to(cid:224)n ta(cid:239)i duy nhaÆt mo(cid:228)t caºp (q, R), R lał mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc, q giaßi t(cid:237)ch tre(cid:226)n A[r] thoaß maın: (i) (ii) (iii) (iv)ł f = P q + R deg(R) < deg(P ) |R|r ≤ |f |r |q|r ≤ |f |r/|P |r.

Ch(cid:246)øng minh:

NeÆu f = 0 th(cid:236) hie(cid:229)n nhie(cid:226)n æ(cid:242)nh l(cid:237) æuøng, ta ch(cid:230) ca(cid:224)n ch(cid:246)øng minh cho tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p

f 6= 0.

4 (cid:209)a(cid:224)u tie(cid:226)n ta ch(cid:246)øng minh cho tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p f lał mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc

Giaß s(cid:246)ß:

n=0 X

vał f = P = cnzn anzn

Khi æoø, ta æaı coø s(cid:246)(cid:239) to(cid:224)n ta(cid:239)i duy nhaÆt cußa cußa caºp (q, R) vał (i), (ii). Ba(cid:226)y gi(cid:244)ł ta ch(cid:246)øng minh caøc t(cid:237)nh chaÆt (iii), (iv).

? Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p r = 1:

Giaß s(cid:246)ß taÆt caß caøc he(cid:228) soÆ cußa f vał P æe(cid:224)u coø chua(cid:229)n kho(cid:226)ng v(cid:246)(cid:244)(cid:239)t quaø 1, trong æoø coø (cid:237)t nhaÆt mo(cid:228)t he(cid:228) soÆ coø chua(cid:229)n baŁng 1, t(cid:246)øc lał he(cid:228) soÆ cußa f vał P æe(cid:224)u naŁm trong O vał |f | 1 = 1, |P |1 = 1. V(cid:236) P lał r-dominant ne(cid:226)n he(cid:228) soÆ cao nhaÆt cußa P coø chua(cid:229)n baŁng 1, do t(cid:237)nh chaÆt cußa pheøp chia Euclide trong tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p nały, taÆt caß caøc he(cid:228) soÆ cußa q vał R phaßi naŁm trong O. Suy ra: |R|1 ≤ 1, |q|1 ≤ 1. Ngh(cid:243)a lał: |R|1 ≤ |f |1 vał |q|1 ≤ |f |1/|P |1, ta coø t(cid:237)nh chaÆt (iii) vał (iv)

NeÆu |f |1 6= 1 hoaºc |P |1 6= 1.

|f |1 = max |cn|1n = max |cn|

Giaß s(cid:246)ß: |f |1 = |ck|, do f 6= 0 ne(cid:226)n ck 6= 0. (cid:209)aºt

k .cn)zn

k =

(c−1 f 0 = f.c−1

k |.|cn|.1n =

|c−1 |cn| = |ck| = 1 max n |f 0|1 = max n∈Z Xn∈Z 1 |ck| 1 |ck|

T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239): P lał 1−dominant ne(cid:226)n |P | 1 = |am| 6= 0 (cid:209)aºt

m =

m .an)zn

P 0 = P.a−1 (a−1

m |.|an|.1n =

n=0 X 1 |am|

|a−1 |an| = .|am| = 1 max 0≤n≤m |P 0|1 = max 0≤n≤m 1 |am|

Nh(cid:246) va(cid:228)y: |f 0|1 = 1, |P 0|1 = 1 Do ta æaı ch(cid:246)øng minh bo(cid:229) æe(cid:224) æuøng cho f, P tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p |f | 1 = 1, |P |1 = 1 ne(cid:226)n ta coø bo(cid:229) æe(cid:224) æuøng cho f 0, P 0. T(cid:246)øc lał to(cid:224)n ta(cid:239)i duy nhaÆt caºp (q 0, R0), R0 lał æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n m , q giaßi t(cid:237)ch tre(cid:226)n A[1] thoaß:

f 0 = P 0q0 + R0

(i) (ii) (iii) (iv)ł deg(R0) < deg(P 0) |R0|1 ≤ |f 0|1 |q 0|1 ≤ |f 0|1/|P 0|1

k = P.a−1

(i) f 0 = P 0q0 + R0 ⇒ f.c−1

m q0 + R0 m .ckq0) + (R0.ck)

m .ckq0, R = R0.ck , ta coø: f = P.q + R

⇒ f = P.(a−1

(cid:209)aºt q = a−1 vał

m ||g0|1 ≤ |ck|

.1 = |g|1 = |ck||a−1 1 |am| |f |1 |P |1

k ||ck| = |f |1

|R|1 = |R0|1|ck| ≤ |f 0|1|ck| = |f |1|c−1

degR = degR0 < degP (T(cid:246)øc lał ta coø (ii),(iii),(iv))

? Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 2: r baÆt k(cid:236)

p | Cho(cid:239)n soÆ a ∈ Cp sao cho |a| = r.

(∗) Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 2a: r ∈ |C∗

Thay bieÆn z b(cid:244)ßi bieÆn a −1z, ta æ(cid:246)a ve(cid:224) tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p tre(cid:226)n, tha(cid:228)t va(cid:228)y:

n=0 X

f = cnan(a−1z)n

|f |1 = max |cn||a|n1n = max |cn|rn = |f |r

Do va(cid:228)y, ta coø the(cid:229) xem nh(cid:246) r = 1.

(∗) Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p 2b: r /∈ |C∗ p | Do Q truł ma(cid:228)t trong R ne(cid:226)n to(cid:224)n ta(cid:239)i mo(cid:228)t daıy (r i)i ⊂ Q mał

ri ≥ r, ∀i vał ri = r . lim i→+∞

Theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.1.5, P lał r i − dominant, ∀i. Khi æoø, neÆu æ(cid:242)nh l(cid:237) æuøng v(cid:244)øi r i, ∀i th(cid:236) ta coø:

vał |q|ri ≤ |R|ri ≤ |f |ri |f |ri |P |ri

LaÆy gi(cid:244)øi ha(cid:239)n khi i → +∞ cußa bie(cid:229)u th(cid:246)øc tre(cid:226)n ta coø:

vał (æccm ) |R|r ≤ |f |r |q|r ≤ |f |r |P |r

4 Ba(cid:226)y gi(cid:244)ł ta ch(cid:246)øng minh cho tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p f baÆt k(cid:236)

| r.

