Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên tam điều hòa phi tuyến và phương pháp giải số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------

PHAN QUANG SƠN

BÀI TOÁN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Vũ Vinh Quang

THÁI NGUYÊN - 2020

M(cid:246)c l(cid:246)c

L(cid:237)i c£m (cid:236)n 3

L(cid:237)i cam (cid:31)oan 4

M(cid:240) (cid:31)ƒu 5

8 1 Mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n

8 1.1 Mºt sŁ kh(cid:230)ng gian h(cid:160)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 1.1.1 Kh(cid:230)ng gian m¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 1.1.2 Kh(cid:230)ng gian tuy‚n tuy‚n t‰nh (cid:31)(cid:224)nh chu'n . . . . . . .

1.1.3 Kh(cid:230)ng gian t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 L(cid:254) thuy‚t v• ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 C(cid:230)ng thøc Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n v(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh

x¡c c§p hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n v(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh

x¡c c§p bŁn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p gi£i b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n 20

2.1 B(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n Dirichlet . . . 20

2.1.1 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n thuƒn nh§t . . . . . 21

2.1.2 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n kh(cid:230)ng thuƒn nh§t . 28

2.2 B(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n hØn hæp . . . 31

3 Mºt sŁ k‚t qu£ t‰nh to¡n thß nghi»m 35

3.1 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n thuƒn nh§t . . . . . . . . . 35

3.2 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n kh(cid:230)ng thuƒn nh§t . . . . . 37

3.3 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n hØn hæp . . . . . . . . . . 39

K‚t lu“n 41

Appendices 45

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

Lu“n v«n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c hi»n t⁄i Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c - (cid:30)⁄i h(cid:229)c

Th¡i nguy¶n v(cid:160) ho(cid:160)n th(cid:160)nh d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n cıa TS V(cid:244) Vinh Quang.

Em xin (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh v(cid:160) s¥u s›c t(cid:238)i ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng

d¤n khoa h(cid:229)c cıa m…nh, ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:176)t v§n (cid:31)• nghi¶n cøu, d(cid:160)nh nhi•u th(cid:237)i

gian h(cid:247)(cid:238)ng d¤n v(cid:160) t“n t…nh gi£i (cid:31)¡p nhœng th›c m›c cıa em trong suŁt

qu¡ tr…nh l(cid:160)m lu“n v«n.

Em c(cid:244)ng xin tr¥n tr(cid:229)ng c£m (cid:236)n Ban Gi¡m hi»u Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c

Khoa h(cid:229)c - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i nguy¶n, Ban Chı nhi»m Khoa To¡n-Tin, c(cid:242)ng

c¡c gi£ng vi¶n (cid:31)¢ tham gia gi£ng d⁄y, (cid:31)¢ t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n tŁt nh§t (cid:31)” em

h(cid:229)c t“p v(cid:160) nghi¶n cøu. (cid:30)(cid:231)ng th(cid:237)i, em c(cid:244)ng xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n t(cid:238)i t“p th”

l(cid:238)p cao h(cid:229)c To¡n (kh(cid:226)a 2018-2020), c£m (cid:236)n gia (cid:31)…nh b⁄n b– (cid:31)¢ (cid:31)ºng vi¶n

v(cid:160) gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) em r§t nhi•u trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p.

L(cid:237)i cam (cid:31)oan

Lu“n v«n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n t“n t…nh cıa thƒy

gi¡o TS V(cid:244) Vinh Quang c(cid:242)ng v(cid:238)i s(cid:252) cŁ g›ng cıa b£n th¥n. Trong qu¡

tr…nh nghi¶n cøu lu“n v«n, t(cid:230)i (cid:31)¢ k‚ thła nhœng th(cid:160)nh qu£ nghi¶n cøu cıa

c¡c nh(cid:160) khoa h(cid:229)c, c¡c nh(cid:160) nghi¶n cøu v(cid:238)i s(cid:252) tr¥n tr(cid:229)ng v(cid:160) bi‚t (cid:236)n.

T(cid:230)i xin cam (cid:31)oan nhœng k‚t qu£ trong lu“n v«n n(cid:160)y l(cid:160) k‚t qu£ nghi¶n

cøu cıa b£n th¥n, kh(cid:230)ng tr(cid:242)ng v(cid:238)i lu“n v«n cıa t¡c gi£ kh¡c.

Th¡i Nguy¶n, ng(cid:160)y th¡ng n«m 2020

T¡c gi£

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Mºt sŁ b(cid:160)i to¡n trong c(cid:236) h(cid:229)c c¡c m(cid:230)i tr(cid:247)(cid:237)ng li¶n t(cid:246)c nh(cid:247) c¡c b(cid:160)i

to¡n nghi¶n cøu v• truy•n nhi»t, c¡c b(cid:160)i to¡n v• l(cid:254) thuy‚t dao (cid:31)ºng qua

m(cid:230) h…nh h(cid:226)a (cid:31)•u (cid:31)(cid:247)a v• c¡c b(cid:160)i to¡n bi¶n cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh elliptic c§p

cao v(cid:160) (cid:31)i”n h…nh l(cid:160) c§p bŁn v(cid:160) c§p s¡u. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp khi m(cid:230)i tr(cid:247)(cid:237)ng

l(cid:160) thuƒn nh§t v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n bi¶n b…nh th(cid:247)(cid:237)ng th… vi»c t…m nghi»m cıa b(cid:160)i

to¡n c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c hi»n th(cid:230)ng qua c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i t‰ch nh(cid:247) c¡c

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p t¡ch bi‚n, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p h(cid:160)m Green ho(cid:176)c c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

t…m nghi»m x§p x¿ nh(cid:247) c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n hay ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p phƒn

tß hœu h⁄n. Tuy nhi¶n khi v‚ ph£i cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh l(cid:160) h(cid:160)m phi tuy‚n

(cid:31)Łi v(cid:238)i h(cid:160)m v(cid:160) c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa h(cid:160)m cƒn t…m ho(cid:176)c h» (cid:31)i•u ki»n bi¶n cıa

b(cid:160)i to¡n l(cid:160) phøc t⁄p th… c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p tr¶n g(cid:176)p kh(cid:226) kh«n. Khi (cid:31)(cid:226) (cid:31)”

gi£i quy‚t, ng(cid:247)(cid:237)i ta th(cid:247)(cid:237)ng sß d(cid:246)ng c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p tr¶n c(cid:236) s(cid:240) cıa

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß k‚t hæp v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n (cid:31)” t…m nghi»m

x§p x¿ th(cid:230)ng qua c¡c thu“t to¡n sŁ.

Trong c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c§p cao th… ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh th(cid:230)ng d(cid:246)ng nh§t

l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh song (cid:31)i•u hÆa (mºt lo⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c§p bŁn), (cid:31)¥y l(cid:160)

m(cid:230) h…nh c(cid:236) b£n trong l(cid:254) thuy‚t (cid:31)(cid:160)n h(cid:231)i phﬂng, l(cid:254) thuy‚t b£n m(cid:228)ng, l(cid:254)

thuy‚t dÆng ch£y v(cid:160) gƒn (cid:31)¥y ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c§p bŁn cÆn xu§t hi»n trong

ph¥n t‰ch £nh v(cid:160) thi‚t k‚ h…nh h(cid:229)c. Lo⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n

cøu nhi•u k” c£ v• l(cid:254) thuy‚t v(cid:160) c¡c thu“t to¡n t‰nh to¡n b‹ng sŁ. Gƒn (cid:31)¥y,

do nhu cƒu ph¡t tri”n cıa khoa h(cid:229)c v(cid:160) c(cid:230)ng ngh» ng(cid:247)(cid:237)i ta b›t (cid:31)ƒu quan

t¥m (cid:31)‚n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c§p s¡u m(cid:160) ti¶u bi”u l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tam (cid:31)i•u hÆa

(triharmonic equation) d⁄ng ∆3u = f (x). Trong (cid:31)(cid:226), ∆ l(cid:160) to¡n tß Laplace

trong kh(cid:230)ng gian 2 ho(cid:176)c 3 chi•u. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh n(cid:160)y l(cid:160) m(cid:230) h…nh cıa pha

tinh th”, hay l(cid:160) m(cid:230) h…nh h(cid:226)a dÆng ch£y quay ch“m cıa ch§t l(cid:228)ng nh(cid:238)t cao

v(cid:160) l(cid:160) c(cid:230)ng c(cid:246) quan tr(cid:229)ng trong m(cid:230) h…nh h(cid:226)a h…nh h(cid:229)c.

Do ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tam (cid:31)i•u hÆa c(cid:226) nhi•u øng d(cid:246)ng trong th(cid:252)c t‚

n¶n ng(cid:247)(cid:237)i ta quan t¥m nhi•u (cid:31)‚n ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n bi¶n cho

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh n(cid:160)y v(cid:238)i gi£ thi‚t r‹ng b(cid:160)i to¡n c(cid:226) nghi»m duy nh§t v(cid:160) (cid:31)ı

tr(cid:236)n. C(cid:226) th” k” (cid:31)‚n (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p cıa Nudi v(cid:160) Neilan, (cid:240) (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p phƒn

tß hœu h⁄n (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng. C¡c nghi¶n cøu v• vi»c gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tam

(cid:31)i•u hÆa tuy‚n t‰nh ho(cid:176)c phi tuy‚n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n u = g1, ∆u = g2, ∆2u = g3 b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n thuºc v• Mohanty v(cid:160) c¡c cºng s(cid:252).

Trong c¡c c(cid:230)ng tr…nh n(cid:160)y, c¡c t¡c gi£ (cid:31)¢ x¥y d(cid:252)ng c¡c l(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) sai ph¥n

v(cid:238)i (cid:31)º (cid:31)(cid:243)ng c§p hai ho(cid:176)c c§p bŁn (cid:31)” t…m nghi»m nh(cid:247)ng vi»c gi£i c¡c h»

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh r(cid:237)i r⁄c thu (cid:31)(cid:247)æc kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc quan t¥m.

T⁄i Vi»t Nam, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c§p cao (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc t¡c gi£ (cid:30)(cid:176)ng Q. (cid:129) c(cid:242)ng

c¡c cºng s(cid:252) quan t¥m tł h(cid:236)n hai ch(cid:246)c n«m nay. N«m 2006, trong [1] t¡c

gi£ (cid:31)¢ (cid:31)• xu§t mºt c¡ch ti‚p c“n ho(cid:160)n to(cid:160)n kh¡c v(cid:238)i c¡c t¡c gi£ tr¶n khi

nghi¶n cøu v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh song (cid:31)i•u hÆa tuy‚n t‰nh v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n

Neumann. Theo c¡ch ti‚p c“n n(cid:160)y t¡c gi£ (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a b(cid:160)i to¡n bi¶n cƒn nghi¶n

cøu v• mºt ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß v(cid:160) sau (cid:31)(cid:226) chøng minh to¡n tß n(cid:160)y l(cid:160)

mºt ¡nh x⁄ co, tł (cid:31)(cid:226) thu (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m cıa

b(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:160) t‰nh hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p gi£i b(cid:160)i to¡n c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc

thi‚t l“p. Ti‚p t(cid:246)c ph¡t tri”n ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p n(cid:160)y, t¡c gi£ v(cid:160) c¡c cºng s(cid:252) (cid:31)¢

nghi¶n cøu ti‚p v• c¡c b(cid:160)i to¡n bi¶n phi tuy‚n c§p bŁn cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(cid:31)⁄o h(cid:160)m th(cid:247)(cid:237)ng v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng v(cid:160) (cid:31)¢ thu (cid:31)(cid:247)æc nhi•u k‚t

qu£ v• (cid:31)(cid:224)nh t‰nh c(cid:244)ng nh(cid:247) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:247)æng [2,3,4,5]. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc c¡c

nh(cid:160) nghi¶n cøu (cid:31)¡nh gi¡ cao, (cid:31)(cid:247)æc tr‰ch d¤n nhi•u v(cid:160) sß d(cid:246)ng khi nghi¶n

cøu v• c¡c lo⁄i b(cid:160)i to¡n bi¶n phi tuy‚n.

Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n s‡ tr…nh b(cid:160)y c¡c ki‚n thøc c(cid:236) b£n v•

c(cid:236) s(cid:240) c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p trong kh(cid:230)ng gian metric, c¡c l(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) sai ph¥n

v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c cao t…m nghi»m x§p x¿ cıa c¡c h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai

ph¥n, tł (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)a ra mºt sŁ k‚t qu£ trong c¡c nghi¶n cøu v• (cid:31)(cid:224)nh t‰nh c(cid:244)ng

nh(cid:247) l(cid:237)i gi£i sŁ cho b(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa. Lu“n v«n d(cid:252) ki‚n c(cid:226) bŁ

(cid:136) Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 : (cid:30)(cid:247)a ra mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n v• c¡c kh(cid:230)ng gian h(cid:160)m nh(cid:247)

c(cid:246)c nh(cid:247) sau.

kh(cid:230)ng gian Metric, kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh (cid:31)(cid:224)nh chu'n nguy¶n l(cid:254) ¡nh

x⁄ co, (cid:31)i•u ki»n Lipchitz. C(cid:236) s(cid:240) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sŁ gi£i b(cid:160)i to¡n elliptic

c§p hai nh(cid:247) kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian l(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) h(cid:160)m l(cid:247)(cid:238)i, thu“t to¡n thu

g(cid:229)n khŁi l(cid:247)æng t‰nh to¡n, gi(cid:238)i thi»u th(cid:247) vi»n RC2009 v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

(cid:136) Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 : Tr…nh b(cid:160)y m(cid:230) h…nh b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n v(cid:160)

sai ph¥n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c cao.

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i sŁ bao g(cid:231)m: m(cid:230) h…nh tŒng qu¡t cıa b(cid:160)i to¡n, s(cid:252) t(cid:231)n

t⁄i duy nh§t nghi»m, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n thuƒn nh§t,

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p møc (cid:31)º li¶n t(cid:246)c, s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p, ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p l(cid:176)p (cid:240) møc (cid:31)º r(cid:237)i r⁄c tł (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i

(cid:136) Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 : (cid:30)(cid:247)a ra mºt sŁ k‚t qu£ th(cid:252)c nghi»m tr¶n M¡y t‰nh (cid:31)i»n tß

to¡n tŒng qu¡t v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n kh(cid:230)ng tuƒn nh§t.

th(cid:230)ng qua c¡c v‰ d(cid:246) c(cid:246) th”.

