ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM
NGUYỄN CHI
MỘT VÀI MỞ RỘNG VÉCTƠ
CỦA NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán giải tích
số: 60.46.01
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC
Thái
Nguyên
-
2011
.
.
Mục lục
Chương 1. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.Mtskiếnthcchunb.......................................... 3
1.2.Nguyên biến phân Ekeland cổ điển. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.Nguyên biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.Nguyên biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 3. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ DỰA TRÊN SỰ TỒN
TẠI ĐIỂM CỰC TIỂU CỦA MỘT TẬP TRONG KHÔNG GIAN
TÍCH........................................................ 25
3.1.Quan hệ thứ tự trong không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.Sự tồn tại điểm cực tiểu của một tập trong không gian tích. . . . . . . . . . 27
3.3.Mở rộng Định lý 2.2.8............................................. 37
3.4.Ứng dụng: Nguyên biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị . . . 40
Kếtlun...................................................... 43
Tàiliuthamkho............................................ 44
i
.
MỞ
ĐẦU
Chúng
ta
đã
biết
rằng
một
hàm
f
nửa
liên
tục
dưới
trên
một
tập
đóng
X
thì
đạt
cực
tiểu
trên
đó
nếu
X
compact,
điều
y
không
còn
đúng
nữa
nếu
bỏ
giả
thiết
compact.
Năm
1974,
Ekeland
đưa
ra
một
nguyên
lý
mới
(được
gọi
nguyên
lý
biến
phân
Ekeland).
Nguyên
lý
y
phát
biểu
rằng
nếu
cho
trước
một
hàm
nửa
liên
tục
dưới
và
bị
chặn
dưới
f
trên
một
không
gian
mêtríc
đầy
đủ,
ta
thể
tìm
được
một
hàm
nhiễu
của
f
sao
cho
hàm
nhiễu
y
cực
tiểu
toàn
cục.
Ngoài
ra,
nếu
f
hàm
khả
vi
thì
đạo
hàm
của
f
thể
làm
nhỏ
tùy
ý.
Trong
hơn
30
năm
qua,
nguyên
lý
biến
phân
Ekeland
đã
được
mở
rộng
theo
nhiều
hướng:
các
ánh
xạ
đơn
tr
hoặc
đa
tr
nhận
giá
tr
trong
không
gian
lồi
địa
phương,
không
gian
véctơ,
ánh
xạ
nhiễu
hàm
trơn,...
Nguyên
lý
y
đã
trở
thành
một
công
cụ
mạnh
và
được
sử
dụng
rất
nhiều
trong
giải
tích
không
trơn,
giải
tích
phi
tuyến,
tối
ưu,
...
Trong
bản
luận
văn
y,
chúng
tôi
giới
thiệu
lại
một
cách
hệ
thống
một
vài
dạng
véctơ
của
nguyên
lý
biến
phân
Ekeland
được
trình
y
trong
các
bài
báo
[3],
[10],
[12]
của
các
tác
giả
Y.Araya,
Chr.Tammer,
C.Zălinescu
và
T.X.Đ.Ha.
Ngoài
phần
mở
đầu
và
kết
luận,
luận
văn
gồm
3
chương:
Chương
1:
Gồm
một
số
kết
quả
của
giải
tích
cổ
điển
v
các
điều
kiện
để
hàm
nửa
liên
tục
dưới
đạt
giá
tr
cực
tiểu;
nguyên
lý
biến
phân
Ekeland
cổ
điển
được
trình
y
trong
bài
báo
[6]
và
một
cách
chứng
minh
ngắn
gọn
nguyên
lý
biến
phân
Ekeland
cho
trường
hợp
không
gian
hữu
hạn
chiều
sử
dụng
điều
kiện
bức
theo
[1]
.
Chương
2:
Một
vài
sự
mở
rộng
của
nguyên
lý
biến
phân
Ekeland
cho
ánh
xạ
đơn
tr
và
đa
tr
nhận
giá
tr
trong
không
gian
véctơ
từ
các
bài
báo
1
.
[3],[10].
Chương 3: Định lý v sự tồn tại của điểm cực tiểu của một tập trong không
gian tích và một vài mở rộng của nguyên biến phân Ekeland được giới
thiệu trong bài báo [12]. Qua cách tiếp cận mới y, ta được các kết
quả đã trình y chương 2.
Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS.TS Trương Xuân Đức Hà,
người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin được bầy tỏ lòng biết ơn tới các thầy của Trường Đại học
phạm Thái Nguyên, trường Đại học phạm I - Nội, Viện Toán học Nội
đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học.
Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trung tâm Giáo dục thường xuyên
và Đào tạo cán bộ tỉnh Quảng Ninh, gia đình và bạn đã giúp đỡ tác giả rất
nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
2
.