NeÆu f kho(cid:226)ng lał æa th(cid:246)øc, ta coø the(cid:229) t(cid:236)m thaÆy mo(cid:228)t daıy caøc æa th(cid:246)øc {f n} sao cho |f − fn| → 0. Tha(cid:228)t va(cid:228)y, coø the(cid:229) cho(cid:239)n ngay daıy caøc æa th(cid:246)øc {f n} lał bie(cid:229)u dieªn chuoªi luyı th(cid:246)ła cußa f v(cid:244)øi ba(cid:228)c taŒng da(cid:224)n. V(cid:244)øi moªi n ∈ N , laÆy qn vał Rn la(cid:224) l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał th(cid:246)(cid:244)ng vał d(cid:246) cußa pheøp chia f n cho P. Chuøng ta ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c raŁng q n vał Rn lał caøc daıy trong A[r] h(cid:244)n theÆ, chuøng cołn lał caøc daıy Cauchy v(cid:244)øi chua(cid:229)n | Do æoø chuøng ho(cid:228)i tu(cid:239) æeÆn q vał R trong A[r]. V(cid:236) degRn < degP ne(cid:226)n Rn phaßi ho(cid:228)i tu(cid:239) æeÆn mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n ba(cid:228)c cußa P. Ta coø t(cid:237)nh chaÆt (i) æeÆn (iv) vaªn æuøng khi laÆy gi(cid:244)øi ha(cid:239)n n → ∞. T(cid:237)nh chaÆt (iv) baßo æaßm raŁng th(cid:246)(cid:244)ng q lał giaßi t(cid:237)ch trong A[r].

4 Ch(cid:246)øng minh t(cid:237)nh duy nhaÆt cußa caºp (q, R):

Giaß s(cid:246)ß: q1P + R1 = q2P + R2 → P (q1 − q2) = R2 − R1 NeÆu q1 6= q2 th(cid:236):

K(R2 − R1, r) = K(P, r) + K(q1, q2, r)

= degP + K(q1 − q2, r) ≥ degP

(cid:209)ie(cid:224)u nały traøi v(cid:244)øi giaß thieÆt R 2, R1 æe(cid:224)u lał caøc æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n ba(cid:228)c cußa P.

Ba(cid:226)y gi(cid:244)ł ta tieÆp tu(cid:239)c v(cid:244)øi he(cid:228) quaß cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.1 - æ(cid:242)nh l(cid:237) chia Euclide cho chuoªi Laurent p-adic

3.2 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) chia Euclide cho chuoªi Laurent p-adic:

(cid:209)(cid:242)nh l(cid:237): Cho soÆ th(cid:246)(cid:239)c r > 0 : r1 ≤ r ≤ r2.

f lał mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic tre(cid:226)n A[r1, r2] ( f ∈ A[r1, r2] ), P lał mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc r − extremal. Khi æoø, to(cid:224)n ta(cid:239)i duy nhaÆt mo(cid:228)t caºp (q, R), R lał mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc, q ∈ A[r1, r2] thoaß maın:

(i) (ii) (iii) (iv)ł f = P q + R deg(R) < deg(P ) |R|r ≤ |f |r |q|r ≤ |f |r/|P |r

Ch(cid:246)øng minh:

Cuıng gioÆng nh(cid:246) (cid:244)ß æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.1, ta ch(cid:230) ch(cid:246)øng minh cho tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p f 6= 0.

4 Tr(cid:246)(cid:244)øc tie(cid:226)n ta ch(cid:246)øng minh t(cid:237)nh duy nhaÆt cußa caºp (q, R).

q, R) æe(cid:224)u thoßa maın caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n tre(cid:226)n

Giaß s(cid:246)ß to(cid:224)n ta(cid:239)i hai caºp (q, R) vał ( małł q 6= q hoaºc R 6= R.

e ? NeÆu R 6= e R th(cid:236): to(cid:224)n ta(cid:239)i ba(cid:228)c deg(R − R) vał e e R−R, r)−k( R) < deg(P ). (3.1) R −R, r) ≤ deg(R− e R lał caøc æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n deg(P )) e e K( e (Do R, e

e Ta coø: P q + R = f = P q + R ⇒ P (q − q) = R − R. (3.2)

e e e e

Suy ra: K( q, r) = deg(P ) + K(q − q, r) (3.3)

k( R−R, r) = k(P, r)+k(q − q, r) = 0+k(q − (3.4) R − R, r) = K(P, r) + K(q − vał: e e q, r) e (Do P lał r − extremal.)

e e e

LaÆy (3.3) − (3.4) theo veÆ ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

K( R − R, r) − k( R − R, r) = deg(P ) + K(q − q, r) − k(q − q, r)

e e e ⇒ K( e R − R, r) − k( R − R, r) ≤ deg(P ).

e e (cid:209)ie(cid:224)u nały ma(cid:226)u thuaªn v(cid:244)øi (3.1) (Do: K(q − q, r) − k(q − q, r) ≥ 0).

e e

q th(cid:236) t(cid:246)ł (3.2) suy ra: R 6= R vał t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) nh(cid:246) tre(cid:226)n ta cuıng daªn

? NeÆu q 6= t(cid:244)øi æie(cid:224)u ma(cid:226)u thuaªn. Nh(cid:246) va(cid:228)y caºp (q, R) thoßa caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n cußa me(cid:228)nh æe(cid:224) lał duy nhaÆt. e e

4 Ba(cid:226)y gi(cid:244)ł ta ch(cid:246)øng minh s(cid:246)(cid:239) to(cid:224)n ta(cid:239)i cußa caºp (q, R):

Giaß s(cid:246)ß

f = anzn

Xn∈Z Ta vieÆt:

f = anzn + anzn = f1 + f2.

n<0 X

Xn≥0 V(cid:244)øi

f1 = anzn, f2 = anzn

n<0 X

Xn≥0

Khi æoø, f1 lał hałm giaßi t(cid:237)ch p-adic ne(cid:226)n coø the(cid:229) aøp du(cid:239)ng thua(cid:228)t chia Euclide ( æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.1) trong pheøp chia f 1 cho P , ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c th(cid:246)(cid:244)ng lał q 1 vał d(cid:246) R1 thoßa caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.1.

Ta coø: f1 = P q1 + R1 , deg(R) < deg(P ), |q1|r < |f1|r |P |r vał (3.5) |R|r ≤ |f1|r

V(cid:236) r2 ≤ r ne(cid:226)n P cuıng lał r 2 − dominant ⇒ q1 ∈ A[r2].

? Theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.1.6 ta coø: z deg(P )P (z−1) lał r−1 − extremal.

n<0 X

lał mo(cid:228)t chuoªi luıy th(cid:246)ła ho(cid:228)i tu(cid:239) = bmzm anz−n−1 = f2(z−1) z Xm≥0

v(cid:244)øi |z| = r−1 ( m = −n − 1, bm = an, ∀m ≥ 0)

hay: ∈ A[r−1] ⇒ zdeg(P ) f2(z−1) ∈ A[r−1] f2(z−1) z z

Do va(cid:228)y, laÆy chia cho zdeg(P )P (z−1) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c th(cid:246)(cid:244)ng lał q2 f2(z−1) z

vał d(cid:246) R2 thoßa caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.1. T(cid:246)øc lał: deg(R2) < deg(P ) vał

zdeg(P ) f2(z−1) = zdeg(P )P (z−1)q2(z) + R2(z) z

⇒ f2(z−1) = zP (z−1)q2(z) + z1−deg(P )R2(z) ⇒ f2(z) = P (z)(z−1q2(z−1)) + zdeg(P )−1R2(z−1)

? T(cid:246)ł æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.1 ta cuıng coø:

|r−1 = |zdeg(P )−1f2(z−1)|r−1 |R2(z)|r−1 ≤ |zdeg(P ) f2(z−1) z

⇒ |z1−deg(P )R2(z)|r−1 ≤ |f2(z−1)|r−1 ⇒ |zdeg(P )−1R2(z−1)|r ≤ |f2(z)|r

(Do me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.1.6). (3.6)

Vał:

|r−1 /|zdeg(P )P (z−1)|r−1 |q2(z)|r−1 ≤ |zdeg(P ) f2(z−1) z

⇒ |zq2(z)|r−1 ≤ |f2(z−1)|r−1 |P (z−1)|r−1

(3.7) ⇒ |z−1q2(z−1)|r ≤ |f2(z)|r |P (z)|r

B(cid:244)ßi v(cid:236) r1 ≤ r vał zdeq(P )P (z−1) lał r−1 − dominant ne(cid:226)n theo æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.1, ta coø:

(3.8) z−1q2(z−1) ∈ A[r1, ∞) ⇒ z−1q2(z−1) ∈ A[r1, r2].

H(cid:244)n n(cid:246)ıa:

|an|rn = |f1|r

vał: |an|rn ≥ max n≥0 |an|rn = |f2|r |f |r = max n∈Z |an|rn ≥ max n<0 |f |r = max n∈Z

Va(cid:228)y: (3.9) |f |r ≥ max{|f1|r, |f2|r}.

? (cid:209)aºt:

q(z) = q1(z)+z−1q2(z−1) , R(z) = R1(z)+zdeg(P )−1R2(z−1)

Ta coø: (i) f (z) = f1(z) + f2(z)

= P (z)q1(z) + R1(z) + P (z)(z−1q2(z−1)) + zdeg(P )−1R2(z−1)

= P (z)(q1(z) + (z−1q2(z−1)) + (R1(z) + zdeg(P )−1R2(z−1))

= P (z)q(z) + R(z).

(ii) R2(z) lał æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n deg(P ) ne(cid:226)n z deg(P )−1R2(z−1) lał æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n deg(P ) vał v(cid:236) (3.5) ne(cid:226)n ba(cid:228)c cußa æa th(cid:246)øc R(z) = R1(z) + zdeg(P )−1R2(z−1) cuıng nhoß h(cid:244)n deg(P ).

(iii) |R(z)|r = |R1(z) + zdeg(P )−1R2(z−1)|r

≤ max{|R1(z)|r, |zdeg(P )−1R2(z−1)|r}

(Do(3.5) vał (3.6) ). ≤ max{|f1|r, |f2|r}

. (Do (3.9)) ≤ |f |r

(iv) T(cid:246)ł (3.5) vał (3.8) ta coø: q(z) ∈ A[r1, r2].

vał: |q(z)|r = |q1(z) + z−1q2(z−1)|r

≤ max{|q1(z)|r, |z−1q2(z−1)|r}

, } (Do 3.5 vał 3.7). ≤ max{ |f1(z)|r |P (z)|r |f2(z)|r |P (z)|r

≤ max{|f1(z)|r, |f2(z)|r}. 1 |P (z)|r

(Do 3.9) ≤ |f |r 1 |P |r

≤ |f |r |P |r

3.3 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass

(cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass: Cho f 6= 0 lał mo(cid:228)t chuoªi Laurent tre(cid:226)n A[r1, r2], t(cid:246)øc lał f ∈ A[r1, r2] \ {0}.

Khi æoø v(cid:244)øi moªi soÆ r > 0 : r1 ≤ r ≤ r2, æaºt: d = K(f, r) − k(f, r).

Th(cid:236): To(cid:224)n ta(cid:239)i duy nhaÆt caºp (P, u) thoßa: f = P.u vał:

• P lał æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c d. • P (0) = 1, k(P, r) = 0, K(P, r) = d. • u ∈ A[r1, r2] vał k(u, r) = K(u, r).

Ch(cid:246)øng minh:

(i) Kho(cid:226)ng maÆt to(cid:229)ng quaøt, ta coø the(cid:229) giaß s(cid:246)ß: k(f, r) = 0:

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, neÆu

n∈Z X

f = anzn

(cid:209)aºt k = k(f, r), ta coø: |f |r = |ak|rk Vał æaºt:

anzn−k f1 = z−k.f =

n∈Z X |an|rn)r−k = |ak|rk.r−k = |ak|

⇒ |f1|r = max |an|rn−k = (max

(cid:209)aºt

bn−kzn−k bn−k = an ⇒ f1 =

Xn∈Z ⇒ k(f1, r) = min{n ∈ Z|

= min{n ∈ Z|

= min{n ∈ Z| |bn|rn = |f1|r} |an+k|rn = |ak|} |an+k|rn+k = |ak|rk} = 0

( Do n + k = k ne(cid:226)n n = 0).

NeÆu f1 = P.u1 ⇒ z−kf = P.u1 th(cid:236) :

f = P.(u1.zk) = P.u, v(cid:244)øi: u = u1.zk. Deª thaÆy P, u thoaß caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n cußa æ(cid:242)nh l(cid:237).

(ii) Cuıng kho(cid:226)ng maÆt to(cid:229)ng quaøt, coø the(cid:229) giaß s(cid:246)ß: |f |r = 1

Theo ch(cid:246)øng minh tre(cid:226)n, ta coø the(cid:229) xem: k(f, r) = 0 vał do æoø: |f | r = |a0|.

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, æaºt: f 2 = a−1 0 f (a0 6= 0 v(cid:236) neÆu a0 = 0 th(cid:236) do |f |r = |a0| ⇒ f = 0 - traøi giaß thieÆt).

0 )zn

⇒ f2 = (ana−1

Xn∈Z

0 | = |a0||a0|−1 = 1

0 |rn = (max n∈Z

|ana−1 |an|rn)|a−1 ⇒ |f2|r = max n∈Z

NeÆu æ(cid:242)nh l(cid:237) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ch(cid:246)øng minh cho f 2, t(cid:246)øc lał: f2 = P.u2 v(cid:244)øi P, u2 thoaß caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) th(cid:236):

f = a0f2 = P.(a0u2) = P u v(cid:244)øi P, u thoaß æie(cid:224)u kie(cid:228)n æ(cid:242)nh l(cid:237).