C¡c k‚t qu£ th(cid:252)c nghi»m trong lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c hi»n b‹ng c¡c ch(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh vi‚t tr¶n n•n ng(cid:230)n ngœ Matlab ch⁄y tr¶n m¡y t‰nh PC.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n

Nºi dung ch‰nh cıa ch(cid:247)(cid:236)ng 1 tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n v•

c¡c kh(cid:230)ng gian h(cid:160)m, l(cid:254) thuy‚t v• sai ph¥n v(cid:160) (cid:31)(cid:176)c bi»t l(cid:160) c¡c k‚t qu£ x¥y

d(cid:252)ng th(cid:247) vi»n gi£i sŁ b(cid:160)i to¡n bi¶n elliptic c§p hai tr¶n mi•n chœ nh“t.

(cid:30)¥y l(cid:160) c¡c ki‚n thøc v(cid:160) c(cid:230)ng c(cid:246) quan tr(cid:229)ng s‡ sß d(cid:246)ng (cid:31)” nghi¶n cøu v(cid:160)

th(cid:252)c hi»n t‰nh to¡n trong c¡c ch(cid:247)(cid:236)ng ti‚p sau cıa lu“n v«n. C¡c k‚t qu£

1.1 Mºt sŁ kh(cid:230)ng gian h(cid:160)m

1.1.1 Kh(cid:230)ng gian m¶tric

n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o trong c¡c t(cid:160)i li»u [1, 2, 4, 5].

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1. Cho X l(cid:160) mºt t“p kh¡c rØng. Tr¶n X ta trang b(cid:224) mºt

ρ : X × X → R

(x, y) → ρ(x, y),

h(cid:160)m sŁ

th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n sau

1) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X;

3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), ∀x, y, z ∈ X.

Khi (cid:31)(cid:226), ρ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt m¶tric hay kho£ng c¡ch tr¶n X v(cid:160) c(cid:176)p (X, ρ) g(cid:229)i

l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian m¶tric ((cid:31)(cid:230)i khi ch¿ k‰ hi»u l(cid:160) X). MØi phƒn tß cıa X

s‡ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt (cid:31)i”m, ρ(x, y) g(cid:229)i l(cid:160) kho£ng c¡ch giœa hai x v(cid:160) y (cid:31)i”m

tr¶n X.

D¢y (xn) l(cid:160) d¢y Cauchy hay d¢y c(cid:236) b£n n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:15), t(cid:231)n t⁄i N ((cid:15))

sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i m, n ≥ N ((cid:15)) th… d(xn, xm) < (cid:15). Kh(cid:230)ng gian m¶tric X (cid:31)(cid:247)æc

1.1.2 Kh(cid:230)ng gian tuy‚n tuy‚n t‰nh (cid:31)(cid:224)nh chu'n

g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)ı n‚u m(cid:229)i d¢y c(cid:236) b£n hºi t(cid:246) (cid:31)‚n mºt phƒn tß n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) thuºc X.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2. Cho X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh, ta (cid:31)(cid:247)a v(cid:160)o ¡nh x⁄ k(cid:254) hi»u l(cid:160) chu'n X (cid:107).(cid:107) : X → R th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n

a. (cid:107)x(cid:107) ≥ 0; (cid:107)x(cid:107) = 0 ⇔ x = 0;

b. (cid:107)λx(cid:107) = |λ|(cid:107)x(cid:107);

c. (cid:107)x + y(cid:107) ≤ (cid:107)x(cid:107) + (cid:107)y(cid:107),

v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ X. Khi (cid:31)(cid:226) c(cid:176)p (X, (cid:107).(cid:107)), trong (cid:31)(cid:226) X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian

tuy‚n t‰nh, (cid:107).(cid:107) l(cid:160) mºt chu'n tr¶n X, g(cid:229)i l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n

(hay cÆn g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh (cid:31)(cid:224)nh chu'n).

Nguy¶n l(cid:254) ¡nh x⁄ co

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3. Cho (X, d) l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian metric. (cid:129)nh x⁄ f : X → X

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ co tr¶n X n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u t(cid:231)n t⁄i q ∈ [0, 1) sao cho

d(f (x), f (y)) ≤ qd(x, y),

v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ X,

trong (cid:31)(cid:226), q (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h» sŁ co.

D„ th§y m(cid:229)i ¡nh x⁄ co (cid:31)•u li¶n t(cid:246)c.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1 (Nguy¶n l(cid:254) ¡nh x⁄ co Banach). Cho f l(cid:160) ¡nh x⁄ co trong

kh(cid:230)ng gian m¶tric (cid:31)ı (X, d). Khi (cid:31)(cid:226),

(a) T(cid:231)n t⁄i duy nh§t x∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗. Phƒn tß x∗ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa ¡nh x⁄ f .

(b) M(cid:229)i d¢y l(cid:176)p xn+1 = f (xn), n ≥ 0 xu§t ph¡t tł x0 b§t k(cid:253) (cid:31)•u hºi t(cid:246).

d(xn, x∗) ≤ qn(1 − q)−1d(x0, x1), n ≥ 1

d(xn, x∗) ≤ q(1 − q)−1d(xn−1, xn), n ≥ 1.

Ngo(cid:160)i ra, ta c(cid:226) c¡c (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng sau

f : V → W (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n Lipchitz n‚u t(cid:231)n t⁄i c¡c h‹ng

Ti‚p theo, ta (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)i•u ki»n Lipchitz cho h(cid:160)m nhi•u bi‚n. Gi£ sß

(cid:107)f (x, y1, . . . , yn) − f (x, z1, . . . , zn)(cid:107) ≤ L1(cid:107)y1 − z1(cid:107) + · · · + Ln(cid:107)yn − zn(cid:107),

sŁ Lk ≥ 0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i yk, zk th… h» thøc sau (cid:31)¥y (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n

trong (cid:31)(cid:226) L1, L2, . . . , Ln (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ Lipchitz.

ρ : X × X → R,

Cho X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n. X†t h(cid:160)m sŁ

x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i ρ(x, y) = (cid:107)x−y(cid:107), v(cid:238)i x, y ∈ X. D„ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc v(cid:238)i (cid:31)(cid:224)nh

ngh(cid:190)a nh(cid:247) tr¶n th… ρ l(cid:160) mºt metric tr¶n X, g(cid:229)i l(cid:160) metric sinh b(cid:240)i chu'n.

1.1.3 Kh(cid:230)ng gian t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng

Nh(cid:247) v“y, kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian metric.

Trong phƒn n(cid:160)y, ta lu(cid:230)n coi tr(cid:247)(cid:237)ng v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng F ho(cid:176)c l(cid:160) tr(cid:247)(cid:237)ng sŁ

th(cid:252)c R, ho(cid:176)c l(cid:160) tr(cid:247)(cid:237)ng sŁ phøc C.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4. Kh(cid:230)ng gian t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†ct(cid:236) X tr¶n

(cid:104)., .(cid:105) : X × X → F

tr(cid:247)(cid:237)ng F (cid:31)(cid:247)æc trang b(cid:224) mºt t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng, tøc l(cid:160) mºt ¡nh x⁄

th(cid:228)a m¢n ba t‰nh ch§t sau v(cid:238)i m(cid:229)i x, y, z ∈ X v(cid:160) a ∈ F

(i) X¡c (cid:31)(cid:224)nh d(cid:247)(cid:236)ng: (cid:104)x, x(cid:105) ≥ 0 v(cid:160) (cid:104)x, x(cid:105) = 0 ⇔ x = 0.

(cid:104)ax, y(cid:105) = a (cid:104)x, y(cid:105)

(cid:104)x, y + z(cid:105) = (cid:104)x, y(cid:105) + (cid:104)x, z(cid:105) .

(ii) T‰nh tuy‚n t‰nh

(cid:104)x, y(cid:105) = (cid:104)y, x(cid:105).

1.2 L(cid:254) thuy‚t v• ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n

(iii) Li¶n hæp (cid:31)Łi xøng

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:247)(cid:238)i hay cÆn g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n (cid:31)(cid:247)æc ¡p d(cid:246)ng

rºng r¢i tr¶n nhi•u l(cid:190)nh v(cid:252)c khoa h(cid:229)c, k(cid:255) thu“t. Nºi dung ch‰nh cıa n(cid:226)

l(cid:160) (cid:31)(cid:247)a b(cid:160)i to¡n vi ph¥n (cid:31)ang x†t v• gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n (tøc l(cid:160)

h» thøc ho(cid:176)c c¡c h» thøc li¶n h» c¡c gi¡ tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ t⁄i c¡c th(cid:237)i (cid:31)i”m

1.2.1 C(cid:230)ng thøc Taylor

kh¡c nhau) b‹ng c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)⁄i sŁ.

Gi£ sß u(x, y) l(cid:160) mºt h(cid:160)m sŁ x¡c (cid:31)(cid:224)nh v(cid:160) c(cid:226) c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng theo c¡c bi‚n (cid:31)‚n c§p m + 1 trong mºt kho£ng Ω ∈ R2 chøa c¡c (cid:31)i”m (x, y)

v(cid:160) (x + h, y + k), trong (cid:31)(cid:226) h, k l(cid:160) c¡c (cid:31)⁄i l(cid:247)æng (cid:31)ı nh(cid:228) c(cid:226) th” d(cid:247)(cid:236)ng hay

¥m. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) h(cid:160)m 1 bi‚n sŁ, ch(cid:243)ng ta c(cid:226) c(cid:230)ng thøc khai tri”n

+ k

u(x + h, y + k) = u(x, y) + h

∂u ∂y

Taylor nh(cid:247) sau

+ · · · + o(hm + km).

1 2!

∂x2 + 2hk

∂2u ∂x∂y

∂u ∂ + k2 ∂2u ∂y2

(1.1) (cid:21) (cid:20) h2 ∂2u

V• m(cid:176)t (cid:254) ngh(cid:190)a to¡n h(cid:229)c t‰nh to¡n th… c(cid:230)ng thøc Taylor, gi¡ tr(cid:224) cıa h(cid:160)m

sŁ t⁄i (cid:31)i”m (x + h, y + k) s‡ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)æc t‰nh qua c¡c gi¡ tr(cid:224) h(cid:160)m v(cid:160) c¡c

(cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng c¡c c§p t⁄i (cid:31)i”m (x, y). N‚u ch(cid:243)ng ta giœ (cid:31)‚n sŁ h⁄ng chøa

c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p m th… k‚t qu£ t‰nh to¡n s‡ (cid:31)£m b£o sai sŁ x§p x¿ mºt (cid:31)⁄i l(cid:247)æng v(cid:230) c(cid:242)ng b† l(cid:160) o(hm). Sau (cid:31)¥y lu“n v«n s‡ (cid:31)(cid:247)a ra mºt sŁ k‚t qu£ khi

x“y d(cid:252)ng c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n d(cid:252)a tr¶n c(cid:230)ng thøc Taylor.

1.2.2 C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n v(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p hai

L(cid:247)(cid:238)i sai ph¥n

−∆u = f, x ∈ Ω

X†t b(cid:160)i to¡n

u = g,

x ∈ ∂Ω,

  (1.2)



trong (cid:31)(cid:226) Ω = {(x, y) ∈ R2, a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, ch(cid:229)n hai sŁ

k = (d − c)/M g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i theo y. (cid:30)(cid:176)t xi = a + ih, yj = c + jh,

i = 0, . . . , N , j = 0, . . . , M . MØi (cid:31)i”m (xi, yj) g(cid:229)i l(cid:160) mºt n(cid:243)t l(cid:247)(cid:238)i k(cid:254) hi»u

nguy¶n N > 1 v(cid:160) M > 1, (cid:31)(cid:176)t h = (b − a)/N g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i theo x,

l(cid:160) n(cid:243)t (i, j). T“p hæp t§t c£ c¡c n(cid:243)t trong k(cid:254) hi»u l(cid:160) Ωhk. N(cid:243)t (cid:240) tr¶n bi¶n Γ

g(cid:229)i l(cid:160) n(cid:243)t bi¶n; t“p t§t c£ c¡c n(cid:243)t bi¶n k(cid:254) hi»u l(cid:160) Γhk, t“p Ωhk = Ωhk ∪ Γhk

g(cid:229)i l(cid:160) mºt l(cid:247)(cid:238)i sai ph¥n tr¶n Ω.

H(cid:160)m l(cid:247)(cid:238)i

MØi h(cid:160)m sŁ x¡c (cid:31)(cid:224)nh t⁄i c¡c n(cid:243)t cıa l(cid:247)(cid:238)i g(cid:229)i l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:247)(cid:238)i, gi¡ tr(cid:224) cıa

h(cid:160)m l(cid:247)(cid:238)i u(x, y) t⁄i n(cid:243)t l(cid:247)(cid:238)i (i, j) vi‚t t›t l(cid:160) ui,j. MØi h(cid:160)m u(i, j) x¡c (cid:31)(cid:224)nh

t⁄i m(cid:229)i (x, y) ∈ Ω t⁄o ra h(cid:160)m l(cid:247)(cid:238)i u x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i ui,j.

B(cid:160)i to¡n sai ph¥n

Sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc Taylor trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2 bi‚n sŁ, ch(cid:243)ng ta thu (cid:31)(cid:247)æc

c¡c c(cid:230)ng thøc t‰nh gƒn (cid:31)(cid:243)ng c¡c gi¡ tr(cid:224) (cid:31)⁄o h(cid:160)m t⁄i c¡c n(cid:243)t l(cid:247)(cid:238)i (i, j) nh(cid:247)

(ui+1,j − ui,j) + o(h)

(ui,j+1 − ui,j) + o(k)

+ o(h2)

+ o(k2).

∂u ∂x ∂u ∂y ∂2u ∂x2 ∂2u ∂y2

1 h 1 k ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j h2 ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 k2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(i,j) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(i,j) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(i,j) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(i,j)

(cid:30)(cid:176)t

∆hku ≡

ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j h2

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 k2

(1.3)

∆hku = ∆u + o(h2 + k2).

