Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành

: Toán giải tích

Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của tôi được thực hiện

dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn.

Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu

từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi

xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018

Học viên thực hiện

KETTAVONG Chinnalone

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn

Anh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và

hoàn thành luận văn. Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rất

nhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận này.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy trong khoa Toán – Tin

và cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời

gian học tập và làm luận văn tại trường.

Và cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các anh chị em, bạn bè

gần xa và người thân trong gia đình đã luôn khuyến khích, động viên giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

KETTAVONG Chinnalone

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Các ký hiệu

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................... 3

1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính .......................... 3

1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy ............................... 12

1.3. Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi

phân tuyến tính .......................................................................................... 13

1.4. Một liên hệ giữa ổn định và xấp xỉ .......................................................... 18

Chương 2. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................... 26

2.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát .............. 26

2.2. Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát .................................. 40

Chương 3. BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................. 46

3.1. Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán

(3.1), (3.2) ................................................................................................. 46

3.2. Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2) ............................................ 51

KẾT LUẬN ........................................................................................................ 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 61

CÁC KÝ HIỆU





– Kronecker tức là: 

là vectơ cột n - chiều, 

Trên ta trang bị các chuẩn

 Ký hiệu – ma trận cấp .

Đặt

Trên ta có 2 chuẩn sau là tương đương. Nếu thì

hoặc

 Cho

Ta nói:



 Cho . Ta gọi mỗi ánh xạ

là một ma trận hàm cấp

 Ma trận hàm gọi là liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối,

khả tích, khả vi trên I nếu tất cả các hàm có các tính

chất đó trên I.

 Cho ma trận hàm

Đặt

 là không gian các ma trận hàm cấp liên tục và bị chặn trên

I với chuẩn

 Nếu là không gian các ma trận hàm

với chuẩn liên tục trên

hoặc

 là không gian các ma trận hàm cấp

liên tục tuyệt đối trên với chuẩn

liên tục tuyệt đối trên mọi  là tập các ma trận hàm cấp

tập con compắc của I.

là không gian các ma trận hàm cấp khả tích bậc trên I 

với chuẩn

với

là không gian các ma trận hàm cấp khả tích bậc trên 

mỗi tập con compắc của I.

E – ma trận đơn vị. 

– ma trận không. 

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bài toán biên xuất hiện từ thế kỷ XVIII nhưng đến nay vẫn phát

triển mạnh mẽ do có các ứng dụng sâu sắc trong vật lý, cơ học, cơ khí, sinh

học... Bài toán trên cho hệ phương trình vi phân tuyến tính vào các điều kiện

biên khác nhau như tuần hoàn, đối xứng, phản đối xứng, nhiều điểm cũng đã

được xem xét. Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có

rất nhiều ứng dụng trong vật lý và cơ học. Chính vì thế tôi chọn đề tài “bài toán

biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính”.

2. Ý nghĩa của luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khi

nghiên cứu về bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính.

3. Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ

phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho

bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.

4. Nội dung của luận văn

Chương1: Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta xây dụng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và nghiên

cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này.

Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến

tính.

Trong chương này, chúng ta xây dựng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy

nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.

Hơn nữa, ta còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này.

Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tuyến

tính.

2

Mục đích chính của chương 3 là áp dụng các kết quả của chương 1 và

chương 2 để xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm cho bài

toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Ngoài ra, chúng ta

cũng nghiên cứu một số tính chất đại số cho nghiệm của bài toán biên hai điểm

khi bài toán biên thuần nhất tương ứng có nghiệm khác tầm thường.

3

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Giả sử là một khoảng (đoạn, bán đoạn, khoảng hữu hạn hay vô hạn)

.

Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính:

(1.1)

Véctơ hàm được gọi là nghiệm của hệ (1.1) , nếu hầu khắp nơi

trên I có:

Với cố định. Bài toán tìm nghiệm x(t) của hệ (1.1) thỏa điều

kiện đầu:

(1.2)

gọi là bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.

Bổ đề 1.1

Giả sử và hàm số hầu khắp nơi

trên I thỏa bất đẳng thức:

(1.3)

và

(1.4)

Khi đó

(1.5)

Xem chứng minh trong [1].

4

Bổ đề 1.2

Giả sử

(1.6)

Khi đó ta có:

(1.7)

Xem chứng minh trong [1].

Định lý 1.1

thì bài toán Cauchy (1.1), Nếu

(1.2) có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất.

Chứng minh

Trước hết ta nhận thấy x(t) là nghiệm của (1.1), (1.2)

khi và chỉ khi x(t) là nghiệm của phương trình:

(1.8)

Phương trình (1.8) là phương trình tích phân dạng Volter.