(iii) H(cid:244)n n(cid:246)ıa, ta cuıng coø the(cid:229) giaß s(cid:246)ß: P (0) = a = 1

Tha(cid:228)t va(cid:228)y, giaß s(cid:246)ß: a 6= 1. Do a 6= 0 (nh(cid:246) ch(cid:246)øng minh (cid:244)ß pha(cid:224)n (ii) ) ne(cid:226)n to(cid:224)n ta(cid:239)i a −1 ∈ Cp. (cid:209)aºt:

P0 = a−1P, u0 = au, ta coø: P0(0) = a−1P (0) = a−1a = 1.

Giaß s(cid:246)ß æ(cid:242)nh l(cid:237) æaı ch(cid:246)øng minh æuøng cho P , t(cid:246)øc lał: f = P u v(cid:244)øi P vał u thoaß caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) ( tr(cid:246)ł æie(cid:224)u kie(cid:228)n P (0) = 1) th(cid:236): f = P u = (a−1P )(au) = P0u0 v(cid:244)øi P0, u0 thoaß caøc æie(cid:224)u kie(cid:228)n cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) vał P0(0) = 1.

(iv) Nh(cid:246) va(cid:228)y, theo caøc ch(cid:246)øng minh tre(cid:226)n, ta coø the(cid:229) ch(cid:246)øng minh æ(cid:242)nh l(cid:237) v(cid:244)øi

giaß thieÆt:

|f |r = 1, k(f, r) = 0, P (0) = 1, vał do æoø: K(f, r) = d

n=0 X

Giaß s(cid:246)ß: f = anzn, ta æaºt: P1(z) = anzn

Xn∈Z Ta coø: P1 lał r−extremal. Tha(cid:228)t va(cid:228)y: k(P1, r) = min{0 ≤ n ≤ d : |an|rn = |P1|r} = 0 (do k(f, r) = 0).

K(P1, r) = d = degP vał |P1|r = 1

n<0 X

n>0 X

|f − P1|r = | anzn + anzn| ≤ 1

? Ta seı ch(cid:246)øng minh: |f − P1|r < 1

n<0∨n>d ⇒ ∃m < 0 ∨ n > d : |am|rm = 1 = |f |r

Giaß s(cid:246)ß: |f − P1|r = 1, suy ra: max |an|rn = 1

∗ NeÆu m < 0 th(cid:236) 0 = k(f, r) ≤ m < 0−Vo(cid:226) l(cid:237).

∗ NeÆu m > d th(cid:236) d = K(f, r) ≥ m > d−Vo(cid:226) l(cid:237).

Va(cid:228)y:|f − P1|r < 1.

? Go(cid:239)i q1 vał R1 la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał th(cid:246)(cid:244)ng vał d(cid:246) cußa pheøp chia f cho P 1 do æ(cid:242)nh l(cid:237)

3.2, ta coø: f = P1q1 + R1

⇒ f − P1 = P1(q1 − 1) + R1

Do t(cid:237)nh duy nhaÆt cußa cußa pheøp chia Euclide ((cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) 3.2), ta coø: q 1 − 1 vał R1 la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał th(cid:246)(cid:244)ng vał d(cid:246) cußa pheøp chia f − P 1 cho P1. (cid:209)aºt: |f − P1|r = α, 0 < α < 1 Suy ra: |R1|r ≤ |f − P1|r = α < 1 Cuıng theo æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.2:

= α/1 = α |q1 − 1| ≤ |f − P1|r |P1|r

= 1/1 = 1 (3.10) |q1|r ≤ |f |r |P1|r

i = 1, 2, ..., n (v) Giaß s(cid:246)ß raŁng ta æaı xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c mo(cid:228)t daıy (Pi, Qi, Ri), V(cid:244)øi:

• Pi lał caøc æa th(cid:246)øc r − extremal ba(cid:228)c d, |Pi|r = 1. • Ri lał caøc æa th(cid:246)øc coø ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n d. • f = Piqi + Ri

Thoaß caøc baÆt æaœng th(cid:246)øc sau:

i = 1, 2, ..., n

i = 2, 3, ..., n

i = 2, 3, ..., n a) b) c) |Ri|r ≤ αi, |Pi − Pi−1|r ≤ αi−1, |qi − qi−1|r ≤ αi,

Theo ch(cid:246)øng minh (cid:244)ß (iv), caøc giaß thieÆt nały æuøng cho tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p n = 1.

Ta seı xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng daıy (P n+1, Qn+1, Rn+1) thoaß caøc giaß thieÆt (cid:244)ß tre(cid:226)n.

? (cid:209)aºt: Pn+1 = Pn + Rn ⇒ Pn+1, Pn coø cułng ba(cid:228)c lał d

vał: |Rn|r < 1 = |Pn|r ⇒ Rn|r 6= |Pn|r

⇒ |Pn+1|r = max{|Pn|r, |Rn|r} = max{1, α} = 1 ( do α < 1)

|Rn(0)| ≤ |Rn|r < 1 = |Pn|r = |Pn(0)|

? Ta seı ch(cid:246)øng minh P n+1 lał r − dominant. Tha(cid:228)t va(cid:228)y, giaß s(cid:246)ß R n coø ba(cid:228)c lał s (s < d), s

m=0 X

amzm, bmzm, Pn = Rn =

khi æoø:

m=0 X

Pn+1 = Pn + Rn = (am + bm)zm + alzl

Xl=s+1

⇒ 1 = |Pn+1|r = {|am + bm|rm, |al|rl} max 0≤m≤s, s+1≤l≤d

≤ {max{|am|rm, |bm|rm}, |al|rl} max 0≤m≤s, s+1≤l≤d

≤ |ad|rd

(Do: |ai|ri ≤ |Pn|r = |ad|rd, ∀i = 0, 1, ..., d |bm|rm ≤ |Rn|r = α, ∀m = 0, 1, ..., s)

⇒ K(Pn+1, r) = d = degPn+1

? T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) ta cuıng ch(cid:246)øng minh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c: k(P n+1, r) = 0

⇒ Pn+1 lał r − extremal.

? LaÆy qn+1 vał Rn+1 lał th(cid:246)(cid:244)ng vał d(cid:246) cußa pheøp chia f cho P n+1, khi æoø:

(Giaß thieÆt quy na(cid:239)p)

|Pn+1 − Pn|r = |Rn|r ≤ αn vał b) thoaß maın v(cid:244)øi i = n + 1.