Khi (cid:31)(cid:226), chøng t(cid:228)

SŁ h⁄ng o(h2 + k2) l(cid:160) mºt v(cid:230) c(cid:242)ng b† b“c hai. Ta n(cid:226)i to¡n tß ∆hk x§p x¿ to¡n tß ∆, (cid:31)i•u (cid:31)(cid:226) cho ph†p thay ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng

∆hku = fij, fij = f (xi, yj), (xi, yj) ∈ Ωhk,

tr…nh sai ph¥n

= fi,j,

(i, j) ∈ Ωhk, (1.4)

ui+1,j − 2ui,j + ui+1,j h2

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 k2

tøc l(cid:160)

(cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i thay (cid:31)i•u ki»n bi¶n b‹ng (cid:31)i•u ki»n

uij = g(xi, yj),

(xi, yj) ∈ Γhk.

(1.5)

Ta (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)i to¡n sai ph¥n ho(cid:160)n ch¿nh: t…m h(cid:160)m l(cid:247)(cid:238)i u t⁄i c¡c n(cid:243)t (i, j)

th(cid:228)a m¢n h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n (1.4) v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n bi¶n (1.5). Nh(cid:247)

v“y vi»c t…m nghi»m x§p x¿ cıa b(cid:160)i to¡n vi ph¥n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p hai

(cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a v• vi»c gi£i b(cid:160)i to¡n sai ph¥n (1.4) v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n (1.5) b‹ng c¡c

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)⁄i sŁ.

Nh“n x†t 1.1. (i) H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n (1.5)

ho(cid:176)c c¡c h» (cid:31)i•u ki»n bi¶n d⁄ng Dirichlet t(cid:247)(cid:236)ng øng trong mi•n chœ

nh“t [a, b] × [c, d] th(cid:230)ng qua c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi s(cid:236) c§p s‡ (cid:31)(cid:247)æc bi”u

− Yj−1 + CYj − Yj+1 = Fj;

di„n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng c¡c h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vect(cid:236) 3 (cid:31)i”m d⁄ng

Y0 = F0, YN = Fn, j = 1, N − 1,

(1.6)

(F0,j, F1,j, . . . , Fn,j) l(cid:160) c¡c v†ct(cid:236) v‚ ph£i, C = (ci,j)N ×N l(cid:160) ma tr“n

trong (cid:31)(cid:226) k(cid:254) hi»u Yj = (u0,j, u1,j, . . . , uN,j) l(cid:160) c¡c v†ct(cid:236) nghi»m, Fj =

h» sŁ cıa h» d⁄ng 3 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o trºi.

(ii) (cid:30)” gi£i (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)i to¡n (1.6) b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sŁ, (cid:31)i•u quan tr(cid:229)ng

nh§t l(cid:160) ta ph£i x¡c (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:247)æc thu“t to¡n nhanh gi£i c¡c h» ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh v†ctor ba (cid:31)i”m (1.6) l(cid:160) c¡c h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄i sŁ tuy‚n t‰nh.

(iii) C(cid:226) nhi•u ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p kh¡c nhau (cid:31)” gi£i (cid:31)(cid:247)æc c¡c h» tr¶n. Tuy nhi¶n

do t‰nh ch§t (cid:31)(cid:176)c bi»t cıa h», ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p thu g(cid:229)n khŁi l(cid:247)æng t‰nh

O(M N log N ) s‡ (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng (cid:31)” x¥y d(cid:252)ng th(cid:247) vi»n sŁ.

1.2.3 C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n v(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p bŁn

to¡n cıa Samarskij (cid:21) Nicolaev (cid:31)• xu§t [7] v(cid:238)i (cid:31)º phøc t⁄p t‰nh to¡n

L(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) sai ph¥n

u(x + h, y) = u(x, y) + h

u(x − h, y) = u(x, y) − h

∂u ∂x ∂u ∂x

h2 2 h2 2

∂2u ∂x2 + ∂2u ∂x2 −

h3 6 h3 6

∂3u ∂x3 + ∂3u ∂x3 +

h4 24 h4 24

∂4u ∂x4 + · · · + O(h6) ∂4u ∂x4 + · · · + O(h6) (1.7)

−

u(x + h, y) − 2u(x, y) + u(x − h, y) h2 u(x, y + k) − 2u(x, y) + u(x, y − k) k2

h2 12 k2 12

∂4u ∂x4 + O(h4) ∂4u ∂y4 + O(k4)

Ch(cid:243)ng ta x†t c(cid:230)ng thøc khai tri”n Taylor tŒng qu¡t

−

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 k2 ∂4u ∂y4 + O(h4 + k4).

h2 12

k2 12

ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j h2 ∂4u ∂x4 − Xu§t ph¡t tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh eliptic c§p hai ∂2u ∂x2 +

∂2u ∂y2 − cu(x, y) = −f (x, y).

Tł (1.7), ta suy ra ∂2u ∂x2 = ∂2u ∂y2 = ∆u =

∂x4 + h2 ∂4u h2 ∂4u k2 ∂4u ∂y4 + k2 ∂4u

∂x2∂y2 = −h2 ∂2f ∂x2∂y2 = −k2 ∂2f

∂x2 + h2c ∂y2 + k2c

∂2u ∂x2 , ∂2u ∂y2 .

Ta c(cid:226)

∆u.

k2 12

∂4u ∂y4 = −

h2 + k2 12

∂4u ∂x2∂y2 −

h2 12

∂2f ∂x2 −

k2 12

∂2f ∂y2 + c

(h2 + k2) 12

Suy ra ∂4u h2 ∂x4 + 12

Tł c¡c k‚t qu£ tr¶n, ta thu (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng thøc khai tri”n Taylor v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh

∆u =

h2 + k2 2

∂4u ∂x2∂y2

∆u + O(h4 + k4)

= − fi,j −

ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j h2 h2 12

∂2f ∂x2 −

k2 12

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 k2 h2 + k2 12

∂2f ∂y2 + c

x¡c c§p 4 nh(cid:247) sau

hay

1 − c

h2 + k2 12

(cid:18)

1 − c

h2 + k2 12

= f (x, y) +

(cid:18)

k2 12

1 − c

(cid:19) ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 k2 h2 12

∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 , c1 = 1/

h2 12

∂2f ∂x2 +

k2 12

(cid:30)(cid:176)t ¯f (x, y) = f (x, y) + , ta thu (cid:19) ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j h2 h2 + k2 ∂4u ∂x2∂y2 12 ∂2f ∂y2 + O(h4 + k4). (cid:19) (cid:18) h2 + k2 12

u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j) h2

u(i, j − 1) − 2u(i, j) + u(i, j + 1) k2

¯f (i, j) + O(h4 + k4).

+c1

h2 + k2 12

∂4u ∂x2∂y2 = −c1

(cid:31)(cid:247)æc l(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) sai ph¥n

+ O(h2)

∂2u ∂x2 =

u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j) h2

V…

∂4u ∂x2∂y2 =

h2 + k2 12h2k2 (u(i − 1, j − 1) − 2u(i, j − 1) + u(i + 1, j − 1) −2(u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j))

+u(i − 1, j + 1) − 2u(i, j + 1) + u(i + 1, j + 1) + O(h4 + k4). (1.8)

do (cid:31)(cid:226) h2 + k2 12

u(i, j − 1) − 2u(i, j) + u(i, j − 1) k2

+c1

u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j) h2 h2 + k2 12h2k2 (u(i − 1, j − 1) − 2u(i, j − 1) + u(i + 1, j − 1) −2(u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j))

+u(i − 1, j + 1) − 2u(i, j + 1) + u(i + 1, j + 1))

¯f (i, j),

0 ≤ i ≤ M, 0 ≤ j ≤ N.

= −c1

Ta thu (cid:31)(cid:247)æc l(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) sai ph¥n nh(cid:247) sau

k2 h2 , R = c1 tr…nh sai ph¥n (1.9), ta thu (cid:31)(cid:247)æc h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh v†ct(cid:236) 3 (cid:31)i”m

1 ≤ j ≤ N − 1,

−BYj−1 + AYj − BYj+1 = Fj,

Sß d(cid:246)ng c¡c k(cid:254) hi»u r = (1.9) h2 + k2 12h2 , d = 2(1 + r). Tł h» ph(cid:247)(cid:236)ng

Y0 = F0, YN = FN ,

  (1.10)



trong (cid:31)(cid:226)

1 − 2R

. . .

1 − 2R

. . .

1 − 2R

B =

. . . . . .

. . .

. . . R 1 − 2R R

 

. . .

R 1 − 2R

                       

2(1 + r) − 4R

. . .

−2 + 2R

2(1 + r) − 4R

. . .

A =

. . .

2(1 + r) − 4R

−r + 2R

 

−r + 2R

2(1 + r) − 4R

                 

k2(c1

¯f (1, j) + Rg(0, j − 1) + (r − 2R)g(0, j) + R(0, j + 1) ¯f (1, j)

k2c1

Fj =

k2c1

 

. . . ¯f (1, j) ¯f (M − 1, j) + Rg(M, j − 1) + (r − 2R)g(M, j) + Rg(M, j + 1))

k2(c1

F0 =(u(1, 0)u(2, 0), . . . , u(M − 1, 0)),

FN =(u(1, N ), u(2, N ), . . . , u(M − 1, N )).

                 

1 ≤ j ≤ N − 1,

−BYj−1 + AYj − BYj+1 = Fj,

Y0 = F0, YN = FN .

1 ≤ j ≤ N − 1

−Yj−1 + CYj − Yj+1 = Φ,

X†t h»

Y0 = Φ0, YN = ΦN , C = B−1A, Φj = B−1Fj.

Nh¥n hai v‚ v(cid:238)i B−1   (1.11)



Nh“n x†t 1.2. Ma tr“n C trong (1.11) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) ma tr“n 3 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng

ch†o trºi, do (cid:31)(cid:226) kh(cid:230)ng th” ¡p d(cid:246)ng thu“t to¡n thu g(cid:229)n khŁi l(cid:247)æng t‰nh

to¡n tr(cid:252)c ti‚p (cid:31)(cid:247)æc.

(2l − 1)π

2k (cid:89)

(C − 2 cos

C (k) =

Cl,k,

2k+1 E) =

l=1

X†t h» thøc

(2l − 1)π

2k (cid:89)

C (k) =

B−1(A − 2 cos

2k+1 B).

l=1

v… C = B−1A n¶n ta c(cid:226)

X†t h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(2l − 1)π

2k (cid:89)

C (k)ϕF ⇔

B−1(A − 2 cos



2k+1 B)

l=1

  ϕ = F 

(2l − 1)π

2k (cid:89)

(A − 2 cos

2k+1 B)ϕ = BF.

l=1

hay

ϕ0 = BF

(2l − 1)π

(A − 2 cos

2k+1 B)ϕ1 = ϕ0, . . .

(2l − 1)π

(A − 2 cos

2k+1 B)ϕk = ϕk−1.

(2l − 1)π

H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n c(cid:226) th” gi£i (cid:31)(cid:247)æc b‹ng thu“t to¡n (cid:31)» quy

2k+1 B) l(cid:160) ma tr“n 3 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o trºi, do (cid:31)(cid:226) c¡c h» tr¶n v¤n gi£i (cid:31)(cid:247)æc b‹ng thu“t to¡n

Do A, B l(cid:160) c¡c ma tr“n 3 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o n¶n (A − 2 cos

truy (cid:31)uŒi 3 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o v(cid:238)i (cid:31)º phøc t⁄p t‰nh to¡n l(cid:160) O(N ), tøc l(cid:160) thu“t

to¡n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p 4 v¤n th(cid:252)c hi»n (cid:31)(cid:247)æc b‹ng thu“t to¡n thu g(cid:229)n

khŁi l(cid:247)æng v(cid:238)i (cid:31)º phøc t⁄p O(M N log N ).

Sß d(cid:246)ng ng(cid:230)n ngœ l“p tr…nh Matlab, trong c(cid:230)ng tr…nh [2] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra

th(cid:247) vi»n sŁ RC2009 t…m nghi»m sŁ v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p hai cho b(cid:160)i to¡n

bi¶n elliptic c§p hai. C¡c k‚t qu£ ki”m tra th(cid:247) vi»n sŁ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong

1 + x6 2

L(cid:247)(cid:238)i chia ud = sin x1 sin x2 16 × 16

B£ng 1.1: Sai sŁ t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i c¡c l(cid:247)(cid:238)i chia v(cid:160) h(cid:160)m nghi»m (cid:31)(cid:243)ng ud = ex1+x2 1.39 × e − 4

ud = ex1 cos x2 ud = x6 4.34 × e − 5

1.18 × e − 5

0.005

32 × 32

2.97 × e − 6

3.50 × e − 5

1.09 × e − 5

0.0014

64 × 64

7.44 × e − 7

8.78 × e − 6

2.73 × e − 6

3.44 × e − 4

128 × 128

1.86 × e − 7

2.19 × e − 6

6.82 × e − 7

8.61 × e − 5

256 × 256

1.65 × e − 8

5.49 × e − 7

1.70 × e − 7

2.15 × e − 5

B£ng 1.1

C¡c k‚t qu£ t‰nh to¡n sŁ chøng t(cid:228) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n (cid:31)£m b£o

(cid:31)º ch‰nh x¡c b“c hai.