 Ta chứng minh tồn tại nghiệm của (1.8) bằng xấp xỉ Picard.

Xét dãy vectơ hàm xác định như sau:

(1.9)

5

Dễ thấy

Ta chứng minh rằng dãy là hội tụ đều trên I bằng cách chứng

minh rằng chuỗi:

(1.10)

hội tụ đều trên I.

Ta có:

(1.11)

với

Với k > 1 thì:

(1.12)

Do (1.11) ta có:

với

6

Vậy nếu thì (1.13)

Giả sử (1.13) đúng với số tự nhiên k nào đó. Ta chứng minh nó đúng với

k+1.

Từ (1.12) ta có:

(Do và đơn điệu tăng theo )

Vậy theo nguyên lý qui nạp (1.13) đúng với

Do chuỗi

(1.14)

hội tụ đều trên I về hàm

Nên theo dấu hiệu Weirstrass chuỗi (1.10) hội tụ đều về hàm x(t) trên I.

đều trên I. Hay

Chuyển (1.9) qua giới hạn ta có:

7

Vậy x(t) – nghiệm của (1.8) và do đó nó là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).

 Ta chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất.

Giả sử x(t), y(t) – nghiệm của (1.1), (1.2). Theo (1.8) ta có:

hay

Áp dụng bổ đề 1.2 với ta có:

hay

Định lý đã được chứng minh.

Xét hệ phương trình tuyến tính :

(1.1)

với

Khi thì (1.1) thành:

(1.15)

(1.15) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của (1.1).

Ta biết tập các nghiệm của hệ (1.15) làm thành một không gian vectơ.

8

Hệ quả 1.1

Giả sử X(t) là một ma trận cơ bản (là một hệ nghiệm cơ bản) của hệ (1.15).

Khi đó mọi nghiệm x của hệ (1.15) đều có thể viết dưới dạng:

(1.16)

với và ngược lại, với mọi , vectơ x(t) cho bởi công thức (1.16) là

nghiệm của hệ (1.15).

Trong đại số tuyến tính ta định nghĩa: nếu thì

Định lý 1.2

Giả sử và hầu khắp nơi trên I ta có:

(1.17)

Khi đó ma trận

(1.18)

là ma trận cơ bản của hệ (1.15).

Chứng minh

Do (1.17) nên theo kết quả trong đại số tuyến tính ta có:

và do đó tích phân 2 vế ta có:

(1.19)

Theo (1.18) ta có:

9

(1.20)

hội tụ trên là hội tụ đều trên I (nên ta có thể chuyển qua dấu tích phân).

Ta có:

Vậy:

hầu khắp nơi trên I

hay

hầu khắp nơi trên I và

Vậy X(t) là ma trận cơ bản của hệ (1.15).

10

Định lý 1.3

Giả sử là ma trận hàm mà các cột của nó là nghiệm của hệ

(1.15). Khi đó ta có:

(1.21)

Định nghĩa 1.1

Ma trận hàm

gọi là ma trận Cauchy của hệ (1.15) nếu với mỗi là ma trận cơ bản của hệ (1.15) thỏa điều ma trận hàm

kiện đầu:

(1.22)

Định lý 1.4

Ma trận Cauchy của hệ (1.15) tồn tại và duy nhất. Hơn nữa nó có dạng:

(1.23)

Trong đó X(t) – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15).

Chứng minh

 Tồn tại là hiển nhiên.

 Ta chứng minh tính duy nhất:

Giả sử – ma trận Cauchy của hệ (1.15).

Giả sử – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15).

Do với mỗi – ma trận cơ bản nên

Do nên .

Suy ra

Và do đó:

(1.24)

Định lý được chứng minh.

11

Định lý 1.5

Với , mọi nghiệm của hệ (1.15) có dạng:

(1.25)

với – ma trận Cauchy của (1.15).

Chứng minh

Do với cố định là ma trận cơ bản nên với mọi nghiệm của hệ

(1.15) đều có dạng:

(1.26)

Vậy

Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.6

Giả sử và khắp nơi trên I thỏa:

(1.27)

Khi đó ma trận

(1.28)

là ma trận Cauchy của hệ (1.15).

Chứng minh

Do (1.27) nên ma trận là ma trận cơ bản của hệ

(1.24).

12

Định lý được chứng minh.

Hệ quả 1.2

Nếu thì ma trận Cauchy của hệ phương trình vi phân

(1.29)

có dạng:

(1.30)

1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy

Xét bài toán Cauchy:

(1.1)

(1.2)

. với

Theo định lý 1.1 bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất. Ta tìm công thức

nghiệm của nó theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.