? SaØp la(cid:239)i ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh:

Pnqn + Rn = f = Pn+1qn+1 + Rn+1 = (Pn + Rn)qn+1 + Rn+1

Ta nha(cid:228)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

(3.11) −Rnqn+1 = Pn(qn+1 − qn) + Rn+1 − Rn

(3.12) Rn(1 − qn+1) = Pn(qn+1 − qn) + Rn+1

⇒ qn+1−qn, Rn+1−Rn la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał th(cid:246)(cid:244)ng vał d(cid:246) cußa pheøp chia −R nqn+1 qn+1 − qn, Rn+1 la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał th(cid:246)(cid:244)ng vał d(cid:246) cußa pheøp chia cho Pn; Rn(1 − qn+1) cho Pn.

Do æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.2:

= 1 f = Pn+1qn+1 + Rn+1 ⇒ |qn+1|r ≤ |f |r |Pn+1|r

Vał:

≤ < 1 (1) ⇒ |qn+1 − qn|r ≤ αn.1 1 |Rn|r.|qn+1|r |Pn|r

H(cid:244)n n(cid:246)ıa:

|1 − qn+1|r = |(1 − q1) + (q1 − q2) + ... + (qn − qn+1)|r

≤ max{|1 − q1|r, |qi − qi+1|r, 1 ≤ i ≤ n} ≤ max{α, αi+1, 1 ≤ i ≤ n} = α

(Do α < 1).

T(cid:246)ł (3.12) suy ra:

= = αn+1 |qn+1 − qn|r ≤ αn.α 1 |Rn|r.|1 − qn+1|r |Pn|r

Vał:

|Rn+1|r ≤ |Rn|r|1 − qn+1|r = αn.α = αn+1

T(cid:246)øc lał c), a) thoaß maın v(cid:244)øi i = n + 1.

Ngh(cid:243)a lał ta æaı xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng xong daıy caøc bo(cid:226)(cid:239) 3 (P n, qn, Rn) thoaß caøc giaß thieÆt a), b), c).

(vi) Ch(cid:246)øng minh æ(cid:242)nh l(cid:237):

Rn = 0 ? Do a) lim n→∞ (cid:209)aºt:

Pn, qn P = lim n→∞ u = lim n→∞

LaÆy gi(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa bie(cid:229)u th(cid:246)øc : f n = Pnqn + Rn. Ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c: f = P q.

? V(cid:244)øi mo(cid:239)i n ∈ N, Pn lał r − extremal ba(cid:228)c d ne(cid:226)n P lał r − extremal ba(cid:228)c d. (V(cid:236) theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.4, ta(cid:228)p {Q, 0| Q lał æa th(cid:246)øc r − extremal ba(cid:228)c d} lał ta(cid:228)p æoøng).

? Do f = P q ne(cid:226)n theo æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.2, u lał th(cid:246)(cid:244)ng cußa pheøp chia f cho P

ne(cid:226)n: u ∈ A[r1, r2]. V(cid:236) d = K(f, r) − k(f, r) = K(P, r) + K(u, r) − (k(P, r) + k(u, r))

(me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.7).

= K(P, r) − k(P, r) + K(u, r) − k(u, r) = d − 0 + K(u, r) − k(u, r) ⇒ k(u, r) = K(u, r) (3.13)

(vii) Ch(cid:246)øng minh t(cid:237)nh duy nhaÆt:

P u

(Do (3.13)). Giaß s(cid:246)ß: P u = . Theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.5, u khaß ngh(cid:242)ch trong A[r 1, r2]

e u = (u−1 P P

P vał do æoø noø lał æa th(cid:246)øc. ⇒ P = u−1 ⇒ u−1 e e e Mał: degP = deg( e u) u lał th(cid:246)(cid:244)ng cußa pheøp chia P cho e P ) = d lał haŁng soÆ. u ⇒ u−1 e

Nh(cid:246)ng v(cid:236): P (0) = e P (0) = 1 ⇒ u−1 u = 1 ⇒ u = u

e P . ⇒ P = e e e e

3.4 Mo(cid:228)t soÆ (cid:246)øng du(cid:239)ng cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass

(cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) 3.4.1 (SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m): Cho f ∈ A[r1, r2]. NeÆu r1 ≤ ρ ≤ R ≤ r2 th(cid:236) f coø K(f, R) − k(f, ρ) kho(cid:226)ng æie(cid:229)m trong A[ρ, R] t(cid:237)nh caß bo(cid:228)i.

Ch(cid:246)øng minh:

• NeÆu f = 0 th(cid:236) f coø vo(cid:226) ha(cid:239)n kho(cid:226)ng æie(cid:229)m = K(f, R)−k(f, ρ) v(cid:236) K(f, R) = +∞

vał k(f, ρ) = −∞.

• NeÆu f 6= 0 th(cid:236) (cid:244)ß ch(cid:246)(cid:244)ng 2 ta æaı ch(cid:246)øng minh f ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n trong A[ρ, R], giaß s(cid:246)ß lał: s 1, s2, ..., sm v(cid:244)øi si < si+1, ∀i = 1, 2, ..., m − 1.

? V(cid:244)øi moªi r ∈ [ρ, R] vał r kho(cid:226)ng lał æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n:

Theo æ(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass f = P.u v(cid:244)øi P lał æa th(cid:246)øc ba(cid:228)c d. V(cid:244)øi d = K(f, r) − k(f, r) vał K(u, r) = k(u, r) ne(cid:226)n u khaß ngh(cid:242)ch trong A[r, r]. Do va(cid:228)y, trong A[r, r], soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa f , ke(cid:229) caß bo(cid:228)i baŁng v(cid:244)øi soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa P , t(cid:237)nh caß bo(cid:228)i. Theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.6, P coø æuøng d = K(f, r) − k(f, r) kho(cid:226)ng æie(cid:229)m ke(cid:229) caß bo(cid:228)i trong A[r, r]. Do va(cid:228)y: f coø æuøng d = K(f, r) − k(f, r) kho(cid:226)ng æie(cid:229)m ke(cid:229) caß bo(cid:228)i trong A[r, r]. V(cid:236) r kho(cid:226)ng lał æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n, t(cid:246)øc lał d = K(f, r) − k(f, r) = 0 ne(cid:226)n f kho(cid:226)ng coø kho(cid:226)ng æie(cid:229)m trong A[r, r], noøi caøch khaøc lał f kho(cid:226)ng coø kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r. Nh(cid:246) va(cid:228)y, kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa f (neÆu coø) phaßi coø chua(cid:229)n baŁng æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n.