Trong c(cid:230)ng tr…nh [2] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra c¡c h(cid:160)m t…m nghi»m sŁ v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh

x¡c c§p bŁn cho b(cid:160)i to¡n bi¶n elliptic c§p hai. C¡c k‚t qu£ ki”m tra th(cid:247)

L(cid:247)(cid:238)i chia ud = sin x1 sin x2 16 × 16

B£ng 1.2: Sai sŁ t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i c¡c l(cid:247)(cid:238)i chia v(cid:160) h(cid:160)m nghi»m (cid:31)(cid:243)ng ud = ex1+x2 1.82 × e − 8

ud = ex1 cos x2 15 × e − 12

1.55 × e − 9

1 + x6 ud = x6 2 6.74 × e − 6

32 × 32

9.71 × e − 11

1.14 × e − 9

4.19 × e − 14

4.21 × e − 7

64 × 64

6.06 × e − 12

7.15 × e − 11

2.46 × e − 14

2.63 × e − 8

128 × 128

3.45 × e − 13

5.22 × e − 12

4.22 × e − 13

1.64 × e − 9

256 × 256

2.12 × e − 13

2.83 × e − 12

1.22 × e − 12

1.02 × e − 10

vi»n sŁ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong B£ng 1.2

C¡c k‚t qu£ t‰nh to¡n sŁ chøng t(cid:228) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n (cid:31)£m b£o

(cid:31)º ch‰nh x¡c b“c bŁn. C¡c th(cid:247) vi»n ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n s‡ (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng (cid:31)”

c(cid:160)i (cid:31)(cid:176)t t§t c£ c¡c thu“t to¡n (cid:31)(cid:247)a ra trong c¡c ch(cid:247)(cid:236)ng sau cıa lu“n v«n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p gi£i b(cid:160)i to¡n tam

(cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n

Nºi dung ch‰nh cıa ch(cid:247)(cid:236)ng 2 s‡ tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ k‚t qu£ khi nghi¶n

cøu c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p t…m nghi»m gƒn (cid:31)(cid:243)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c b(cid:160)i to¡n d⁄ng tam

(cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i v‚ ph£i l(cid:160) h(cid:160)m phi tuy‚n ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o h(cid:160)m v(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa

h(cid:160)m cƒn t…m, h» (cid:31)i•u ki»n bi¶n d⁄ng Dirichlet ho(cid:176)c Neuman. C¡c k‚t qu£

2.1 B(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n Dirichlet

l(cid:254) thuy‚t (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o trong c¡c t(cid:160)i li»u [3, 4].

Trong phƒn n(cid:160)y, ch(cid:243)ng s‡ x†t b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa d⁄ng tŒng qu¡t

∆3u(x) = f (x),

x ∈ Ω

sau (cid:31)¥y

x ∈ ∂Ω,

u(x) = g1, ∆u(x) = g2, ∆2u(x) = g3,

 



f, g1, g2, g3 l(cid:160) c¡c h(cid:160)m sŁ li¶n t(cid:246)c theo c¡c bi‚n tr¶n mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh. Ch(cid:243)ng

trong (cid:31)(cid:226) Ω l(cid:160) mºt mi•n b(cid:224) ch(cid:176)n trong kh(cid:230)ng gian Rn v(cid:238)i bi¶n ∂Ω (cid:31)ı tr(cid:236)n,

ta s‡ nghi¶n cøu s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n c(cid:244)ng nh(cid:247) c¡c

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p t…m nghi»m x§p x¿ th(cid:230)ng qua ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sŁ.

2.1.1 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n thuƒn nh§t

∆3u(x) = f (x, u, ∆u, ∆2u),

x ∈ Ω,

X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n thuƒn nh§t

∆2u = ∆u = u = 0,

x ∈ ∂Ω,

  (2.1)



trong (cid:31)(cid:226) Ω l(cid:160) mºt mi•n b(cid:224) ch(cid:176)n trong kh(cid:230)ng gian Rn v(cid:238)i bi¶n ∂Ω (cid:31)ı tr(cid:236)n, (cid:31)(cid:247)a v(cid:160)o c¡c k‰ hi»u v = ∆u(x), w = ∆2u(x). Gi£ thi‚t f (x, u, v, w) l(cid:160)

mºt h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c theo c¡c bi‚n (x, u, v, w) trong mºt mi•n gi(cid:238)i nºi D.

Hi”n nhi¶n, n‚u f l(cid:160) h(cid:160)m ch¿ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o x th… b(cid:160)i to¡n c(cid:226) dang (cid:31)(cid:236)n

gi£n v(cid:160) vi»c t…m nghi»m c(cid:226) th” nh“n (cid:31)(cid:247)æc b‹ng c¡c c(cid:230)ng c(cid:246) l(cid:254) thuy‚t gi£i

t‰ch. Tuy nhi¶n, do f l(cid:160) h(cid:160)m phi tuy‚n n¶n c¡c c(cid:230)ng c(cid:246) gi£i t‰ch l(cid:160) kh(cid:230)ng

th(cid:252)c hi»n (cid:31)(cid:247)æc. Do (cid:31)(cid:226) ng(cid:247)(cid:237)i ta th(cid:247)(cid:237)ng t…m nghi»m x§p x¿ cıa b(cid:160)i to¡n

b‹ng c¡ch x§y d(cid:252)ng c¡c s(cid:236) (cid:31)(cid:231) l(cid:176)p.

Sau (cid:31)¥y ch(cid:243)ng ta s‡ nghi¶n cøu s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m cıa b(cid:160)i

to¡n (2.1) d(cid:252)a tr¶n l(cid:254) thuy‚t to¡n tß.

S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m

(Aϕ)(x) = f (x, u(x), v(x), w(x)),

(cid:30)(cid:247)a to¡n tß A (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc

∆3u = ϕ(x),

x ∈ Ω

(2.2)

u = ∆u = ∆2u = 0,

x ∈ ∂Ω,

trong (cid:31)(cid:226), u(x) l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n   (2.3)



v(cid:238)i ϕ l(cid:160) mºt h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c trong Ω.

ϕ(x) th(cid:230)ng qua to¡n tß A (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong bŒ (cid:31)• sau (cid:31)¥y.

Khi (cid:31)(cid:226) quan h» giœa nghi»m u(x) cıa b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:160) h(cid:160)m

BŒ (cid:31)• 2.1. H(cid:160)m ϕ(x) l(cid:160) mºt (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa to¡n tß A, tøc ϕ(x) l(cid:160)

mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß Aϕ = ϕ, khi v(cid:160) ch¿ khi u(x) (cid:31)(cid:247)æc

x¡c (cid:31)(cid:224)nh tł b(cid:160)i to¡n bi¶n (2.3) l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n bi¶n (2.1).

(cid:136) (cid:30)i•u ki»n cƒn: Gi£ sß u(x) l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.3). Hi”n nhi¶n, theo c¡ch x¡c (cid:31)(cid:224)nh cıa ϕ(x) v(cid:160) to¡n tß A suy ra ϕ(x) l(cid:160) (cid:31)i”m b§t

Chøng minh.

(cid:136) (cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı: Gi£ sß ϕ(x) l(cid:160) (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa to¡n tß A. Khi (cid:31)(cid:226), hi”n nhi¶n theo c¡ch x¡c (cid:31)(cid:224)nh to¡n tß A suy ra ϕ(x) = f (x, u, v, w),

(cid:31)ºng cıa to¡n tß A.

tøc l(cid:160) u(x) l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.3).

(cid:3)

Nh“n x†t 2.1. Tł nºi dung cıa bŒ (cid:31)• tr¶n, ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng t‰nh ch§t

cıa nghi»m (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n (2.3) s‡ ho(cid:160)n to(cid:160)n ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o t‰nh ch§t

cıa to¡n tß A.

Sau (cid:31)¥y ch(cid:243)ng ta s‡ nghi¶n cøu t‰nh ch§t cıa to¡n tß A.

−∆u = f (x), x ∈ Ω,

BŒ (cid:31)• 2.2. (cid:30)Łi v(cid:238)i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n bi¶n

u = 0, x ∈ ∂Ω

 

|u(x)|, CΩ =



ρn 2n v(cid:238)i ρ l(cid:160)

c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)u(cid:107) ≤ CΩ(cid:107)f (cid:107), trong (cid:31)(cid:226) (cid:107)u(cid:107) = max x∈Ω

b¡n k‰nh cıa h…nh cƒu chøa Ω.

Vi»c chøng minh bŒ (cid:31)• (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong [4]. Hi”n nhi¶n, trong

. Gi£ sß, v(cid:238)i M l(cid:160) mºt sŁ d(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)o k‰nh R = 1 th… d„ th§y h» sŁ CΩ =

DM = {(x, u, v, w)| x ∈ Ω, |u| ≤ C 3

ΩM, |v| ≤ C 2

ΩM, |w| ≤ CΩM }.

tr(cid:247)(cid:237)ng hæp kh(cid:230)ng gian (cid:31)ang x†t l(cid:160) kh(cid:230)ng gian 2 chi•u v(cid:160) h…nh cƒu c(cid:226) b¡n 1 8 (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a mi•n DM nh(cid:247) sau:

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1. Gi£ sß t(cid:231)n t⁄i c¡c sŁ M > 0, L1, L2, L3 ≥ 0 sao cho

(i) |f (x, u, v, w)| ≤ M v(cid:238)i m(cid:229)i (x, u, v, w) ∈ DM .

L3|w2 − w1| v(cid:238)i m(cid:229)i (x, ui, vi, wi) ∈ DM , i = 1, 2.

(ii) |f (x2, u2, v2, w2) − f (x1, u1, v1, w1)| ≤ L1|u2 − u1| + L2|v2 − v1| +

Ω + L2CΩ + L3)CΩ < 1.

(iii) q = (L1C 2

(cid:107)u(cid:107) ≤ C 3

ΩM, (cid:107)∆u(cid:107) ≤ C 2

ΩM, (cid:107)∆2u(cid:107) ≤ CΩM.

Khi (cid:31)(cid:226), b(cid:160)i to¡n (2.1) c(cid:226) duy nh§t nghi»m u(x) th(cid:228)a m¢n

Chøng minh. V… to¡n tß A (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.2), do (cid:31)(cid:226) tł gi£ thi‚t (i)

{ϕ ∈ C(Ω)| (cid:107)ϕ(cid:107) ≤ M } v(cid:160)o ch‰nh n(cid:226).

cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 c(cid:226) th” chøng t(cid:228) (cid:31)(cid:247)æc r‹ng A ¡nh x⁄ h…nh cƒu B[0, M ] =

Do A th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n Lipchitz (cid:240) gi£ thi‚t (ii) v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n co (cid:240)

gi£ thi‚t (iii) cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) n(cid:160)y. Do (cid:31)(cid:226), hi”n nhi¶n A l(cid:160) ¡nh x⁄ co. Tł (cid:31)(cid:226)

ϕ ∈ B[0, M ] cıa to¡n tß A. V… v“y theo BŒ (cid:31)• 2.1 th… b(cid:160)i to¡n (2.1) c(cid:226) (cid:3)

theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng Banach, t(cid:231)n t⁄i duy nh§t mºt (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng

nghi»m duy nh§t t(cid:247)(cid:236)ng øng.

∆3u = −π4 sin πx1 + (∆u)2 − u∆2u + sin(∆2u − ∆2u∗), x ∈ Ω,

V‰ d(cid:246) 2.1. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n

u = ∆u = ∆2u = 0, x ∈ ∂Ω,

 



trong (cid:31)(cid:226), Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1, x2). C(cid:226) th” th§y nghi»m ch‰nh x¡c 1 cıa b(cid:160)i to¡n l(cid:160) u∗ = 8π2 sin πx1 sin πx2. Ta ki”m tra c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa

f = (cid:107)f (cid:107) ≤ π4 + (cid:107)v(cid:107)2 + (cid:107)u(cid:107)(cid:107)w(cid:107) + 1 ≤ π4 + 1 +

≤ M.

M 2 84 +

M 3 83 ×

M 8

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1, ta c(cid:226)

2 84 M 2−M = π4+1 ≤ 0 ⇔ M1 ≤ M ≤ M2, M1 = 207, 3108, M2 = 3888, 7.

Tł (cid:31)(cid:226), M cƒn th(cid:228)a m¢n

(cid:107)f (x1, x2, u2, v2, w2) − f (x1, x2, u1, v1, w1)(cid:107)

≤ (cid:107)v1

2 − v2

1 − (u2w2 − u1w1) + sin(w2 − ∆2u∗) − sin(w1 − ∆2u∗)(cid:107)

sin

≤ (cid:107)v2 + v1(cid:107)(cid:107)v2 − v1(cid:107) + (cid:107)u2w2 − u2w1 + u2w1 − u1w1(cid:107) + 2

≤ (cid:107)v2 + v1(cid:107)(cid:107)v2 − v1(cid:107) + (cid:107)u2(cid:107)(cid:107)w2 − w1(cid:107) + (cid:107)w1(cid:107)(cid:107)u2 − u1(cid:107) + (cid:107)w2 − w1(cid:107)

≤ (cid:107)w1(cid:107)(cid:107)u2 − u1(cid:107) + ((cid:107)v2(cid:107) + (cid:107)v1(cid:107))(cid:107)v2 − v1(cid:107) + ((cid:107)u2(cid:107) + 1)(cid:107)w2 − w1(cid:107)

(cid:18)w2 − w1 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:19)(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

≤

(cid:107)u2 − u1(cid:107) +

(cid:107)w2 − w1(cid:107)

M 8

2M 82 (cid:107)v2 − v1(cid:107) +

83 + 1

= L1(cid:107)u2 − u1(cid:107) + L2(cid:107)v2 − v1(cid:107) + L3(cid:107)w2 − w1(cid:107);

(cid:19) (cid:18)M

M 8

2M 8

M 83 + 1. X†t h‹ng sŁ CΩ =

1 8

. V“y t(cid:231)n t⁄i c¡c sŁ L1 = , L2 = , L3 =

Khi (cid:31)(cid:226),

< 1.

⇔

(cid:18)M

1 8

q = (L1C 2 Ω + L2CΩ + L3)CΩ ≤ 1 1 2M 82 × 8

83 + 1

(cid:18)M 8 (cid:19)(cid:19) 1 8

Suy ra M < 896. Nh(cid:247) v“y, v(cid:238)i c¡ch ch(cid:229)n M th(cid:228)a m¢n nh(cid:247) tr¶n th… c¡c

(cid:31)i•u ki»n cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n, tøc l(cid:160) b(cid:160)i to¡n tr¶n t(cid:231)n t⁄i duy

nh§t nghi»m.

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p t…m nghi»m x§p x¿

∆3u(x) = f (x), x ∈ Ω,

X†t b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa tŒng qu¡t

u(x) = g1(x), ∆u(x) = g2(x), ∆2u(x) = g3(x), x ∈ ∂Ω.

 



B‹ng c¡ch (cid:31)(cid:176)t v = ∆u(x), w = ∆2u(x), d„ th§y r‹ng b(cid:160)i to¡n c§p 6 s‡

∆w = f (x), x ∈ Ω,

(cid:31)(cid:247)æc gi£i b‹ng c¡ch gi£i lƒn l(cid:247)æt 3 b(cid:160)i to¡n c§p hai nh(cid:247) sau

w = g3(x), x ∈ ∂Ω

∆v(x) = w, x ∈ Ω

 

v = g2(x), x ∈ ∂Ω

∆u(x) = v, x ∈ Ω

  

u = g1(x), x ∈ ∂Ω.

