Luận văn Thạc sĩ: Đa thức hoán vị được

Luận văn này nghiên cứu về các đa thức hoán vị được, là những đa thức tạo ra một song ánh trên các vành hoặc trường hữu hạn. Nội dung chính là mở rộng và đặc trưng hóa các điều kiện để một đa thức trở thành hoán vị được, đặc biệt là trong các trường hợp modulo lũy thừa của 2.

Luận văn này hướng đến các đối tượng là sinh viên cao học, nghiên cứu sinh và các nhà khoa học trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là những người quan tâm đến đại số trừu tượng, lý thuyết trường hữu hạn, lý thuyết vành và lý thuyết đa thức.

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Đa thức hoán vị được" của tác giả Vương Thị Yến tập trung vào việc nghiên cứu các đặc tính và tiêu chuẩn của đa thức hoán vị được trên các cấu trúc đại số hữu hạn. Công trình này được xây dựng dựa trên những kết quả nghiên cứu trước đó của các nhà khoa học như R.A. Mollin, C. Small và R. Rivest. Luận văn được tổ chức thành hai chương chính. Chương 1, mang tên "Kiến thức chuẩn bị", cung cấp các khái niệm nền tảng từ đại số trừu tượng, bao gồm lý thuyết nhóm, vành, trường và đa thức. Đây là những kiến thức cơ bản và thiết yếu để làm nền tảng cho việc chứng minh các kết quả chính ở chương sau. Chương 2, "Đa thức hoán vị được", đi sâu vào chủ đề chính của luận văn. Chương này bắt đầu với việc định nghĩa và đưa ra các ví dụ minh họa về đa thức hoán vị được. Tiếp theo, luận văn trình bày các tiêu chuẩn để một đa thức có dạng x^n (Định lí 2.1.7) hoặc x^k + bx^j + c (với k > j ≥ 1) (Định lí 2.2.1) trở thành đa thức hoán vị được trên một trường hữu hạn. Một phần quan trọng của chương này dành cho việc nghiên cứu đa thức hoán vị được với hệ số nguyên theo modulo 2^k, đưa ra một điều kiện cần và đủ cho các đa thức dạng này (Định lí 2.3.10). Mục tiêu của nghiên cứu là khái quát hóa và đặc trưng hóa các điều kiện để đa thức thực hiện phép hoán vị trên các tập hữu hạn, góp phần vào lĩnh vực đại số hữu hạn.