? V(cid:244)øi moªi æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n si, i = 1, 2, ..., m:

La(cid:228)p lua(cid:228)n t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) nh(cid:246) tre(cid:226)n, f coø æuøng d i = K(f, si) − k(f, si) kho(cid:226)ng æie(cid:229)m ke(cid:229) caß bo(cid:228)i coø chua(cid:229)n baŁng s i. Va(cid:228)y: SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa f trong A[ρ, R] = SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa f coø chua(cid:229)n baŁng æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n s i, ∀i = 1, 2, ..., m vał baŁng:

(3.14) di = (K(f, si) − k(f, si))

X1≤i≤m X1≤i≤m

? Maºt khaøc, ta coø:

∗ NeÆu ρ = s1 th(cid:236) k(f, ρ) = k(f, s1), neÆu ρ < s1 th(cid:236) ρ kho(cid:226)ng phaßi lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n ne(cid:226)n: k(f, ρ) = K(f, ρ) mał theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9 K(f, ρ) = k(f, s1) ne(cid:226)n k(f, ρ) = k(f, s1). ∗ T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239), neÆu R = s m th(cid:236) K(f, R) = K(f, sm), neÆu R > sm th(cid:236) R kho(cid:226)ng phaßi lał baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n ne(cid:226)n: k(f, R) = K(f, R) mał theo me(cid:228)nh

æe(cid:224) 2.2.9 K(f, sm) = k(f, R) ne(cid:226)n K(f, sm) = K(f, R). Nh(cid:246) va(cid:228)y: k(f, ρ) = k(f, s1).

K(f, sm) = K(f, R).

Theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9 ta cuıng coø: K(f, s i) = k(f, si+1), ∀i = 1, 2, ..., m−1, T(cid:246)ł caøc æaœng th(cid:246)øc nały vał (3.14) ta coø: SoÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa f trong A[ρ, R] lał:

(K(f, si) − k(f, si)) = K(f, sm) − k(f, s1) = K(f, R) − k(f, ρ)

X1≤i≤m

(cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) 3.4.2: Cho f ∈ A[r1, r2], f 6= 0. Khi æoø f coø nhie(cid:224)u nhaÆt lał h(cid:246)ıu ha(cid:239)n kho(cid:226)ng æie(cid:229)m trong A[ρ, R].

Ch(cid:246)øng minh:

(cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) nały lał he(cid:228) quaß tr(cid:246)(cid:239)c tieÆp cußa æ(cid:242)nh l(cid:237) 3.4.1 khi ρ = r 1 vał R = r2. Tha(cid:228)t va(cid:228)y, soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa f trong A[r 1, r2] lał: K(f, r2) − k(f, r1), v(cid:236) f 6= 0 ne(cid:226)n K(f, r2) vał k(f, r1) æe(cid:224)u h(cid:246)ıu ha(cid:239)n, do va(cid:228)y hie(cid:228)u cußa chuøng lał h(cid:246)ıu ha(cid:239)n hay f coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n kho(cid:226)ng æie(cid:229)m trong A[ρ, R].

Mo(cid:228)t soÆ v(cid:237) du(cid:239): T(cid:237)nh soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic.

• Trong C2, cho f (z) = z2(z − 1)(z − 2)(z − 3) = z5 − 6z4 + 11z3 − 6z2.

Deª thaÆy f giaßi t(cid:237)ch tre(cid:226)n A[0, 1], hay: f ∈ A[0, 1]. |a0| = 0, |a1| = 0, |a2| = 1/2, |a3| = 1, |a4| = 1/2, |a5| = 1. K(f, 1) = 5, k(f, 0) = 0. Va(cid:228)y f coø K(f, 1) − k(f, 0) = 5 kho(cid:226)ng æie(cid:229)m trong A[0, 1].

? T(cid:237)nh cu(cid:239) the(cid:229), ta coø:

∗ r1 = 0 : k(f, r1) = 0, K(f, r1) = min{n : |an| 6= 0} = 2.

Ne(cid:226)n f coø K(f, r1) − k(f, r1) = 2 kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r 1.

∗ r2 = 1/2 : k(f, r2) = 2, K(f, r2) = 3.

Ne(cid:226)n f coø K(f, r2) − k(f, r2) = 1 kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r 2.

∗ r3 = 1 : k(f, r3) = 3, K(f, r3) = 5.

+∞

Ne(cid:226)n f coø K(f, r3) − k(f, r3) = 1 kho(cid:226)ng æie(cid:229)m coø chua(cid:229)n baŁng r 3.

n=1 X

n=−∞ X

3nzn + 3−nzn. • Trong C3, cho f (z) =

? ∀r ∈ [1/2, 1], ta coø:

∗ n > 0 :

1 2n 1 3n ≤ |an|rn ≤ 1 3n 1 2n ≤ rn ≤ 1 vał |an| = 3−n 1 2n 3−n ≤ |an|rn ≤ 3−n ⇒ ⇒ |an|rn = 0. ne(cid:226)n lim n→+∞

−n

∗ n < 0 : vał |an| = 3n

≥ rn ≥ 2 3 1 3 (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) ne(cid:226)n 1 2n ≥ rn ≥ 1 1 2n 3n ≥ |an|rn ≥ 3n ⇒ ⇒ |an|rn = 0. lim n→−∞ Va(cid:228)y f giaßi t(cid:237)ch tre(cid:226)n A[1/2, 1], hay: f ∈ A[1/2, 1].

? Deª thaÆy: K(f, 1/2) = k(f, 1/2) = −1.

Vał: K(f, 1) = 1, k(f, 1) = −1. Ne(cid:226)n f coø K(f, 1) − k(f, 1/2) = 2 kho(cid:226)ng æie(cid:229)m trong A[1/2, 1].

3.5 (cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Poisson−Jensen

(cid:209)(cid:242)nh l(cid:237) Poisson−Jensen: Cho f =

anzn ∈ A[r1, r2) vał kho(cid:226)ng phaßi

Xn∈Z lał hałm haŁng, v(cid:244)øi r2 < ∞.

Khi æoø: ∀r ∈ [r1, r2), ta coø:

NeÆu r1 > 0 th(cid:236) : N (f, 0, r) + k(f, r1)logr + log|ak(f,r1)| = log|f |r NeÆu r1 = 0 th(cid:236) : N (f, 0, r) + log|aK(f,0)| = log|f |r

Ch(cid:246)øng minh:

Theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.3, ch(cid:230) coø h(cid:246)ıu ha(cid:239)n æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n trong [r 1, r] neÆu r < r2.

? Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p r1 = 0, laÆy r0 lał æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n d(cid:246)(cid:244)ng nhoß nhaÆt

(3.15)

(3.16) Theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9, ta coø: K(f, 0) = k(f, r 0). V(cid:244)øi r : 0 < r ≤ r0, cuıng theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9: K(f, r) = k(f, r 0) Do va(cid:228)y: K(f, 0) = k(f, r) Mał: |f |r = |ak(f,r)|rk(f,r) ne(cid:226)n log|f |r = k(f, r)logr + log|ak(f,r)|)

Suy ra: N (f, 0, r) = K(f, 0)logr = k(f, r)logr (Do æ(cid:242)nh ngh(cid:243)a cußa N (f, 0, r) khi r 1 = 0). (do (3.15))

(do (3.16) (do (3.15) = log|f |r − log|ak(f,r)| = log|f |r − log|aK(f,0)|

? Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p r1 > 0, laÆy r0 lał æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n d(cid:246)(cid:244)ng nhoß nhaÆt mał r0 > r1

La(cid:228)p lua(cid:228)n t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) nh(cid:246) tre(cid:226)n, theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9: K(f, r 1) = k(f, r0) vał K(f, r) = k(f, r0). Ne(cid:226)n: (3.17) K(f, r1) = k(f, r)

Mał: |f |r = |ak(f,r)|rk(f,r)

vał : |aK(f,r1)|rK(f,r1) = |f |r1 = |ak(f,r1)|rk(f,r1)

Suy ra:

Do æoø:

log N (f, 0, r) = r |z| X06=z∈A[r1,r]:f(z)=0

log log + = r |z| r |z| X|z|=r1:f(z)=0

X|z|=r:f(z)=0 (V(cid:236) theo æ(cid:242)nh l(cid:237) Weierstrass, kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa f trong A[r 1, r]

(neÆu coø) phaßi coø chua(cid:229)n baŁng r 1 hoaºc r) (3.19)

+ [K(f, r) − k(f, r)]log = [K(f, r1) − k(f, r1)]log r r r r1

= log1 = 0) = [K(f, r1) − k(f, r1)](logr − logr1) (Do log r r

= K(f, r1)logr − k(f, r1)logr − K(f, r1)logr1 + k(f, r1)logr1

= k(f, r)logr − k(f, r1)logr − K(f, r1)logr1 + k(f, r1)logr1

(Do (3.17))

= (log|f |r − log|ak(f,r)|) − k(f, r1)logr − (log|f |r1 − log|aK(f,r1)|)

+(log|f |r1 − log|ak(f,r1)|)

(Do (3.18))

(Do (3.17)).

= log|f |r − k(f, r1)logr − log|ak(f,r1)|

⇒ N (f, 0, r) + k(f, r1)logr + log|ak(f,r1)| = log|f |r

Nh(cid:246) va(cid:228)y, trong caß hai tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p, ta æaı ch(cid:246)øng minh æ(cid:242)nh l(cid:237) æuøng cho mo(cid:239)i r ∈ [r1, r0] v(cid:244)øi r0 lał æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n æa(cid:224)u tie(cid:226)n l(cid:244)øn h(cid:244)n r 1, ngh(cid:243)a lał æuøng cho

mo(cid:239)i r naŁm trong æoa(cid:239)n t(cid:246)ł r 1 æeÆn æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n æa(cid:224)u tie(cid:226)n l(cid:244)øn h(cid:244)n r 1. Ba(cid:226)y gi(cid:244)ł, chuøng ta ch(cid:230) ca(cid:224)n kie(cid:229)m tra raŁng coø the(cid:229) v(cid:246)(cid:244)(cid:239)t qua moªi æie(cid:229)m gi(cid:244)øi ha(cid:239)n.

Giaß s(cid:246)ß r 0 lał mo(cid:228)t æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n, vał giaß s(cid:246)ß lał æ(cid:242)nh l(cid:237) æuøng cho mo(cid:239)i r ≤ r 0. LaÆy r” lał æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n nhoß nhaÆt mał cołn l(cid:244)øn h(cid:244)n r 0. V(cid:236) f ch(cid:230) coø nhie(cid:224)u nhaÆt h(cid:246)ıu ha(cid:239)n æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n naŁm trong æoa(cid:239)n t(cid:246)ł r 1 æeÆn baÆt k(cid:236) soÆ r mał r < r 2, do æoø ta ch(cid:230) ca(cid:224)n ch(cid:246)øng minh æ(cid:242)nh l(cid:237) vaªn æuøng cho mo(cid:239)i r ≤ r”, vał do æoø æ(cid:242)nh l(cid:237) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ch(cid:246)øng minh baŁng quy na(cid:239)p. Tha(cid:228)t va(cid:228)y, t(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) nh(cid:246) ch(cid:246)øng minh (cid:244)ß (3.19), kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa f (neÆu coø) phaßi coø chua(cid:229)n baŁng r 1(neÆu r1 lał mo(cid:228)t baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n), hoaºc baŁng r 0 hoaºc baŁng r (neÆu r = r 00) ne(cid:226)n:

N (f, 0, r) = log r |z|

+ log (V(cid:236): log = 0) = log X06=z∈A[r1,r]:f(z)=0 r |z| r |z| r r X|z|=r1:f(z)=0

+ [K(f, r0) − k(f, r0)]log = [K(f, r1) − k(f, r1)]log r r0 X|z|=r0:f(z)=0 r r1

Nh(cid:246)ng v(cid:236): r 1 < r0 < r ≤ r00 ne(cid:226)n theo me(cid:228)nh æe(cid:224) 2.2.9, ta coø: (3.20) K(f, r0) = k(f, r) vał K(f, r1) = k(f, r0) H(cid:244)n n(cid:246)ıa:

= |ak(f,r1)|rk(f,r1) |f |r1 = |aK(f,r1)|rK(f,r1)

)

vał:

) = |ak(f,r0)|(r0)k(f,r

(3.21) |f |r0 = |aK(f,r0)|(r0)K(f,r

Ne(cid:226)n ta coø:

N (f, 0, r) = K(f, r1)logr−K(f, r1)logr1−k(f, r1)logr+k(f, r1)logr1

+K(f, r0)logr − K(f, r0)logr0 − k(f, r0)logr + k(f, r0)logr0 = k(f, r0)logr − K(f, r1)logr1 − k(f, r1)logr + k(f, r1)logr1 +k(f, r)logr − K(f, r0)logr0 − k(f, r0)logr + k(f, r0)logr0

(Do (3.20))

= k(f, r0)logr − log|f |r1 + log|aK(f,r1)| − k(f, r1)logr

+log|f |r1 − log|ak(f,r1)| + log|f |r − log|ak(f,r)|

(Do (3.21))

= log|aK(f,r1)| − k(f, r1)logr − log|ak(f,r1)|

+log|f |r − log|ak(f,r)| + log|aK(f,r0)| − log|ak(f,r0 )|

= log|ak(f,r0 )| − k(f, r1)logr − log|ak(f,r1)|

+log|f |r − log|ak(f,r)| + log|ak(f,r)| − log|ak(f,r0)|

(Do (3.20)).