  



Nh(cid:247) v“y sß d(cid:246)ng c¡c th(cid:247) vi»n sŁ gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n c§p hai, hi”n nhi¶n

ch(cid:243)ng ta c(cid:226) thu (cid:31)(cid:247)æc nghi»m sŁ cıa b(cid:160)i to¡n c§p 6 t(cid:247)(cid:236)ng øng. Ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p tr¶n th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ph¥n r¢. Ch(cid:243)ng ta s‡ sß d(cid:246)ng

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p n(cid:160)y (cid:31)” x¥y d(cid:252)ng s(cid:236) (cid:31)(cid:231) l(cid:176)p gi£i b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa.

(cid:30)” t…m nghi»m x§p x¿ cıa b(cid:160)i to¡n (2.1), sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ph¥n

r¢ b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa v• ba b(cid:160)i to¡n c§p hai, d(cid:252)a tr¶n k‚t qu£ x¥y

d(cid:252)ng to¡n tß A, ch(cid:243)ng ta (cid:31)• xu§t ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p sau (cid:31)¥y.

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p d⁄ng li¶n t(cid:246)c

x ∈ Ω.

B(cid:247)(cid:238)c 0: Cho x§p x¿ ban (cid:31)ƒu ϕ0 ∈ B[0, M ], chﬂng h⁄n ϕ0(x) = f (x, 0, 0, 0),

∆wk = ϕk, x ∈ Ω

B(cid:247)(cid:238)c 1: V(cid:238)i k = 0, 1, 2, . . . , gi£i li¶n ti‚p ba b(cid:160)i to¡n c§p 2

wk = 0, x ∈ ∂Ω

∆vk = wk, x ∈ Ω

  (2.4)

vk = 0, x ∈ ∂Ω

∆uk = vk, x ∈ Ω,

   (2.5)

uk = 0, x ∈ ∂Ω.

   (2.6)



B(cid:247)(cid:238)c 2: C“p nh“t

ϕk+1 = f (x, uk, vk, wk).

(2.7)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2. V(cid:238)i nhœng gi£ thi‚t cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p tr¶n

(cid:107)ϕ1 − ϕ0(cid:107),

(cid:107)uk − u(cid:107) ≤ C 3 Ω

qk 1 − q

hºi t(cid:246) v(cid:160) c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡

trong (cid:31)(cid:226) u l(cid:160) nghi»m ch‰nh x¡c cıa b(cid:160)i to¡n (2.1) v(cid:160) gi¡ tr(cid:224) q (cid:31)(cid:247)æc x¡c

(cid:31)(cid:224)nh theo (iii) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.

Chøng minh. Ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p n¶u tr¶n l(cid:160) mºt qu¡

tr…nh l(cid:176)p li¶n ti‚p cho (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa to¡n tß A v(cid:238)i x§p x¿ ban (cid:31)ƒu

trong h…nh cƒu B[0, M ]. Do (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p n(cid:160)y hºi t(cid:246) v(cid:238)i tŁc (cid:31)º c§p

(cid:107)ϕ1 − ϕ0(cid:107). Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

qk 1 − q

(cid:107)ϕ1 − ϕ0(cid:107).

(cid:107)uk − u(cid:107) ≤ C 3 Ω

qk 1 − q

sŁ nh¥n v(cid:160) ta c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)ϕk − ϕ(cid:107) ≤

(cid:3)

Nh“n x†t 2.2. S(cid:236) (cid:31)(cid:231) l(cid:176)p (2.4)-(2.7) ch‰nh l(cid:160) s(cid:236) (cid:31)(cid:231) l(cid:176)p d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng vi

ph¥n (cid:31)” t…m nghi»m gƒn (cid:31)(cid:243)ng cho b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa. (cid:30)” t…m nghi»m

sŁ ch(cid:243)ng ta ph£i ti‚n h(cid:160)nh r(cid:237)i r⁄c h(cid:226)a c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n v• c¡c

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n t(cid:247)(cid:236)ng øng sau (cid:31)(cid:226) sß d(cid:246)ng c¡c thu“t to¡n sŁ gi£i

c¡c h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n. Vi»c r(cid:237)i r⁄c h(cid:226)a (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c hi»n th(cid:230)ng qua

c¡c s(cid:236) (cid:31)(cid:231) l(cid:176)p nh(cid:247) sau:

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p møc (cid:31)º r(cid:237)i r⁄c

Tr¶n c(cid:236) s(cid:240) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:247)(cid:238)i, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chuy”n ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p v• møc

m × n. K(cid:254) hi»u

}

i = 1, m − 1, j = 1, n − 1, h1 =

, h2 =

ωh = {(x1, x2)| x1 = i × h1, x2 = j × h2, l2 n

l1 m

r(cid:237)i r⁄c nh(cid:247) sau. Gi£ sß Ω = [0, l1] × [0, l2], chia l(cid:247)(cid:238)i Ω b(cid:240)i l(cid:247)(cid:238)i (cid:31)•u c(cid:239)

ωh = ωh ∪ γh. Sß d(cid:246)ng c¡c c(cid:230)ng thøc sai ph¥n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p bŁn,

l(cid:160) t“p c¡c (cid:31)i”m trong cıa l(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) γh l(cid:160) t“p c¡c (cid:31)i”m bi¶n cıa l(cid:247)(cid:238)i, k(cid:254) hi»u

∆u = f (x), x ∈ Ω

khi (cid:31)(cid:226) b(cid:160)i to¡n

u = µ(x), x ∈ ∂Ω

 



Λy = f (x), x ∈ ωh

(cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a v• b(cid:160)i to¡n sai ph¥n

y = µ(x), x ∈ γh,

 



trong (cid:31)(cid:226) y ≈ uij(x1i, x2j) l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:247)(cid:238)i x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n ωh v(cid:160) Λ l(cid:160) to¡n tß

Laplace r(cid:237)i r⁄c, x§p x¿ to¡n tß Laplace ∆. Sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n,

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (2.4)-(2.7) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a v• ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:240) møc sai ph¥n

sau.

0 = f (x, 0, 0, 0), x ∈ ωh.

Thu“t to¡n 1 B(cid:247)(cid:238)c 0: Cho ϕh

Λwh

B(cid:247)(cid:238)c 2: V(cid:238)i k = 0, 1, 2, . . . , gi£i li¶n ti‚p ba b(cid:160)i to¡n sai ph¥n c§p hai.

k, x ∈ ωh

k = ϕh

k = 0, x ∈ γh

Λvh

  (2.8)

k , x ∈ ωh

k = wh

vh k = 0, x ∈ γh

Λuh

   (2.9)

k = vh

k , x ∈ ωh

   (2.10)

uh k = 0, x ∈ γh.



k, vh

k , wh

k lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) c¡c h(cid:160)m l(cid:247)(cid:238)i cıa c¡c h(cid:160)m u, v, w t⁄i b(cid:247)(cid:238)c

Trong (cid:31)(cid:226), uh

l(cid:176)p thø k.

B(cid:247)(cid:238)c 2: C“p nh“t

k ), x ∈ ωh.

k , wh

k, vh

k+1 = f (x, uh ϕh

(2.11)

(cid:30)Łi v(cid:238)i c¡c b(cid:160)i to¡n sai ph¥n (2.8), (2.9), (2.10), trong ch(cid:247)(cid:236)ng 1 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a

ra k‚t qu£ v• h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh v†ct(cid:236) 3 (cid:31)i”m t(cid:247)(cid:236)ng øng (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n sai

ph¥n c§p hai. Vi»c t…m nghi»m sŁ (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c hi»n b‹ng c¡c h(cid:160)m trong th(cid:247)

vi»n RC2009 v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c 4.

(cid:30)” (cid:31)¡nh gi¡ sai sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p, ch(cid:243)ng ta cƒn (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)uh

k − u(cid:107) ≤ (cid:107)uh

k − u(cid:107). k − uk(cid:107) + (cid:107)uk − u(cid:107). Theo k‚t qu£ cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2, c(cid:226) (cid:107)ϕ1 −ϕ0(cid:107). V… v“y, ta ch¿ cƒn (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)uh

qk 1 − q

(cid:107)uk −u(cid:107) ≤ C 3 Ω ph¡t tł b(cid:247)(cid:238)c k = 0, ta c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)uh ph¡p quy n⁄p v(cid:160) sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc c“p nh“t (2.11), ta thu (cid:31)(cid:247)æc (cid:107)uh

k −uk(cid:107). Xu§t 0 − u0(cid:107)C(Ωh) ≤ O(h4), theo ph(cid:247)(cid:236)ng k −

(cid:107)ϕ1−ϕ0(cid:107),

k−u(cid:107)C(Ωh) ≤ O(h4)+C 3 Ω

qk 1 − k

uk(cid:107)C(Ωh) ≤ O(h4). Tł (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) (cid:107)uh tøc l(cid:160) sai sŁ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:160) c§p 4 so v(cid:238)i b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i.

2.1.2 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n kh(cid:230)ng thuƒn nh§t

Ta c(cid:226) (cid:107)uh

Tr¶n c(cid:236) s(cid:240) c¡c k‚t qu£ thu (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n

thuƒn nh§t, ch(cid:243)ng ta s‡ x†t b(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n v(cid:238)i (cid:31)i•u

∆3u(x) = f (x),

x ∈ Ω,

ki»n bi¶n tŒng qu¡t. B(cid:160)i to¡n c(cid:226) d⁄ng

x ∈ ∂Ω.

u(x) = g1(x), ∆u(x) = g2(x), ∆2u(x) = g3(x),

  (2.12)



∆3u1(x) = 0, x ∈ Ω

(cid:30)(cid:176)t u = u1 + u2, trong (cid:31)(cid:226) u1, u2 l(cid:160) nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n

u1(x) = g1(x), ∆u1(x) = g2(x), ∆2u1(x) = g3(x), x ∈ ∂Ω,

∆3u2(x) = f (x, u1 + u2, ∆u1 + ∆u2, ∆2u1 + ∆2u2), x ∈ Ω,

  (2.13)

u2(x) = ∆u2(x) = ∆2u2(x) = 0, x ∈ ∂Ω.

   (2.14)



Hi”n nhi¶n, n‚u u1(x) l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.13) v(cid:160) u2(x) l(cid:160) nghi»m

cıa b(cid:160)i to¡n (2.14) th… u(x) s‡ l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.12).

(cid:136) B(cid:160)i to¡n (2.13) l(cid:160) b(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n

Nh“n x†t 2.3.

Dirichlet v(cid:238)i v‚ ph£i thuƒn nh§t kh(cid:230)ng. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c h(cid:160)m m(cid:230) t£ (cid:31)i•u ki»n bi¶n thuºc l(cid:238)p C 4(Ω) th… s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) duy nh§t

nghi»m (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc khﬂng (cid:31)(cid:224)nh.

(cid:136) B(cid:160)i to¡n (2.14) ch‰nh l(cid:160) d⁄ng b(cid:160)i to¡n (2.1) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc x†t, s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i

duy nh§t nghi»m (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc khﬂng (cid:31)(cid:224)nh tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.

Nh(cid:247) v“y ch(cid:243)ng ta c(cid:244)ng khﬂng (cid:31)(cid:224)nh v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n th(cid:228)a m¢n (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 2.1, b(cid:160)i to¡n (2.12) c(cid:244)ng t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m. (cid:30)” t…m nghi»m cıa

b(cid:160)i to¡n (2.12)-(2.13), ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)• xu§t ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p d(cid:247)(cid:238)i møc vi

ph¥n nh(cid:247) sau:

∆3u1(x) = 0, x ∈ Ω

B(cid:247)(cid:238)c 1: Gi£i b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi v(cid:238)i u1

u1(x) = g1(x), ∆u1(x) = g2(x), ∆2u1(x) = g3(x), x ∈ ∂Ω.

 



B(cid:247)(cid:238)c 2: Gi£i b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi v(cid:238)i u2

2.0. Cho x§p x¿ ban (cid:31)ƒu ϕ0(x) = f (x, u1(x), ∆u1(x), ∆2u1(x)), x ∈ Ω.

∆w2k(x) = ϕk(x), x ∈ Ω

2.1. V(cid:238)i k = 0, 1, 2, . . . , gi£i li¶n ti‚p ba b(cid:160)i to¡n c§p 2

w2k = 0, x ∈ ∂Ω,

∆v2k(x) = wk(x), x ∈ Ω

 

v2k = 0, x ∈ ∂Ω,

∆u2k(x) = vk(x), x ∈ Ω

  

u2k = 0, x ∈ ∂Ω.

  



ϕk+1 = f (x, u1(x) + u2k, ∆u1(x) + v2k, ∆2u1(x) + w2k), x ∈ Ω.

2.2. C“p nh“t

B(cid:247)(cid:238)c 3: K‚t hæp nghi»m u1 + u2.

Hi”n nhi¶n, s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ph¥n r¢ v(cid:160) c¡c c(cid:230)ng thøc

sai ph¥n c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p hai v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c bŁn, sß d(cid:246)ng to¡n tß

Λ x§p x¿ to¡n tß ∆, ch(cid:243)ng ta c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)(cid:247)æc ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:240) møc

(cid:31)º r(cid:237)i r⁄c gi£i b(cid:160)i to¡n (2.12) v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c bŁn. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p

(cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ b‹ng thu“t to¡n sau (cid:31)¥y:

Thu“t to¡n 2

ωh

Λwh

B(cid:247)(cid:238)c 1: Gi£i li¶n ti‚p ba b(cid:160)i to¡n sai ph¥n c§p 2 trong kh(cid:230)ng gian l(cid:247)(cid:238)i

1 = 0, x ∈ ωh

3 , x ∈ γh

1 = gh

Λvh

 

1 , x ∈ ωh

1 = wh

2 , x ∈ γh

1 = gh vh

Λuh

  

1 = vh

1 , x ∈ ωh

  

1 , x ∈ γh

1 = gh uh



B(cid:247)(cid:238)c 2:

0 = f (x, uh

1, vh

1 , wh

1 ), x ∈ ωh

2.0. Cho x§p x¿ ban (cid:31)ƒu ϕh

Λwh

2.1. V(cid:238)i k = 0, 1, 2, . . . , gi£i li¶n ti‚p ba b(cid:160)i to¡n sai ph¥n c§p 2

k, x ∈ ωh

2k = ϕh

2k = 0, x ∈ γh

Λvh

 

2k = wh

2k, x ∈ ωh

vh 2k = 0, x ∈ γh

Λuh

  

1 = vh

2k, x ∈ ωh

  

uh 2k = 0, x ∈ γh.



2k), x ∈ ωh

1 + wh

2k, wh

1 + vh

2k, vh

1 + uh

k+1 = f (x, uh ϕh k = uh uh

1 + uh 2k.

2.2. C“p nh“t

k − u(cid:107) = (cid:107)uh

1k − u1(cid:107) + (cid:107)uh

(cid:30)” (cid:31)¡nh gi¡ sai sŁ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p, ch(cid:243)ng ta cƒn (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)uh 1k − u1 + uh (cid:107)uh 2k − u2(cid:107) ≤ (cid:107)uh ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p sai ph¥n b“c bŁn ta c(cid:226) (cid:107)uh

k −u(cid:107). Ta c(cid:226) 2k − u2(cid:107). Theo k‚t qu£ 1k − u1(cid:107) ≤ O(h4), (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i theo (cid:107)ϕ1−ϕ0(cid:107).

k −u(cid:107)C(Ωh) ≤ O(h4)+C 3 Ω

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2 ta c(cid:244)ng c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)uh

(cid:107)ϕ1 − ϕ0(cid:107),

qk 1 − q qk 1 − q

k − u(cid:107)C(Ωh) ≤ O(h4) + C 3 Ω tøc l(cid:160) sai sŁ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:160) c§p bŁn so v(cid:238)i b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i.

2.2 B(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n hØn hæp

V… v“y, ta thu (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)uh

∆3u1(x) = f (x, u, ∆u, ∆2u), x ∈ Ω,

Ch(cid:243)ng ta x†t b(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa tŒng qu¡t

L1u1(x) = g1(x), L2∆u1(x) = g2(x), L3∆2u1(x) = g3(x), x ∈ ∂Ω.

 



(2.15)

Trong (cid:31)(cid:226) L l(cid:160) c¡c to¡n tß di•u ki»n bi¶n (trong (cid:31)(cid:226) c(cid:226) ‰t nh§t 1 to¡n tß l(cid:160)

d⁄ng Neumann). Ho(cid:160)n to(cid:160)n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) b(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i h» (cid:31)i•u ki»n

bi¶n Dirichlet. Ch(cid:243)ng ta c(cid:244)ng x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p t…m nghi»m

∆3u1(x) = 0, x ∈ Ω

x§p x¿ nh(cid:247) sau. (cid:30)(cid:176)t u = u1 + u2, trong (cid:31)(cid:226) u1, u2 l(cid:160) nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i

L1u1(x) = g1(x), L2∆u1(x) = g2(x), L3∆2u1(x) = g3(x), x ∈ ∂Ω,

to¡n  



∆3u2(x) = f (x, u1 + u2, ∆u1 + ∆u2, ∆2u1 + ∆2u2), x ∈ Ω

(2.16)

L1u2(x) = L2∆u2(x) = L3∆2u2(x) = 0, x ∈ ∂Ω.

  (2.17)



Hi”n nhi¶n, n‚u u1(x) l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.16) v(cid:160) u2(x) l(cid:160) nghi»m

cıa b(cid:160)i to¡n (2.17) th… u(x) s‡ l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.15).

Nh“n x†t 2.4. Vi»c khﬂng (cid:31)(cid:224)nh s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) duy nh§t nghi»m cıa b(cid:160)i

to¡n l(cid:160) ch(cid:247)a th(cid:252)c hi»n (cid:31)(cid:247)æc, tuy nhi¶n ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” (cid:31)• xu§t thu“t to¡n

t…m nghi»m gƒn (cid:31)(cid:243)ng b‹ng c¡c s(cid:236) (cid:31)(cid:231) l(cid:176)p.

(cid:30)” t…m nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.15), t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) c¡c thu“t to¡n (cid:31)¢

(cid:31)• xu§t, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p d(cid:247)(cid:238)i møc vi ph¥n nh(cid:247) sau:

∆3u1(x) = 0, x ∈ Ω

B(cid:247)(cid:238)c 1: Gi£i b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi v(cid:238)i u1

L1u1(x) = g1(x), L2∆u1(x) = g2(x), L3∆2u1(x) = g3(x), x ∈ ∂Ω.

 



B(cid:247)(cid:238)c 2: Gi£i b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi v(cid:238)i u2

∆w2k(x) = ϕk(x), x ∈ Ω

2.0. Cho x§p x¿ ban (cid:31)ƒu ϕ0 = f (x, u1(x), ∆u1(x), ∆2u1(x)), x ∈ Ω.

L3w2k = 0, x ∈ ∂Ω,

∆v2k(x) = wk(x), x ∈ Ω

2.1. V(cid:238)i k = 0, 1, 2 . . . , gi£i li¶n ti‚p ba b(cid:160)i to¡n c§p 2  

L2v2k = 0, x ∈ ∂Ω,

∆u2k(x) = vk(x), x ∈ Ω

  

L1u2k = 0, x ∈ ∂Ω.

  



ϕk+1 = f (x, u1(x) + u2k(x), ∆u1(x) + v2k, ∆2u1(x) + w2k), x ∈ Ω.

2.2. C“p nh“t

B(cid:247)(cid:238)c 3: K‚t hæp nghi»m u = u1 + u2.

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ph¥n r¢ v(cid:160) c¡c c(cid:230)ng thøc sai ph¥n

v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p hai, sß d(cid:246)ng to¡n tß Λ x§p x¿ to¡n tß ∆, ch(cid:243)ng ta

c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)(cid:247)æc ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:240) møc (cid:31)º r(cid:237)i r⁄c gi£i b(cid:160)i to¡n (2.15)

v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c hai. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ b‹ng thu“t to¡n

sau (cid:31)¥y.

Thu“t to¡n 3

ωh

Λwh

B(cid:247)(cid:238)c 1: Gi£i li¶n ti‚p ba b(cid:160)i to¡n sai ph¥n c§p 2 trong kh(cid:230)ng gian l(cid:247)(cid:238)i

1 = 0, x ∈ ωh

L3wh

3 , x ∈ γh

1 = gh

Λvh

 

1 , x ∈ ωh

1 = wh

L2vh

1 = gh

2 , x ∈ γh

Λuh

  

1 , x ∈ ωh

1 = vh

L1uh

  

1 = gh

1 , x ∈ γh



B(cid:247)(cid:238)c 2:

1 ), x ∈ ωh.

1 , wh

1, vh

0 = f (x, uh

2.0. Cho x§p x¿ ban (cid:31)ƒu ϕh

Λwh

2.1. V(cid:238)i k = 0, 1, 2, . . . , gi£i li¶n ti‚p ba b(cid:160)i to¡n sai ph¥n c§p 2

k, x ∈ ωh

2k = ϕh

L3wh

2k = 0, x ∈ γh,

Λvh

 

2k, x ∈ ωh

2k = wh

L2vh

2k = 0, x ∈ γh,

Λuh

  

2k, x ∈ ωh

2k = vh

L1uh

  

2k = 0, x ∈ γh.



1 + uh

2k, vh

1 + vh

2k, wh

1 + wh

2k), x ∈ ωh,

k+1 = f (x, uh ϕh k = uh uh

1 + uh 2k.

2.2. C“p nh“t

Nh“n x†t 2.5. Kh¡c v(cid:238)i thu“t to¡n 1 v(cid:160) thu“t to¡n 2, v… b(cid:160)i to¡n c(cid:226) chøa

d⁄ng (cid:31)i•u ki»n bi¶n Neumann n¶n ch(cid:243)ng ta kh(cid:230)ng th” ¡p d(cid:246)ng l(cid:247)æc (cid:31)(cid:231)

sai ph¥n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c bŁn (v… v(cid:247)(cid:238)ng sai ph¥n (cid:31)i•u ki»n bi¶n d⁄ng

Neumann) n¶n ch(cid:243)ng ta ch¿ c(cid:226) th” ¡p d(cid:246)ng l(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) sai ph¥n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh

x¡c b“c 2. Nghi»m sŁ thu (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c b(cid:160)i to¡n c§p hai s‡ (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c

hi»n b‹ng c¡c h(cid:160)m trong th(cid:247) vi»n RC2009 v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p 2 theo

b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i.

K‚t lu“n: Trong ch(cid:247)(cid:236)ng 2, lu“n v«n (cid:31)¢ nghi¶n cøu s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) duy

nh§t nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i h» (cid:31)i•u ki»n bi¶n Dirichlet,

(cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i x¥y d(cid:252)ng mºt sŁ thu“t to¡n t…m nghi»m x§p x¿ cıa c¡c d⁄ng

b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c 4 trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp

(cid:31)i•u ki»n bi¶n d⁄ng Dirichlet v(cid:160) (cid:31)º ch‰nh x¡c b“c 2 trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp h»

(cid:31)i•u ki»n bi¶n hØn hæp (C(cid:226) chøa d⁄ng (cid:31)i•u ki»n Neuman). C¡c k‚t qu£

thß nghi»m c¡c thu“t to¡n s‡ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong ch(cid:247)(cid:236)ng 3 cıa lu“n v«n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

Mºt sŁ k‚t qu£ t‰nh to¡n thß

nghi»m

Sau (cid:31)¥y ch(cid:243)ng ta s‡ (cid:31)(cid:247)a ra mºt sŁ v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a (cid:31)” ki”m tra s(cid:252)

hºi t(cid:246) cıa c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n

(cid:31)Łi v(cid:238)i thu“t to¡n 1 v(cid:160) thu“t to¡n 2. (cid:30)” x¡c (cid:31)(cid:224)nh nghi»m x§p x¿ cıa c¡c

b(cid:160)i to¡n, chia mi•n Ω b‹ng l(cid:247)(cid:238)i chia M × N , ¡p d(cid:246)ng thu“t to¡n thu g(cid:229)n

khŁi l(cid:247)æng t‰nh to¡n gi£i li¶n ti‚p c¡c b(cid:160)i to¡n sai ph¥n trong c¡c thu“t

to¡n. C¡c v‰ d(cid:246) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra c£ trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp bi‚t tr(cid:247)(cid:238)c ho(cid:176)c kh(cid:230)ng

bi‚t tr(cid:247)(cid:238)c nghi»m (cid:31)(cid:243)ng, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp bi‚t nghi»m (cid:31)(cid:243)ng, ti¶u chu'n

dłng l(cid:176)p (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n l(cid:160) (cid:107)uk − ud(cid:107) ≤ T OL, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp kh(cid:230)ng bi‚t

tr(cid:247)(cid:238)c nghi»m (cid:31)(cid:243)ng, ti¶u chu'n dłng l(cid:176)p (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n l(cid:160) (cid:107)uk+1 −uk(cid:107) ≤ T OL.

C¡c k‚t qu£ t‰nh to¡n (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c hi»n tr¶n m¡y Intel(R)-Core(TM) i3, m(cid:230)i

3.1 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n thuƒn nh§t

, x ∈ Ω

∆3u = u(x) + (∆u)2 sin πx1 sin πx2 + 2∆2u cos πx1 cos πx2 +

tr(cid:247)(cid:237)ng t‰nh to¡n Matlab 7.0.

1 4

∆2u = ∆u = u = 0, x ∈ ∂Ω,

V‰ d(cid:246) 3.1. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n  



trong (cid:31)(cid:226) Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1, x2).

(cid:30)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254)

2.1 (cid:31)•u (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n, (chﬂng h⁄n ch(cid:229)n M = 1.1), tøc l(cid:160) b(cid:160)i to¡n t(cid:231)n

t⁄i duy nh§t nghi»m, ch(cid:229)n mi•n Ω = (0, 1) × (0, 1). Sß d(cid:246)ng thu“t to¡n

B(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i

TOL

SŁ lƒn l(cid:176)p Th(cid:237)i gian

16 × 16

2.4567 × e − 11

0.093

32 × 32

2.4574 × e − 11

0.156

64 × 64

2.4574 × e − 11

1.123

128 × 128

2.4574 × e − 11

8.611

256 × 256

2.4574 × e − 11

66.032

B£ng 3.1: TŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) theo b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i cıa V‰ d(cid:246) 3.1

1, k‚t qu£ v• tŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)(cid:247)a ra trong B£ng 3.1

∆3u = −8π6 sin πx1 sin πx2 + 1

V‰ d(cid:246) 3.2. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n

8π6 ((∆u)2 − u∆2u), x ∈ Ω

∆2u = ∆u = u = 0, x ∈ ∂Ω,

 



trong (cid:31)(cid:226), Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1, x2).

(cid:30)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254)

2.1 (cid:31)•u (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n tøc l(cid:160) b(cid:160)i to¡n c(cid:244)ng t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m. C(cid:226)

th” th§y nghi»m ch‰nh x¡c cıa b(cid:160)i to¡n l(cid:160) ud = sin πx1 sin πx2. K‚t qu£

B(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i

TOL

SŁ lƒn l(cid:176)p Th(cid:237)i gian

16 × 16

9.529 × e − 7

0.062

32 × 32

6.069 × e − 8

0.082

64 × 64

4.282 × e − 9

1.121

128 × 128

1.082 × e − 9

5.143

256 × 256

1.082 × e − 9

39.762

B£ng 3.2: TŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) theo b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i cıa V‰ d(cid:246) 3.2

ch⁄y th(cid:252)c nghi»m thu“t to¡n 2.1 (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n (cid:240) B£ng 3.2

(cid:136) Tł c¡c k‚t qu£ th(cid:252)c nghi»m sŁ trong 2 v‰ d(cid:246), ch(cid:243)ng

Nh“n x†t 3.1.

ta th§y thu“t to¡n 2.1 (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n

thuƒn nh§t c(cid:226) tŁc (cid:31)ºi hºi t(cid:246) r§t nhanh, (cid:31)º ch‰nh x¡c (cid:31)⁄t c§p bŁn.

(cid:136) C(cid:226) th” th§y r‹ng tŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) cıa thu“t to¡n l(cid:160) kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o

3.2 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n kh(cid:230)ng thuƒn nh§t

∆3u = u(x) + (∆u)2 sin πx1 sin πx2 + 2∆2u cos πx1 cos πx2 + 1

b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i.

4, x ∈ Ω

u = log(x5

V‰ d(cid:246) 3.3. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n  

1 + x5

2 + 1), ∆u = 2 sin x1 sin x2, ∆2u = x1 − x2 + ex1−x2, x ∈ ∂Ω,



trong (cid:31)(cid:226) Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1, x2).

(cid:30)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng h(cid:160)m v‚ ph£i f (x, u, ∆u, ∆2u)

c(cid:244)ng th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 n¶n b(cid:160)i to¡n bi¶n (cid:31)Łi v(cid:238)i (cid:31)i•u

ki»n bi¶n thuƒn nh§t s‡ t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) duy nh§t nghi»m, tł (cid:31)(cid:226) b(cid:160)i to¡n tr¶n

s‡ t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m. Ch(cid:229)n mi•n Ω = (0, 1) × (0, 1). Sß d(cid:246)ng thu“t

to¡n 2.2, k‚t qu£ v• tŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong

B(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i

TOL

SŁ lƒn l(cid:176)p Th(cid:237)i gian

16 × 16

8.612 × e − 8

0.062

32 × 32

8.610 × e − 8

0.140

64 × 64

8.625 × e − 8

1.260

128 × 128

8.626 × e − 8

8.658

256 × 256

8.626 × e − 8

66.847

B£ng 3.3: TŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) theo b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i cıa V‰ d(cid:246) 3.3

∆3u = 8ex1+x2 + sin(ex1+x2 − u) + cos(2ex1+x2 − ∆u) − e(4ex1+x2 −∆2u),

B£ng 3.3. ((cid:30)i•u ki»n dłng l(cid:176)p (cid:107)uk+1 − uk(cid:107) ≤ T OL).

u = ex1+x2, ∆u = 2ex1+x2, ∆2u = 4ex1+x2, x ∈ ∂Ω,

V‰ d(cid:246) 3.4. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n  



trong (cid:31)(cid:226) Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1, x2).

(cid:30)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng h(cid:160)m v‚ ph£i f (x, u, ∆u, ∆2u)

c(cid:244)ng th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 n¶n b(cid:160)i to¡n bi¶n (cid:31)Łi v(cid:238)i (cid:31)i•u

ki»n bi¶n thuƒn nh§t s‡ t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) duy nh§t nghi»m, tł (cid:31)(cid:226) b(cid:160)i to¡n tr¶n

B(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i

TOL

SŁ lƒn l(cid:176)p Th(cid:237)i gian

16 × 16

4.827 × e − 8

0.062

32 × 32

2.344 × e − 8

0.218

64 × 64

2.191 × e − 8

1.404

128 × 128

2.181 × e − 8

9.719

256 × 256

2.181 × e − 8

70.544

B£ng 3.4: TŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) theo b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i cıa V‰ d(cid:246) 3.4

s‡ t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m. C(cid:226) th” th§y nghi»m ch‰nh x¡c cıa b(cid:160)i to¡n l(cid:160) ud = ex1+x2. K‚t qu£ ch⁄y th(cid:252)c nghi»m thu“t to¡n 2.2 (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n (cid:240) B£ng 3.4. ((cid:30)i•u ki»n dłng l(cid:176)p (cid:107)uk − ud(cid:107) ≤ T OL).

∆3u = 8 sin x1 sin x2 + sin(x5

1 + x5

2 + sin x1 sin x2 − u)

+ cos(20x3

1 + 20x3

2 − 2 sin x1 sin x2 − ∆u) − 1,

u = x5

1 + x5

2 + sin x1 sin x2, ∆u = 20(x3

2) − 2 sin x1 sin x2,

1 + x3 ∆2u = 120(x1 + x2) + 4 sin x1 sin x2, x ∈ ∂Ω

V‰ d(cid:246) 3.5. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n

trong (cid:31)(cid:226) Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1, x2).

(cid:30)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng h(cid:160)m v‚ ph£i f (x, u, ∆u, ∆2u)

c(cid:244)ng th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 n¶n b(cid:160)i to¡n bi¶n (cid:31)Łi v(cid:238)i

2 + sin x1 sin x2. K‚t qu£ ch⁄y th(cid:252)c nghi»m thu“t to¡n

1 + x5

(cid:31)i•u ki»n bi¶n thuƒn nh§t s‡ t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) duy nh§t nghi»m, tł (cid:31)(cid:226) b(cid:160)i to¡n

tr¶n s‡ t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m. C(cid:226) th” th§y nghi»m ch‰nh x¡c cıa b(cid:160)i to¡n l(cid:160) ud = x5 2 (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n (cid:240) B£ng 3.5. ((cid:30)i•u ki»n dłng l(cid:176)p (cid:107)uk − ud(cid:107) ≤ T OL)

B(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i

TOL

SŁ lƒn l(cid:176)p Th(cid:237)i gian

16 × 16

2.863 × e − 9

0.078

32 × 32

1.906 × e − 10

0.124

64 × 64

2.282 × e − 11

0.842

128 × 128

1.223 × e − 11

5.756

256 × 256

1.139 × e − 11

42.245

B£ng 3.5: TŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) theo b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i cıa V‰ d(cid:246) 3.5

3.3 B(cid:160)i to¡n bi¶n v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n hØn hæp

= 2ex1+x2,

= ex1+x2,

= 4ex1,x2, x ∈ Γ1 = {x1 = 0, x2 ∈ [0, 1]},

∂∆2u ∂x

∂∆u ∂x

∆3u = 8ex1+x2 + sin(ex1+x2 − u) + cos(2ex1+x2 − ∆u) − e(4ex1+x2 −∆2u), ∂u ∂x u = ex1+x2, ∆u = 2ex1+x2, ∆2u = 4ex1+x2, x ∈ Γ2 = ∂Ω \ Γ1,

V‰ d(cid:246) 3.6. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n

trong (cid:31)(cid:226) Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1, x2).

Nghi»m ch‰nh x¡c cıa b(cid:160)i to¡n l(cid:160) ud = ex1+x2. K‚t qu£ ch⁄y th(cid:252)c

(cid:107)uk − ud(cid:107) ≤ T OL)

B(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i

TOL

SŁ lƒn l(cid:176)p Th(cid:237)i gian

16 × 16

5.01 × e − 4

0.062

32 × 32

1.29 × e − 4

0.218

64 × 64

3.24 × e − 5

1.404

128 × 128

8.11 × e − 6

9.719

256 × 256

2.028 × e − 6

70.544

B£ng 3.6: TŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) theo b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i cıa V‰ d(cid:246) 3.6

nghi»m thu“t to¡n 2.3 (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n (cid:240) B£ng 3.6. ((cid:30)i•u ki»n dłng l(cid:176)p

∆3u = 8 sin x1 sin x2 + sin(x5

1 + x5

2 + sin x1 sin x2 − u)

+ cos(20x3

1 + 20x3

2 − 2 sin x1 sin x2 − ∆u) − 1,

= x5

= 220(x3

1 + x5

2 + sin x1 sin x2,

1 + x3

2) − 2 sin x1 sin x2,

∂∆u ∂x

= 120(x1 + x2) + 4 sin x1 sin x2, x ∈ Γ1 = {x1 = 0, x2 ∈ [0, 1]},

∂u ∂x ∂∆2u ∂x u = x5

1 + x5

2 + sin x1 sin x2, ∆u = 20(x3

1 + x3

2) − 2 sin x1 sin x2,

∆2u = 120(x1 + x2) + 4 sin x1 sin x2, x ∈ Γ2 = ∂Ω \ Γ1,

V‰ d(cid:246) 3.7. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n

1 + x5

trong (cid:31)(cid:226) Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1, x2).

C(cid:226) th” th§y nghi»m ch‰nh x¡c cıa b(cid:160)i to¡n l(cid:160) ud = x5 2 + sin x1 sin x2. K‚t qu£ ch⁄y th(cid:252)c nghi»m thu“t to¡n 2.3 (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n (cid:240)

B(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i

TOL

SŁ lƒn l(cid:176)p Th(cid:237)i gian

16 × 16

0.0029

0.078

32 × 32

7.1 × e − 4

0.124

64 × 64

1.7 × e − 4

0.842

128 × 128

4.49 × e − 5

5.756

256 × 256

1.12 × e − 5

42.245

B£ng 3.7: TŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) theo b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i cıa V‰ d(cid:246) 3.7

B£ng 3.7. ((cid:30)i•u ki»n dłng l(cid:176)p (cid:107)uk − ud(cid:107) ≤ T OL).

(cid:136) Tł c¡c k‚t qu£ th(cid:252)c nghi»m sŁ trong 7 v‰ d(cid:246), ch(cid:243)ng

Nh“n x†t 3.2.

ta th§y c¡c thu“t to¡n 2.1, 2.2, 2.3 t…m nghi»m x§p x¿ cıa c¡c b(cid:160)i to¡n

bi¶n tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n øng v(cid:238)i tłng lo⁄i (cid:31)i•u ki»n bi¶n c(cid:226) tŁc

(cid:31)ºi hºi t(cid:246) r§t nhanh, (cid:31)º ch‰nh x¡c (cid:31)⁄t c§p hai ho(cid:176)c c§p bŁn t(cid:242)y theo

(cid:136) C(cid:226) th” th§y r‹ng tŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) cıa thu“t to¡n c(cid:244)ng kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc

tłng thu“t to¡n.

v(cid:160)o b(cid:247)(cid:238)c l(cid:247)(cid:238)i.

K(cid:152)T LU(cid:138)N

Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y c¡c k‚t qu£ khi nghi¶n

cøu ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p t…m nghi»m x§p x¿ (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n bi¶n tam (cid:31)i•u

hÆa phi tuy‚n t‰nh v(cid:238)i h» (cid:31)i•u ki»n bi¶n Dirichlet v(cid:160) Neumann. C¡c k‚t

qu£ thu (cid:31)(cid:247)æc bao g(cid:231)m:

(i) (cid:30)(cid:247)a ra c¡c h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p hai t…m

nghi»m sŁ cho b(cid:160)i to¡n bi¶n Elliptic c§p hai v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n Neu-

mann v(cid:160) h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n v(cid:238)i (cid:31)º ch‰nh x¡c c§p bŁn t…m nghi»m

sŁ cho b(cid:160)i to¡n bi¶n Elliptic c§p hai v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n Dirichlet. (cid:30)¥y

ch‰nh l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) (cid:31)” gi£i sŁ t§t c£ c¡c b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa s‡ (cid:31)(cid:247)æc

nghi¶n cøu trong lu“n v«n.

(ii) Nghi¶n cøu x¥y d(cid:252)ng s(cid:236) (cid:31)(cid:231) l(cid:176)p d(cid:252)a tr¶n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß t…m

nghi»m x§p x¿ (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n v(cid:238)i h» (cid:31)i•u

ki»n bi¶n thuƒn nh§t, ch¿ ra s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n

((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1) v(cid:160) c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)” ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p hºi t(cid:246) ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2).

X¥y d(cid:252)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p t(cid:247)(cid:236)ng øng d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng sai ph¥n (Thu“t to¡n

1).

(iii) M(cid:240) rºng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n v(cid:238)i

(cid:31)i•u ki»n bi¶n Dirichlet tŒng qu¡t. X¥y d(cid:252)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p t(cid:247)(cid:236)ng

øng d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng sai ph¥n (Thu“t to¡n 2).

(iv) (cid:30)• xu§t x¥y d(cid:252)ng s(cid:236) (cid:31)(cid:231) l(cid:176)p t…m nghi»m x§p x¿ (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n to¡n

(cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n v(cid:238)i h» (cid:31)i•u ki»n bi¶n Neuman. X¥y d(cid:252)ng ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p l(cid:176)p t(cid:247)(cid:236)ng øng d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng sai ph¥n (Thu“t to¡n 3).

(v) Ti‚n h(cid:160)nh t‰nh to¡n thß nghi»m c¡c thu“t to¡n th(cid:230)ng qua 7 v‰ d(cid:246) c(cid:246)

th”. C¡c k‚t qu£ t‰nh to¡n thß nghi»m qua c¡c v‰ d(cid:246) (cid:31)¢ khﬂng (cid:31)(cid:224)nh

c¡c thu“t to¡n (cid:31)• xu§t l(cid:160) hºi t(cid:246) v(cid:238)i tŁc (cid:31)º hºi t(cid:246) nhanh. (cid:30)º ch‰nh x¡c

(cid:31)⁄t c§p hai (cid:31)Łi v(cid:238)i thu“t to¡n 3 v(cid:160) (cid:31)⁄t c§p bŁn (cid:31)Łi v(cid:238)i thu“t to¡n 1

v(cid:160) thu“t to¡n 2.

H(cid:247)(cid:238)ng ph¡t tri”n ti‚p theo cıa lu“n v«n l(cid:160) m(cid:240) rºng nghi¶n cøu c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p t…m nghi»m (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n tam (cid:31)i•u hÆa v(cid:238)i c¡c h» (cid:31)i•u ki»n bi¶n

phøc t⁄p h(cid:236)n.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Ti‚ng Vi»t

[1] V.V. Quang, T.H. H£i, Gi¡o tr…nh (cid:16)Mºt sŁ thu“t to¡n gi£i sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh vi ph¥n (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng(cid:17), NXB (cid:30)H Th¡i nguy¶n, 2018.

[2] V.V. Quang, T.H. H£i, N.T. Tuy”n, X¥y d(cid:252)ng bº ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh RC2009

gi£i sŁ b(cid:160)i to¡n bi¶n elliptic v(cid:238)i h» sŁ h‹ng, T⁄p ch‰ Khoa h(cid:229)c v(cid:160) C(cid:230)ng

ngh» (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n, T.69(07):56-63, 2010.

[3] N.Q. H(cid:247)ng, (cid:30).Q (cid:129), V.V Quang, Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p gi£i b(cid:160)i to¡n bi¶n

Ti‚ng Anh

tam (cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n, Hºi th£o Fair 2019, NXB KHCN, 114-119.