Gọi X(t) – ma trận cơ bản của hệ thuần nhất

(1.15)

Ta tìm nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) dưới dạng:

(1.31)

y(t) cần xác định để (1.31) là nghiệm, ta có:

(1.32)

Thay vào (1.1) ta có:

13

hay

(1.33)

Vậy y(t) – nghiệm của hệ (1.33) thỏa điều kiện đầu:

(1.34)

Lấy tích phân ta có:

Thay vào (1.31) ta có:

hay

(1.35)

là nghiệm của hệ (1.1), (1.2) và (1.35) gọi là công thức Cauchy.

Định lý 1.7

Nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy (1.1), (1.2) được cho bởi công thức

Cauchy với – ma trận Cauchy của hệ (1.15).

1.3. Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân

tuyến tính

Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét bài toán:

(1.36)

14

(1.37)

Định nghĩa 1.2

Bài toán (1.1), (1.2) được gọi là xấp xỉ được nếu với mỗi (đủ bé),

(đủ lớn) đều tồn tại sao cho:

Với mọi và thỏa các điều

kiện:

(1.38)

(1.39)

và

(1.40)

Khi đó:

(1.41)

Định lý 1.8

Nếu

(1.42)

thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được.

Chứng minh

Do (1.42) nên nghiệm x của bài toán (1.1), (1.2) thuộc không gian

Đặt:

15

và

(1.43)

Khi đó:

(1.44)

Do (1.44) nên với tồn tại sao cho:

(1.45)

Xét bài toán (1.36), (1.37) với

thỏa các điều kiện (1.38), (1.39), (1.40).

Giả sử y(t) là nghiệm của bài toán (1.36), (1.37) và

Khi đó:

(1.46)

Mặt khác theo (1.38) ta có:

(1.47)

Do

16

Tích phân hai vế (1.46) ta có:

Lấy chuẩn 2 vế ta có:

. (1.48)

Do

(do 1.39)

Áp dụng tích phân từng phần ta có:

Mặt khác do (1.39) ta có:

Do đó thay vào trên ta có:

17

Thay vào (1.48) ta có:

Áp dụng bổ đề 1.2 ta có:

Mặt khác do (1.39), (1.40), (1.41) ta có:

Do đó:

Vậy định lý được chứng minh.

Chú ý:

Nếu ta định nghĩa khái niệm hệ xấp xỉ được theo nghĩa sau:

Bài toán (1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ được nếu:

Với mọi dãy

thỏa các điều kiện:

(1.49)

18

đều trên I

(1.50)

(1.51)

thì

(1.52)

là nghiệm của bài toán Với x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) và

Khi đó định lý 1.8 có thể phát biểu như sau:

Định lý 1.9

Giả sử

thỏa các điều kiện (1.49) – (1.51). Khi đó (1.52)

là nghiệm của bài được thực hiện với x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2),

toán

1.4. Một liên hệ giữa ổn định và xấp xỉ

Định lý 1.10

Giả sử và

và (1.53)

Khi đó nếu P là ổn định tiệm cận lũy thừa thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ

được.

Chứng minh

19

Giả sử , x(t) là nghiệm của bài toán

(1.1)

(1.2)

Do P là ổn định tiệm cận lũy thừa nên ta có

i. Nghiệm x(t) thỏa điều kiện

(1.54)

ii. Gọi là ma trận Cauchy của hệ (1.15) tồn tại các số sao

cho:

(1.55)

iii. Do nên tồn tại sao cho:

(1.56)

Do (1.54) với và tồn tại sao

cho:

(1.57)

Đặt

Khi đó do đó theo định lý 1.8 bài toán (1.1),

(1.2) là xấp xỉ được. Khi đó tồn tại

(1.58)

sao cho với mọi và

thoả

20

(1.59)

và

(1.60)

thì

(1.61)

với y(t) là nghiệm của bài toán

(1.36)

(1.37)

Ta cần chứng minh

(1.62)

Khi đó theo (1.61), (1.62) thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được.

Đặt

Khi đó

hay

21

Ta có

Theo (1.56) và (1.61) ta có

(1.63)

và

(1.64)

Mặt khác theo (1.54), (1.57), (1.60) ta có

(1.65)

Tích phân từmg phần và lưu ý

Ta có

22

Từ đó theo (1.55), (1.56), (1.58), (1.59) ta có:

(1.66)

Từ các đánh giá từ (1.63)→(1.66) ta có:

Từ đó theo bổ đề 1.2 và (1.60) ta có:

Vậy (1.62) đúng. Định lý được chứng minh.

Định nghĩa 1.3

Cho và . Bài toán

(1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ yếu nếu tồn tại sao cho với mọi

và thoả các điều kiền

23

(1.67)

Ta có

(1.68)

Với x và y tương ứng là các nghiệm của các bài toán (1.1), (1.2) và (1.36),

(1.37).

CHÚ Ý:

Xấp xỉ trên gọi là xấp xỉ yếu do điều kiện (1.67) mạnh hơn các điều kiện

(1.59), (1.60).

Định lý 1.11

Giả sử và . (1.69)

Nếu P là ổn định đều thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ yếu.

Chứng minh

Giả sử x(t) là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).

Do P là ổn định đều nên tồn tại số sao cho

(1.70)

Với là ma trận Cauchy của hệ (1.15).

Đặt

24

Do (1.69) nên và theo định lý 1.8 với

tồn tại

(1.71)

sao cho:

Với mọi và thoả các

điều kiền (1.67) (do đó thoả (1.59), (1.60)) ta có:

(1.72)

với là nghiệm của hệ

(1.36)

(1.37)

Để kết thúc chứng minh định lý ta cần chứng minh

Đặt

Theo định lý 1.7 ta có

Theo (1.67), (1.70), (1.71) ta có

25

Vậy ta có

Theo bổ đề 1.2 ta có

26

Chương 2

BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT

CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cho I = [a, b], xét hệ phương trình vi phân

(2.1)

với .

Nghiệm của (2.1) là vectơ hàm thỏa (2.1) hầu khắp nơi trên I

Bài toán đặt ra: Tìm nghiệm x(t) của hệ (2.1) thỏa điều kiện biên

(2.2)

với là toán tử tuyến tính liên tục,

Bài toán (2.1), (2.2) gọi là bài toán biên tổng quát.

Trường hợp riêng của bài toán (2.1), (2.2) là:

 Bài toán Cauchy:

 Bài toán biên hai điểm:

 Bài toán biên nhiều điểm:

 Bài toán biên với điều kiện tích phân:

. Với

27

Cùng với hệ (2.1), (2.2) ta có bài toán thuần nhất

Định nghĩa 2.1

Ánh xạ gọi là ma trận Green của bài toán nếu:

1. Với mỗi , các cột của ma trận là nghiệm của bài toán

trên các khoảng và

2.

.

3. Với mỗi vectơ hàm thoả điều kiện

Nếu và thì đặt

Định lý 2.1

Bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán

chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó nghiệm của (2.1), (2.2) có dạng:

(2.3)

.

Với là nghiệm của là hàm Green của và

Chứng minh

thoả điều kiện đầu

Giả sử là ma trận cơ bản của .

Khi đó là ma trận Cauchy của

Giả sử x là nghiệm của (2.1) theo định lý 1.7 ta có:

28

Đặt:

(2.4)

thì (2.5)

Khi đó x(t) là nghiệm duy nhất của bài toán khi và chỉ khi C là

nghiệm duy nhất của hệ

(2.6)

(2.6) là hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

(2.7)

Mặt khác điều kiện (2.7) tương đương với điều kiện bài toán

chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy bài toán có nghiệm duy nhất khi và

chỉ khi bài toán chỉ có nghiệm tầm thường.

Nếu bài toán chỉ có nghiệm tầm thường thì khi

đó

Thay vào (2.5) ta có nghiệm của là

Đặt:

(2.8)

29

thì là nghiệm của thoả điều kiện (2.2).

Đặt:

(2.9)

thì ta có:

(2.10)

Do (2.9) là toán tử tuyến tính liên tục nên theo định lý

Riesz tồn tại ma trận hàm sao cho:

Thay vào (2.10) ta có:

Với

Dễ thấy là hàm Green của . Ta có điều phải chứng

minh.

Công thức (2.3) gọi là công thức Green cho bài toán (2.1), (2.2).

Do là toán tử tuyến tính liên tục nên theo định lý Riesz tồn

tại ma trận hàm mà các thành phần của nó có biến phân bị chặn sao

cho:

(2.11)

30

sao cho ta có

(2.12)

Nếu , áp dụng tích phân từng phần và lưu ý đến (2.11) ta có:

(2.13)

Cho ma trận hàm , ta ký hiệu

(2.14)

Định lý 2.2

Điều kiện cần và đủ để bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất là tồn tại các

số tự nhiên k và m sao cho ma trận

(2.15)

là chính qui và

(2.16)

Trong đó

31

Chứng minh

Điều kiện đủ:

Giả sử các điều kiện (2.16), (2.17) được thực hiện. Ta chứng minh bài toán

(2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất.

Trước hết ta xây dựng các dãy toán tử

như sau:

………………………………………………

(2.18)

Theo định lý 2.1 thì bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

bài toán thuần nhất (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường.

là một nghiệm tùy ý của (2.10), (2.20). Giả sử

Khi đó

Đặt:

Khi đó

32

Tiếp tục quá trình trên ta có:

(2.19)

Tác động toán tử vào 2 vế (2.19) và do là nghiệm (2.20) và theo (2.13)

ta có:

Do Mk là ma trận chính qui nên

Thay giá trị C tìm được vào (2.19)

Theo (2.18) ta có:

Suy ra:

33

với

Tương tự như trên ta có

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được

với và

Áp dụng bất đẳng thức trên vào (2.20) ta có:

với

hay

Từ đó

34

Do

nên

Suy ra:

hay

Điều kiện cần:

Giả sử bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm. Ta chứng minh tồn tại

các số tự nhiên sao cho (2.15), (2.16) đúng.

Trước hết ta lưu ý

Lấy chuẩn hai vế ta được:

Tương tự ta có:

và

35

hay

Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được rằng

(2.21)

Gọi là ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏa

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên

Đặt

(2.22)

Ta có

Do (2.21) nên chuỗi hội tụ đều trên I.

36

Suy ra hội tụ đều trên I. Do đó hội tụ đều trên I tới X(t).

Ta có

Cho ta có

Hơn nữa

Suy ra

Do đó

Vậy hội tụ đều về trên I hay

Do là toán tử tuyến tính liên tục nên

Theo (2.13) ta có

Vậy

Suy ra

Do đó, tồn tại số tự nhiên k0 và số  sao cho

37

(2.23)

Do chuỗi bên phải (2.22) hội tụ đều nên

khi

Do vậy theo (2.17) ta có

Do đó tồn tại k, m đủ lớn sao cho .

Định lý đã được chứng minh.

Chú ý:

Nếu cho thì ta có

là hội tụ đều trên I. Khi đó ta có thể lấy đạo hàm hai vế tức là

và cũng là hội tụ đều trên I.

Cùng với hệ (2.1) ta xét hệ

(2.24)

Vấn đề đặt ra khi bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm thì với  đủ bé bao nhiêu để

(2.24), (2.2) có nghiệm.

38

Hệ quả 2.1.

Giả sử

(2.25)

hoặc

(2.26)

và với một j nào đó ta có

(2.27)

Khi đó tồn tại sao cho với mọi bài toán (2.24), (2.2) có

duy nhất một nghiệm.

Chứng minh

Nếu (2.25) xảy ra ta chọn k = 1.

Nếu (2.26), (2.27) xảy ra ta đặt k = j + 1.

Đặt

và lưu ý với k = 1 thì và k = j + 1 thì

và

39

nên ta có

và

như trong định lý 2.2.

với

Theo (2.25) hoặc (2.26), (2.27) thì

Chọn

thì với ta có

Do đó, theo định lý 2.2 bài toán (2.24), (2.2) có duy nhất một nghiệm.

Định lý 2.3

Giả sử tồn tại ma trận hàm sao cho hệ phương trình vi phân

(2.28)

với điều kiện biên (2.20) chỉ có duy nhất một nghiệm.

Giả sử thỏa bất đẳng thức

(2.29)

với là ma trận Green của bài toán (2.28), (2.20), và

(2.30)

Khi đó bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm.

Chứng minh

40

Để chứng minh bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm ta chỉ cần

chứng minh bài toán (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường.

Giả sử là nghiệm của (2.10), (2.20). Khi đó

Do (2.28), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường nên theo định lý 2.1 ta có

Từ đó cùng với (2.29) ta có:

với

Suy ra

hay

Do nên hay

Ta có điều phải chứng minh.

2.2. Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cùng với bài toán (2.1), (2.2) ta xét các bài toán sau

(2.1k)

(2.2k)

với k = 1, 2, ……, n, ……

41

Định nghĩa 2.2 Bài toán (2.1), (2.2) gọi là xấp xỉ được nếu nó có nghiệm

duy nhất x và với mọi dãy

toán tử tuyến tính liên tục, thỏa các điều kiện sau

trên I

trên I (2.31)

(2.32)

và

,

(2.33)

Khi đó tồn tại số tự nhiên k0 sao cho bài toán (2.1k), (2.2k) có duy

nhất nghiệm xk và

(2.34)

Định lý 2.4

Nếu bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất thì nó là xấp xỉ được.

Trước khi chứng minh định lý 2.4 ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 2.1

Giả sử , thoả mãn các điều kiện

trên I

sau

(2.35)

42

(2.36)

và

(2.37)

Khi đó

trên I. (2.38)

Chứng minh

(2.39)

Với mỗi tồn tại đa thức sao cho

Đặt

Do (2.35) nên

(2.40)

Mặt khác theo (2.36), (2.39) ta có:

Do  bé tùy ý và do (2.37), (2.40) ta có

Vậy (2.38) đúng.

Chứng minh Định lý 2.4

Gọi Y là ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏa

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên theo (2.7) ta có

43

Giả sử , , , dãy

các toán tử tuyến tính liên tục thỏa các điều kiện (2.31)  (2.33).

Với mỗi số tự nhiên k, gọi Yk là ma trận cơ bản của hệ

thỏa điều kiện biên

Khi đó theo định lý 1.10 ta có:

(2.41)

Từ (2.33) theo định lý không gian Banach – Steinhaus tồn tại số sao

cho

Khi đó

Từ đó theo (2.33) và (2.41) ta có

(2.42)

Do nên tồn tại sao cho , thì

Từ đó suy ra bài toán (2.1k), (2.2k) có duy nhất một nghiệm . Hơn nữa

có dạng

(2.43)

Trong đó, là nghiệm của (2.1k), (2.2k).

44

Theo Bổ đề 2.1 và từ các điều kiện (2.31), (2.32) ta có

với

Ngoài ra theo (2.33), (2.41), (2.42) ta có

với

và

với

45

Từ đó trong (2.43) cho ta có

là nghiệm của (2.1), (2.2).

Định lý đã được chứng minh.

46

Chương 3

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM

CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phương

trình tuyến tính

thỏa điều kiện biên hai điểm

Trong đó .

gọi là các ma trận điều kiện biên của bài toán đã cho.

Trong mục 3.1 chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính giải

được của bài toán (3.1), (3.2). Trong mục 3.2 ta xét trường hợp khi điều kiện

duy nhất của (3.1), (3.2) không còn và đưa ra một số tính chất đại số của bài

toán này.

3.1. Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2)

Cùng với bài toán (3.1), (3.2) ta xét bài toán thuần nhất tương ứng:

Từ định lý 2.1 ta có ngay kết quả sau:

Định lý 3.1

Điều kiện cần và đủ để bài toán (3.1), (3.2) có nghiệm duy nhất là bài toán

thuần nhất tương ứng chỉ có nghiệm tầm thường.

Tức là:

47

Trong đó là ma trận cơ bản của hệ . Nếu điều kiện (3.3) được

thoả mãn thì nghiệm duy nhất của bài toán (3.1), (3.2) cho bởi công thức Green:

Trong đó là nghiệm của bài toán , (3.2). G là ma trận Green

của bài toán .

Dễ thấy hàm Green của bài toán có dạng:

Từ định lý 1.3 và 3.1 ta có hệ quả sau:

Hệ quả 3.1

Giả sử và hầu khắp nơi trên I thỏa

Khi đó bài toán (3.1), (3.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

Từ định lý 2.2 ta có ngay kết quả sau:

Định lý 3.2

Điều kiện cần và đủ để bài toán (3.1), (3.2) có nghiệm duy nhất là tồn tại

các số tự nhiên k và m sao cho ma trận:

là chính qui và

48

Trong đó

Xét hệ

với , bé tùy ý. Từ định lý 3.2 ta có

Hệ quả 3.2

Nếu:

hoặc

Thì tồn tại sao cho , bài toán (3.2), (3.5) có duy nhất

một nghiệm.

Định lý 3.3

Giả sử:

và tồn tại ma trận sao cho

và

Khi đó bài toán (3.1), (3.2) có duy nhất một nghiệm.

49

Chứng minh

Do nên hệ thuần nhất:

với điều kiện biên chỉ có nghiệm tầm thường, khi đó hàm Green của bài

toán có dạng:

Từ (3.6), (3.7) ta được:

với

và

Khi đó theo định lý 3.2, bài toán (3.1), (3.2) có duy nhất một nghiệm.

Định lý đã được chứng minh.

Nếu , ta ký hiệu là ma trận chuyển vị của A. Với H là ma

trận đối xứng, ta ký hiệu là giá trị riêng lớn nhất, bé nhất của ma

trận H.

Định lý 3.4

Giả sử ma trận là chính qui và

thỏa một trong các điều kiện sau:

50

hoặc

Khi đó bài toán (3.1), (3.2) có duy nhất một nghiệm.

Chứng minh

Để chứng minh bài toán (3.1), (3.2) ) có duy nhất một nghiệm ta chỉ cần

chứng minh bài toán thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. Giả sử

ngược lại có nghiệm không tầm thường là .

Đặt:

Khi đó

và

Từ đó theo bổ đề 1.8 ta có:

và

Khi đó theo bổ đề 1.1 ta có:

51

Khi đó nếu (3.9) (hoặc (3.10)) xảy ra, ta nhận được (hoặc

) (mẫu thuẫn). Do đó ta có điều phải chứng minh.

3.2 Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2)

Cùng với hệ (3.1), (3.2) ta xét hệ thuần nhất sau:

với điều kiện biên thuần nhất

và là ma trận đối ngẫu của và

Hệ (3.12) gọi là hệ đối ngẫu của hệ .

Định nghĩa 3.1

Giả sử . Điều kiện biên (3.13) gọi là đối ngẫu với điều

kiện nếu và (3.14)

Bổ đề 3.1

Nếu là ma trận điều kiện biên đối ngẫu với điều kiện

. Khi đó tồn tại ma trận chính qui sao cho:

Chứng minh

Theo giá thiết điều kiện biên (3.13) và điều kiện biên

là điều kiện biên đối ngẫu với điều kiện biên nên:

và

52

Do (3.14), (3.18) nên các cột của ma trận sau:

và

là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau:

Do và nên . Tương tự ta có

. Do đó tồn tại ma trận chính qui sao cho:

Đặt ta được điều phải chứng minh.

Bổ đề 3.2

Nếu , khi đó:

i.) Tồn tại các ma trận sao cho điều kiện biên (3.16) là

đối ngẫu với điều kiện biên .

ii.) Nếu , x thỏa điều kiện biên và y thỏa điều kiện

biên đối ngẫu ta có:

Chứng minh

Vì nên tồn tại các ma trận sao cho

ma trận

là chính qui.

Khi đó ma trận ngược của ma trận có dạng:

53

trong đó và do đó

Hiến nhiên và thỏa (3.18). Vì vậy điều kiện biên

(3.16) là đối ngẫu với điều kiện biên .

Giả sử điều kiện biên (3.13) là đối ngẫu của điều kiện biên . Giả sử

thỏa các điều kiện biên và (3.13).

Theo bổ đề 3.1 thì (3.15) đúng và từ (3.13) kéo theo (3.16).

Theo (3.21), (3.23) ta có:

Từ đó do và (3.16), ta được (3.20).

Bổ đề 3.3

Giả sử và (3.13) là điều kiện biên đối ngẫu của điều

kiện biên , khi đó bài toán và (3.12), (3.13) có số nghiệm

độc lập tuyến tính là như sau:

54

Chứng minh

Giả sử bài toán (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính. Ta sẽ

chứng minh bài toán có đúng m nghiệm độc lập tuyến tính.

Do nên ta có thể chọn các ma trận ,

để ma trận H trong (3.21) là chính qui và giả sử có dạng như trong (3.22).

Khi đó điều kiện biên (3.16) sẽ là đối ngẫu của điều kiện biên . Mặt khác

theo bổ để 3.1, tồn tại ma trận chính qui sao cho đẳng thức (3.15) được

thoả mãn.

Giả sử Y là ma trận cơ bản của hệ . Khi đó là ma trận cơ bản

của hệ (3.12). Vì vậy mỗi nghiệm của hệ (3.12), (3.13) có dạng

Trong đó là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đại số:

Tuy nhiên theo (3.15) thì cũng là nghiệm của hệ sau:

Theo giả thiết hệ (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính, nên

(3.12), (3.25) cũng có m nghiệm độc lập tuyến tính.

Đặt

Do (3.21), (3.22) ta được

và

55

Do đó với mỗi nghiệm của hệ (3.25), ta có biểu diển:

Trong đó:

và do đó

Từ đó cùng với (3.26) ta được:

và do đó

là nghiệm của hệ sau: Vì vậy

Vì nghiệm của hệ (3.25), (3.28) được cho tương ứng bởi (3.27). Do là

chính qui, do đó suy ra hệ (3.28) có m nghiệm độc lập tuyến tính, suy ra hệ

cũng có m nghiệm độc lập tuyến tính, do đó bài toán có đúng m

nghiệm độc lập tuyến tính là điều phải chứng minh.

56

Bổ đề 3.4

, khi đó với mỗi tồn tại véc tơ hàm Nếu

khả vi liên tục trên I sao cho:

Chứng minh

nên tồn tại sao cho ma trận H Do

trong (3.21) là chính qui .

Đặt

Khi đó

và

Từ đó đặt

khi đó thỏa (3.30).

Định lý 3.5

Giả sử và (3.13) là điều kiện biên đối ngẫu của điều

kiện biên và là véc tơ hàm khả vi sao cho:

Giả sử bài toán có nghiệm không tầm thường. Khi đó

57

i.) Bài toán và (3.12), (3.13) có số nghiệm độc lập tuyến tính

là như nhau.

ii.) Bài toán là giải được khi và chỉ khi mọi nghiệm

của (3.12), (3.13) thỏa đẳng thức:

là cơ sở

iii.) Nếu x0 là một nghiệm của bài toán và

nghiệm của bài toán , khi đó mọi nghiệm của

điều có dạng:

Chứng minh

- Từ bổ đề 3.3 ta có ngay i.)

- Chứng minh ii.)

Đặt

Do là nghiệm của , nên là nghiệm của bài toán

Trong đó:

Khi đó ta chỉ cần chỉ ra rằng: điều kiện (3.31) là điều kiện cần và đủ để

bài toán (3.33), (3.34) có nghiệm.

Thật vậy theo định lý Cauchy 1.8 thì nghiệm của bài toán (3.33) có dạng:

58

với là ma trận cơ bản của .

Khi đó bài toán (3.33), (3.34) có nghiệm khi và chỉ khi hệ phương trình

tuyến tính sau có nghiệm

Mặt khác hệ này giải được khi và chỉ khi mọi nghiệm của (3.28) thỏa

Mặt khác

với

Mặt khác ta đã chứng minh được rằng nếu là nghiệm của (3.28) thì

là nghiệm của (3.24).

Tương tự chúng ta chỉ ra được bài toán (3.33), (3.34) giải được khi và chỉ

khi cho khác nghiệm y của (3.12), (3.13) theo (3.31) là điều phải chứng minh.

59

KẾT LUẬN

Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc

tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi

phân tuyến tính.

Nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Nội dung chương này chủ yếu xây dựng các điều kiện đủ cho

việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân

tuyến tính và nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này. Định lý 1.1 khẳng

định bài toán Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất và nghiệm này được cho

bởi công thức Cauchy (1.35) và được trình bày ở Định lý 1.7. Định lý 1.8 đưa ra

điều kiện để bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được.

Chương 2: Trong chương này, chúng ta xây dựng các điều kiện đủ cho việc

tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho phương trình vi phân

tuyết tính. Hơn nữa, chúng ta xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho bài toán này. Sự

tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) được nói ở Định lý 2.1. Định

lý 2.4 đưa ra điều kiện để bài toán (2.1), (2.2) xấp xỉ được.

Chương 3: Trên cơ sở các kết quả của Chương 1 và Chương 2.

Trong Chương 3 ta áp dụng các kết quả của Chương 2 để nghiên cứu các

điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ phương

trình vi phân tuyến tính (3.1), (3.2).

Các kết quả chính của chương là các định lý 3.1, 3.2, 3.3, 3.4. Trong phần

cuối của chương chúng ta xem xét các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2)

khi bài toán thuần nhất có nghiệm không tầm thường. Các kết quả

chính của phần này là định lý 3.5.

Từ những vấn đề mà luận văn nêu như trên, một cách tự nhiên ta thấy rằng

các kết quả đã trình bày trong luận văn có còn đúng hay không cho bài toán biên

nhiều điểm hay các bài toán biên dạng tuần hoàn, cũng như các kết quả trên có

còn đúng hay không đối với bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân

60

hàm tuyến tính. Tuy nhiên, với trình độ còn nhiều hạn chế của tác giả và do thời

gian có hạn, luận văn xin chỉ trình bày những nội dung như đã nêu. Tác giả rất

mong sự góp ý và chỉ bảo của Quý thầy cô trong hội đồng, để luận văn được

hoàn thiện tốt hơn. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy trong hội

đồng đã dành thời gian quý báu của mình để đọc và góp ý cho luận văn.

61

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Anh Tuấn, Bài giảng lý thuyết ổn định cho hệ phương trình vi phân,

Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

2. Hartman P. (1964), Ordinary differential equations. John Wiley & Sons, Inc.,

NewYork-London-Sydney.

3. Kantorovitch L. V., Akilov L. V. (1984), Functional Analysis. (Russian)

Nauka, Moscow.

4. Kiguradze I. (1965), On the Cauchy problem for singular systems of

ordinary differential equations. (Russian) Differentsial’nye Urav. 1, No. 10.,

1271-1291.

5. Kiguradze I. (1975), Some singular boundary value problems for ordinary

differential equations. (Russian) Tbilisi University Press, Tbilisi.

6. Kiguradze I. (1986), On the periodic solutions of systems of nonautonomous

ordinary differential equations. (Russian) Mat. Zametki 39, No. 4, 562-575.

7. Kiguradze I. (1987), Boundary value problems for systems of ordinary

differential equations. (Russian) Current problems in mathematics. Newest

results, vol. 30, 3-103, VINI’TI, Moscow.

8. Kiguradze I. (1996), On the singular Cauchy problem for systems of linear

ordinary differential equations. (Russian) Differentsial’nye Uravneniya 32,

215-223.

9. Kiguradze I. (1996), On the correctness of Cauchy problem for the linear

differential system on an infinite interval. Georgian Math. J. 3, 475-484.

10. Kiguradze T. (1995), Some boundary value problems for systems of linear

differential equations of hyperbolic type. Mem. Diff. Equations Math. Phys.

5, 1-113.