= log|f |r − k(f, r1)logr − log|ak(f,r1)|

KE`T LUA˜N

Lua(cid:228)n vaŒn æaı la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tr(cid:236)nh bały nh(cid:246)ıng vaÆn æe(cid:224) c(cid:244) baßn cußa vie(cid:228)c xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng tr(cid:246)(cid:244)łng soÆ ph(cid:246)øc p-adic æe(cid:229) sau æoø æi xa(cid:226)y d(cid:246)(cid:239)ng chuoªi Laurent p-adic vał t(cid:236)m hie(cid:229)u caøc t(cid:237)nh chaÆt quan tro(cid:239)ng cußa noø. TieÆp æoø æi ch(cid:246)øng minh mo(cid:228)t soÆ æ(cid:242)nh l(cid:237) quan tro(cid:239)ng cußa chuoªi Laurent p-adic vał cuoÆi cułng lał mo(cid:228)t soÆ (cid:246)øng du(cid:239)ng cußa chuøng.

Nh(cid:246) va(cid:228)y, ta bieÆt raŁng mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic baÆt k(cid:236) ch(cid:230) coø kho(cid:226)ng æie(cid:229)m ta(cid:239)i æie(cid:229)m t(cid:244)øi ha(cid:239)n ( t(cid:246)øc lał noø ch(cid:230) coø kho(cid:226)ng æie(cid:229)m v(cid:244)øi chua(cid:229)n baŁng v(cid:244)øi baøn k(cid:237)nh t(cid:244)øi ha(cid:239)n), h(cid:244)n theÆ coø the(cid:229) t(cid:237)nh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c soÆ kho(cid:226)ng æie(cid:229)m cußa mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic tho(cid:226)ng qua ch(cid:230) soÆ toÆi æa(cid:239)i vał ch(cid:230) soÆ toÆi tie(cid:229)u cußa noø; ta(cid:239)i moªi baøn k(cid:237)nh ho(cid:228)i tu(cid:239), coø the(cid:229) æem mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic chia cho mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc, th(cid:246)(cid:244)ng vał d(cid:246) (thoßa mo(cid:228)t soÆ rałng buo(cid:228)c) lał duy nhaÆt, h(cid:244)n n(cid:246)ıa th(cid:246)(cid:244)ng lał mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic vał d(cid:246) lał mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc coø ba(cid:228)c nhoß h(cid:244)n æa th(cid:246)øc chia; cuıng ta(cid:239)i moªi baøn k(cid:237)nh ho(cid:228)i tu(cid:239), coø the(cid:229) æem pha(cid:226)n t(cid:237)ch mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic thałnh t(cid:237)ch cußa mo(cid:228)t æa th(cid:246)øc r − extremal vał mo(cid:228)t chuoªi Laurent p-adic khaß ngh(cid:242)ch ta(cid:239)i baøn k(cid:237)nh æoø, ...

Ngoałi ra, ta æaı bieÆt lał giaßi t(cid:237)ch p-adic coø nh(cid:246)ıng moÆi lie(cid:226)n quan sa(cid:226)u saØc v(cid:244)øi nh(cid:246)ıng vaÆn æe(cid:224) l(cid:244)øn cußa soÆ ho(cid:239)c vał h(cid:236)nh ho(cid:239)c æa(cid:239)i soÆ, va(cid:228)y l(cid:237) thuyeÆt ve(cid:224) chuoªi Laurent p-adic æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c (cid:246)øng du(cid:239)ng nh(cid:246) theÆ nało trong nh(cid:246)ıng l(cid:243)nh v(cid:246)(cid:239)c nały?

(cid:209)a(cid:226)y lał vaÆn æe(cid:224) mał to(cid:226)i seı tieÆp tu(cid:239)c nghie(cid:226)n c(cid:246)øu trong th(cid:244)łi gian saØp t(cid:244)øi.

TA(cid:216)I LIE˜U THAM KHA(cid:219)O

[1] Neal Koblitz ( 1977 ), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions,

Graduate Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag.

[2] P.C.Hu and C.C.Yang ( 2000 ), Meromorphic functions over non -

Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers, London.

[3] William Cherry and Julie Tzu-Yueh Wang (2000), Non-Archimedean An- lytic Maps to Algebraic Curves, Value Distribution Theory and Complex Dynamics, Contemporary Math,( 303 ), American Mathematical Society , pp.7-35.

[4] William Cherry (2009), Lecture on Non-Archimedean Function Theory Advanced School on p-adic Analysis and Applications, The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics,Trieste, Italy.

[5] Y.Amice (1975), Lesnombres p-dic, Presses Universitaires de France,

France.

Luận văn Thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Chuỗi Laurent P-adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Nguyên Thanh Hà

CHUỖI LAURENT P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS Mỵ Vinh Quang

L(cid:212)(cid:216)I CA(cid:219)M (cid:212)N

MO˜T SO` K˝ HIE˜U

MUˇC LUˇC

M(cid:212)(cid:219) (cid:209)A(cid:192)U

Ch(cid:246)(cid:244)ng 1

KIE`N TH(cid:214)(cid:217)C CHUA¯N B(cid:210)

Ch(cid:246)(cid:244)ng 2

XA´Y D(cid:214)ˇNG CHUOˆI LAURENT P-ADIC

Ch(cid:246)(cid:244)ng 3

CA(cid:217)C (cid:209)(cid:210)NH L˝ QUAN TROˇNG

KE`T LUA˜N

TA(cid:216)I LIE˜U THAM KHA(cid:219)O

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉ số chính quy của vành con Veronese

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu về cơ sở Grobner và ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về môđun bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số đặc trưng mới của môđun và vành nửa hoàn chỉnh

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về V-vành mà môđun nội xạ đơn

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Noether của đại số đường Leavitt

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về mở rộng của nửa môđun

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Groebner của môđun con

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về đồng điều của nửa môđun

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian căn nghiệm và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân sai Kahler của tập hữu hạn điểm trong PnxPm

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lập trình tính cơ sở Groerbner của Iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành Zm(x1,...,xn)

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về môđun và vành N-nội xạ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mối quan hệ giữa chỉ số chính quy và hệ số Hilbert

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chặn cho hệ số Hilbert và tính hữu hạn của hàm Hilbert

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Groebner của iđêan các đa thức triệt tiêu trong vành đa thức Zn(x1,...,xn)

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất cơ sở bất biến cho đại số đường Cohn

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm Sandpile của đồ thị

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉ số chính quy của một số tập điểm béo

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube