Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy Toán ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Diệp Văn An Lạc

MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP SỐ NHÂN TRONG DẠY TOÁN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Diệp Văn An Lạc MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP SỐ NHÂN TRONG DẠY TOÁN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Vũ Như Thư Hương,

người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến,

TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng

dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức về Didactic Toán.

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường ĐHSP

TP. HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.

- Ban Giám Hiệu và các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Thủ Thiêm đã tạo

mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường ĐHSP TP.HCM.

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic Toán khóa 21,

những người đã cùng tôi học tập, chia sẻ vui buồn và những khó khăn trong khóa

học.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong

gia đình tôi, luôn khuyên, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.

DIỆP VĂN AN LẠC

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1

I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ................................................................. 1

II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu ....................................... 1

III. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 3

IV. Cấu trúc của luận văn ........................................................................................ 4

CHƯƠNG 1: CẤP SỐ NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC ............................................... 6

1.1. Khái niệm cấp số nhân ..................................................................................... 7

1.2. Kết luận .......................................................................................................... 12

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP SỐ NHÂN ..... 14

2.1. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 .................. 15

2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M1 ............................................................. 15

2.1.2. Các tổ chức toán học ................................................................................ 23

2.1.3. Kết luận .................................................................................................... 30

2.2. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 hiện hành (từ năm 2007) ....................... 32

2.2.1. Cấp số nhân trong bộ sách Nâng Cao ...................................................... 32

2.2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M2 ...................................................... 32

2.2.1.2. Các tổ chức toán học ......................................................................... 38

2.2.1.3. Kết luận ............................................................................................. 53

2.2.2. Cấp số nhân trong bộ sách Cơ Bản .......................................................... 55

2.2.2.1. Khái niệm cấp số nhân trong M3 ...................................................... 56

2.2.2.2. Các tổ chức toán học ......................................................................... 57

2.2.2.3. Kết luận ............................................................................................. 64

2.2.3. Kết luận .................................................................................................... 66

2.3. So sánh cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí

hợp nhất năm 2000 và trong chương trình toán lớp 11 hiện hành ........................ 68

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ...................................................... 72

3.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .............................................................. 72

3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm ................................... 73

3.2.1. Xây dựng bài toán thực nghiệm ............................................................... 73

3.2.2. Phân tích chi tiết bài toán thực nghiệm ................................................... 75

3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm............................. 84

3.4. Kết luận .......................................................................................................... 90

KẾT LUẬN ............................................................................................................... 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân

trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 .............................. 31

Bảng 2.2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân

trong bộ sách Nâng Cao ........................................................................ 54

Bảng 2.3: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân

trong bộ sách Cơ Bản ............................................................................ 65

Bảng 3.1: Thống kê bài làm bài tập 1 của các học sinh ......................................... 84

Bảng 3.2: Thống kê bài làm bài tập 2 của các học sinh .................................... 87-88

1

MỞ ĐẦU

I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Hàm số là một đối tượng chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trung

học cơ sở và trung học phổ thông. Ở bậc trung học phổ thông, chương trình toán lớp

11 hiện hành giới thiệu cho học sinh một loại hàm số mới, đó là dãy số. Thực tế

giảng dạy cho thấy gắn liền với đối tượng dãy số, học sinh luôn được giới thiệu về

đối tượng cấp số nhân. Vậy khái niệm cấp số nhân được định nghĩa như thế nào?

Nó được giới thiệu cho học sinh ra sao?

Những thắc mắc trên đã thúc đẩy chúng tôi chọn chủ đề: “Một nghiên cứu về

cấp số nhân trong dạy Toán ở trung học phổ thông” với những câu hỏi xuất phát

như sau:

- Cấp số nhân được đưa vào chương trình toán trung học phổ thông hiện hành

như thế nào? Có sự tiến triển gì so với cách trình bày cấp số nhân trong chương

trình toán trung học phổ thông chỉnh lí hợp nhất năm 2000?

- Cách trình bày của sách toán lớp 11 hiện hành có ảnh hưởng gì đến học sinh

khi học khái niệm cấp số nhân?

- Các vấn đề liên quan đến khái niệm cấp số nhân ở chương trình toán trung

học phổ thông được trình bày như thế nào ở bậc đại học?

II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic Toán. Cụ thể, chúng

tôi sẽ vận dụng Hợp đồng didactic và Lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm

như: mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O, mối quan hệ thể chế với đối

tượng tri thức O, tổ chức toán học.

2

 Hợp đồng didactic

Hợp đồng didactic là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn

của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy. Sự

mô hình hóa này do nhà nghiên cứu lập ra.

Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách

nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy.

Hợp đồng didactic là một công cụ nghiên cứu thực tế dạy học và sai lầm của

học sinh.

 Mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O

Kí hiệu R(X,O)

Mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà X có thể duy trì đối với O: nghĩ về O, thao tác O, có biểu tượng về O,…

Mối quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà

X biết O.

 Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O

Kí hiệu R(I,O)

Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà I có thể duy trì đối với O: nói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O,…

Mối quan hệ thể chế với đối tượng O là một ràng buộc (thể chế) đối với mối

quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O này, khi cá nhân là chủ thể của thể

chế I. Mối quan hệ thể chế đó (với đối tượng O) phụ thuộc vào vị trí p mà cá nhân

chiếm trong thể chế I.

 Tổ chức praxeólogie

Thuyết nhân học của Didactic xem mỗi hoạt động của con người như là việc

thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu T nào đó, nhờ vào một kĩ thuật , được giải

thích bởi một công nghệ θ. Đồng thời, công nghệ này cho phép xác định kĩ thuật,

3

thậm chí tạo ra nó, và đến lượt mình, công nghệ lại giải thích được nhờ vào lí thuyết

.

Tổ chức praxeólogie là bộ gồm bốn thành phần [T,,θ,], trong đó khối [T,]

là khối kĩ thuật, khối [θ,] là khối lí thuyết.

Tổ chức praxeólogie được hình thành từ kiểu nhiệm vụ T. Khi T là kiểu nhiệm

vụ của toán học thì praxeólogie gắn liền với nó là praxeólogie toán học (hay tổ chức

toán học)

Các praxeólogie là công cụ nghiên cứu R(I, O), nghiên cứu thực tế dạy học.

Trong khuôn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi xin

trình bày lại dưới đây các câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời

chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:

- Q0: Ở cấp độ đại học, khái niệm cấp số nhân được trình bày như thế nào?

- Q1: Trong thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, mối

quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân được xây dựng và tiến triển như thế nào?

Những tổ chức toán học nào được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân?

- Q2: Trong thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành, mối quan hệ thể chế với

đối tượng cấp số nhân được xây dựng và tiến triển như thế nào? Những tổ chức toán

học nào được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân? Cách trình bày cấp số nhân

trong chương trình toán lớp 11 hiện hành có sự tiến triển gì so với cách trình bày

cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000?

- Q3: Những ràng buộc của thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành có ảnh

hưởng gì đến mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng cấp số nhân?

Đầu tiên, chúng tôi sẽ phân tích giáo trình toán ở đại học để tìm hiểu cách trình

III. Phương pháp nghiên cứu

bày một số vấn đề liên quan đến khái niệm cấp số nhân ở cấp độ đại học. Kết quả

thu được sẽ giúp chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q0.

4

Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách bài tập Đại số

và Giải tích 11, tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 để

làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với đối

tượng cấp số nhân. Từ kết quả phân tích được, chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời

câu hỏi Q1. Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo

viên Đại số và Giải tích 11 hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán

lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp số nhân. Qua đó chúng tôi tìm yếu tố cho phép

trả lời câu hỏi Q2. Tổng hợp các kết quả thu được, chúng tôi đưa ra giả thuyết

nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết

đó.

Việc kiểm chứng được tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sẽ giúp chúng tôi

tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3.

IV. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm năm phần: phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần

kết luận.

- Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát,

phạm vi lí thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu

trúc của luận văn.

- Trong chương 1, chúng tôi trình bày một nghiên cứu về cấp số nhân ở cấp độ

đại học.

- Trong chương 2, chúng tôi tiến hành nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với

đối tượng cấp số nhân. Dựa vào kết quả thu được, chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết

nghiên cứu.

- Trong chương 3, chúng tôi trình bày nghiên cứu thực nghiệm trên học sinh

lớp 11 để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đưa

ra.

5

- Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được và nêu hướng

nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này.

6

CHƯƠNG 1:

CẤP SỐ NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC

Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về đối tượng cấp số nhân ở

cấp độ đại học. Chúng tôi chọn hai giáo trình sau để làm tài liệu nghiên cứu:

- Giáo trình Giải tích 1 (Jean – Marie Monier, 2009, người dịch: Lý Hoàng Tú).

- Giáo trình Giải tích 3 (Jean – Marie Monier, 2002, người dịch: Nguyễn Văn

Thường).

Đây là những giáo trình nằm trong bộ giáo trình Toán gồm bảy tập của tác giả.

Trong hai giáo trình nêu trên thì định nghĩa cấp số nhân được trình bày ở giáo trình

Giải tích 1. Sở dĩ chúng tôi chọn các tài liệu này vì đây là những giáo trình có ý

[…] Tôi đã nói về vai trò cơ bản mà một cuốn giáo trình, được sử dụng trong một thời gian dài như một công cụ tra cứu, có thể có trong việc hình thành một trí tuệ khoa học trẻ trung. Như vậy cấu trúc, cách biên soạn và trình bày một cuốn giáo trình là những yếu tố cơ bản: ở đây chúng ta chỉ được phép tạo ra một cái gì hoàn hảo. Đó chính là công việc mà J-M. Monier đã hoàn thành, với một trình độ hiểu biết, một cách lựa chọn và sự kiên trì tuyệt vời, từ bản thảo đầu tiên tới những công việc sửa chữa cuối cùng, tới từng chi tiết, trước khi hoàn chỉnh. Các tập sách này đáp ứng đúng một nhu cầu thực sự hiện có, và tôi tin chắc rằng chúng sẽ được đón chào nồng nhiệt từ đối tượng của chúng là các sinh viên – và chắc chắn là cả những người khác nữa – những người sau này sẽ nói rằng: “Tôi đã học được nền tảng Toán học trong các cuốn Monier!” (trích “Lời tựa” trong giáo trình Giải tích 1)

nghĩa trong việc tra cứu, như lời của Giáo sư H.Durand đã dành cho tài liệu:

Do việc tìm kiếm giáo trình đại học có trình bày cấp số nhân gặp nhiều khó khăn

nên chúng tôi không có thêm tài liệu khác để phục vụ cho quá trình nghiên cứu.

Điều này có thể sẽ làm cho nghiên cứu trong chương có hạn chế nhất định.

Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi kí hiệu giáo trình Giải tích 1 là M01,

giáo trình Giải tích 3 là M03.

7

1.1. Khái niệm cấp số nhân

Khái niệm cấp số nhân được đưa vào M01 ở chương 3: “Dãy số”. Cụ thể, khái

niệm cấp số nhân bắt đầu xuất hiện ở mục “3.1.4 Các ví dụ sơ cấp về dãy”. Ghi

nhận này cho thấy việc xuất hiện của cấp số nhân ở M01 như là một ví dụ đặc biệt

về dãy số.

, ta thường ký hiệu ( u

.

∈ hay

≥ hay ( 0

)n n N

)n nu (

)n nu

Một dãy (số) là một ánh xạ từ N vào K (K = R hoặc C); thay cho ký hiệu u N : n

K→ u n ( ) 

Một dãy thực (tương ứng: phức) là một dãy (số) sao cho:

∀ ∈

∈ (tương ứng: C).

n N u

R

,

n

Với mỗi n N∈ , un được gọi là số hạng thứ n của dãy.

∈

≥

n N n

;

K∈ cố định cũng gọi là một dãy (số);

}0 n

vào K, với 0n

Mỗi ánh xạ từ { phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các un <> (M01, tr. 49)

Định nghĩa dãy số được trình bày ở M01 như sau:

∈

≥

n N n

;

Như vậy, dãy (số) là một ánh xạ với tập nguồn là tập các số tự nhiên N hoặc tập

{

}0 n

với n0 cố định và tập đích K là tập các số thực ( K R= ) hoặc tập

). Khi các số hạng của dãy đều là số thực thì ta có dãy thực, khi các số phức ( K C=

các số hạng của dãy đều là số phức thì ta có dãy phức. Để thay cho việc sử dụng kí

∈ ,

)n nu

)n n N

)n nu (

≥ và ( 0

u N : n

K→ ( ) u n 

hiệu . Chúng tôi , M01 đã đưa ra các kí hiệu: ( u

nhận thấy những kí hiệu này có thể làm mờ nhạt bản chất ánh xạ của dãy số. Chỉ số

n trong mỗi số hạng un cho ta biết thứ tự của số hạng này trong dãy, chẳng hạn: u0

∈

≥

vào K, với

n N n

;

K∈ cố định cũng gọi là một dãy (số)

}0 n

0n

Mỗi ánh xạ từ { (M01, tr. 49)

là số hạng thứ 0 của dãy, u1 là số hạng thứ 1 của dãy,… Trong trường hợp:

thì thứ tự của số hạng trong dãy được hiểu như thế nào? Phải chăng ở trường hợp

0nu vẫn được gọi là số hạng thứ n0? (Chẳng hạn nếu n0 = 5 thì u5 được gọi là

này,

số hạng thứ 5).

8

∈ , chúng tôi nhận thấy trong định nghĩa

)n n N

∈

≥

Nhận xét: Dựa vào định nghĩa dãy ( u

n N n

;

K∈ cố định cũng gọi là một dãy

}0 n

0n

vào K, với “Mỗi ánh xạ từ {

K∈ cố định” chưa chính xác. Theo chúng tôi, lẽ ra sẽ là

0n

N∈ cố định”. Có thể đây là sự nhầm lẫn trong việc in ấn.

(số)” có chi tiết “với

“với 0n

Sau khi đề cập đến các vấn đề liên quan đến sự hội tụ của dãy, M01 đã đưa ra

năm ví dụ sơ cấp về dãy. Cấp số nhân là một trong các ví dụ đó:

2) Dãy nhân

 Định nghĩa Một dãy ( u

∈ trong K được gọi là dãy nhân (hoặc cấp số nhân)

)n n N

nếu và chỉ nếu tồn tại r K∈ sao cho:

∀ ∈

=

.

n N u

,

ru

n

n

+ 1

∀ ∈

Phần tử r (được xác định duy nhất), trừ khi (

= ) được gọi là công bội

n N u

,

0

n

của dãy nhân (un)n.

n

∀ ∈

=

Khi đó ta có:

n N u

,

(M01, tr. 60)

n

u r 0

Như vậy, cấp số nhân là tên gọi khác của dãy nhân ở cấp độ đại học. Cấp số

nhân là một dãy đặc biệt, được định nghĩa ứng với tập nguồn N (tức là chỉ số n ≥ 0)

và cho cả hai trường hợp của tập đích: K C= hay K R= . Công bội r của cấp số

nhân có thể là số thực không đổi hoặc số phức không đổi. Không có ràng buộc nào

đối với công bội r. Nó thường được xác định duy nhất, chỉ khi cấp số nhân là dãy

∀ ∈ n N

u (

∈ có

nu = , 0

)n n N

∀ ∈

=

thì công bội không duy nhất. Hệ thức

n N u

,

ru

n

n

+ 1

n

∀ ∈

=

biểu thị mối liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội r của

n N u

,

∈ . Trong khi đó hệ thức

u r 0

n

)n n N

cho ta mối liên hệ cấp số nhân ( u

giữa các đại lượng: số hạng u0, số hạng bất kì un, chỉ số n và công bội r.

)n

r

∈ được trình bày ngay sau định n N

Một mệnh đề liên quan đến cấp số nhân (

r

)n

r < hay 1

 Mệnh đề Cho r K∈ ; dãy nhân (

1r = .

∈ hội tụ khi và chỉ khi n N

n

Hơn nữa: 

r

< ⇒ → 0

1

r

∞ n

nghĩa cấp số nhân:

9

n



r

r

]1;

[

∈ +∞ ⇒ → + ∞ (M01, tr. 60) ∞ n

n

=

r

→ tức là 0 0

∞ n

lim n r →+∞ n

<

)

]1;

x R

[

: 1

{ +∞ = ∈

} x

(ghi chú: theo M01 thì:

)n

r

∈ ứng với n N

Mệnh đề cho ta kết quả về sự hội tụ, giới hạn của cấp số nhân (

r < , 1

r < thì cấp số nhân

1

1r = và

1r > . Theo đó, khi

r

)n

(

r

)n

1r > thì cấp số nhân (

∈ tiến tới +∞ . n N

∈ hội tụ đến 0, khi n N

các trường hợp của r:

Sau khi trình bày năm ví dụ sơ cấp về dãy, M01 đã đưa ra 19 bài tập. Có thể vì

)n

r

cấp số nhân chỉ là một ví dụ sơ cấp về dãy nên nó hiếm có cơ hội xuất hiện trong

n

các bài tập. Có hai bài tập có sự xuất hiện của cấp số nhân ( :

3.1.13 Khảo sát (sự hội tụ, giới hạn nếu có) các dãy xác định bởi:

1

b)

(M01, tr. 63, 64)

*

=

+

,

n N u

u

+ 1

n

2 n

1 n

2

= u 1   ∀ ∈  

1

n

k

2

l

∀ ∈

∀ ∈

+

3.1.15 a) Chứng minh:

n N

z C

z

z

,

,

1

+ − n 12 = ∑

∏

(

)

=

=

0

l

0

k

n

k

+

=

b) Suy ra, với mọi z C∈ sao cho

z < : 1

(M01, tr. 64)

1

z

∏

(

)2

lim ∞ n

1 −

1

z

=

0

k

Phần chỉ dẫn và trả lời cho bài tập 3.1.13b và 3.1.15b được trình bày như sau:

3.1.13

=

+

u

2 n

2 − 1 n

1 − 1 n

2

b)

u

⇒ = + + + 1

...

= − 2

2 n

1 − 1 n

1 − 1 n

1 2

2

2

=

+

2 2

2 u 1

1 2

 u       u 

Trả lời:

u

2

→ (M01, tr. 266)

n

∞ n

3.1.15

10

+ 1

n

+ 1

n

−

2

1

2

1

l

=

b)

(M01, tr. 267)

z

∑

→ ∞ n

z −

1 −

− 1

1

z

z

=

0

l

)n

r

≠ ) đã xuất hiện một cách ngầm ẩn:

Qua phần chỉ dẫn và trả lời trên, công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số

r C r∈

,

1

∈ (với n N

n

n

− 1

k

=

r

∑

− 1 − 1

r r

=

k

0

nhân (

u (

∈ không được đề cập đến.

)n n N

Tuy nhiên, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân tổng quát

Tiếp đó, khi đề cập đến “dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi”, M01 đã

cho thấy sự liên hệ giữa cấp số nhân với dãy này:

3.4.1 Dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi

2

thỏa mãn:

( , )a b K∈

Đó là các dãy ( u

∈ trong K sao cho tồn tại

)n n N

∀ ∈

=

n N u

,

au

+ b

n

n

+ 1

Kλ∈ (sẽ chọn

1a ≠ . Cho

∀ ∈

=

Nếu sau) và dãy (

∈ xác định bởi:

v )n n N

1a = , thì đó là dãy cộng (xem 3.1.4 1). Giải sử + u λ n

n N v , n

λ

∀ ∈

=

+

=

Ta có:

λ + +

u

au

b

+ 1

+ 1

, n n N v

n

n

=

−

λ

=

+

−

+

λ )

+ + b

((1

a

λ )

b

)

a v ( n

av n

λ=

Khi chọn

, ta thấy (

∈ là một dãy nhân với công bội a . Vậy:

v )n n N

b −

a

1

∀ ∈

=

,

n N v n

n a v 0

n

∀ ∈

=

+

−

Từ đó:

,

n N u

a

u

(M01, tr. 74, 75)

n

0

b −

b −

1

1

a

a

  

  

∀ ∈

=

+ (với

1a ≠ ) ta

n N u

,

au

b

∈ trong đó

)n n N

n

n

+ 1

Vậy là xuất phát từ dãy ( u

∈ xác định bởi

v )n n N

∀ ∈

=

+

u

,

có thể xây dựng được một cấp số nhân. Cụ thể dãy (

n N v n

n

b −

a

1

là một cấp số nhân với công bội a . Hơn nữa, dựa vào cấp

∈ này, ta sẽ xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy

v )n n N

số nhân (

11

u (

∈ đã cho. Như vậy, khi “dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi”

)n n N

không phải là dãy cộng thì bằng cách thông qua cấp số nhân ta sẽ dễ dàng tìm được

r

)n

công thức số hạng tổng quát của dãy này.

∈ tạo thành n N

Sau đó, qua tài liệu M03, chúng tôi nhận thấy cấp số nhân (

chuỗi lũy thừa trong K:

1) Chuỗi lũy thừa trong K

 Định nghĩa

n

Với mọi r thuộc K, chuỗi

r

∑ được gọi là chuỗi lũy thừa.

≥

n

0

n

r < . Hơn nữa

1

 Định lý Cho r K∈ . Chuỗi lũy thừa

r

∑ hội tụ khi và chỉ khi

≥

n

0

nếu

r < thì: 1

+∞

n

=

r

(M03, tr. 281)

∑

1 −

r

1

=

0

n

Trong đó khái niệm chuỗi, chuỗi hội tụ được định nghĩa như sau:

1) Khái niệm chuỗi

, (

S

)

 Định nghĩa 1 Chuỗi với số hạng trong E là mọi cặp (( u

tạo

) ∈ n n N

) ∈ n n N

nên bởi một dãy ( u

S

∈ có các số hạng thuộc E và dãy (

∈ định nghĩa là:

)n n N

)n n N

n

∀ ∈

n N

S

,

n

k

= ∑ u

=

0

k

Một chuỗi số (tương ứng: thực; tương ứng: phức) là một chuỗi với các số hạng

thuộc K (tương ứng: R; tương ứng: C).

Phần tử un gọi là phần tử thứ n (hoặc: số hạng tổng quát) của chuỗi, và Sn gọi là

tổng riêng thứ n của chuỗi.

Chuỗi được ký hiệu là

n

∑ u

≥

n

0

Đối với một dãy

u (

N∈ , ta cũng dùng các thuật ngữ

với chỉ số “xuất phát” là n0,

)n n n ≥

0n

0

như trên.

 Định nghĩa 2

S

1) Ta nói rằng chuỗi

u

∈ các tổng riêng hội tụ

)n n N

n

∑ hội tụ khi và chỉ khi dãy (

≥

n

0

12

S

(trong E), và trong trường hợp này thì giới hạn của dãy (

∈ được gọi là tổng

)n n N

+ ∞

của chuỗi

u

n

n

∑ . u

∑ và được ký hiệu là

=

≥

n

0

n

0

2) Ta nói rằng chuỗi

u

n

∑ phân kỳ khi và chỉ khi nó không hội tụ (M03, tr. 269,

≥

n

0

270)

(ghi chú: E chỉ một K – kgvđc, với kgvđc là viết tắt của không gian vectơ định chuẩn)

∈ có các số hạng thuộc E sẽ tạo nên chuỗi với các số hạng

)n n N

Như vậy, dãy ( u

S

(

trong E. Khi các số hạng của chuỗi đều thuộc tập R thì ta có chuỗi số thực, khi các

∈ các tổng riêng hội tụ. Khái niệm tổng của chuỗi

n

)n n N

≥

n

0

+ ∞

u số hạng của chuỗi đều thuộc tập C thì ta có chuỗi số phức. Chuỗi sẽ hội tụ khi dãy ∑ chỉ xuất hiện khi

u

n

n

∑ . Nó chính là giới hạn của dãy các

∑ hội tụ, và được kí hiệu là

=

≥

n

0

n

0

n

chuỗi u

r

∑ là một trường hợp của chuỗi số, do cấp số nhân

≥

n

0

r < , và 1

(

r

)n

∈ (với r thuộc K) tạo nên. Chuỗi này chỉ hội tụ trong trường hợp n N

+ ∞

n

n

k

=

tổng riêng. Chuỗi lũy thừa

r

S

S

∈ với

)n n N

n

∑

= ∑ . r

1 −

1

r

=

=

0

n

k

0

khi đó , đây là giới hạn của dãy (

∈

≥

n N n

;

1.2. Kết luận

}0 n

- Dãy (số) là một ánh xạ từ N vào K hoặc từ { vào K (với 0n cố

định), trong đó các số hạng có thể là số thực hoặc số phức. Khi các số hạng của dãy

đều là số thực thì ta có dãy thực, khi các số hạng của dãy đều là số phức thì ta có

dãy phức. Cấp số nhân là một dãy đặc biệt, được định nghĩa ứng với tập nguồn N

(tức là chỉ số n ≥ 0) và cho cả hai trường hợp của tập đích: K C= hay K R= . Cấp

số nhân còn được gọi là dãy nhân. Công bội của cấp số nhân có thể là số thực không

đổi hoặc số phức không đổi, và không bị ràng buộc nào. Công bội của một cấp số

∈ thì: mối

)n n N

nhân có thể duy nhất hoặc không duy nhất. Đối với cấp số nhân ( u

13

∀ ∈

=

liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội r được thể hiện qua hệ thức

n N u

,

ru

n

n

+ 1

0u , số hạng bất kì

nu , chỉ số n và

n

∀ ∈

=

; mối liên hệ giữa số hạng

n N u

,

u r 0

n

r

)n

công bội r được thể hiện qua hệ thức . Công thức tính tổng n số

≠ ) được đưa vào một cách ngầm

r C r∈

,

1

∈ (với n N

n

n

− 1

k

=

hạng đầu của cấp số nhân (

r

∑

− 1 − 1

r r

=

k

0

. Trong khi đó, công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số ẩn:

∈ không được đề cập đến.

)n n N

nhân tổng quát ( u

- Cấp số nhân có sự liên hệ với dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi.

∀ ∈

=

+ (với

1a ≠ ), ta xây dựng được

n N u

,

au

b

Sự liên hệ này thể hiện như sau:

∈ có

n

n

+ 1

)n n N

∀ ∈

=

+

Từ dãy ( u

u

,

∈ với

n N v n

n

v )n n N

b −

a

1

. Tiếp đó, cấp số nhân này cấp số nhân (

∈ ban đầu.

)n n N

cho phép ta xác định được số hạng tổng quát của dãy ( u

r < hay 1

)n

r

1r = thì cấp số nhân (

∈ hội tụ. Hơn nữa, trong trường n N

- Khi

1

r < thì cấp số nhân (

)n

r

)n

r

1r > thì cấp số nhân (

∈ n N

∈ hội tụ đến 0. Khi n N

n

r

)n

hợp

∈ tạo nên chuỗi lũy thừa n N

∑ . r

≥

n

0

+ ∞

n

=

có giới hạn + ∞ . Với r K∈ , cấp số nhân (

r < thì chuỗi này hội tụ và

1

r

∑

1 −

1

r

=

0

n

. Trong trường hợp

Những kết luận trên có thể xem là câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi Q0

được đặt ra ở phần mở đầu.

14

CHƯƠNG 2:

MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP SỐ NHÂN

Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với

đối tượng cấp số nhân. Thể chế mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học toán lớp

11 hiện hành và thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Qua đó,

chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi Q1, Q2.

Để thực hiện việc nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào các tài liệu sau:

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô

Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001).

- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô

Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001).

- Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 (Văn Như Cương – Trần Văn Hạo – Ngô

Thúc Lanh, 2001).

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),

2007).

- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên),

2009).

- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),

2006).

- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),

2011).

- Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Vũ Tuấn (Chủ biên), 2006).

- Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),

2006).

15

Bên cạnh đó, trong quá trình phân tích, để một vài nội dung được rõ hơn, chúng tôi

đã tham khảo thêm hai tài liệu sau:

- Sách giáo khoa Toán 7, tập một (Phan Đức Chính (Tổng Chủ biên), 2003).

- Sách bài tập Toán 7, tập một (Tôn Thân (Chủ biên), 2011).

Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi dùng các kí hiệu sau:

Đại số và Giải tích 11 M1

Bài tập Đại số và Giải tích 11 E1

Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 TL

Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao M2

Bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao E2

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao G2

Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản M3

Bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản E3

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản G3

Toán 7, tập một M4

Bài tập Toán 7, tập một E4

2.1. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M1, E1, TL để nghiên cứu. Trong

đó E1 được biên soạn đi kèm với M1, dùng để đưa ra đáp số hoặc hướng dẫn cách

giải cho tất cả các bài tập trong M1. Ngoài ra E1 còn đề nghị thêm một vài bài tập

sau mỗi chương.

2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M1

- Bài “Cấp số nhân” nằm trong chương III: “Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số

nhân”. Chương này gồm các nội dung sau:

16

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học.

Bài 2: Dãy số.

Bài 3: Cấp số cộng.

Bài 4: Cấp số nhân.

Cùng với đối tượng cấp số cộng, đối tượng cấp số nhân được đưa vào M1 sau

đối tượng dãy số. Vậy khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào? Liệu cấp số

nhân có mối quan hệ với dãy số hay không?

Chúng tôi tìm thấy câu trả lời cho một trong những thắc mắc trên qua định nghĩa

dãy số:

Định nghĩa. Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên

=

M

{ 1; 2; 3;...;

} m

(2),...,

(1),

u

} )

và viết dãy số đã cho dưới dạng sau:

đó là

, …,

(2)u

u=

u m u= )

(

(1)u

m

2

 Một hàm số u xác định trên tập hợp M được gọi là một dãy số hữu hạn. Tập giá trị của dãy số hữu hạn này là { u m . Người ta thường kí hiệu các giá trị u ( u= , 1

, u u

1

2

u ,..., m

u1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)

u2 được gọi là số hạng thứ hai

…

u m được gọi là số hạng thứ m (hay số hạng cuối) (M1, tr. 88)

 Một hàm số u xác định trên tập hợp N* các số tự nhiên khác không được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số).

Tập giá trị của dãy số u gồm vô số phần tử

, …,

,…

(1)u

(2)u

u=

u n ( )

u=

u= , 1

2

n

Người ta thường viết dãy số u dưới dạng

u u ,

,...,

u

,...

1

2

n

Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số u.

u1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)

u2 được gọi là số hạng thứ hai

…

17

un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số u

Người ta còn kí hiệu một cách ngắn gọn dãy số u là (un) hay nếu không thể nhầm lẫn thì ta còn kí hiệu dãy số u là un (M1, tr. 89)

Như vậy, dãy số hữu hạn là một hàm số xác định trên tập hợp M gồm hữu hạn

số tự nhiên khác không đầu tiên; dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số) là một hàm số xác định trên tập hợp N* các số tự nhiên khác không. Thay cho cách gọi u(k) là giá

u k ( )

u=

k

ku là số hạng thứ k của dãy

và gọi trị của hàm số u tại k, M1 đã kí hiệu

số. Điều này cho thấy cách chọn tập hợp M như trong định nghĩa nhằm tạo thuận lợi

cho việc đưa ra cách xác định thứ tự các số hạng của dãy số thông qua chỉ số k của

u u ,

,...,

u

,...

ku . Ngoài việc được viết dưới dạng khai trển 1

2

n

mỗi số hạng dãy số u

)nu hay nu (nếu không thể nhầm lẫn). Liệu cách kí hiệu dãy số

còn được kí hiệu là (

nu có gây khó khăn cho học sinh hay không? Bởi vì

nu được gọi là số hạng

u là

tổng quát của dãy số.

Qua định nghĩa trên, chúng tôi nhận thấy khái niệm dãy số hữu hạn được đưa vào

M1, tuy nhiên ở cấp độ đại học nó không được đề cập trong M01 và M03. Dãy số vô

hạn được đưa vào M1 chính là dãy thực được nêu ở M01, trong đó chỉ số n của các

số hạng un nhận giá trị nhỏ nhất là 1.

Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau đây:

a) Cho số hạng tổng quát un của nó bằng công thức

+ 1

=

Ví dụ: Cho dãy số (un) với

(M1, tr. 90)

nu

( 1)n − 2 n

b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt đối 10−n (M1, tr. 90)

c) Cho bằng phương pháp truy hồi, tức là

1) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

2) Cho hệ thức truy hồi tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Một dãy số được cho như thế nào? Chúng tôi tìm được câu trả lời như sau:

18

2

Ví dụ 1: Cho dãy số

(M1, tr. 90)

+

≥

u

3

(

n

2)

n

n

− 1

= u 1  = u 

Trong các ví dụ và bài tập, M1 thường cho dãy số theo cách 1 và cách 3.

- Sau dãy số, các đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân đã lần lượt xuất hiện. Bài

“Cấp số nhân” được mở đầu bằng định nghĩa cấp số nhân:

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi gọi là công bội (M1, tr. 100).

Định nghĩa trên cho thấy cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc

biệt, có sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp. Gắn liền với ràng buộc này, khái

niệm công bội đã xuất hiện. Công bội của cấp số nhân là số không đổi và không bị

ràng buộc nào hết.

Có SGK cũ yêu cầu công bội

q ≠ , 0

0q = thì cấp số nhân trở

0

thành

, còn nếu

Đó là những

1q ≠ , 1 u ≠ vì nếu 1q = thì cấp số nhân trở thành

,

,

,...

u 1, 0, 0...

u u u 1 1 1

u = thì cấp số trở thành 0, 0, … Nó không có công

0

trường hợp tầm thường. Nếu 1 bội duy nhất. (Điều này không có tương tự trong cấp số cộng).

Như đã trình bày trong mục trên, đưa thêm các giả thiết đó vào thì sẽ làm phức tạp 0q = và hơn phần biện luận khi phải xét đến cấp số nhân (vì phải loại các trường hợp 1q = ). Để giảm tải, chúng tôi đã không đặt các giả thiết đó vào định nghĩa của cấp số nhân. (TL, tr. 49, 50)

u ≠ trong định nghĩa vì mục

0

Liên quan đến định nghĩa cấp số nhân, ở TL có nêu:

q ≠ , 0 Vậy là M1 không nêu các giả thiết 1q ≠ , 1

đích giảm tải.

Ở cấp độ đại học, M01 và M03 không đề cập đến định nghĩa cấp số nhân ứng với

dãy số hữu hạn. Chúng tôi nhận thấy định nghĩa cấp số nhân ứng với dãy số vô hạn

nêu ở M1 giống với định nghĩa cấp số nhân ứng với dãy thực nêu ở M01, chỉ có điều

trong M1 thì chỉ số n trong các số hạng un nhận giá trị nhỏ nhất là 1, còn trong M01

thì chỉ số n trong các số hạng un nhận giá trị nhỏ nhất là 0. Việc định nghĩa cấp số

nhân ứng với dãy phức không được đề cập ở M1.

19

Bằng cách kí hiệu công bội là q, M1 đã đưa ra công thức biểu diễn mối liên hệ

Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có

u

(n = 1, 2,…) (M1, tr.100).

+ = 1

n

u q . n

giữa hai số hạng liên tiếp và công bội của cấp số nhân:

Công thức trên là một hệ thức truy hồi. Như vậy, cấp số nhân có thể xem là dãy

a =

=

n

(

1, 2, ...)

+ 1

n

u q . n

= u 1  u 

số cho bằng phương pháp truy hồi như sau:

u = ? 0

trong đó a và q là những số cho trước: a là số hạng đầu, q là công bội.

Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,…, 0,… (M1, tr.100).

Liệu có điều gì đặc biệt đối với cấp số nhân có số hạng đầu 1

Trong trường hợp này, mọi số hạng của cấp số nhân đều bằng không và công bội

là một số thực bất kì. Ở cấp độ đại học, M01 đã đề cập trường hợp này.

Để phân biệt cách viết dạng khai triển của cấp số nhân với cách viết dạng khai

Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số nhân đôi khi người ta dùng kí hiệu

u

,...,

,...

(M1, tr.100).

n

u u , 1

2

.. ..

triển của dãy số, M1 đưa vào kí hiệu sau:

So với cách viết dạng khai triển của dãy số thì cách kí hiệu cấp số nhân có thêm

.. ..

.. ..

kí hiệu ở đầu. Ở cấp độ đại học, kí hiệu không được đề cập trong M01 và M03.

0

Gọi số hạng đầu là u1, và công bội là

q ≠ . Ta hãy tính số hạng tổng quát un. Ta có

Tiếp đó, M1 đề cập đến vấn đề số hạng tổng quát của cấp số nhân:

Định lí. Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:

=

(

0

q ≠ ) (M1, tr.101).

nu

u q − 1. n 1

20

Định lí trên được áp dụng cho những cấp số nhân có công bội q ≠ . Định lí cho 0

thấy mối liên hệ giữa các đại lượng: số hạng bất kì nu , chỉ số n, số hạng đầu 1u và

công bội q. Bằng phương pháp quy nạp, M1 đã chứng minh định lí này.

là một cấp số nhân với công bội

q ≠ nếu và chỉ nếu

0

Dãy số (

)nu

n

− 1

=

∀ ≥ 1 n

nu

u q 1

Chứng minh.

là một cấp số nhân. Phép chứng minh công thức trên bằng quy nạp

1) Giả sử (

)nu

theo n đã được cho trong SGK.

thỏa mãn điều kiện

2) Đảo lại, giả sử dãy số (

)nu

n

− 1

=

∀ ≥ .

n

1

nu

u q 1

Ta sẽ chứng minh rằng nó là một cấp số nhân. Thật vậy, ta có

n

nu

+ = 1

u q 1

=

nu

u q − 1 n 1

n

− 1

Từ đó

là một cấp số nhân. (TL, tr. 51, 52)

u

)

= q u q

n

∀ ≥ . Vậy ( 1

+ = 1

n

u q 1(

n

)nu

Liên quan đến định lí trên, TL có nêu:

Trong SGK, để giảm tải, chúng tôi không giới thiệu phần đảo (TL, tr. 52)

Như vậy, M1 không trình bày phần đảo. TL giải thích điều này như sau:

Nếu trình độ của học sinh tương đối khá thì giáo viên có thể giới thiệu cả phần đảo cho học sinh. (TL, tr. 52)

Tuy nhiên, đối với học sinh tương đối khá, TL có nêu:

n

∀ ∈

=

Ở cấp độ đại học, M01 trình bày công thức tính số hạng tổng quát của cấp số

.

n N u

,

u r 0

n

nhân ngay trong mục định nghĩa cấp số nhân:

Qua định nghĩa cấp số nhân, ta đã thấy sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp

của một cấp số nhân. Liệu có sự ràng buộc nào giữa ba số hạng liên tiếp hay không?

Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Định lí. Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn), đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là:

21

=

≥

u

u

u .

(

k

2)

(M1, tr.101)

k

k

− 1

k

+ 1

Định lí này cho thấy mối liên hệ giữa ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Bằng cách sử dụng định lí về số hạng tổng quát, M1 đã chứng minh định lí. Chúng

tôi nhận thấy tính chất này không được đề cập ở M01 và M03.

Cho một cấp số nhân với công bội

(1)1q ≠

u u ,

,...,

u

,...

1

2

n

=

+

Hãy tính tổng

)

S

u

+ + ...

u

n

u 1

2

n

nS của n số hạng đầu của nó (

Sau đó M1 trình bày tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân:

Định lí. Ta có:

n

=

≠

S

q

.

(

1)

. (M1, tr.102)

u 1

n

− −

q q

1 1

Định lí trên đã được chứng minh trong M1. Định lí giúp ta có thể xác định tổng

n số hạng đầu của cấp số nhân theo số hạng đầu và công bội của nó. Vấn đề tổng n

n

=

số hạng đầu của một cấp số nhân được trình bày ứng với cấp số nhân có công bội

S

.

u 1

n

q q

− 1 − 1

. Công thức này cho thấy 1q ≠ . Khi đó tổng được tính bởi công thức

0

2

mối liên hệ giữa các đại lượng: tổng Sn, số các số hạng đầu n, số hạng đầu u1 và

q

,

q q ,

, ...,

q − 1 n

, ...

n

=

công bội q. Chúng tôi nhận thấy với cấp số nhân có dạng (với

S

n

q q

− 1 − 1

+

u

+ + ...

u

. Tổng này q ≠ và 0 1q ≠ ) thì tổng n số hạng đầu của cấp số nhân đó là

2

n

n

đã được đưa vào M01 một cách ngầm ẩn. Ở cấp độ đại học, tổng 1 u

u

k

∑ . Trong khi đó M1 không đưa vào cách viết gọn này.

k

= 1

được viết gọn là

1q = thì ta tính tổng n số hạng đầu của nó như thế nào?

Khi cấp số nhân có

Nếu

1q = thì cấp số nhân là dãy số u1, u1,…, u1,… Khi đó

=

+

=

+ + ...

nS

u 1

u 1

u 1

nu 1

Chúng tôi tìm thấy lời giải thích ở cuối trang 102 M1 như sau:

22

Tiếp theo, qua chương IV: “Giới hạn”, M1 đề cập việc tính tổng của cấp số nhân

q < : 1

có công bội q, với

1

Cho cấp số nhân vô hạn (

q < ; khi đó tổng Sn của n số hạng

)nu

đầu của nó bằng

n

n

=

=

S

q

n

u 1

− −

u 1 −

q q

q

q

1 1

1

 u 1 −  − 1

  

Do đó theo định lí 6:

n

=

−

lim

lim

lim

S

q

n

u 1 −

u 1 −

1

1

q

q

=

−

=

.0

u 1 −

u 1 −

u 1 −

q

1

q

1

q

1

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân vô hạn (với

q < ) và thường được kí

1

hiệu là

=

+

<

+ + ...

+ = ...

(

1)

S

u

u

q

(M1, tr.111, 112)

n

u 1

2

u 1 −

1

q

vô hạn có công bội q với

Nếu

1

q < thì lim

0

nq = (M1, tr.110)

Chúng tôi nhắc lại định lí 6 như sau:

1

q < ) là giới hạn của dãy (

)nS với

nS là tổng n số hạng đầu của nó. Như vậy, M1 đã ngầm ẩn đưa vào chuỗi hội tụ

Tóm lại, tổng của cấp số nhân vô hạn (với

1

q < ). Tuy nhiên, M1 không dùng kí

+∞

thông qua tổng của cấp số nhân vô hạn (với

u

k

∑ đã đề cập ở cấp độ đại học trong M03 mà kí hiệu tổng của cấp số nhân

= 1

k

0

2

=

+

hiệu

+ Với cấp số nhân có dạng

S

u

+ + ...

u

...

q

,

q q ,

, ...,

q − 1 n

, ...

u 1

2

n

0

n

− 1

=

+

này là (với

q < ) thì tổng của nó là

1

+ + ...

+ = ...

S

q

q

q

1 −

1

q

. Chúng tôi q ≠ và 0

nhận thấy M03 đã đề cập đến tổng này ở mục “chuỗi lũy thừa trong K”.

23

Kết luận:

Cấp số nhân xuất hiện gắn liền với: định nghĩa cấp số nhân, số hạng tổng quát,

tính chất các số hạng của cấp số nhân, tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, tổng của

q < . Những phân tích trên cho thấy cấp số

1

cấp số nhân vô hạn có công bội q với

nhân hoạt động dưới dạng đối tượng.

2.1.2. Các tổ chức toán học

Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu

nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này.

a) Kiểu nhiệm vụ T1

2000: “Tìm số hạng uk (hay số hạng thứ k) của cấp số nhân”

2000:

- Kĩ thuật 1

=

+ Xác định số hạng đầu 1u và công bội q .

ku

u q − 1. k 1

+ Tính uk bằng công thức

2000:

- Công nghệ θ1

+ Qui ước về thứ tự của số hạng uk trong dãy số

+ Định nghĩa cấp số nhân

+ Định lí về số hạng tổng quát của cấp số nhân.

 Nhận xét:

2000 được phát biểu trong M1.

+ Kiểu nhiệm vụ T1

2000 (đều trong M1).

(ghi chú: trong luận văn này, chúng tôi thống kê số lượng câu ứng với kiểu nhiệm vụ theo

nghĩa đó là số lượng nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ đó)

+ Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T1

−

Tìm số hạng thứ 9 của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội là

1 2

Ví dụ: Ví dụ (M1, tr. 101)

24

=

−

=

1.

(M1, tr. 101)

u 9

1 2

1 256

  

8   

Lời giải mong đợi

2000: “Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân”

b) Kiểu nhiệm vụ T2

2000:

- Kĩ thuật 2

n

=

+ Xác định số hạng đầu 1u và công bội q .

.

S

u 1

n

− 1 − 1

q q

+ Tính

2000:

- Công nghệ θ2

+ Định nghĩa cấp số nhân.

+ Định lí tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

 Nhận xét:

+ Tổng cần tính được cho dưới dạng một biểu thức hoặc cho bằng lời.

2000 (đều trong M1).

+ Có 5 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T2

n

+ 1

−

2

1

2

n

n

+ 1

+ +

=

=

−

+ + 1 2 2

... 2

2

1

− 2 1

2

+ +

Ví dụ: Ví dụ 1 (M1, tr. 103)

+ + 1 2 2

... 2n

n + số hạng đầu của một cấp số nhân có số

1)

n

+ 1

1

2

2

n

n

+ 1

+ +

=

=

−

Tổng là tổng (

+ + 1 2 2

... 2

2

1

u = , công bội

− − 2 1

. Chúng q = nên 2 hạng đầu 1 1

2

n

n+ 1

+ +

=

− . Do đó, nếu nhìn ở khía cạnh chứng minh đẳng thức thì

+ + 1 2 2

... 2

2

1

tôi nhận thấy có thể dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức

ví dụ 1 này chứng tỏ cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ.

2000: “Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi

c) Kiểu nhiệm vụ T3

biết các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó”

25

2000:

- Kĩ thuật 3

Chúng tôi nhận thấy với tất cả các câu ứng với kiểu nhiệm vụ này, E1 không 2000 trình bày lời giải mà chỉ đưa ra đáp số. Do đó, chúng tôi xin trình bày kĩ thuật 3

=

như sau:

nu

u q − n 1 1

+ Từ các hệ thức đã cho, sử dụng công thức để lập hệ phương trình 2

ẩn 1u và q .

+ Giải hệ phương trình tìm số hạng đầu 1u và công bội q .

2000:

- Công nghệ θ3

+ Định nghĩa cấp số nhân.

+ Định lí về số hạng tổng quát của cấp số nhân.

 Nhận xét:

2000 được phát biểu trong M1.

+ Kiểu nhiệm vụ T3

2000 (đều trong M1).

+ Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T3

Trong các cấp số nhân dưới đây, tính số hạng đầu và công bội của nó, biết:

−

=

u

72

4

2

a)

−

=

144

u 3

 u  u  5

Ví dụ: bài tập 3 (M1, tr. 104)

u

q

2

= (E1, tr. 100)

= a) 1 12,

2000 lời giải sẽ là:

Chúng tôi tìm trong E1 chỉ thấy có đáp số:

−

=

u

72

4

2

Theo kĩ thuật 3

−

=

144

u 3

 u  u  5

3

−

=

72

u q 1

4

2

−

=

144

u q 1

 u q  1 ⇔  u q  1

a)

26

2

− = 1)

72

2

− =

(

1) 144

 u q q (  1 ⇔  2 u q q  1

2

− = 1)

72

144

  u q q 1 ( ⇔  =  q 72

2

− = 1)

72

  u 12 (2 ⇔  = q 2

= u 1 12 ⇔  = q 2

2000: “Tìm các số hạng của cấp số nhân có hữu hạn số

d) Kiểu nhiệm vụ T4

hạng”

2000:

- Kĩ thuật 4

Chúng tôi nhận thấy với tất cả các câu ứng với kiểu nhiệm vụ này, E1 không 2000 trình bày lời giải mà chỉ đưa ra đáp số. Do đó, chúng tôi xin trình bày kĩ thuật 4

như sau:

=

=

+ Xác định số hạng đầu 1u và công bội q .

k

2,3,...,

n

ku

u q − 1. k 1

+ Tính với (giả sử cấp số nhân có n số hạng)

2000:

- Công nghệ θ4

ku trong dãy số

+ Qui ước về thứ tự của số hạng

+ Định nghĩa cấp số nhân

+ Định lí về số hạng tổng quát của cấp số nhân.

 Nhận xét:

2000 được phát biểu trong M1.

+ Kiểu nhiệm vụ T4

2000 (đều trong M1).

+ Có 5 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T4

27

Tìm các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng cấp số đó:

a) Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 243

Ví dụ: bài tập 4 (M1, tr. 104)

a)

q = ±

3,

3, 9, 27, 81, 243;

.. ..

−

−

3, 9, 27, 81, 243

(E1, tr. 101)

.. ..

2000 lời giải sẽ là:

Chúng tôi tìm trong E1 chỉ thấy có đáp số:

u = 3

Theo kĩ thuật 4

u =

243

a) Số hạng đầu là 3 tức là 1

4

Số hạng cuối là 243 tức là 5

u 5

u q= 1

43 q⇒ =

243

4 q⇒ =

81

Ta có

q⇒ = ± 3

q = ta có:

3

=

u

= 3.3 9

2

u q= 1

2

=

=

2 3.3

27

u 3

u q= 1

3

=

=

u

3 3.3

81

4

u q= 1

Với

=

u

3.( 3)

− = − 9

2

u q= 1

2

2

=

=

− 3.( 3)

27

u 3

u q= 1

3

3

=

u

− 3.( 3)

= − 81

4

u q= 1

Với q = − ta có: 3

28

2000: “Tính tổng của cấp số nhân vô hạn (với

q < )” 1

e) Kiểu nhiệm vụ T5

2000:

- Kĩ thuật 5

=

+ Xác định số hạng đầu 1u và công bội q .

S

u 1 − q

1

+ Tính tổng

2000:

- Công nghệ θ5

n =

1, 2, ...

u

+ = 1

n

u q . n

+ Công thức ( )

q < . 1

+ Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với

1

q < thì lim

nq = 0

+ Định lí: Nếu

 Nhận xét:

+ Tổng cần tính được cho dưới dạng biểu thức hoặc phát biểu bằng lời

2000 (đều trong M1).

+ Có 5 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T5

(

n −

1)

1

+ + −

+ + −

=

1

...

+ = ...

1 2

1 4

1 8

1 2

2 3

 + −  

  

  

  

  

  

1

1 2

 − − 

  

Ví dụ: Ví dụ 1 (M1, tr. 112)

(

1)

n −

+ + −

+ + −

+

Qua Ví dụ 1, M1 đã ngầm ẩn cho ta thấy:

1

...

...

2 3

1 2

1 4

1 8

1 2

 + −  

  

  

  

  

  

hội tụ và tổng của chuỗi là . chuỗi

f) Kiểu nhiệm vụ T6

2000: “Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân khi biết công

thức số hạng tổng quát”

2000:

- Kĩ thuật 6

Chúng tôi thấy có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ này. Tuy vậy E1 không trình bày 2000 như sau: lời giải mà chỉ đưa ra đáp án. Do đó, chúng tôi xin trình bày kĩ thuật 6

29

+ Viết số hạng un+1 theo n

u + 1n u n

+ Lập tỉ số

u + là hằng số (không phụ thuộc n) 1n u n

+ Chứng minh tỉ số

+ Kết luận dãy số (un) là cấp số nhân.

2000: Định nghĩa cấp số nhân.

- Công nghệ θ6

 Nhận xét:

2000 được phát biểu trong E1

+ Kiểu nhiệm vụ T6

2000 ( trong E1).

+ Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T6

Chứng minh rằng dãy

lập thành một cấp số nhân và tính tổng 8 số hạng đầu

2.3n

na =

tiên của nó

Ví dụ: bài tập T.8 (E1, tr. 95)

−

8 6.(3

1)

=

=

=

q

3,

19680

(E1, tr. 107)

S 8

− 3 1

2000 thì lời giải chứng minh dãy

Trong E1 chỉ đưa ra đáp án:

2.3n

na =

lập thành một cấp số nhân Theo kĩ thuật 6

sẽ là:

+ 1

2.3n

na

+ = 1

+ 1

= 3

n 2.3 n 2.3

a + = 1 n a n

Ta có

2.3n

na =

lập thành một cấp số nhân. Vậy dãy

2000: “Tính giá trị biểu thức có chứa các bộ 3 số hạng liên

g) Kiểu nhiệm vụ T7

tiếp của một cấp số nhân”

30

2000:

=

- Kĩ thuật 7

nu

u q − 1. n 1

+ Sử dụng để biến đổi các số hạng của biểu thức theo 1u và q

+ Tính giá trị biểu thức

2000:

- Công nghệ θ7

+ Định lí về số hạng tổng quát của cấp số nhân.

+ Tính chất các số hạng của cấp số nhân.

 Nhận xét:

2000 được phát biểu trong E1

+ Kiểu nhiệm vụ T7

2000 ( trong E1).

+ Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7

Giả sử các số a, b, c, d lập thành một cấp số nhân. Hãy tính biểu thức:

2

2

2

2

+

+

−

(

− a c

)

− b c (

)

− b d (

)

(

− a d

)

Ví dụ: bài tập T.9 (E1, tr. 95)

2

2

2

2

+

+

−

(

− a c

)

− b c (

)

− b d (

)

(

− a d

)

=

+

+

−

= (E1, tr. 107)

(

− a aq

2 2 )

(

− aq aq

2 2 )

(

− aq aq

3 2 )

(

− a aq

3 2 )

0

Hướng dẫn trong E1:

Bài tập T.9 cho thấy cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ.

2.1.3. Kết luận

- Đối tượng cấp số nhân được đưa vào chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất

năm 2000 theo tiến trình “Đối tượng  Công cụ”. Ngoài một vài trường hợp cấp số

nhân hoạt động dưới dạng công cụ như đã nêu, cơ chế công cụ của cấp số nhân còn

Tục truyền rằng hoàng tử Ấn Độ Xiram cho người phát minh ra trò chơi cờ vua (bàn cờ gồm 64 ô) được phép tự chọn phần thưởng cho mình. Người này xin hoàng tử thưởng cho số thóc tính theo cách sau:

Bỏ vào ô thứ nhất 1 hạt, ô thứ hai 2 hạt, ô thứ ba 4 hạt, ô thứ tư 8 hạt, v.v…Số hạt thóc cứ gấp đôi mỗi khi chuyển sang ô tiếp theo cho đến ô thứ 64.

thể hiện trong ví dụ 4 (M1, tr. 103):

31

Khi đó tổng số hạt thóc của phần thưởng là tổng số 64 số hạng của một cấp số nhân có u1 = 1 và q = 2.

64

1.(2

1)

64

=

=

− =

(hạt thóc)

2

1 1.844.674.507.309.551.615

S

64

− − 2 1

Điều này chứng tỏ cơ chế công cụ của cấp số nhân khá mờ nhạt.

- Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai

số hạng liên tiếp.

- Bảng thống kê số lượng câu ứng với các kiểu nhiệm vụ:

2000

2000

Bài tập Bài tập Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ Tổng cộng trong M1 trong E1

2000

2000

1 3 0 1 4 T1

2000

2000

3 2 0 2 5 T2

2000

2000

0 4 0 4 3 T3

2000

2000

0 5 0 4 5 T4

2000

2000

3 2 0 5 5 T5

2000

2000

0 0 1 1 6 T6

0 0 1 7 1 T7

7 16 Tổng cộng 2 25

Bảng 2.1

2000 chiếm số lượng câu nhiều nhất (5/25

Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy:

2000, T4

2000, T5

+ Kiểu nhiệm vụ T2

câu).

2000, T7

+ Các kiểu nhiệm vụ T6

2000, T7

2000 chiếm số lượng câu ít nhất (1/25 câu). Hai 2000 chỉ xuất hiện trong E1. Điều này chứng tỏ thể chế dạy

kiểu nhiệm vụ T6

học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 không chú trọng vấn đề nhận diện cấp

số nhân, tính giá trị biểu thức.

+ Số lượng câu tập trung nhiều ở phần bài tập: chiếm 18/25 câu.

32

+ Không có kiểu nhiệm vụ nào nổi trội.

Những kết luận nêu trên có thể xem là câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi

Q1 đã được đặt ra trong phần mở đầu.

2.2. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 hiện hành (từ năm 2007)

2.2.1. Cấp số nhân trong bộ sách Nâng Cao

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M2, E2, G2.

2.2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M2

- Bài “Cấp số nhân” nằm trong chương 3: “Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân”.

Chương này gồm các nội dung sau:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học.

Bài 2: Dãy số.

Bài 3: Cấp số cộng.

Bài 4: Cấp số nhân.

Ở chương này, cùng với đối tượng cấp số cộng, đối tượng cấp số nhân được đưa

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số) (M2, tr.101)

vào sau đối tượng dãy số. Vậy khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào?

Định nghĩa trên cho thấy dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp N*. Liệu

Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số; u(1) được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), u(2) được gọi là số hạng thứ hai;…

Người ta thường kí hiệu các giá trị u(1), u(2), … tương ứng bởi u1, u2, … (M2, tr. 101, 102)

khái niệm giá trị của hàm số có còn được dùng đối với dãy số hay không?

*

Như vậy, đối với dãy số thì khái niệm giá trị của hàm số được thay bằng khái

k N∈ , giá trị u(k) được gọi là số hạng thứ

niệm số hạng của dãy số. Cụ thể là với

ku . Chỉ số k trong mỗi số hạng

ku cho ta biết thứ tự

k của dãy số và được kí hiệu là

của số hạng đó trong dãy số.

33

=

Người ta thường kí hiệu dãy số

u

u n ( )

bởi (

)nu

, và gọi nu là số hạng tổng quát

của dãy số đó.

dưới dạng khai triển:

Người ta cũng thường viết dãy số (

)nu

1u , 2u ,…, nu ,… (M2, tr.102)

=

Thay cho việc sử dụng kí hiệu hàm số đối với dãy số, M2 đã đưa ra kí hiệu sau:

u

u n ( )

)nu . Chúng tôi nhận thấy cách kí hiệu

là ( Như vậy M2 kí hiệu dãy số

này có thể làm mờ nhạt bản chất hàm số của dãy số. Sau sự xuất hiện của dãy số vô

CHÚ Ý

Người ta cũng gọi một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên (m tùy ý thuộc N*) là một dãy số. Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng (m số hạng: u1, u2, …, u m); vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn; u1 gọi là số hạng đầu và u m gọi là số hạng cuối. (M2, tr. 102).

hạn, dãy số hữu hạn cũng có điều kiện xuất hiện:

Dãy số hữu hạn là hàm số xác định trên tập hợp gồm hữu hạn số nguyên dương

đầu tiên. Khi dãy số có m số hạng thì số hạng um còn được gọi là số hạng cuối của

dãy số.

Những ghi nhận trên cho thấy định nghĩa dãy số trong M2 giống trong M1.

Chúng tôi thắc mắc: một dãy số được cho như thế nào? Lời giải đáp cho thắc

mắc này được tìm thấy ở M2 trang 103:

Các cách cho một dãy số

Một dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó. Từ đó, người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau:

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

=

với

”

u

Chẳng hạn: “Cho dãy số (

n

)nu

n n 3

− 1 + 1

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay còn nói: Cho dãy số bằng quy nạp)

2n ≥

Ví dụ 3. Xét dãy số (

u = và với mọi

xác định bởi 1 1

)nu

=

u

+ 1

n

u − 2 n

1

Cách 3: Diễn đạt bằng lời bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

Trong các ví dụ và bài tập, M2 thường cho dãy số theo cách 1 và cách 2.

34

- Sau dãy số, các đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân lần lượt xuất hiện. Bài:

Xét bài toán: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì hạn mà người gửi đã gửi”.

Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0,4%.

a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?

b) Cũng câu hỏi như trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau, kể từ ngày gửi? (M2, tr. 115, 116)

“Cấp số nhân” được mở đầu bằng một bài toán trong thực tế:

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu nu là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng, kể từ ngày gửi. Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

=

+

=

2n∀ ≥

u

u

u

.0,004

u

.1,004

−

−

−

n

n

1

n

1

n

1

mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của

Như vậy, ta có dãy số (

)nu

số hạng đứng ngay trước nó và 1,004

nói trên là những cấp

Người ta gọi các dãy số có tính chất tương tự như dãy số (

)nu

số nhân (M2, tr. 116)

Dựa vào dữ kiện và yêu cầu của bài toán, M2 tiếp tục trình bày:

Đây là một bài toán thực tế liên quan đến vấn đề lãi kép – đó là số lãi tính bằng

cách cộng dồn lãi kỳ trước vào vốn để tính lãi kỳ tiếp theo. Cách đặt vấn đề như

trên để giải quyết bài toán đã làm xuất hiện khái niệm cấp số nhân. Chúng tôi nhận

)nu mà trong đó, kể từ

thấy: để giải quyết bài toán đặt ra, M2 đã xây dựng dãy số (

số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và

1,004. Dựa vào gợi ý của M2, học sinh có thể biết được: ở câu a cần tính 6u và ở

câu b cần tính 12u . Những ghi nhận nêu trên cho thấy M2 đã le lói cơ chế công cụ

ngầm ẩn của cấp số nhân trong việc giải bài toán này. Việc đưa bài toán này vào M2

còn giúp học sinh hiểu được sự hiện diện, cũng như ứng dụng của cấp số nhân trong

thực tế cuộc sống.

Tiếp theo M2 trình bày định nghĩa cấp số nhân:

35

ĐỊNH NGHĨA

là cấp số nhân ⇔

2n∀ ≥ ,

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là ( u

q−= 1. u n

n

)nu

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân (M2, tr. 116)

Khái niệm cấp số nhân được định nghĩa bằng lời và bằng hệ thức truy hồi. Định

nghĩa cho thấy cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng

buộc giữa hai số hạng liên tiếp. Gắn liền với ràng buộc này, khái niệm công bội của

cấp số nhân đã xuất hiện. Công bội của cấp số nhân là số không đổi, không bị ràng

n∀ ≥ ,

2

u

q−= 1. u n

n

buộc nào hết, và được kí hiệu là q. Công thức cho ta mối liên

hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội của cấp số nhân.

Nhiều tác giả (trong và ngoài nước), khi định nghĩa cấp số nhân có đưa ra ràng buộc khác 0 và khác 1 đối với công bội của cấp số. Với mục đích không gây ra những thay đổi không cần thiết cho quá trình dạy – học, SGK đã định nghĩa cấp số nhân theo quan điểm của SGK 2000. (G2, tr. 150)

Liên quan đến định nghĩa cấp số nhân, G2 có nêu điều cần lưu ý sau:

Như vậy, do mục đích của quá trình giảng dạy, M2 định nghĩa cấp số nhân theo

quan điểm của M1.

Như đã nêu, có một sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

ĐỊNH LÍ 1

là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng

Nếu (

)nu

(trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó

=

u

u

trong dãy, tức là

(M2, tr. 117)

+

u− . 1

1

2 k

k

k

Liệu có sự ràng buộc nào giữa ba số hạng liên tiếp hay không?

Định lí này cho ta tính chất về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Mối liên hệ

=

giữa ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân được thể hiện qua công thức

u

u

+

2 k

k

k

u− . 1

1

=

. Bằng cách sử dụng định nghĩa cấp số nhân, định lí trên đã được

u

u

+

2 k

k

k

u− . 1

1

=

u

u

tương đương với công thức chứng minh trong M2. Công thức

k

u− . 1

k

k

+ 1

đã nêu ở M1 khi đề cập đến tính chất các số hạng của cấp số nhân.

36

Mệnh đề đảo của định lí 1 là một định lí. Tuy nhiên, nhằm tránh sự “quá tải” về kiến thức cho đại đa số học sinh phổ thông, SGK không trình bày định lí này (G2, tr. 150).

Đối với các học sinh khá, giỏi, giáo viên nên: nêu và chứng minh định lí đảo của định lí 1 (G2, tr. 150).

Liên quan đến định lí 1, G2 nêu:

Những ghi nhận trên cho thấy định lí đảo của định lí 1 không có cơ hội xuất hiện

trong M2 là vì lí do sư phạm. Tuy vậy, theo G2 thì định lí đảo này cần được truyền

đạt cho học sinh khá, giỏi. Điều này cũng hợp lí, bởi vì nếu định lí đảo của định lí 1

được trình bày thì ngoài việc sử dụng định nghĩa cấp số nhân, học sinh sẽ có thêm

phương tiện để chứng minh một dãy số là cấp số nhân.

ĐỊNH LÍ 2

0

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu 1u và công bội

q ≠ thì số hạng tổng quát nu

=

của nó được xác định bởi công thức

(M2, tr. 118).

nu

u q − 1. n 1

Sau đó M2 trình bày vấn đề số hạng tổng quát của cấp số nhân:

q ≠ , tức là định lí 2 chỉ áp dụng cho những cấp số

0

Trong định lí 2 có điều kiện

q ≠ . Tại sao lại có điều kiện

0

q ≠ ? Điều này có thể được giải

0

q = thì dựa vào định nghĩa cấp số nhân ta

0

nhân có công bội

)nu có

thích như sau: khi cấp số nhân (

= ∀ ≥ . Định lí cho thấy mối liên hệ giữa các đại lượng: số hạng bất kì

0,

n

2

nu

nu , chỉ số n, số hạng đầu 1u và công bội q. Do đó ta có thể nhanh chóng tìm được

có

số hạng tùy ý của một cấp số nhân khi biết số hạng đầu và công bội của nó. Chúng

tôi nhận thấy M2 trình bày vấn đề số hạng tổng quát của cấp số nhân giống trong

M1. Tuy nhiên M2 không trình bày chứng minh định lí trên. Để giải thích cho điều

Nhằm giảm nhẹ nội dung lí thuyết giảng dạy trên lớp, SGK không trình bày chứng minh của định lí 2. (G2, tr. 150)

này, G2 nêu:

Sử dụng định lí 2, ta sẽ giải quyết nhanh chóng yêu cầu của bài toán thực tế nêu

ở đầu bài: “Cấp số nhân”. Điều này được thể hiện qua Ví dụ 4 (M2, tr. 118):

37

là một cấp số nhân với số

Theo yêu cầu của bài toán ta cần tính 6u và 12u . Do (

7

7

7

+

hạng đầu

và công bội

nên theo định lí 2 ta

= 10 .0,004 10 .1,004

1,004

)nu q =

u = 1 10

có

−

7

n

1

7

n

=

=

1n∀ ≥

10 .1,004.(1,004)

10 .(1,004)

nu

6

≈

Suy ra :

(đồng),

10 242 413

7 u = 6 10 .(1,004)

12

≈

(đồng).

10 490 702

7 u = 12 10 .(1,004)

Ví dụ 4 là hoạt động củng cố đầu tiên của định lí 2.

với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi

Giả sử có cấp số nhân (

)nu

nS là

=

+

tổng n số hạng đầu tiên của nó (

)

S

u

+ + ...

u

n

u 1

2

n

Nếu q = 1 thì

với mọi

1n ≥ . Do đó, trong trường hợp này, ta có

nS

nu= 1

nu

u= 1

Khi

1q ≠ ta có kết quả như sau:

ĐỊNH LÍ 3

là một cấp số nhân với công bội

1q ≠ thì

Nếu (

nS được tính theo công thức

)nu

n

)

=

S

(M2, tr. 119)

n

− −

q q

u 1(1 1

Tiếp theo, M2 đề cập đến tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:

Vấn đề tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được trình bày trong hai

1q = và cấp số nhân có công bội

1q ≠ . Với

trường hợp: cấp số nhân có công bội

1q ≠ , tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo định lí 3.

trường hợp

Định lí này đã được chứng minh trong M2. Chúng tôi nhận thấy định lí 3 chỉ áp

dụng cho những cấp số nhân có công bội 1q ≠ . Vì điều này, chúng tôi tự hỏi: khi sử

dụng định lí 3, liệu học sinh có quan tâm đến điều kiện 1q ≠ hay không?

Nếu như M1 đã đưa việc tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân có công bội

1q = và 1q ≠ nối tiếp 1q = vào phần chú thích thì M2 trình bày hai trường hợp

nhau.

2

n

Xét cấp số nhân vô hạn

có công bội q với

q < (gọi là một

1

,

,

,...,

,...

u u q u q 1 1 1

u q 1

cấp số nhân lùi vô hạn).

Qua chương 4: “Giới hạn”, M2 trình bày tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

38

Ta biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là

n

)

− 1

n

n

u 1

=

+

=

=

−

+ + ...

S

q

u 1

u q 1

u q 1

n

− −

u 1 −

u 1 −

(1 1

1

1

q q

q

q

=

Vì

1

q < nên lim

nq = . Do đó

0

lim

S

n

u 1 −

1

q

Ta gọi giới hạn đó là tổng của cấp số nhân đã cho và viết

2

=

+

+

S

+ = ...

(M2, tr. 133)

u 1

u q 1

u q 1

u 1 −

q

1

q < . 1

Như vậy, cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa

Chúng tôi nhận thấy tên gọi “cấp số nhân lùi vô hạn” không xuất hiện trong M1.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn nêu trên chính là tổng của cấp số nhân vô hạn có

1

q < đã trình bày ở M1.

công bội q với

Kết luận:

Cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ ngầm ẩn trong bài toán thực tế nêu ở

đầu bài: “Cấp số nhân”.

Cấp số nhân hoạt động dưới dạng đối tượng khi M2 lần lượt trình bày: định

nghĩa cấp số nhân; một tính chất về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân; số hạng

tổng quát của cấp số nhân; tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân; tổng của

cấp số nhân lùi vô hạn.

2.2.1.2. Các tổ chức toán học

Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu

nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này.

a) Kiểu nhiệm vụ T1: “Nhận diện cấp số nhân”

- Kĩ thuật: có hai kĩ thuật sau:

c u= 1.

hay không: 1a: Kiểm tra xem có tồn tại hằng số c thỏa 2 u

+ Nếu không tồn tại số c thì dãy số không phải là cấp số nhân.

+ Ngược lại, kiểm tra:

39

=

u

k∀ ≥ thì dãy số là cấp số nhân.

3

c u − . 1 k

k

≠

 Nếu ,

3m∃ ≥ sao cho

u

c u − . m 1

m

 Nếu thì dãy số không phải là cấp số nhân.

1b:

)nu )

u

+ Viết số hạng un+1 theo n (đối với dãy số (

+ 1n u

n

u

+ Lập tỉ số

1n ≥ thì dãy số (

)nu

+ 1n u

n

+ Nếu bằng hằng số c (không phụ thuộc n), với mọi

c= .

u

là cấp số nhân với công bội q

)nu không phải là cấp số nhân.

+ 1n u

n

+ Nếu không là hằng số thì dãy số (

- Công nghệ:

θ1a: định nghĩa cấp số nhân.

θ1b: định nghĩa cấp số nhân.

 Nhận xét:

+ Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1 là dãy số có hữu hạn số hạng hoặc dãy số cho

bởi công thức số hạng tổng quát hoặc dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Kiểu nhiệm

vụ này được nêu trong M2 và E2.

+ Kĩ thuật 1b vận hành tốt khi dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát.

+ Có 13 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T1 (9 câu trong M2 và 4 câu trong E2), trong

đó có 5 câu sử dụng 1a và 8 câu sử dụng 1b.

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

−

−

−

;

a) Dãy số 1,

2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ: bài tập 29 (M2, tr. 120)

40

+

1

=

với

;

.6n n

b) Dãy số (

nu

)nu

n

với

;

( 1) .3n 2

c) Dãy số (

nv = −

)nv

+

1

= −

với

( 4) n 2

d) Dãy số (

.

nx

)nx

a) Dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội

q = − .

2

u

+

+

1

6(

1)

=

b)

với mọi

không phải là một cấp số nhân.

1n ≥ . Suy ra (

)nu

n u

n n

n

+

+

2(

n

1)

n

1

+

1

=

= −

c)

với mọi

là một cấp số nhân với

1n ≥ . Suy ra (

9

)nv

n

− ( 1) .3 n 2 − ( 1) .3

v n v n

công bội

q = − .

9

+

2

n

3

+

1

=

=

d)

với mọi

là một cấp số nhân với công bội

1n ≥ . Suy ra (

16

)nx

+ 1

n

2

x n x n 16

q =

− ( 4) − ( 4) . (G2, tr. 152)

Lời giải mong đợi

Như vậy, kĩ thuật 1b đã được sử dụng để giải quyết các câu b, c, d.

Kiểu nhiệm vụ T1: “Nhận diện cấp số nhân” không có trong sách toán lớp 11 2000: chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T6

“Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân khi biết công thức số hạng tổng quát” là

một trường hợp của T1.

b) Kiểu nhiệm vụ T2: “Cho trước công thức xác định dãy số (un). Chứng minh

dãy số (un) là một cấp số nhân”

=

- Kĩ thuật 2:

n ≥ ( c 2

u

)nu để được

n

c u − . n

1

với mọi + Biến đổi công thức xác định dãy số (

là hằng số)

c= .

)nu là cấp số nhân với công bội q

+ Kết luận: dãy số (

- Công nghệ θ2: định nghĩa cấp số nhân.

41

 Nhận xét:

)nu cần chứng minh là cấp số nhân

+ Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T2 là dãy số (

)nv

)nv

=

được cho bởi hệ thức truy hồi được cho thông qua dãy số ( , với dãy số (

b

+ ( ,a b là các hằng số). Kiểu nhiệm vụ này được nêu trong M2

−

v n

av n

1

dạng

và E2.

+ Có 6 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T2 (3 câu trong M2 và 3 câu trong E2).

xác định bởi

Cho dãy số (

)nu

=

u

1

− với mọi

2n ≥ .

n

u − 3 n

1

5 u = và 1 2

xác định bởi

Chứng minh rằng dãy số (

)nv

−

với mọi

1n ≥

u=

v n

n

1 2

là một cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Ví dụ: Ví dụ 2 (M2, tr. 116, 117)

, ta có

Từ công thức xác định dãy số (

và (

)nv

)nu

=

−

=

=

−

=

với mọi

2n ≥ .

u

u 3

− − 1

u 3(

)

−

−

−

v n

n

n

1

n

1

v 3 n

1

1 2

1 2

1 2

Từ đó suy

ra dãy số

là một cấp số nhân với số hạng đầu

(

)nv

−

=

−

= và công bội

2

3q = (M2, tr. 117).

v 1

u= 1

1 2

5 2

1 2

Lời giải mong đợi

Liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi nhận thấy ở cấp độ đại học M01 đã

trình bày vấn đề tổng quát ở mục “Dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi”.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T2: “Cho trước công thức xác định dãy số (un).

Chứng minh dãy số (un) là một cấp số nhân” cho thấy đây là kiểu nhiệm vụ mới so

với các kiểu nhiệm vụ trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

c) Kiểu nhiệm vụ T3: “Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (un)”

- Kĩ thuật: có hai kĩ thuật sau:

42

=

3a:

nu

u q − 1. n 1

+ Sử dụng công thức để lập hệ phương trình hai ẩn 1u và q .

1

=

+ Giải hệ phương trình để tìm số hạng đầu 1u và công bội q .

nu

u q − 1. n

+ Số hạng tổng quát .

=

3b:

u

ku đã biết và m k> )

u q − . m k k

m

+ Biến đổi (với mu ,

+ Tìm công bội q .

1

=

+ Tìm số hạng đầu 1u .

nu

u q − 1. n

+ Số hạng tổng quát .

- Công nghệ:

θ3a: Định lí 2.

θ3b:

với công bội

Cho cấp số nhân (

u ≠ . Cho các số nguyên dương m

0

)nu

=

và k , với m k≥ . Chứng minh rằng

u

(M2, tr. 121)

q ≠ và 1 0 u q − . m k k

m

+ Kết quả bài tập 33 trong M2

+ Định lí 2.

 Nhận xét:

+ Kiểu nhiệm vụ T3 được phát biểu trong M2 và E2.

+ Có 2 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T3 (1 câu trong M2 và 1 câu trong E2), trong

đó có 1 câu sử dụng 3a và 1 câu sử dụng 3b.

Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (

u =

5

)nu

, biết rằng 3

u = − và 6 135

Lời giải mong đợi

Ví dụ: bài tập 34 (M2, tr. 121)

43

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo kết quả bài tập 33, ta có

3

=

=

= − ⇔ = −

q

q

27

3

135 − 5

u 6 u 3

2

=

− = 5

u 3

u q . 1

u 9 1

5 = ⇔ = − u 1 9

−

−

n

1

n

3

= −

= −

Số hạng tổng quát:

− .( 3)

− 5.( 3)

(G2, tr. 153)

nu

5 9

Kĩ thuật 3b đã được sử dụng để giải bài tập 34.

Kiểu nhiệm vụ T3: “Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (un)” không có trong

sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Tuy vậy, chúng tôi nhận thấy kiểu 2000: “Tìm số hạng uk (hay số hạng thứ k) của cấp số nhân” là một nhiệm vụ T1

trường hợp đặc biệt của T3.

d) Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm cấp số nhân có hữu hạn số hạng”

=

- Kĩ thuật: có hai kĩ thuật sau:

u

+

k

k

u− . 1

1

để tìm các số hạng của cấp số nhân. 4a: Sử dụng công thức 2 u k

n

)

1

=

=

4b:

S

n

u q − 1. n

nu

q q

− u 1(1 − 1

+ Sử dụng công thức hoặc để lập hệ phương trình 2

ẩn 1u và q .

1

=

=

+ Giải hệ phương trình tìm 1u và q .

k

2,3,...,

n

ku

u q − 1. k

với (giả sử cấp số nhân có n số hạng). + Tính

- Công nghệ:

θ4a: Định lí 1.

θ4b:

+ Định nghĩa cấp số nhân.

+ Định lí 2.

44

+ Định lí 3.

 Nhận xét:

Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T4 (2 câu trong M2 và 1 câu trong E2), trong đó

có 2 câu sử dụng 4a và 1 câu sử dụng 4b.

. Hãy tìm cấp số nhân đó.

Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 1 16

Lời giải mong đợi

Với mỗi

, kí hiệu

n ∈

{ } 1, 2, 3, 4, 5

có công bội

0q > , và do đó

0

nu là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho. Vì nu > 0

u > nên cấp số nhân ( 2

)nu

. Từ đó

u > , 0 1 { } n∀ ∈ 1, 2, 3, 4, 5

=

1

= ⇒ = u 1

u

u u . 1 3

2

2 2

=

= ⇒ =

u

u

u u . 3 5

4

2 4

1 16

1 4

=

= ⇒ =

2 u 3

u u . 2

4

u 3

1 4

1 2

=

=

:

2

= và 5 u

u 3

Do đó 1 u

1 16

1 = 8

1 u 3

Vậy cấp số nhân cần tìm là:

2, 1,

,

,

(G2, tr. 153)

1 1 1 2 4 8

Ví dụ: bài tập 32 (M2, tr. 121)

Kĩ thuật 4a đã được sử dụng để giải bài tập 32.

Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm cấp số nhân có hữu hạn số hạng” tương ứng với kiểu 2000: “Tìm các số hạng của cấp số nhân có hữu hạn số hạng”. Ứng với nhiệm vụ T4

2000 mà chỉ đưa ra đáp số.

kiểu nhiệm vụ T4, kĩ thuật 4a và 4b được hình thành thông qua lời giải mong đợi 2000 do chúng tôi đưa ra bởi vì E1 không của các bài tập. Trong khi đó, kĩ thuật 4

trình bày lời giải tất cả các câu thuộc kiểu nhiệm vụ T4

45

e) Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân”

- Kĩ thuật 5:

n

)

=

+ Tìm số hạng đầu 1u và công bội q .

S

n

− 1(1 u − 1

q q

+ Tính

- Công nghệ θ5:

+ Định nghĩa cấp số nhân.

+ Định lí 2.

+ Định lí 3.

 Nhận xét:

+ Kiểu nhiệm vụ T5 được nêu trong M2 và E2.

+ Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T5 (2 câu trong M2 và 2 câu trong E2).

có

và

. Hãy tính tổng năm số hạng đầu tiên

Cho cấp số nhân (

24

48

)nu

u = 3

u = 4

của cấp số đó.

Lời giải mong đợi

, ta có

Gọi q là công bội của cấp số nhân (

)nu

q =

= 2

48 24

2

=

=

Do đó, theo định lí 2, ta được:

24

.2

u = . Vì thế, theo định lí 3, ta

6

u 3

u 1

. Suy ra 1

=

=

được

S

186

(M2, tr. 119, 120)

5

5 − 6.(1 2 ) − 1 2

Ví dụ: Ví dụ 5 (M2, tr. 119)

2000.

Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân” tương ứng 2000: “Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân”. Kĩ thuật 5 với kiểu nhiệm vụ T2

tương ứng với kĩ thuật 2

46

f) Kiểu nhiệm vụ T6: “Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu

hạn số hạng”

Kiểu nhiệm vụ con: “Xác định số các số hạng của một cấp số nhân”

 Kĩ thuật:

+ Tìm công bội q .

b

. k a q=

+ Giả sử cho trước số hạng đầu là a , số hạng cuối là b . Ta xác định số k thỏa

+ Kết luận cấp số nhân có (k+1) số hạng.

 Công nghệ:

+ Định nghĩa cấp số nhân.

+ Định lí 2.

- Kĩ thuật 6:

+ Xác định công bội q .

k

)

=

+ Xác định số các số hạng của cấp số nhân (giả sử có k số hạng).

S

− 1(1 u − 1

q q

+ Tính tổng

- Công nghệ θ6:

+ Định nghĩa cấp số nhân.

+ Định lí 2.

+ Định lí 3.

 Nhận xét:

+ Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T6 là cho trước số hạng đầu, số hạng thứ hai và

số hạng cuối.

47

+ Sau khi xác định cấp số nhân có tất cả k số hạng thì vấn đề đặt ra trở thành

“tính tổng k số hạng đầu tiên của cấp số nhân”. Đây là nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm

vụ T5.

+ Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T6 (2 câu trong M2 và 1 câu trong E2).

Tính các tổng sau:

a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366

Lời giải mong đợi

a) Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có

= .

q =

54 :18 3

=

Vì

nên cấp số nhân đã cho có 8 số hạng.

7 = 39366 :18 2187 3

=

=

Từ đó, kí hiệu S là tổng cần tìm, ta được

S

18.

59 040

. (G2, tr. 154)

8 − 1 3 − 1 3

Ví dụ: bài tập 36a (M2, tr. 121)

Kiểu nhiệm vụ T6: “Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu

hạn số hạng” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

Ứng với 4 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T5 và 3 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T6, bộ sách

Nâng Cao luôn chọn những cấp số nhân có công bội là một số cụ thể khác 1. Đồng

n

)

=

thời, trong lời giải mong đợi ở 7 câu này, bộ sách Nâng Cao không đề cập đến điều

S

n

− −

u 1(1 1

q q

kiện công bội . 1q ≠ khi sử dụng công thức

Liên quan đến đối tượng cấp số nhân, từ ghi nhận nêu trên, chúng tôi dự đoán

n

)

=

tồn tại ở học sinh một qui tắc sau đây của hợp đồng didactic:

S

n

− −

u 1(1 1

q q

R: Khi sử dụng công thức (với 1q ≠ ) để tính tổng n số hạng

đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công

bội 1q ≠ .

48

g) Kiểu nhiệm vụ T7: “Giải bài toán liên quan đến cấp số nhân ở môn học

khác, trong thực tế cuộc sống”

- Kĩ thuật 7:

)nu , trong đó đại lượng cần xác định trong bài toán là

+ Xây dựng cấp số nhân (

ku hoặc tổng k số hạng đầu tiên của cấp số nhân xây dựng được.

số hạng

k

)

1

=

=

+ Xác định số hạng đầu 1u và công bội q .

S

k

ku

u q − 1. k

− u 1(1 − 1

q q

hoặc + Tính

- Công nghệ θ7:

+ Định nghĩa cấp số nhân.

+ Định lí 2.

+ Định lí 3.

 Nhận xét:

+ Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T7 là các bài toán cho dưới dạng toán đố, có dấu

hiệu liên quan đến cấp số nhân.

+ Khi thực hiện kĩ thuật 7, có thể học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc xây dựng

)nu .

cấp số nhân (

+ Có 7 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7 (đều trong M2).

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm)

Ví dụ: bài tập 35 (M2, tr. 121)

Kí hiệu nu (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.

Ta có 7314 ngày gồm 53 (= 7314 : 138) chu kì bán rã.

Lời giải mong đợi

49

Như thế, theo đề bài, ta cần tính 53u

là một cấp số nhân với số hạng đầu

Từ giả thiết của bài toán suy ra dãy số (

)nu

=

và công bội

20 : 2 10

u = 1

1 q = 2

52

−

15

=

≈

Do đó

10.

2, 22.10

(gam) (G2, tr. 153, 154)

u 53

1 2

  

  

Bài tập 35 là bài toán trong môn Vật lí. Trong lời giải mong đợi nêu trên, G2 đã

q = . Khi đó việc

u =

)nu có số hạng đầu 1 10

1 2

và công bội xây dựng cấp số nhân (

giải quyết yêu cầu bài toán trở thành đi tính số hạng 53u . Như vậy cấp số nhân hoạt

động dưới dạng công cụ tường minh trong bài tập 35 này.

Kiểu nhiệm vụ T7: “Giải bài toán liên quan đến cấp số nhân ở môn học khác,

trong thực tế cuộc sống” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm

2000. Chúng tôi nhận thấy T7 là một kiểu nhiệm vụ mới lạ so với các kiểu nhiệm

trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

h) Kiểu nhiệm vụ T8: “Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn”

- Kĩ thuật 8:

+ Xác định số hạng đầu 1u và công bội q (từ đó nhận diện cấp số nhân lùi vô

=

+

+

+

=

hạn)

S

u

...

u 1

2

u 3

u 1 −

q

1

+ Tính

- Công nghệ θ8:

n∀ ≥ .

2

u

q−= 1. u n

n

+ Công thức ,

+ Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn.

+ Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

50

 Nhận xét:

+ Kiểu nhiệm vụ T8 là thành phần trong kĩ thuật 9.

+ Có 2 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T8 (đều trong M2).

Tìm tổng của cấp số nhân

,

,

,…,

1 2

1 3

1 2

2

2

1 2n ,…

Ví dụ: Hoạt động H4 (M2, tr. 134)

q = , ta được

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 1

1 u = và 2

1 2

1 2

+

+

=

+ + ...

+ = ...

1

S =

(G2, tr. 174)

1 2

1 3

1 n

1 2

2

2

2

−

1

1 2

+

+

+ + ...

+ ...

Lời giải mong đợi

1 2

1 2 2

1 3 2

1 2n

Qua hoạt động H4, G2 đã ngầm ẩn cho ta thấy chuỗi

hội tụ và tổng của chuỗi này là 1.

2000: “Tính tổng của cấp số nhân vô hạn (với

1

Kiểu nhiệm vụ T8: “Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn” tương ứng với kiểu

q < )”. Kĩ thuật 8 tương

2000.

nhiệm vụ T5

ứng với kĩ thuật 5

i) Kiểu nhiệm vụ T9: “Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng

phân số”

- Kĩ thuật 9:

+ Viết số thập phân đã cho dưới dạng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

+ Tính tổng vừa xây dựng được.

- Công nghệ θ9:

+ Kiến thức về số thập phân vô hạn tuần hoàn.

+ θ8.

51

 Nhận xét:

+ Kiểu nhiệm vụ T9 được phát biểu trong M2 và E2.

+ Đối với kĩ thuật 9 thì bước “viết số thập phân dưới dạng tổng của cấp số nhân

lùi vô hạn” là bước quan trọng. So với cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới

dạng phân số ở lớp 7 thì kĩ thuật 9 học sinh dễ tiếp thu và dễ thực hiện hơn.

+ Có 9 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T9 (6 câu trong M2 và 3 câu trong E2).

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng phân số

Ví dụ: Ví dụ 6 (M2, tr. 134)

=

+

Ta có

0,777...

+ ...

7 7 + 2 10 10

7 3 10

và công bội

u =

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1

7 10

. Do đó

q =

1 10

7 10

=

=

0,777...

7 9

−

1

1 10

Lời giải mong đợi

Trong lời giải mong đợi trên, cơ chế công cụ tường minh của cấp số nhân đã thể

hiện khi M2 sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để giải quyết vấn đề đặt ra.

Kiểu nhiệm vụ T9: “Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân

số” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Chúng tôi nhận

thấy T9 là một kiểu nhiệm vụ mới lạ so với các kiểu nhiệm vụ trong sách toán lớp

11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

 Đối với việc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, M4 khẳng

Người ta đã chứng minh được rằng mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là một số hữu tỉ. (M4, tr. 33).

định:

52

Ở lớp 7, học sinh không biết công cụ nào đã được sử dụng để phục vụ cho việc

chứng minh này. Đến lớp 11, thắc mắc trên của học sinh đã được giải đáp thông qua

Trước đây ta đã biết một số hữu tỉ cho bởi một phân số có thể biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Nhờ công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn ta chứng minh được rằng điều ngược lại cũng đúng (G2, tr. 174).

lời khẳng định trong G2:

Như vậy, lời khẳng định trong G2 đã bổ sung cho lời khẳng định trong M4.

=

=

=

Ví dụ:

0,(4)

0,(1).4

.4

(M4, tr. 33)

1 9

4 9

 Để minh họa cho khẳng định đã nêu, M4 đưa ra ví dụ sau:

Để viết số 0,(25) dưới dạng phân số, ta làm như sau:

=

=

=

=

(vì

)

0,(25)

0,(01).25

.25

0,(01)

1 99

25 99

1 99

Theo cách trên, hãy viết các số thập phân sau đây dưới dạng phân số:

0,(34); 0,(5); 0,(123). (E4, tr. 23)

Liên quan đến vấn đề này, E4 có đưa ra bài tập 88:

=

=

Như vậy, ở lớp 7, để biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân

0,(01)

0,(001)

0,(1)

1 99

1 999

1 = ; 9

số, học sinh cần nhớ một vài kết quả như: ; .

Cách giải quyết vấn đề như vậy sẽ gây khó hiểu cho học sinh. Điều này đã được

khắc phục ở lớp 11. Với việc thông qua cơ chế công cụ tường minh của cấp số

nhân, M2 đã đưa ra cách giải quyết dễ hiểu hơn đối với việc viết số thập phân vô

hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.

k) Kiểu nhiệm vụ T10: “Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô

hạn”

n

)

=

=

=

- Kĩ thuật 10:

S

S

n

nu

u q − 1. n 1

q q

− u 1(1 − 1

u 1 − q

1

, , để lập hệ + Sử dụng các công thức

phương trình hai ẩn u1 và q.

53

q < ) 1

+ Giải hệ phương trình để tìm 1u và q (chọn q thỏa điều kiện

- Công nghệ θ10:

+ Định lí 2

+ Định lí 3

+ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

 Nhận xét:

+ Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T10 là luôn cho trước tổng của cấp số nhân lùi vô

hạn. Kiểu nhiệm vụ này được nêu trong M2 và E2.

+ Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T10 (2 câu trong M2 và 2 câu trong E2).

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là

, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là

.

39 25

5 3 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

Ví dụ: bài tập 19 (M2, tr. 143)

Ta có

=

(1)

q

5 3 3

)

=

(2)

− −

q q

39 25

 u 1  − 1  u (1  1  1 

Thay (1) vào (2), ta được

3

−

= ⇔ =

(1

q

)

q

39 25

5 3

2 5

u = (G2, tr.183)

Thay vào (1), ta được 1 1

Lời giải mong đợi

Kiểu nhiệm vụ T10: “Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn”

không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

2.2.1.3. Kết luận

- Đối tượng cấp số nhân được đưa vào M2 theo tiến trình “Công cụ  Đối tượng

 Công cụ”. Cơ chế công cụ tường minh của cấp số nhân được thể hiện qua những

54

ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế cuộc sống (chẳng hạn bài toán dân số ở hoạt

động H3 trong M2 trang 119), trong việc giải bài tập 35 (một bài tập ở môn Vật lí),

trong việc biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. Với việc đưa

vào cơ chế công cụ tường minh của cấp số nhân, M2 đã cho học sinh thấy được sự

ứng dụng của cấp số nhân.

- Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai

số hạng liên tiếp. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn đặc biệt, có công bội

q < 1

q thỏa

- Bảng thống kê số lượng câu ứng với các kiểu nhiệm vụ:

Bài tập Bài tập Tổng cộng Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ trong M2 trong E2

1 0 4 1a 5 T1 3 0 5 1b 8

3 1 2 6 2 T2

1 0 0 3a 1 T3 0 0 1 1 3b

1 0 1 4a 2 T4 0 0 1 4b 1

2 1 1 4 5 T5

1 0 2 6 3 T6

0 2 5 7 7 T7

0 0 2 8 2 T8

3 1 5 9 9 T9

2 0 2 4 10 T10

5 Tổng cộng 31 17 53

Bảng 2.2

Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy:

55

+ Kiểu nhiệm vụ T1 chiếm số lượng câu nhiều nhất (13/53 câu). Điều này

chứng tỏ chương trình Nâng Cao mong muốn học sinh hiểu định nghĩa cấp số nhân,

biết vận dụng định nghĩa cấp số nhân để xác định dãy số đã cho có phải là cấp số

nhân hay không.

+ Kiểu nhiệm vụ T2 chiếm số lượng câu tương đối nhiều (6/53 câu). Điều đặc

=

biệt là kiểu nhiệm vụ này giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa cấp số nhân và

+ (với

b

,a b là các hằng số).

v n

av n

− 1

dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi dạng

+ Hai kiểu nhiệm vụ T7 và T9 cũng chiếm số lượng câu tương đối nhiều: T7

chiếm 7/53 câu, T9 chiếm 9/53 câu. Với 7/53 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7,

chương trình Nâng Cao đã chú trọng đến việc cho học sinh thấy được sự hiện diện,

ứng dụng của cấp số nhân trong môn học khác và trong thực tế cuộc sống. Bên cạnh

đó, việc hai kiểu nhiệm vụ T7 và T9 chiếm tổng cộng 16/53 câu chứng tỏ cơ chế

công cụ tường minh của cấp số nhân rất được quan tâm ở chương trình Nâng Cao.

+ Hai kiểu nhiệm vụ T3 và T8 chiếm số lượng câu ít nhất (2/53 câu). Tuy vậy,

kiểu nhiệm vụ T8 giúp ích cho học sinh trong kiểu nhiệm vụ T9.

+ Số lượng câu tập trung ở phần bài tập (48/53 câu), trong đó có 31 câu trong

M2 và 17 câu trong E2.

- Trong mười kiểu nhiệm vụ nêu trên, có đến năm kiểu nhiệm vụ đề cập đến việc

n

)

=

tính tổng:

S

n

− −

u 1(1 1

q q

để tính + Đối với T5, T6, T7 học sinh sẽ sử dụng công thức

=

+

+

+

=

S

u

...

tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

u 1

2

u 3

u 1 −

q

1

+ Đối với T8, T9 học sinh sẽ sử dụng công thức

để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

2.2.2. Cấp số nhân trong bộ sách Cơ Bản

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M3, E3, G3.

56

2.2.2.1. Khái niệm cấp số nhân trong M3

- Bài “Cấp số nhân” nằm trong chương III: “Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số

nhân”. Chương này gồm các nội dung sau:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học.

Bài 2: Dãy số.

Bài 3: Cấp số cộng.

Bài 4: Cấp số nhân.

Khái niệm dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn được định nghĩa như ở M2. Ba cách để

cho một dãy số cũng giống ở M2.

- Sau dãy số, các đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân lần lượt xuất hiện. Mở

Tục truyền rằng nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt,… cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng.

Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ (M3, tr. 98).

đầu bài “Cấp số nhân”, M3 nêu Hoạt động 1:

Hoạt động 1 này yêu cầu xác định số hạt thóc ở các ô thứ nhất, thứ hai, thứ ba,

Hoạt động 1: Thông qua một bài toán cổ Ấn Độ để giới thiệu cho học sinh biết một quy tắc để thành lập dãy số, tương ứng với số các hạt thóc trên bàn cờ.

Quy tắc đó là: Các số hạng, từ thứ hai trở đi đều gấp đôi số hạng đứng ngay trước nó.

Số hạt thóc ở sáu ô đầu là 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Nếu giáo viên sử dụng hoạt động 1 để vào bài thì có thể gợi ý cho học sinh thấy rằng có thể khái quát quy tắc trên bằng phép nhân với một số bất kì không đổi. (G3, tr. 104).

thứ tư, thứ năm, thứ sáu của bàn cờ. Liên quan đến hoạt động 1, G3 nêu:

Như vậy thông qua hoạt động 1, giáo viên có thể dẫn dắt học sinh đến định

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

nghĩa cấp số nhân:

57

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. (M3, tr. 98)

Định nghĩa cấp số nhân được phát biểu bằng lời. Định nghĩa này giống với định

u = :

0

nghĩa cấp số nhân phát biểu bằng lời trong M2. Sau khi nêu định nghĩa cấp số nhân,

0

u = thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ... (M3, tr. 99)

Khi 1

M3 đưa ra cấp số nhân có số hạng đầu 1

M2 không đề cập đến cấp số nhân này.

Sau đó, M3 trình bày các vấn đề: số hạng tổng quát, tính chất các số hạng, tổng

n số hạng đầu của cấp số nhân và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Khác với M2,

trước khi trình bày ba vấn đề: số hạng tổng quát, tính chất các số hạng, tổng n số

hạng đầu của cấp số nhân, M3 luôn đưa ra một hoạt động dành cho học sinh.

Kết luận:

Hoạt động 1 gắn liền với bài toán cổ Ấn Độ có mục đích dẫn dắt học sinh đến

định nghĩa cấp số nhân.

Cấp số nhân hoạt động dưới dạng đối tượng khi M3 lần lượt trình bày: định

nghĩa cấp số nhân; số hạng tổng quát của cấp số nhân; tính chất các số hạng của cấp

số nhân; tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân; tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

2.2.2.2. Các tổ chức toán học

Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu

nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này

Ở phần này, đối với các tổ chức toán học đã có trong bộ sách Nâng Cao, chúng tôi

chỉ nhắc lại.

A) Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các

kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này đã có trong bộ sách Nâng Cao

 Kiểu nhiệm vụ T1: “Nhận diện cấp số nhân”

Có 9 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T1 (4 câu trong M3 và 5 câu trong E3), trong

đó có 2 câu sử dụng 1a và 7 câu sử dụng 1b.

58

 Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm cấp số nhân có hữu hạn số hạng”

Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T4 (đều trong M3). Cả 3 câu này đều sử dụng

4b.

 Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân”

Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T5 (đều trong M3)

 Kiểu nhiệm vụ T6: “Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân

có hữu hạn số hạng”

Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T6 (trong E3)

Nhận xét:

Ứng với 3 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T5 và 1 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T6, bộ sách

Cơ Bản luôn chọn những cấp số nhân có công bội là một số cụ thể khác 1. Đồng

n

)

=

thời, trong lời giải mong đợi ở 4 câu này, bộ sách Cơ Bản không đề cập đến điều

S

n

− −

u 1(1 1

q q

kiện công bội . 1q ≠ khi sử dụng công thức

Liên quan đến đối tượng cấp số nhân, từ ghi nhận nêu trên, chúng tôi dự đoán

n

)

=

tồn tại ở học sinh một qui tắc sau đây của hợp đồng didactic:

S

1q ≠ ) để tính tổng n số hạng

n

− −

u 1(1 1

q q

R: Khi sử dụng công thức (với

đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công

bội 1q ≠ .

 Kiểu nhiệm vụ T7: “Giải bài toán liên quan đến cấp số nhân ở môn học

khác, trong thực tế cuộc sống”

Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7 (đều trong M3)

 Kiểu nhiệm vụ T8: “Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn”

Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T8 (đều trong M3)

59

 Kiểu nhiệm vụ T9: “Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng

phân số”

Có 1 ứng với kiểu nhiệm vụ T9 (trong M3)

B) Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các

kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này không có trong bộ sách Nâng Cao

 Kiểu nhiệm vụ T3

/: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân

=

(un). Hãy tính uk”

/: Tính

ku

u q − 1. k 1

- Kĩ thuật 3

/: Định lí 1.

- Công nghệ θ3

 Nhận xét:

/ được phát biểu trong M3

+ Kiểu nhiệm vụ T3

/ (trong M3)

+ Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T3

.

q = −

Cho cấp số nhân (

u = ,

3

)nu

với 1

1 2

a) Tính 7u

Ví dụ: Ví dụ 2 (M3, tr. 100)

a) Áp dụng công thức (2), ta có

6

6

=

=

−

=

u

3.

(M3, tr. 100)

7

u q . 1

1 2

3 64

  

  

Lời giải mong đợi

Kiểu nhiệm vụ T3

/: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân 2000: “Tìm số hạng uk / ít hơn một bước so với kĩ thuật

(un). Hãy tính uk” là một trường hợp của kiểu nhiệm vụ T1

2000.

(hay số hạng thứ k) của cấp số nhân”. Kĩ thuật 3

1

60

 Kiểu nhiệm vụ T11: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân

(un). Hãy cho biết thứ tự của số hạng a”

− 1

=

- Kĩ thuật 11:

= a

nu

1. n u q

+ Có

+ Giải tìm n

+ Kết luận a là số hạng thứ n.

- Công nghệ θ11:

+ Qui ước về thứ tự của số hạng un trong dãy số.

+ Định lí 1.

 Nhận xét:

Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T11 (2 câu trong M3 và 2 câu trong E3)

.

q = −

Cho cấp số nhân (

u = ,

3

)nu

với 1

1 2

b) Hỏi

là số hạng thứ mấy?

3 256

Ví dụ: Ví dụ 2 (M3, tr. 100)

Theo công thức (2), ta có

−

−

n

1

n

1

=

−

=

=

3.

nu

1 2

3 256

1 2

1 256

1 2

  

  

 ⇔ −  

  

 = −  

8   

Suy ra

n − = hay 1 8

9n =

Vậy số

là số hạng thứ chín. (M3, tr. 100)

3 256

Lời giải mong đợi

Kiểu nhiệm vụ T11: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân

(un). Hãy cho biết thứ tự của số hạng a” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí

61

hợp nhất năm 2000. Chúng tôi nhận thấy đây là một kiểu nhiệm vụ mới lạ so với

các kiểu nhiệm vụ trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

 Kiểu nhiệm vụ T12: “Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết

các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó”

=

- Kĩ thuật 12:

nu

u q − 1 n 1

+ Sử dụng công thức để lập hệ phương trình hai ẩn 1u và q

+ Giải hệ phương trình tìm số hạng đầu 1u và công bội q

- Công nghệ θ12:

+ Định nghĩa cấp số nhân.

+ Định lí 1.

 Nhận xét:

+ Kiểu nhiệm vụ T12 được nêu trong M3 và E3

+ Có 7 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T12 (3 câu trong M3 và 4 câu trong E3)

, biết:

Tìm số hạng đầu 1u và công bội q của cấp số nhân (

)nu

−

=

u

72

4

2

b)

−

=

144

u 3

 u  u  5

Ví dụ: bài tập 9 (M3, tr. 107)

Giải hệ

3

2

−

=

−

=

72

1)

72

(1)

u q . 1

hay

4

2

2

−

=

−

=

144

(

.

1)

144

(2)

u q . 1

 u q .  1  u q .  1

 u q q . (  1  2 u q q  1

q = , từ đó tìm được

2

(G3,

u = 1 12

Chia các vế tương ứng của (2) cho (1), ta có tr.114)

Lời giải mong đợi

Kiểu nhiệm vụ T12: “Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các

hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó” tương ứng với kiểu nhiệm vụ

62

2000: “Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các hệ thức có chứa

T3

các số hạng của cấp số nhân đó”. Ứng với kiểu nhiệm vụ T12, kĩ thuật 12 được hình

2000, kĩ thuật 3

thành thông qua lời giải mong đợi của các bài tập. Trong khi đó, ứng với kiểu 2000 do chúng tôi đưa ra bởi vì E1 không trình bày lời nhiệm vụ T3

giải tất cả các câu thuộc kiểu nhiệm vụ này mà chỉ đưa ra đáp số.

 Kiểu nhiệm vụ T13: “Viết k số xen giữa các số a và b để được một cấp số nhân

có (k + 2) số hạng”

a= và

+ = b

- Kĩ thuật 13:

2ku

1

=

+ Có 1u

b

a q + . k

+ Có

1

=

=

+ Giải tìm q

n

2, 3,...,

k

+ 1

nu

u q − 1. n

, với + Tính

- Công nghệ θ13:

+ Định nghĩa dãy số hữu hạn

+ Định lí 1.

 Nhận xét:

+ Kiểu nhiệm vụ T13 được nêu trong E3

+ Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T13 (đều trong E3)

a) Viết năm số xen giữa các số 1 và 729 để được một cấp số nhân có bảy số hạng.

Ví dụ: Ví dụ 2 (E3, tr. 115)

u =

u =

729

Ta có 1 12

, 7

6

6

=

=

=

=

Vì

nên

, suy ra

u

q = ± 3

q

729

6 3

7

u q 1.

u 7 u 1

Năm số cần viết là 3, 9, 27, 81, 243 hoặc − 3, 9, − 27, 81, − 243 (E3, tr.115)

Lời giải mong đợi

63

Kiểu nhiệm vụ T13: “Viết k số xen giữa các số a và b để được một cấp số nhân

có (k + 2) số hạng” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

Chúng tôi nhận thấy T13 là một kiểu nhiệm vụ mới lạ so với các kiểu nhiệm vụ

trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

 Kiểu nhiệm vụ T14: “Chứng minh đẳng thức có chứa các bộ 3 số hạng liên

tiếp của một cấp số nhân”

- Kĩ thuật 14:

2

Sử dụng tính chất “Nếu a , b , c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì

b

a c= .

” để chứng minh đẳng thức đã cho.

- Công nghệ θ14: Định lí 2.

 Nhận xét:

Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T14 (đều trong E3)

Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh rằng

2

2

2

2

−

+

−

+

−

=

−

a)

b (

c

)

(

c

a

)

(

d

b

)

(

a

d

)

Ví dụ: Ví dụ 4 (E3, tr. 117)

Ta có 2b

ac=

, 2c

bd=

, ad

bc=

a) Biến đổi vế trái

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+

=

+

−

+

−

+

−

+

− b c (

)

+ − (

c a

)

(

− d b

)

b

c

bc 2

c

2

+ ac a

d

bd 2

b

2

2

2

=

−

+

=

a

2

ad

d

(

− a d

)

(E3, tr. 117)

Lời giải mong đợi

Kiểu nhiệm vụ T14: “Chứng minh đẳng thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp

của một cấp số nhân” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

Tuy nhiên, liên quan đến bộ 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân, E1 có đưa ra kiểu 2000: “Tính giá trị biểu thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp của một nhiệm vụ T7

cấp số nhân”.

C) Nhận xét

64

Các kiểu nhiệm vụ T2, T3, T10 có trong bộ sách Nâng Cao nhưng không có trong

bộ sách Cơ Bản.

2.2.2.3. Kết luận

- Đối tượng cấp số nhân được đưa vào M3 theo tiến trình “Đối tượng  Công

cụ”. Cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ lần đầu qua việc giải quyết một bài

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần.

a) Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào?

tập môn Sinh học ở Ví dụ 3 (M3, tr. 100):

2

u = ,

a) Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta q = và 11u là số tế bào nhận được sau mười lần phân có cấp số nhân với 1 1 chia. Vậy sau 10 lần phân chia, số tế bào nhận được là

− 11 1

=

=

=

1.2

10 2

1024

(M3, tr. 100)

u 11

Lời giải mong đợi

Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? (M3, tr. 104).

Sau đó nó còn được thể hiện trong việc giải bài toán thực tế, chẳng hạn bài tập 5:

- Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai

số hạng liên tiếp. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn đặc biệt, có công bội

q < 1

q thỏa

- Bảng thống kê số lượng câu ứng với các kiểu nhiệm vụ:

65

Bài tập Bài tập Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ Tổng cộng trong M3 trong E3

/

/

1 0 1 1a 2 T1 1 3 3 1b 7

1 0 0 1 3 T3

0 0 0 4a 0 T4 0 3 0 4b 3

1 2 0 3 5 T5

0 0 1 6 1 T6

2 2 0 4 7 T7

2 1 0 8 3 T8

0 1 0 9 1 T9

2 1 1 4 11 T11

0 3 4 12 7 T12

2 0 1 3 13 T13

2 0 2 14 4 T14

Tổng cộng 14 16 13 43

Bảng 2.3

Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy:

+ Kiểu nhiệm vụ T1 chiếm số lượng câu nhiều nhất (9/43 câu). Điều này cho

thấy chương trình Cơ Bản mong muốn học sinh nắm vững định nghĩa cấp số nhân,

biết dựa vào định nghĩa cấp số nhân để nhận diện cấp số nhân.

/, T6, T9 chiếm số lượng câu ít nhất (1/43 câu). T9 chỉ

+ Các kiểu nhiệm vụ T3

chiếm 1/43 câu chứng tỏ chương trình Cơ Bản không chú trọng vấn đề biểu diễn số

thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.

66

+ Kiểu nhiệm vụ T12 chiếm số lượng câu tương đối nhiều (7/43 câu). Điều

1u và công bội q được quan tâm trong

này chứng tỏ vấn đề tìm số hạng đầu

chương trình Cơ Bản.

+ Với 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7 và 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T9,

chương trình Cơ Bản đã tạo điều kiện cho cấp số nhân hoạt động dưới dạng công

cụ. Qua cơ chế công cụ của cấp số nhân, ta thấy được sự ứng dụng của cấp số nhân

trong môn học khác (chẳng hạn môn Sinh học), trong thực tế cuộc sống (chẳng hạn

bài tập 5 trang 104 ở M3 – bài toán dân số) và trong việc biểu diễn số thập phân vô

hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.

+ Số lượng câu được phân bố tương đối đều ở ba phần: ví dụ (chiếm 14/43

câu), bài tập trong M3 (chiếm 16/43 câu), bài tập trong E3 (chiếm 13/43 câu).

n

)

=

- Trong 12 kiểu nhiệm vụ trên, có 4 kiểu nhiệm vụ liên quan đến việc tính tổng:

S

n

− −

u 1(1 1

q q

để tính tổng n + Đối với T5, T6 học sinh sẽ sử dụng công thức

=

số hạng đầu của cấp số nhân.

S

u 1 −

q

1

để tính tổng cấp số + Đối với T8, T9 học sinh sẽ sử dụng công thức

nhân lùi vô hạn.

2.2.3. Kết luận

- Cả M2 và M3 đều giới thiệu một bài toán trước khi đưa ra định nghĩa cấp số

nhân. Cụ thể M2 sử dụng bài toán lãi suất ngân hàng liên quan đến vấn đề lãi kép,

còn M3 sử dụng bài toán cổ Ấn Độ. Trong đó, bài toán lãi suất ngân hàng thể hiện

cơ chế công cụ ngầm ẩn của cấp số nhân, bài toán cổ Ấn Độ gắn liền với hoạt động

1 giới thiệu cho học sinh thấy một dãy số hữu hạn đặc biệt.

- Sau định nghĩa cấp số nhân, M2 và M3 trình bày các vấn đề: số hạng tổng quát

của cấp số nhân, tính chất ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân, tổng n số hạng đầu

tiên của một cấp số nhân. Tuy nhiên, khác với M2, trước khi trình bày ba vấn đề

67

trên, M3 luôn đưa ra một hoạt động dành cho học sinh. Vấn đề tổng của cấp số nhân

lùi vô hạn được trình bày trong chương tiếp theo – chương “Giới hạn”. Cấp số nhân

hoạt động dưới dạng đối tượng trong bốn vấn đề trên.

- Trong 10 tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân ở bộ

sách Nâng Cao và 12 tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân

ở bộ sách Cơ Bản, có đến 7 tổ chức toán học được trình bày ở cả hai bộ sách gắn / là trường liền với các kiểu nhiệm vụ T1, T4, T5, T6, T7, T8, T9. Kiểu nhiệm vụ T3

hợp đặc biệt của kiểu nhiệm vụ T3. Những ghi nhận này chứng tỏ sự thống nhất

giữa hai bộ sách trong việc trình bày cấp số nhân.

- Một điều đáng quan tâm nữa là cả chương trình Nâng Cao và chương trình Cơ

Bản đều tạo điều kiện cho cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ. Ở bộ sách

Nâng Cao, có đến 16/53 câu thể hiện cơ chế công cụ của cấp số nhân. Thông qua cơ

chế công cụ của cấp số nhân, thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành đã cho học sinh

thấy được sự ứng dụng của cấp số nhân trong môn học khác (chẳng hạn môn Vật lí,

môn Sinh học), trong thực tế cuộc sống (chẳng hạn bài toán dân số), trong vấn đề

biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. Vấn đề này được quan

tâm hơn ở bộ sách Nâng Cao (chiếm 9/53 câu), trong khi đó chỉ có 1/43 câu ở bộ

sách Cơ Bản.

- So với chương trình Nâng Cao thì chương trình Cơ Bản chú trọng hơn việc cho

học sinh quan sát ví dụ minh họa trước khi giải quyết các nhiệm vụ được yêu cầu.

Điều này thể hiện qua ghi nhận: có 14/43 câu được phân bố ở phần Ví dụ trong bộ

sách Cơ Bản, trong khi đó chỉ có 5/53 câu được phân bố ở phần Ví dụ trong bộ sách

Nâng Cao.

Những kết luận nêu trên có thể xem là một phần câu trả lời của chúng tôi dành

cho câu hỏi Q2 đã được đặt ra trong phần mở đầu.

Việc làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp

số nhân đã dẫn chúng tôi đến giả thuyết sau đây:

68

H: Trong thể chế dạy học toán lớp 11, liên quan đến đối tượng cấp số nhân, tồn

n

)

=

tại một qui tắc hợp đồng didactic sau:

S

n

− −

q q

u 1(1 1

R: Khi sử dụng công thức (với 1q ≠ ) để tính tổng n số

hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra

điều kiện công bội 1q ≠ .

2.3. So sánh cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí

hợp nhất năm 2000 và trong chương trình toán lớp 11 hiện hành

Liên quan đến khái niệm cấp số nhân, các vấn đề như: định nghĩa cấp số nhân,

số hạng tổng quát của cấp số nhân, tính chất ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân,

q < ) đều được trình

1

tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (tương ứng

trong M1 là tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với

bày ở M1, M2 và M3. Trong đó, vấn đề tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (hay tổng

q < ) trình bày ở chương “Giới hạn”.

1

của cấp số nhân vô hạn có công bội q với

Cùng với các vấn đề trên, cơ chế đối tượng của cấp số nhân thể hiện rõ ràng.

Định nghĩa cấp số nhân trong M1, M2 và M3 đều cho thấy cấp số nhân là dãy số

(hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp. Không có

ràng buộc nào đối với công bội.

2000, T2

dựng quanh đối tượng cấp số nhân gắn liền với các kiểu nhiệm vụ T1

2000, T6

2000, T4

2000, T7

2000, T5

Sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đưa ra 7 tổ chức toán học được xây 2000, 2000. Sách toán lớp 11 hiện hành đưa ra 15 tổ chức T3

toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân gắn liền với các kiểu nhiệm /, T4, T5, T6, T7, T8, T9, T10, T11, T12, T13, T14. Trong đó, 10 kiểu vụ T1, T2, T3, T3

nhiệm vụ T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8, T9, T10 có ở bộ sách Nâng Cao, 12 kiểu /, T4, T5, T6, T7, T8, T9, T11, T12, T13, T14 có ở bộ sách Cơ Bản. nhiệm vụ T1, T3

2000.

Như đã phân tích thì:

2000 là một trường hợp đặc biệt của T3 và T3

/ là một trường hợp của T1

 T1

69

2000 tương ứng với T5.

 T2

2000 tương ứng với T12.

 T3

2000 tương ứng với T4.

 T4

2000 tương ứng với T8.

 T5

2000 là một trường hợp của T1.

2000 không có trong sách toán lớp 11 hiện hành.

 T6

2000, hầu hết các kiểu nhiệm vụ ở sách toán lớp 11 chỉnh lí

 T7

Như vậy, ngoại trừ T7

hợp nhất năm 2000 đều hiện diện ở sách toán lớp 11 hiện hành. Ngoài ra, trong sách

toán lớp 11 hiện hành còn có một vài kiểu nhiệm vụ mới lạ, chẳng hạn như: T7, T9,

T11, T13.

Bên cạnh những ghi nhận trên, cách trình bày cấp số nhân trong chương trình

toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và trong chương trình toán lớp 11 hiện hành

còn có những điểm khác nhau như:

Chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp Chương trình toán lớp 11 hiện hành nhất năm 2000

 Định nghĩa cấp số nhân được đưa vào  Định nghĩa cấp số nhân được đưa vào

ngay từ đầu bài “cấp số nhân”. sau một bài toán: ở chương trình Nâng

Cao là bài toán lãi suất ngân hàng, ở

chương trình Cơ Bản là bài toán cổ Ấn

Độ. Như vậy cách tiếp cận cấp số nhân ở

chương trình toán lớp 11 hiện hành có sự

tiến triển so với cách tiếp cận cấp số

nhân ở chương trình toán lớp 11 chỉnh lí

hợp nhất năm 2000.

,...,

,...

,...,

,...

u

u

, u u 1

2

n

, u u 1

2

n

.. ..

.. ..

 Dùng kí hiệu để chỉ  Không dùng kí hiệu

cấp số nhân (un). để chỉ cấp số nhân (un).

70

 Vấn đề nhận diện cấp số nhân không  Vấn đề nhận diện cấp số nhân được

được chú trọng. chú trọng. Điều này chứng tỏ thể chế

dạy học toán lớp 11 hiện hành mong

muốn học sinh hiểu và nắm vững định

nghĩa cấp số nhân, biết vận dụng định

nghĩa cấp số nhân để xác định một dãy

số có phải là cấp số nhân hay không.

 Có trình bày chứng minh định lí về số  Không trình bày chứng minh định lí về

hạng tổng quát. số hạng tổng quát (mục đích: giảm nhẹ

nội dung lí thuyết giảng dạy trên lớp).

 Tên gọi “cấp số nhân lùi vô hạn”  Tên gọi “cấp số nhân lùi vô hạn” xuất

không xuất hiện. hiện, để chỉ những cấp số nhân vô hạn

có công bội q thỏa |q| < 1.

 Cơ chế công cụ của cấp số nhân khá  Cơ chế công cụ của cấp số nhân rất

mờ nhạt. Kiểu nhiệm vụ “biểu diễn số được quan tâm. Nó thể hiện qua những

thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế

phân số” không có cơ hội xuất hiện. cuộc sống (chẳng hạn bài toán dân số),

trong môn học khác (chẳng hạn môn Vật

lí, môn Sinh học), trong việc biểu diễn

số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng

phân số. Điều này đã giải thích vì sao

thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành

mong muốn học sinh hiểu và nắm vững

định nghĩa cấp số nhân. Chỉ khi nắm

vững định nghĩa cấp số nhân, học sinh

mới có thể sử dụng cấp số nhân như là

công cụ để giải quyết một vài vấn đề.

71

Tóm lại:

So với chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 thì cách trình bày

cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 hiện hành có sự tiến triển, đặc biệt là ở:

- Cách tiếp cận cấp số nhân:

Chương trình toán lớp 11 hiện hành đã dùng mô hình thực tế để dẫn dắt học sinh

đến khái niệm cấp số nhân.

- Cơ chế công cụ của cấp số nhân:

Ở chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, cơ chế công cụ của cấp

số nhân khá mờ nhạt. Trong khi đó, chương trình toán lớp 11 hiện hành đã chú

trọng đến cơ chế công cụ của cấp số nhân, điều này được thể hiện qua những ứng

dụng của cấp số nhân trong thực tế cuộc sống, trong môn học khác, trong việc biểu

diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.

Những kết luận nêu trên có thể xem là phần còn lại của câu trả lời của chúng tôi

dành cho câu hỏi Q2 đã được đặt ra trong phần mở đầu.

72

CHƯƠNG 3:

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mục đích của chương là kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu sau đây:

H: Trong thể chế dạy học toán lớp 11, liên quan đến đối tượng cấp số nhân, tồn

n

)

=

tại một qui tắc hợp đồng didactic sau:

S

n

− −

q q

u 1(1 1

R: Khi sử dụng công thức (với 1q ≠ ) để tính tổng n số

hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra

điều kiện công bội 1q ≠ .

Để kiểm chứng giả thuyết nêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm đối với

học sinh.

Việc kiểm chứng được giả thuyết H sẽ giúp chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời

câu hỏi Q3 đã được đặt ra ở phần mở đầu.

3.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm

 Đối tượng thực nghiệm

Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm đối với học sinh lớp 11 đã học xong nội dung

cấp số nhân.

 Hình thức thực nghiệm

Việc thực nghiệm được tiến hành thông qua bộ câu hỏi điều tra gồm hai bài tập.

Học sinh làm việc cá nhân để hoàn thành từng bài tập được trình bày trong một

phiếu thực nghiệm gồm hai tờ được phát cho mỗi em. Sau khi hết thời gian làm bài

tập 1, chúng tôi yêu cầu học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi giải bài

tập 2.

73

Bài tập 1:

9

)nu có số hạng đầu

u = − và công bội 1

−

=

q

2 3 −

147

243

Cho cấp số nhân (

Hãy tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Thời gian để học sinh hoàn thành bài tập 1 là 5 phút.

Bài tập 2:

2

3

4

5

6

7

8

+

+

+

+

+

+

+

Cho biểu thức

S

= + 1

ab

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

,

,a b R∈ .

với

a =

2 − + 8

20

b =

5

− 4

Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính tổng S với và

Thời gian để học sinh hoàn thành bài tập 2 là 10 phút.

3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm

3.2.1. Xây dựng bài toán thực nghiệm

Bài tập 1:

 Biến didactic

Chúng tôi xây dựng bài tập 1 để thực nghiệm dựa vào việc chọn giá trị biến

didactic sau:

Biến V1.1: Tổng cần tính có ít hay nhiều số hạng đầu?

Hai giá trị của biến:

+ Tổng cần tính có ít số hạng đầu.

+ Tổng cần tính có nhiều số hạng đầu.

74

Biến V1.2: Giá trị của công bội q bằng 1 hay khác 1?

Hai giá trị của biến:

+ Giá trị của công bội q bằng 1.

+ Giá trị của công bội q khác 1.

Trong bài tập 1 này, giá trị của biến V1.1 là “tổng cần tính có nhiều số hạng

đầu”, giá trị của biến V1.2 là “giá trị của công bội q bằng 1”.

Bài tập 2:

 Biến tình huống và biến didactic

Chúng tôi xây dựng bài tập 2 để thực nghiệm dựa vào việc chọn giá trị biến tình

huống và biến didactic sau:

- Biến tình huống

Biến V2.1: Cách cho lũy thừa của ab

Hai giá trị của biến:

)nab hoặc dạng (

)nba .

)nba còn có thêm các dạng n na b , n nb a .

+ Chỉ cho dạng (

)nab hoặc dạng (

+ Ngoài dạng (

- Biến didactic

Biến V2.2: Có được sử dụng máy tính bỏ túi hay không?

Hai giá trị của biến:

+ Được sử dụng máy tính bỏ túi.

+ Không được sử dụng máy tính bỏ túi.

Biến V2.3: Giá trị của tích ab bằng 1 hay khác 1?

Hai giá trị của biến:

+ Giá trị của tích ab bằng 1.

75

+ Giá trị của tích ab khác 1.

)nab ”, giá trị của

Trong bài tập 2 này, giá trị của biến V2.1 là “chỉ cho dạng (

biến V2.2 là “không được sử dụng máy tính bỏ túi”, giá trị của biến V2.3 là “giá trị

của tích ab bằng 1”.

3.2.2. Phân tích chi tiết bài toán thực nghiệm

Bài tập 1:

Trong bài tập này, chúng tôi chọn giá trị của biến V1.1 là “tổng cần tính có

nhiều số hạng đầu”, cụ thể là tổng gồm 10 số hạng đầu, nhằm ngăn chặn việc học

5u , 6u , 7u , 8u , 9u , 10u rồi tính tổng từ 1u đến 10u . Việc chọn giá trị của biến V1.2

sinh tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân bằng cách tính 9 số hạng 2u , 3u , 4u ,

là “giá trị của công bội q bằng 1” nhằm mục đích xem học sinh sẽ ứng xử ra sao

n

)

=

trong trường hợp này. Liệu học sinh có quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công

S

n

− −

u 1(1 1

q q

bội ?. Đây là điều mà chúng 1q ≠ hay không khi sử dụng công thức

tôi quan tâm đối với bài tập này.

n

)

=

 Các chiến lược có thể

S

n

− −

u 1(1 1

q q

)

u 1

=

S1.1: Chiến lược “tổng ”

S 10

− −

(1 1

10 q q

Trong chiến lược này, học sinh sử dụng công thức để tính

tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.

 Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1.1

)

u 1

=

S 10

− −

(1 1

10 q q

S1.1a:

76

−

−

2 3 −

147

243

 −  

10   

  9 1  

   

=

S 10

−

−

1

2 3 −

147

243

−

−

2 3 −

147

243

 −  

10   

  9 1  

   

=

Học sinh có thể đưa ra một trong các kết quả sau:

S 10

−

−

1

2 3 −

147

243

a1:

a2: S10 không tính được.

a3: S10 = 0

0 0

a4: S10 =

a5: kết quả khác

−

=

=

q

1

2 3 −

147

243

)

u 1

=

S 10

− −

(1 1

10 q q

−

=

S 10

10 − 9(1 1 ) − 1 1

S1.1b:

−

=

Học sinh có thể đưa ra một trong các kết quả sau:

S 10

10 − 9(1 1 ) − 1 1

b1:

b2: S10 không tính được.

77

b3: S10 = 0

0 0

b4: S10 =

b5: kết quả khác

nS

nu= 1

” S1.2: Chiến lược “tổng

=

Trong chiến lược này, đầu tiên học sinh tính 1q = rồi sau đó sử dụng công thức

S 10

u 110

để giải quyết bài toán.

−

=

=

q

1

2 3 −

147

243

=

=

= −

− 10.( 9)

90

S 10

u 110

 Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1.2

S1.3: Chiến lược “tính từng số hạng”

Trong chiến lược này, học sinh tính 9 số hạng u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10

rồi tính tổng 10 số hạng u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10.

−

=

= −

u

9.

= − 9

2

u q 1

2 3 −

147

243

2

= −

2 9.1

= − 9

u 3

u q= 1

3

= −

u

3 9.1

= − 9

4

u q= 1

4

= −

4 9.1

= − 9

u 5

u q= 1

5

= −

u

5 9.1

= − 9

6

u q= 1

6

= −

u

6 9.1

= − 9

7

u q= 1

 Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1.3

78

7

= −

7 9.1

= − 9

u 8

u q= 1

8

= −

8 9.1

= − 9

u 9

u q= 1

9

= −

9 9.1

= − 9

u 10

u q= 1

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

= −

S

u

u

u

u

90

u 1

2

u 3

4

u 5

6

7

u 8

u 9

u 10

Vậy 10

S1.4: Chiến lược khác

Chúng tôi nhóm vào đây tất cả các chiến lược khác với các chiến lược kể trên.

+

)10

u ( 1

=

Chẳng hạn những bài làm không rõ ràng của học sinh, hay học sinh có thể tính

S 10

u 10 2

,…

9

−

9

=

= −

= −

9.

9

u 10

u q . 1

2 3 −

147

243

  

  

9).10

=

= −

S

90

 Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1.4

− − ( 9 2

Vậy 10

* Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến chiến lược

Biến V1.1 nhận giá trị là “tổng cần tính có nhiều số hạng đầu” sẽ ngăn chặn

chiến lược S1.3. Trong bài tập 1 này, chúng tôi chọn biến V1.2 với giá trị là “giá trị

n

)

=

của công bội q bằng 1”. Nếu học sinh quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội

S

n

q q

− u 1(1 − 1

thì học sinh sẽ chọn chiến lược S1.2. 1q ≠ khi sử dụng công thức

Ngược lại, học sinh sẽ chọn chiến lược S1.1. Khi đó chúng tôi kiểm chứng được giả

thuyết H.

Bài tập 2:

)nab ”

Trong bài tập này, chúng tôi chọn giá trị của biến V2.1 là “chỉ cho dạng (

nhằm giúp học sinh dễ nhận ra biểu thức S có dạng tổng 9 số hạng đầu của một cấp

79

u = và công bội q

ab=

. Thật vậy, nếu chúng tôi chọn giá số nhân có số hạng đầu 1 1

)nab hoặc dạng (

)nba còn có thêm các dạng

n na b , n nb a ”, chẳng hạn như:

3

4

+

+

+

+

+

+

S

= + 1

2 2 + ba a b

ba (

)

(

ab

)

5 5 b a

6 6 a b

7 7 a b

ba (

8 )

trị của biến V2.1 là “ngoài dạng (

thì sẽ gây khó khăn cho học sinh trong việc nhận ra S là tổng 9 số hạng đầu của một

u = và công bội q

ab=

. Việc chọn giá trị của biến cấp số nhân có số hạng đầu 1 1

V2.2 là “không được sử dụng máy tính bỏ túi” nhằm ngăn chặn việc tính tổng S

bằng cách thay giá trị a, giá trị b vào biểu thức S ban đầu. Chúng tôi nhận thấy biến

)nab ” có thể làm học sinh nghĩ đến việc tính tích

ab trước rồi thay kết quả vào biểu thức S. Tuy nhiên, biến V2.2 nhận giá trị “không

V2.1 nhận giá trị “chỉ cho dạng (

được sử dụng máy tính bỏ túi” có thể làm cho học sinh lưỡng lự với cách tính này.

n

)

=

Tóm lại, việc chọn giá trị biến V2.1 và biến V2.2 như đã nêu tạo điều kiện cho học

S

n

− 1(1 u − 1

q q

sinh nghĩ đến việc sử dụng công thức để rút gọn biểu thức S rồi mới

tính tổng S với giá trị a, b đã cho. Khi đó, việc chọn giá trị của biến V2.3 là “giá trị

của tích ab bằng 1” sẽ tạo cơ hội cho chúng tôi xem học sinh có quan tâm đến việc

n

)

=

kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ hay không khi sử dụng công thức

S

n

q q

− u 1(1 − 1

?. Đây là điều mà chúng tôi quan tâm ở bài tập 2 này.

 Các chiến lược có thể

9

)

u 1

=

S2.1: Chiến lược “rút gọn biểu thức”

S

9

− (1 q − q 1

để Trong chiến lược này, đầu tiên học sinh sử dụng công thức

rút gọn biểu thức S. Sau đó tính tổng S với giá trị a , b đã cho.

 Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2.1

S2.1a:

80

u = và

Biểu thức S là tổng 9 số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1

ab=

9

9

)

ab

 − 1. 1 ( 

 

=

=

. công bội q

S

−

1

ab

− 1 ( − 1

) ab ab

Vậy

− thì:

b =

5

4

a =

2 − + 8

20

9

−

1

− ( 5 4)

2 − + 8

20

  

  

=

S

−

1

− ( 5 4)

2 − + 8

20

9

−

1

  

 −  

=

S

2 5 8 − + 20 8 −

−

1

2 5 8 − + 20 8

9

1

  

 −  

=

S

−

1

− 20 8 − + 8 20 − 20 8 − + 8 20

Với và

9

−

1

  

 −  

=

Học sinh có thể đưa ra một trong các kết quả sau:

S

2 5 8 − + 20 8 −

−

1

2 5 8 − + 8 20

a1:

a2: Tổng S không tính được

a3: S = 0

0 S = 0

a4:

81

a5: kết quả khác

u = và

S2.1b:

Biểu thức S là tổng 9 số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1

ab=

9

9

)

ab

 − 1. 1 ( 

 

=

=

. công bội q

S

−

1

− 1 ( − 1

ab

) ab ab

−

=

=

=

=

ab

− ( 5 4)

1

2 − + 8

20

2 5 8 − + 8 20

− 20 8 − + 8 20

=

S

9 − 1 1 − 1 1

Vậy

=

Học sinh có thể đưa ra một trong các kết quả sau:

S

9 − 1 1 − 1 1

b1:

b2: Tổng S không tính được

b3: S = 0

0 S = 0

b4:

b5: kết quả khác

u = và

S2.1c:

Biểu thức S là tổng 9 số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1

ab=

9

9

ab

)

 − 1. 1 ( 

 

=

=

. công bội q

S

ab ≠ )

1

−

1

ab

− 1 ( − 1

ab ) ab

−

=

=

=

=

ab

− ( 5 4)

1

2 − + 8

20

2 5 8 − + 8 20

− 20 8 − + 8 20

Vậy (với

82

+

+

+

+

+

+

S = + +

2 1 1 1

3 1

4 1

5 1

6 1

7 1

8 1

= 9

S2.2: Chiến lược “thay giá trị a , b trực tiếp vào biểu thức S”

− vào

b =

5 4

a =

2 − + 8

20

Trong chiến lược này, đầu tiên học sinh thay và

biểu thức S đã cho. Sau đó tính tổng S.

 Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2.2

− thì:

b =

5 4

a =

2 − + 8

20

2

3

4

+

+

+

S

= + 1

− ( 5 4)

− ( 5 4)

− ( 5 4)

− ( 5 4)

2 − + 8

20

2 − + 8

20

2 − + 8

20

2 − + 8

20

  

  

  

  

  

  

5

6

7

8

+

+

+

+

− ( 5 4)

− ( 5 4)

− ( 5 4)

− ( 5 4)

2 − + 8

20

2 − + 8

20

2 − + 8

20

2 − + 8

20

  

  

  

  

  

  

  

  

Với và

2

3

4

5

−

−

−

−

−

+

+

+

+

S

= + 1

2 5 8 − + 20 8

2 5 8 − + 20 8

2 5 8 − + 20 8

2 5 8 − + 20 8

2 5 8 − + 20 8

  

  

  

  

  

  

  

  

6

7

−

−

−

+

+

+

2 5 8 − + 8 20

2 5 8 − + 8 20

2 5 8 − + 8 20

  

  

  

  

  

8   

2

3

4

5

+

+

+

+

S

= + 1

− 20 8 − + 20 8

− 20 8 − + 8 20

− 20 8 − + 20 8

− 20 8 − + 8 20

− 20 8 − + 8 20

  

  

  

  

  

  

  

  

6

7

+

+

+

− 20 8 − + 8 20

− 20 8 − + 8 20

− 20 8 − + 8 20

  

  

  

  

  

8   

+

+

+

+

+

+

S = + +

2 1 1 1

3 1

4 1

5 1

6 1

7 1

8 1

= 9

S2.2a:

S2.2b: kết quả khác

83

S2.3: Chiến lược “tính tích ab trước”

Trong chiến lược này, đầu tiên học sinh tính tích ab rồi sau đó thay kết quả ab

vào biểu thức S đã cho để tính tổng.

−

=

=

=

=

ab

− ( 5 4)

1

2 − + 8

20

2 5 8 − + 8 20

− 20 8 − + 8 20

+

+

+

+

+

+

 Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2.3

S = + +

2 1 1 1

3 1

4 1

5 1

6 1

7 1

8 1

= 9

Vậy

S2.4: Chiến lược khác

Chúng tôi nhóm vào đây tất cả các chiến lược khác với các chiến lược kể trên.

ab

 + 1 (

8  ) 9 

=

Chẳng hạn những bài làm không rõ ràng của học sinh, những bài bỏ trống, hay học

S

2

sinh có thể tính tổng S bằng công thức

ab

 + 1 (

8  ) 9 

=

S

2

−

=

=

=

=

ab

− ( 5 4)

1

2 − + 8

20

2 5 8 − + 20 8

− 20 8 − + 8 20

=

 Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2.4

S

= 9

8 + (1 1 )9 2

Vậy

* Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến chiến lược

Biến V2.2 nhận giá trị “không được sử dụng máy tính bỏ túi” sẽ ngăn chặn chiến

lược S2.2 và gây khó khăn cho chiến lược S2.3. Chúng tôi chọn giá trị của biến

V2.3 là “giá trị của tích ab bằng 1” nhằm mục đích xem ứng xử của học sinh khi

n

)

=

thực hiện chiến lược S2.1. Nếu học sinh quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công

S

1q ≠ khi sử dụng công thức

n

q q

− u 1(1 − 1

thì học sinh sẽ chọn S2.1c. Ngược bội

84

lại, học sinh sẽ chọn S2.1a và S2.1b. Điều này sẽ góp phần khẳng định tính đúng

đắn của giả thuyết H.

3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 127 học sinh ở 3 lớp 11 trường THPT Thủ

Thiêm.

−

=

Bài tập 1:

u = − và công bội

9

q

)nu có số hạng đầu 1

2 3 −

147

243

Cho cấp số nhân (

Hãy tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Bảng thống kê bài làm bài tập 1 của các học sinh như sau:

n

)

=

Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ

S

n

− −

u 1(1 1

q q

−

)

u 1

=

=

S1.1: Chiến lược “tổng ”

q

S 10

− −

2 3 −

(1 1

10 q q

147

243

)

u 1

=

S1.1a: Thay vào 85 66,94%

S 10

− −

(1 1

10 q q

S1.1b: Tính 1q = rồi thay vào 12 9,44%

nS

nu= 1

S1.2: Chiến lược “tổng ” 19 14,96%

S1.3: Chiến lược “tính từng số hạng” 5 3,94%

S1.4: Chiến lược khác (Những bài làm không rõ ràng của 6 4,72% học sinh)

Tổng cộng 127 100%

Bảng 3.1

85

 Nhận xét:

Trong 127 học sinh tham gia giải bài tập 1, có đến 97 học sinh (chiếm tỷ lệ

76,38%) thực hiện chiến lược S1.1. Những học sinh này đã mắc sai lầm do không

n

)

=

quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ khi sử dụng công thức

S

n

− 1(1 u − 1

q q

để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Ghi nhận này cho

phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết H mà chúng tôi đã đưa ra ở chương 2.

Một số bài làm mắc sai lầm của học sinh:

- Bài làm của học sinh H1:

Học sinh H1 sử dụng chiến lược S1.1a. Bài làm trên cho thấy có thể học sinh này

đang băn khoăn về kết quả của tổng S10.

86

- Bài làm của học sinh H2:

Học sinh H2 sử dụng chiến lược S1.1a và kết luận không có tổng.

- Bài làm của học sinh H3:

Học sinh H3 sử dụng chiến lược S1.1a và đưa ra kết quả S10 = 0

87

- Bài làm của học sinh H4:

Học sinh H4 sử dụng chiến lược S1.1b và đưa ra kết quả S10 = 0.

Bài tập 2:

2

3

4

5

6

7

8

+

+

+

+

+

+

+

Cho biểu thức

S

= + 1

ab

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

,a b R∈ .

, với

b =

5

− 4

a =

2 − + 8

20

Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính tổng S với và

Bảng thống kê bài làm bài tập 2 của các học sinh như sau:

Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ

S2.1: Chiến lược “rút gọn biểu thức”

− vào biểu

b =

5 4

a =

2 − + 8

20

S2.1a: Thay và

9

=

33 25,99%

S

− 1 ( − 1

ab ) ab

thức rút gọn

88

ab = rồi thay vào biểu thức rút

1

9

S2.1b: Tính tích

=

S

) ab ab

− 1 ( − 1

9

=

22 17,33% gọn

S

) ab ab

− 1 ( − 1

S2.1c: Sau khi rút gọn , học sinh tính

ab = rồi thay kết quả

1

ab = vào biểu thức S ban

1

10 7,87% tích

đầu

S2.2: Chiến lược “thay giá trị a , b trực tiếp vào biểu 12 9,44% thức S”

ab

 + 1 (

8  ) 9 

48 37,8% S2.3: Chiến lược “tính tích ab trước”

=

S

2

2 1,57% S2.4: Chiến lược khác

Tổng cộng 127 100%

Bảng 3.2

 Nhận xét:

Trong các chiến lược mà học sinh đã thực hiện để giải bài tập 2, chúng tôi đặc

n

)

=

biệt chú ý đến chiến lược S2.1. Ở chiến lược này, học sinh đã sử dụng công thức

S

n

q q

− u 1(1 − 1

để rút gọn biểu thức S rồi tính tổng với giá trị a,b đã cho. Trong

65/127 (51,19%) học sinh sử dụng chiến lược S2.1, có đến 55 học sinh sử dụng

S2.1a và S2.1b. Việc thực hiện S2.1a và S2.1b để giải bài tập 2 cho thấy học sinh đã

n

)

=

mắc sai lầm do không quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ khi sử

S

n

q q

− u 1(1 − 1

dụng công thức . Như vậy, kết quả thu được từ bài làm của học sinh

ở bài tập 2 đã góp phần khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết H.

Một số bài làm mắc sai lầm của học sinh:

89

- Bài làm của học sinh H5:

Học sinh H5 sử dụng chiến lược S2.1a và đưa ra kết quả S9 = 0.

- Bài làm của học sinh H6:

Học sinh H6 sử dụng chiến lược S2.1a và đưa ra kết quả S = 1.

90

- Bài làm của học sinh H7:

Học sinh H7 sử dụng chiến lược S2.1b và kết luận S9 vô nghiệm.

3.4. Kết luận

Kết quả thực nghiệm cho thấy phần lớn học sinh đã mắc sai lầm khi gặp bài toán

tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân có giá trị công bội q là 1. Điều này

chứng tỏ những ràng buộc của thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành đã ảnh hưởng

đến mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng cấp số nhân. Liên quan đến đối

tượng này, việc thể chế chỉ cho các nhiệm vụ tính tổng n số hạng đầu của những cấp

số nhân có công bội q là số cụ thể khác 1 và không đề cập đến điều kiện công bội

n

)

=

1q ≠ trong lời giải mong đợi của các nhiệm vụ này đã dẫn đến tồn tại ở học sinh

S

n

− −

u 1(1 1

q q

(với một qui tắc hợp đồng didactic: “Khi sử dụng công thức 1q ≠ )

để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm

kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ ”.

Những kết luận nêu trên có thể xem là câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi

Q3 được đặt ra ở phần mở đầu.

91

KẾT LUẬN

Việc nghiên cứu đối tượng cấp số nhân ở cấp độ đại học, trong thể chế dạy học

toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và trong thể chế dạy học toán lớp 11 hiện

hành đã cho phép chúng tôi trả lời cho các câu hỏi Q0, Q1, Q2 nêu ở phần mở đầu.

Ngoài ra, kết quả thu được từ thực nghiệm đã chứng tỏ tính đúng đắn của giả thuyết

nghiên cứu nêu ở chương 2. Qua đó, chúng tôi có câu trả lời cho câu hỏi Q3 đặt ra ở

phần mở đầu. Sau đây là những kết quả chính đạt được trong luận văn.

1. Ở chương 1, qua việc phân tích hai tài liệu M01 và M03, chúng tôi đã cố gắng

làm rõ một vài vấn đề liên quan đến cấp số nhân ở cấp độ đại học:

- Cấp số nhân còn được gọi là dãy nhân. Nó là một dãy đặc biệt, được định

nghĩa ứng với tập nguồn N (tức là chỉ số n ≥ 0) và cho cả hai trường hợp của tập

đích: K C= hay K R= . Công bội của cấp số nhân có thể là số thực không đổi

hoặc số phức không đổi, và không bị ràng buộc nào. Công bội của một cấp số nhân

n

n

− 1

k

=

(

r

)n

≠ ) được đưa vào một cách ngầm ẩn:

có thể duy nhất hoặc không duy nhất. Cách tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

r C r∈

,

1

r

∈ (với n N

∑

− 1 − 1

r r

=

k

0

.

- Cấp số nhân có sự liên hệ với dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi.

r K∈ :

- Với

r < hay 1

)n

r

1r = thì cấp số nhân (

∈ hội tụ. Hơn nữa, trong n N

Nếu

1

r < thì cấp số nhân (

)n

r

1r > thì cấp

∈ hội tụ đến 0. Nếu n N

trường hợp

)n

r

∈ có giới hạn + ∞ . n N

n

r < thì 1

r

số nhân (

r

)n

∈ tạo nên chuỗi lũy thừa n N

∑ . Nếu

≥

n

0

+ ∞

n

=

Cấp số nhân (

r

∑

1 −

1

r

=

0

n

.

92

2. Ở chương 2, qua việc phân tích các tài liệu M1, E1, TL, M2, E2, G2, M3, E3,

G3, M4, E4 chúng tôi đã làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí

hợp nhất năm 2000 với đối tượng cấp số nhân và mối quan hệ thể chế dạy học toán

lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp số nhân. Từ kết quả phân tích được, chúng tôi

đã chỉ ra sự tiến triển của cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11

hiện hành so với cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí

hợp nhất năm 2000. Sự tiến triển đó thể hiện ở nhiều khía cạnh, đặc biệt là ở:

- Cách tiếp cận cấp số nhân:

Ở chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, định nghĩa cấp số

nhân được đưa vào ngay từ đầu bài “cấp số nhân”. Trong khi đó, chương

trình toán lớp 11 hiện hành đã dùng mô hình thực tế để dẫn dắt học sinh đến

khái niệm cấp số nhân.

- Cơ chế công cụ của cấp số nhân:

Ở chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, cơ chế công cụ của

cấp số nhân khá mờ nhạt. Trong khi đó, chương trình toán lớp 11 hiện hành

đã chú trọng đến cơ chế công cụ của cấp số nhân, điều này được thể hiện qua

những ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế cuộc sống, trong môn học

khác, trong việc biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.

Bên cạnh đó, việc làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành với

đối tượng cấp số nhân đã dẫn chúng tôi đến giả thuyết nghiên cứu sau:

H: Trong thể chế dạy học toán lớp 11, liên quan đến đối tượng cấp số nhân, tồn

n

)

=

tại một qui tắc hợp đồng didactic sau:

S

n

− −

u 1(1 1

q q

R: Khi sử dụng công thức (với 1q ≠ ) để tính tổng n số

hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra

điều kiện công bội 1q ≠ .

93

3. Ở chương 3, chúng tôi trình bày nghiên cứu thực nghiệm đối với học sinh lớp

11. Kết quả thực nghiệm cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết đã đặt ra. Qua

đó cho thấy những ràng buộc của thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành đã ảnh

hưởng đến mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng cấp số nhân: việc thể chế

chỉ cho các nhiệm vụ tính tổng n số hạng đầu của những cấp số nhân có công bội q

1q ≠ trong lời giải

là số cụ thể khác 1 và không đề cập đến điều kiện công bội

n

)

=

mong đợi của các nhiệm vụ này đã dẫn đến việc học sinh không có trách nhiệm

S

n

− −

q q

u 1(1 1

kiểm tra điều kiện công bội để tính 1q ≠ khi sử dụng công thức

tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

Do không tìm được nguồn tài liệu nghiên cứu nên chúng tôi chưa phân tích khoa

học luận lịch sử hình thành khái niệm cấp số nhân. Đó là hướng nghiên cứu mới có

thể mở ra từ luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Song ngữ Việt – Pháp

1. Annie Bessot và Claude Comiti, Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I, Lê Thị

Hoài Châu và Lê Văn Tiến, Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh (2009), Những yếu

tố cơ bản của didactic Toán, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh.

Tiếng Việt

2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán,

Nhà xuất bản Giáo dục.

3. Phan Đức Chính (Tổng Chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Phạm

Gia Đức, Trần Luận (2003), Toán 7 tập một, Nhà xuất bản Giáo dục.

4. Văn Như Cương – Trần Văn Hạo – Ngô Thúc Lanh (2001), Tài liệu hướng dẫn

giảng dạy toán 11, Nhà xuất bản Giáo dục.

5. Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn

Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình (2009), Sách bài tập

Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

6. Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh (Chủ biên

phần hai), Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn (2001), Bài tập Đại số và Giải tích 11, Nhà

xuất bản Giáo dục.

7. Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh (Chủ biên

phần hai), Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn (2001), Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản

Giáo dục.

8. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn

Tiến, Vũ Viết Yên (2011), Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt

Nam.

9. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn

Tiến, Vũ Viết Yên (2006), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản

Giáo dục.

10. Jean – Marie Monier (2009), Giải tích 1 (Người dịch: Lý Hoàng Tú), Nhà xuất

bản Giáo dục Việt Nam.

11. Jean – Marie Monier (2002), Giải tích 3 (Người dịch: Nguyễn Văn Thường),

Nhà xuất bản Giáo dục.

12. Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân

Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số và Giải tích 11 Nâng

Cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

13. Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân

Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2006), Sách giáo viên Đại số và

Giải tích 11 Nâng Cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

14. Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, Phạm Đức

Quang (2011), Bài tập Toán 7 tập một, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

15. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông, Nhà

xuất bản Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.

16. Vũ Tuấn (Chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên

(2006), Bài tập Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục.

17. Vụ Giáo dục trung học (2007), Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung

học phổ thông môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục.

PHỤ LỤC

CÁC BÀI TẬP TRONG THỰC NGHIỆM

Họ và tên học sinh: ...........................................................................................................

Lớp: ...................................................................................................................................

−

=

Bài tập 1:

u = − và công bội

9

q

)nu có số hạng đầu 1

2 3 −

147

243

Cho cấp số nhân (

Hãy tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Bài làm

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Bài tập 2:

2

3

4

5

6

7

8

+

+

+

+

+

+

+

Cho biểu thức

S

= + 1

ab

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

(

ab

)

,a b R∈ .

, với

a =

b =

5

− 4

2 − + 8

20

Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính tổng S với và

Bài làm

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................