[4] Quang A. Dang, Thanh Huong Nguyen, (cid:16)Existence result and iterative

method for solving a nonlinear biharmonic equation of Kirchhoff type(cid:17),

Computers&Mathematics with Applications, 76, pp.11-22, 2018.

[5] B. N. Mishra and M. K. Mohanty, (cid:16)Single Cell Numerov Type Dis-

cretization for 2D Biharmonic and Triharmonic Equations on Uniqual

Mesh(cid:17), Journal of Mathematical and Computational Science, 3, pp242-

253, 2013.

[6] R. K. Mohanty, (cid:16)Single Cell Compact Finite Difference Discretizations

of Order Two and Four for Multi-dimensional Triharmonic Problems(cid:17),

Numerical Method for Partial Differential Equation, 26, pp.228-246,

2013.

[7] Samarskij A. and Nikolaev E. (1989), Numerical Methods for Grid

Equations, Vol. 2, Birkhauser, Basel.

[8] D. Lenic, (cid:16)On the boundary integral equations for a two-dimentional

slowly rotating highly viscous fluid flow(cid:17), Advances in Applied Math-

ematics and Mechanics, 1, pp.140-150, 2009.

[9] Timoshenco S. P. and Woinowsky-Krieger S. , (cid:16)Theory of plates and

shells(cid:17), McGraw-Hill, New York, 1970.

[10] H. Ugail, (cid:16)Partial Defferential Equations for Geometric Design(cid:17),

Springer, 2011.

PH(cid:214) L(cid:214)C

(C¡c ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh m(cid:230) t£ c¡c thu“t to¡n)

Thu“t to¡n 1

function pt=Thuat_toan_1(n,k,saiso)

clc;

N=2^n;

M=N;

a=1;b=1;

p1=1;p2=M+1;q1=1;q2=N+1;

x10=0;x20=0;l1=a;l2=b;

h1=l1/M;h2=l2/N;

X1=linspace(x10,x10+a,N+1);X2=linspace(x20,x20+b,N+1);

uluu=zeros(N+1);

% Gia tri nghiem dung va ve phai

for i=1:M+1

for j=1:N+1

x1=x10+(i-1)*h1;

x2=x20+(j-1)*h2;

ud(i,j)=u(x1,x2);% Nghiem dung

csi(i,j)=f(x1,x2,0,0,0)+1;

end;

thoigian=cputime;

count=0;ss=10;saiso1=(h1^4+h2^4)/2;ss1=10;

while and(ss>saiso,count

count=count+1;

% giai bai toan w=delta2(u)

b1=delta2(x10,X2);b2=delta2(x10+l1,X2);

b3=delta2(X1,x20);b4=delta2(X1,x20+l2);

phiw=csi;

w2=u0000(phiw,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan v=delta(u)

b1=delta(x10,X2);b2=delta(x10+l1,X2);

b3=delta(X1,x20);b4=delta(X1,x20+l2);

phiv=-w2;

v2=u0000(phiv,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan u

b1=u(x10,X2);b2=u(x10+l1,X2);

b3=u(X1,x20);b4=u(X1,x20+l2);

phiu=-v2;

u2=u0000(phiu,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

ss=chuan(ud-u2)

%ss1=chuan(u2-uluu)

uluu=u2;

% hieu chinh csi

for i=1:M+1

for j=1:N+1

x1=x10+(i-1)*h1;

x2=x20+(j-1)*h2;

csi(i,j)=f(x1,x2,u2(i,j),v2(i,j),w2(i,j));

end;

count

thoigian=cputime-thoigian

function u=u(x1,x2)

function delta=delta(x1,x2)

function delta2=delta2(x1,x2)

function delta3=delta3(x1,x2)

function f=f(x1,x2,y,z,t)

Thu“t to¡n 2

function pt=Thuat_toan_2(n,k,saiso)

clc;

N=2^n;

M=N;

a=1;b=1;

p1=1;p2=M+1;q1=1;q2=N+1;

x10=0;x20=0;l1=a;l2=b;

h1=l1/M;h2=l2/N;

X1=linspace(x10,x10+a,N+1);X2=linspace(x20,x20+b,N+1);

uluu=zeros(N+1);Z0=zeros(1,N+1);

% Gia tri nghiem dung va ve phai

for i=1:M+1

for j=1:N+1

x1=x10+(i-1)*h1;

x2=x20+(j-1)*h2;

ud(i,j)=u(x1,x2);% Nghiem dung

csi(i,j)=f(x1,x2,0,0,0);

end;

thoigian=cputime;

% buoc 1: giai bai toan voi u1

% giai bai toan w1=delta2(u)

b1=delta2(x10,X2);b2=delta2(x10+l1,X2);

b3=delta2(X1,x20);b4=delta2(X1,x20+l2);

phiw=zeros(N+1);;

w1=u0000(phiw,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan v1=delta(u1)

b1=delta(x10,X2);b2=delta(x10+l1,X2);

b3=delta(X1,x20);b4=delta(X1,x20+l2);

phiv=-w1;

v1=u0000(phiv,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan u1

b1=u(x10,X2);b2=u(x10+l1,X2);

b3=u(X1,x20);b4=u(X1,x20+l2);

phiu=-v1;

u1=u0000(phiu,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% Buoc 2: giai bai toan voi u2

% Gia tri nghiem dung va ve phai

for i=1:M+1

for j=1:N+1

x1=x10+(i-1)*h1;

x2=x20+(j-1)*h2;

ud(i,j)=u(x1,x2);% Nghiem dung

csi(i,j)=f(x1,x2,u1(i,j),v1(i,j),w1(i,j));

end;

count=0;ss=10;ss1=10;

saiso1=10^-9;

while and(ss>saiso,count

count=count+1;

% buoc 2: giai bai toan voi u2

% giai bai toan w2=delta2(u)

b1=Z0;b2=Z0;b3=Z0;b4=Z0;

phiw=csi;

w2=u0000(phiw,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan v2=delta(u2)

b1=Z0;b2=Z0;b3=Z0;b4=Z0;

phiv=-w2;

v2=u0000(phiv,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan u2

b1=Z0;b2=Z0;b3=Z0;b4=Z0;

phiu=-v2;

u2=u0000(phiu,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

utq=u1+u2;

ss=chuan(ud-utq)

uluu=u2;

% hieu chinh csi

for i=1:M+1

for j=1:N+1

x1=x10+(i-1)*h1;

x2=x20+(j-1)*h2;

csi(i,j)=f(x1,x2,u1(i,j)+u2(i,j),v1(i,j)+v2(i,j),w1(i,j)+w2(i,j));

end;

count

thoigian=cputime-thoigian

function u=u(x1,x2)

function delta=delta(x1,x2)

function delta2=delta2(x1,x2)

function delta3=delta3(x1,x2)

function f=f(x1,x2,y,z,t)

Thu“t to¡n 3

function pt=Thuat_toan_3(n,k,saiso)

clc;

N=2^n;

M=N;

a=1;b=1;

p1=1;p2=M+1;q1=1;q2=N+1;

x10=0;x20=0;l1=a;l2=b;

h1=l1/M;h2=l2/N;

X1=linspace(x10,x10+a,N+1);X2=linspace(x20,x20+b,N+1);

uluu=zeros(N+1);Z0=zeros(1,N+1);

% Gia tri nghiem dung va ve phai

for i=1:M+1

for j=1:N+1

x1=x10+(i-1)*h1;

x2=x20+(j-1)*h2;

ud(i,j)=u(x1,x2);% Nghiem dung

csi(i,j)=f(x1,x2,0,0,0);

end;

thoigian=cputime;

% buoc 1: giai bai toan voi u1

% giai bai toan w1=delta2(u)

b1=ddelta2(x10,X2);b2=ddelta2(x10+l1,X2);

b3=delta2(X1,x20);b4=delta2(X1,x20+l2);

phiw=zeros(N+1);;

w1=u1100(phiw,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan v1=delta(u1)

b1=ddelta(x10,X2);b2=ddelta(x10+l1,X2);

b3=delta(X1,x20);b4=delta(X1,x20+l2);

phiv=-w1;

v1=u1100(phiv,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan u1

b1=du(x10,X2);b2=du(x10+l1,X2);

b3=u(X1,x20);b4=u(X1,x20+l2);

phiu=-v1;

u1=u0000(phiu,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% Buoc 2: giai bai toan voi u2

% Gia tri nghiem dung va ve phai

for i=1:M+1

for j=1:N+1

x1=x10+(i-1)*h1;

x2=x20+(j-1)*h2;

ud(i,j)=u(x1,x2);% Nghiem dung

csi(i,j)=f(x1,x2,u1(i,j),v1(i,j),w1(i,j));

end;

count=0;ss=10;ss1=10;

saiso1=10^-9;

while and(ss>saiso,count

count=count+1;

% buoc 2: giai bai toan voi u2

% giai bai toan w2=delta2(u)

b1=Z0;b2=Z0;b3=Z0;b4=Z0;

phiw=csi;

w2=u1100(phiw,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan v2=delta(u2)

b1=Z0;b2=Z0;b3=Z0;b4=Z0;

phiv=-w2;

v2=u1100(phiv,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

% giai bai toan u2

b1=Z0;b2=Z0;b3=Z0;b4=Z0;

phiu=-v2;

u2=u1100(phiu,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2);

utq=u1+u2;

ss=chuan(ud-utq)

uluu=u2;

% hieu chinh csi

for i=1:M+1

for j=1:N+1

x1=x10+(i-1)*h1;

x2=x20+(j-1)*h2;

csi(i,j)=f(x1,x2,u1(i,j)+u2(i,j),v1(i,j)+v2(i,j),w1(i,j)+w2(i,j));

end;

count

thoigian=cputime-thoigian

function u=u(x1,x2)

function du=du(x1,x2)

function delta=delta(x1,x2)

function ddelta=ddelta(x1,x2)

function delta2=delta2(x1,x2)

function ddelta2=ddelta2(x1,x2)

function delta3=delta3(x1,x2)

function f=f(x1,x2,y,z,t)

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên tam điều hòa phi tuyến và phương pháp giải số

Nội dung chính của luận văn sẽ trình bày về cơ sở các phương pháp lặp trong không gian metric, các lược đồ sai phân với độ chính xác bậc cao tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình sai phân. Mời các bạn tham khảo!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------

PHAN QUANG SƠN

BÀI TOÁN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Vũ Vinh Quang

THÁI NGUYÊN - 2020

M(cid:246)c l(cid:246)c

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

L(cid:237)i cam (cid:31)oan

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:176)p gi£i b(cid:160)i to¡n tam

(cid:31)i•u hÆa phi tuy‚n

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

Mºt sŁ k‚t qu£ t‰nh to¡n thß

nghi»m

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Tài liệu liên quan

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và thử hoạt tính kháng viêm của loài rau dừa nước (Ludwigia adscendens)

Luận văn Thạc sĩ: Khảo sát thành phần hóa học và hoạt tính ức chế enzyme α-glucosidase trên một số hợp chất phân lập của thịt quả bình bát nước Anona glabra L.

Luận văn Thạc sĩ: Phân tích một số hợp chất bisphenol thôi nhiễm từ bao bì nhựa lên một số mẫu thực phẩm nền tinh bột

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuất naphthoquinone chứa nguyên tố flo bằng phản ứng đa thành phần

Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp phần lai chứa phần tetrahydro-beta-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp một số dẫn xuát của benzazole sử dụng phản ứng oxy hóa khử

Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hạt nano bạc phủ hyaluronic acid mang doxorubicin định hướng trong điều trị ung thư

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Sự chuyển biến ngữ nghĩa của nhóm từ chỉ vị giác 酸 (toan), 辣 (lạt), 咸 (hàm), 甜 (điềm), 苦 (khổ) trong tiếng Hán (liên hệ với chua, cay, mặn, ngọt, đắng trong Tiếng Việt)

Luận án Tiến sĩ: Ý niệm 家 (nhà) trong tiếng Trung (có liên hệ với Tiếng Việt)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Ý niệm 家 (nhà) trong tiếng Trung (có liên hệ với Tiếng Việt)

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Trích xuất mạch vành và phát hiện bất thường trên mạch vành hỗ trợ trong chẩn đoán

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Trích xuất mạch vành và phát hiện bất thường trên mạch vành hỗ trợ trong chẩn đoán

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp, đặc trưng và ứng dụng của vật liệu khung cơ kim loại trên cơ sở Bismuth

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp, đặc trưng và ứng dụng của vật liệu khung cơ kim loại trên cơ sở Bismuth

Luận án Tiến sĩ: Tác động của trách nhiệm xã hội đến tài sản thương hiệu, sự hài lòng và ý định quay lại của du khách - Trường hợp các điểm đến ở khu vực Đông Nam Bộ, Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tác động của trách nhiệm xã hội đến tài sản thương hiệu, sự hài lòng và ý định quay lại của du khách - Trường hợp các điểm đến ở khu vực Đông Nam Bộ, Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chế tạo vật liệu xúc tác quang trên nền TiO₂, ZnO biến tính bởi chấm lượng tử Graphene pha tạp nitơ và nano bạc

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chế tạo vật liệu xúc tác quang trên nền TiO₂, ZnO biến tính bởi chấm lượng tử Graphene pha tạp nitơ và nano bạc

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phát triển các mô hình sinh kế bền vững dựa vào canh tác nông nghiệp của người dân ở vùng đệm Vườn quốc gia Tà Đùng

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phát triển các mô hình sinh kế bền vững dựa vào canh tác nông nghiệp của người dân ở vùng đệm Vườn quốc gia Tà Đùng

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp dung dịch Ferrate (FeO₄²⁻) bằng phương pháp điện hoá và ứng dụng trong xử lý nước thải

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp dung dịch Ferrate (FeO₄²⁻) bằng phương pháp điện hoá và ứng dụng trong xử lý nước thải

Tóm tắt Đề án Thạc sĩ: Đào tạo nguồn nhân lực trong bối cảnh chuyển đổi số tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

Đề án Thạc sĩ: Đào tạo nguồn nhân lực trong bối cảnh chuyển đổi số tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

Luận án Tiến sĩ: Tác động của văn hoá doanh nghiệp đến năng lực sáng tạo của nhân viên các doanh nghiệp ICT Việt Nam - Nghiên cứu trường hợp Tập đoàn FPT

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok